BEBERAPA MODIFIKASI METODE NEWTON RAPHSON UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH AKAR GANDA. Supriadi Putra, M,Si

Transkripsi

1 BEBERAPA ODIFIKASI ETODE NEWTON RAPHSON UNTUK ENYELESAIKAN ASALAH AKAR GANDA Suriadi Putra,,Si Laboratorium Komutasi Numeri Jurusan atematia Faultas atematia & Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kamus Binawidya Peanbaru (893 ABSTRAK Dalam maalah ini aan dielasan beberaa bentu etode Newton Rahson untu menyelesaian masalah aar ganda. Dengan melauan simulasi numeri, aan dibandingan hasil omutasi dari etode NewtonRahson (standar dengan modifiasi etode NewtonRahson untu asumsi multilisitas aar dietahui dan tida dietahui. Kata unci : etode NewtonRahson, aar ganda, multilisitas, onvergen linier, onvergen uadrati. PENDAHUHLUAN etode Newton Rahson (uga dienal dengan etoda Newton adalah mentode untu mencari aar ersamaan nonlinear aabila suatu nilai awalnya diberian. etode ini ada rinsinya menggunaan garis tangen. Dalam eruliahan numeri (metoda atauun analisis untu tingat sarana, metoda ini meruaan metoda utama yang sebainya diberian sebagai materi eruliahan. Selain daat menyelesaian aar real, metoda ini uga bisa digunaan untu aar omles atauun ada sistem ersamaan linear. Dengan beberaa alasan ini enulis aan mencoba menelasan beberaa modifiasi dari etoda NewtonRahson ini husus untu menyelesaian ermasalahan aar ganda. Tulisan ini bersumber ada aer dengan udul An Imroved Newton s ethod yang ditulis oleh athews [3]. Dalam eneraannya, formula iterasi NewtonRahson memanfaatan rumus Esansi Taylor. isalnya untu mencari aaraar dari ersamaan f ( =, formula iterasi NewtonRahson ditulisan sebagai : f ( g( = x. ( f '( Diberian nilai awal, maa barisan { } daat dihitung dengan menggunaan : = g untu =,,, L (dienuhi untu f '(. ( ( Disamaian ada SEIRATA BKS PTN Wilayah Barat, FST UIN Syarif Hidayatullah Jaarta, Juli 7

2 Jia nilai awal, cuu deat dengan, barisan yang dibangun dengan menggunaan ersamaan ( aan onvergen e aar. Kadang ala eceatan eonvergenan barisan { } ceat (uadrati aan tetai teradang lambat (liniar. Untu membedaan edua asus ini, beriut aan diberian dua buah definisi. Definisi. isalan { } adalah barisan yang onvergen e, dan tetaan e = untu =,,,K. Jia terdaat suatu onstanta A sedemian hingga e+ lim = A, e maa barisan diataan onvergen uadtri e. Jia terdaat suatu onstanta A e lim e + = A, maa barisan diataan onvergen liniear. Kasus mana yang sedang aan dieraan disini adalah berhubung dengan multilisitas dari aar. (3 (4 Definisi. Jia f( daat difatoran sebagai f ( = ( x h(,,dimana adalah bilangan bulat ositif, (5 dan h( ontinu ada x = dan h(, maa daat diataan bahwa f( memunyai deraat aar ada x =. Deraat aar = dienal dengan istilah aar sederhana, sedangan untu > disebut aar ganda. Hasilhasil beriut sudah sangat dienal dan daat ditemuan dalam referensi tulisan ini. BEBERAPA ODIFIKASI ETODE NEWTONRAPHSON Teorema. [Deraat eonvergenan etode NewtonRahson] isalan barisan { } yang dihasilan dari ersamaan ( onvergen e aar. Jia adalah aar sederhana, maa eonvergenannya adalah uadrati dan

3 3 f ''( e+ e, untu nilai yang cuu besar (6 f '( Jia berderaat, eonvergenan aan linier dan e+, untu nilai yang cuu besar (7 Ada dua cara untu menggunaan Teorema dan menelasan eonvergenan uadrati ada asus anga ganda, sebut saa misalnya etoda A dan B. etoda A. isalan adalah aar dengan deraat >. aa Formula Perceatan Newton Rahson ditulisan sebagai : f ( g( = x. (8 f '( isalan diambil nilai awal yang sangat deat dengan, dan hitung secara iteratif barisan { } menggunaan formula f ( + =,untu =,,,K (9 f '( aa barisan yang dibangun oleh ersamaan (9 aan onvergen secara uadrati e. Selain dari ada itu, ia f ( = ( x h(, maa aan daat ditunuan bahwa fungsi u ( = f ( / f '( memunyai aar yang sederhana ada x =. Dengan menggunaan u( sebagai engganti temat f( ada ersamaan ( aan memberian enelasan etoda B beriut. etoda B. isalan adalah aar dengan deraat >. aa Formula Perceatan Newton Rahson ditulisan sebagai : f ( f '( g( = x. ( f ( f ''( [ f '( ] isalan diambil nilai awal yang sangat deat dengan, dan hitung secara iteratif barisan { } menggunaan formula : f ( f '( + =,untu =,,,K ( f '( f ''( [ f '( ]

4 4 maa barisan yang dibangun oleh ersamaan ( aan onvergen secara uadrati e. Kelemahan etode A dan B. Dalam eneraannya, etode A memunyai elemahan dimana ita harus mengetahui deraat dari aar ersamaan. enentuan nilai aan relatif sulit sebab analisis matematia harus digunaan. Hal ini uga sering dilauan dengan menentuan tururan tingat tinggi dari f(. Dimana, f( = memilii aar deraat ada x = ia dan hanya ia ( ( f ( =, f '( =, f ''( =, L, f ( =, f (. ( Rice (983,. 333 menyaranan cara mencari endeatan. Jia * adalah endeatan yang bai untu dan dan berderaat cuu deat dengan * maa daat ditentuan dengan nilai endeatan : ln( f ( / f (. ln( f ( * / f ( * (3 etoda B memunyai elemahan arena melibatan tiga fungsi f(, f ( dan f (. Aibatnya tentu saa membutuhan omutasi yang cuu mahal. Selain dari ada itu mungin aan teradi bahwa u( buan meruaan fungsi yang ontinu. etoda C. etoda beriut meruaan modifiasi lain etoda NewtonRahson yaitu emaaian secara bersamaan etoda Pencarian Linier dengan etoda Perceatan NewtonRahson seerti diberian oleh ersamaan (8. Nilai beriut daat dihitung dengan menggunaan f ( =, untu =,, K, (3 f '( Selanutnya aan dielasan nilai yang digunaan dalam ersamaan (3, arena nilai ini bagian enting yang belum dietahui. Langah ertama adalah dengan mengambil turunan f( yang terdaat dalam ersamaan (8. f '( = ( x h' ( + ( x h'(. (4 aabila ersamaan (5 dan (4 disubstitusian ada ersamaan ( aan dieroleh g( = x ( x. + ( x h' ( h( Hal ini memunginan untu menulisan embali ersamaan (3 menadi

5 5 = ( (5 + ( h'( h( Dengan asumsi bahwa nilai awal sangat deat dengan, maa aan dieroleh + ( h'( h( = + ε, dimana ε. (6 Iterasi ada ersamaan (5 memenuhi = ( (+ ε, untu =,,K (7 Jia edua ruas ersamaan (7 diurangan dengan, maa aan dieroleh sebagai beriut ε = (. (8 Karena ε /, dan nilai iterasi aan deat dengan aabila bergera dari menuu, yang daat dinyataan sebagai > > L> > L (9 Nilai seerti yang dierlihatan ada gambar. Yang erlu dicatat uga adalah ia iterasi ada ersamaan (5 ontinu untu + dan +, maa f ( + dan + f ( aan lebih besar dari f (. Kenyataan ini daat dibutian dengan menggunaan turunan ada ersamaan ( dan arosimasi Teorema Taylor berderaat untu f( yang diesansian seitar x = yaitu ( f ( f ( = ( x. (!

6 6 Jia lebih deat dengan dari ada i maa ersamaan (9 dan ( memberian imliasi f ( < f (,sehingga dieroleh : f i ( > f ( > L > f ( > L f ( ( Oleh arena itu cara untu menelasan nilai aan berhasil sama seerti eberhasilan yang dieroleh dengan erhitungan nilai menggunaan ersamaan (3 untu =,, K, + samai dienuhi ondisi f ( < f ( Algoritma etoda C. +

7 7 Perhatian bahwa algoritma di atas meruaan etoda Pencarian Linier ada interval (, aabila < atau interval ( o, aabila o <. Dalam algoritma ini, nilai Dx = f( o / f ( o diberian sehingga erhitungan yang tida erlu bisa dihindaran. Setelah titi (, f( ditemuan, maa nilainya aan langsung menggantian ( o, f( o dan roses diulang embali. SIULASI NUERIK Simulasi numeri disini menggunaan comiler Borland Turbo C++ versi 4.5 yang dialanan ada Noteboo berorcessor AD Turion64 dengan seed. GHz serta memori 5 B DDR. Contoh. Dengan menggunaan nilai awal o =.3 bandingan hasil yang dieroleh dari etoda A,B dan C untu mencari aar ganda = dari ersamaan x 3 3x + =. Penyelesaian : Tulisan ersamaan di atas dalam notasi fungsi f( = x 3 3x +. Dengan menurunan f( ita eroleh f ( = 3x 3 dan f ( = 6x. Dengan meneraan metoda A, B dan C aan dieroleh hasil seerti yang diberian oleh tabel beriut. Khusus untu mentoda C semua nilai dalam encarian linier sudah termasu.

8 8 Analisa Dari hasil erhitungan ini daat dilihat bahwa metoda NewtonRahson standar onvergen secara linier sedangan etoda A dan B onvergen secara uadrati. Dengan menggunaan ersamaan ( daat dilihat bahwa nilai = adalah orde dari aar =. Untu contoh di atas, rumus erhitungan g( dalam metoda B : Dalam tabel di atas terlihat uga bahwa semua iterasi dalam etoda A muncul ada etoda C, oleh arenanya subbarisan { } dalam metoda C onvergen secara uadrati. Hanya dierluan sediit tambahan eeraan menghitung nilai fungsi dengan menggunaan etoda C dalam mencari nilai terbai. Bagaimanaun uga, watu yang dibutuhan lebih banya aabila etoda C dibandingan dengan etoda A. KESIPULAN Penggunaan metoda NewtonRahson dalam omutasi numeri sangat banya diaai. Aan tetai metoda ini memilii elemahan dimana nilai awal harus diberian (dietahui dan untu mencaai eonvergenan uadrati nilai awal harus cuu deat dengan nilai sebenarnya. Khusus untu masalah aar ganda, metoda ini mengalami eonvergenan linier. Hal ini disebaban oleh bentu turunan fungsi yang aan digunaan untu menghamiri aar sediit berbeda. Dengan melauan modifiasi seerti etoda A, B dan C di atas, maa eonvergenan secara uadrati daat dicaai. DAFTAR PUSTAKA. Atinson, K.E An Introduction to Numerical Analysis. New Yor : Wiley.. athews, John H. 99. Numerical ethods for Science and Engineering. New Jersey : Prentice Hall. 3. athews, John H An Imroved Newton s ethod, athematical Exosition, Volume, Number : Naamura, S Alied Numerical ethods in C. Singaore : Prentice Hall. 5. Rice, J.R. (983. Numerical ethods, software and analysis : ISL reference edition. New Yor : cgrawhill.