Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Integral Lipat Tiga

Transkripsi

1 Univesitas Indonusa Esa Unggul Faultas Ilmu Kompute Teni Infomatia Integal Lipat Tiga

2 Integal Lipat Tiga pada Balo (,, ) B B. Patisi balo B menjadi n bagian; B, B,, B,, B n Definisian = diagonal uang tepanjang dai B. Ambil (,, ) B. Bentu jumlah Riemann. Jia dipeoleh limit jumlah Riemann Jia limit ada, maa fungsi w = f(,,) teintegalan Riemann pada balo B, ditulis B // KALKULUS LANJUT lim f (,, )dv n n f (, f ( lim n,, ) V, f ( ) V,, ) V

3 Integal Lipat Tiga pada Balo () v = dv = d d d Sehingga integal lipat dalam oodinat atesius: f (,, )dv B B f (,,)ddd // KALKULUS LANJUT

4 Hitung Contoh B dv dengan B adalah balo dengan uuan B = {(,,),, } Jawab. B dv d d d 7 d d d // KALKULUS LANJUT

5 Hitung Integal Lipat Tiga pada Daeah Sembaang S dv Pandang S benda padat ang telingupi oleh balo B, dan definisian nilai f nol untu lua S (gb. ) B, Jia S benda padat sembaang S (gb. ) // KALKULUS LANJUT 5

6 Integal Lipat Tiga pada Daeah Sembaang () S = (,) = (,) Jia S dipandang sebagai himpunan sedehana (gb.) (S dibatasi oleh = (,) dan = (,), dan poesi S pada bidang XOY dipandang sebagai daeah jenis I) maa: b a = () S (gb. ) = () S f (,, ) Catatan: dv b ( ) (, ) Jia f(,,) =, maa menataan volume benda pejal S a ( ) (, ) f (,, ) d S d d f (,, ) dv // KALKULUS LANJUT 6

7 Contoh Hitung S f (,, ) dv dengan W=f(,,) = dan S benda padat ang dibatasi oleh tabung paabola =- ½ dan bidang-bidang =, =, = = S = = ½ S = poesi S pada XOY (segitiga) Jawab. Dai gamba telihat bahwa S={(,,), ½ } Sehingga, // KALKULUS LANJUT 7 S dv d d d d d

8 // KALKULUS LANJUT 8 Contoh (lanjutan) d d d d

9 Latihan S. Hitung dv, S benda padat di otan petama ang dibatasi oleh bidang-bidang =, =, = dan tabung + =.. Setsa benda pejal S di otan petama ang dibatasi tabung + = dan bidang = dan =, dan tulisan dan hitung integal lipatna.. Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh : a. =, + =, =, =. b. = +, =, =. c. =, =, =. d. = +, =, =, - =. /. Hitung sin( )ddd // KALKULUS LANJUT 9

10 Integal Lipat Tiga (Koodinat Tabung dan Bola) Koodinat Tabung P(,,) Koodinat Bola P(,,) Saat & hubungan dg Katesius, = cos = sin = = + Saat & hubungan dg Katesius,, = cos = sin = sin = sin = cos + + = } = cos sin } = sin sin Jia D benda pejal puna sumbu simeti Koodinat Tabung Jia D benda pejal ang simeti tehadap satu titi Koodinat Bola // KALKULUS LANJUT

11 Contoh. Setsa D; D benda pejal di otan I ang dibatasi oleh tabung + = dan bidang =, = + = Jawab. D dalam oodinat: a. Catesius: D={(,,),, } b. Tabung: D={(,,), /, } // KALKULUS LANJUT

12 Contoh. Setsa D; D bagian bola + + = di otan I. Jawab. D dalam oodinat: a. Catesius: D={(,,),, } b. Tabung: D={(,,), /, /} // KALKULUS LANJUT

13 Penggantian Peubah dalam Integal Lipat Tiga Definisi misalan =m(u,v,w); =n(u,v,w); =p(u,v,w) maa: f (,,) d dd D dimana u v w J(u, v, w) u v w u v w Jacobian D f (m(u,v,w),n(u,v,w),p(u,v,w)) J(u,v,w) dudvdw // KALKULUS LANJUT

14 Koodinat Katesius Tabung = cos = sin = Matis Jacobianna: J(u, v, w) cos sin sin cos cos sin D f (,,) d dd D f ( cos,sin,) ddd // KALKULUS LANJUT

15 Koodinat Katesius Bola = cos sin = sin sin = cos Matis Jacobianna: J(u, v, w) D f (,,) d dd sin cos sin sin coscos sin sin sin cos cossin cos D f ( sin cos, sin sin, cos) sin ddd sin // KALKULUS LANJUT 5

16 Contoh (Tabung). Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh paaboloid = + dan =. Z = S Jawab. S={(,,),, } Daeah S dalam Koodinat Catesius adalah: S={(,,) -,, + } Dalam oodinat tabung: Sehingga, volume benda pejalna adalah V S dv d d d // KALKULUS LANJUT 6

17 // KALKULUS LANJUT 7 Contoh (Lanjutan) d d d V d d d 8 Jadi volume benda pejalna adalah 8

18 Contoh (bola). Hitung volume bola pejal + + = di otan I Jawab. D dalam oodinat: a. Catesius: D={(,,),, } b. Bola: D={(,,), /, /} Sehingga, volume benda pejalna adalah V dv S / / sin d d d // KALKULUS LANJUT 8

19 Contoh (Lanjutan) V / / / / / sin d d d sin d d / 8 cos d 8 / Jadi volume benda pejalna adalah / // KALKULUS LANJUT 9

20 Contoh D. Hitung dv, dengan D benda pejal ang dibatasi =9 dan bidang.. Hitung volume benda pejal ang di otan I ang dibatasi bola + + = dan + + =.. Hitung volume benda pejal ang di batasi di atas oleh bola + = 5 dan di bawah =.. Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh paaboloid = + dan bidang =. 5. Hitung volume benda pejal ang di batasi oleh bola + + = 9, di bawah oleh bidang = dan secaa menamping oleh tabung + =. // KALKULUS LANJUT

21 // KALKULUS LANJUT Latihan 6. Hitung volume benda pejal ang di dalam bola + + = 9, di lua eucut dan di atas bidang / d d d 7. Hitung 9 d d d 8. Hitung d d d 9. Hitung