TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG BANACH

Transkripsi

1 TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG BANACH Amanatul Husnia, Haiu Rahman Juusan Matematia Univesitas Islam Negei Maulana Mali Ibahim Malang ABSTRAK Ruang Banach meupaan suatu onsep penting dalam analisis fungsional. Pada tahun 1992, seoang ahli matematia beasal dai Polandia membutian teoema yang menyataan etunggalan titi tetap. Teoema tesebut disebut juga dengan teoema titi tetap Banach. Teoema titi tetap Banach (teoema ontasi) meupaan teoema etunggalan dai suatu titi tetap pada suatu pemetaan yang disebut ontasi dai uang meti lengap e dalam diinya sendii. Pengetian uang Banach sendii adalah uang nom yang lengap, diataan lengap jia baisan Cauchy tesebut onvegen. Penelitian ini betujuan untu mengetahui pembutian titi tetap di uang Banach dengan ondisi yang dibeian yaitu pada pemetaan Kannan dan pemetaan Fishe. Bedasaan hasil pembahasan, dipeoleh bahwa pemetaan Kannan dan pemetaan Fishe mempunyai titi tetap yang tunggal T(x) = x dan pemetaan tesebut meupaan pemetaan titi tetap tehadap diinya sendii di uang meti lengap. Kata Kunci: Titi Tetap, Pemetaan Kontasi, Ruang Meti Lengap, Ruang Banach ABSTRACT Banach space is an impotant concept in functional analysis. In 1992, a mathematician fom Poland poved the uniqueness of fixed point. The theoem is also called Banach fixed point theoem. Banach fixed point theoem (contaction theoem) is a unique fixed point theoem on a mapping called the contaction of a complete metic space into itself. The definition of Banach space itself is a complete nom space, to be said complete if the Cauchy sequence is convegent. This study aims to detemine the evidence of fixed point in Banach space with the given conditions, namely Kannan mapping and Fishe mapping. Based on the esults of the discussion, it is obtained that Kannan mapping and Fishe mapping has a single fixed point T(x) = x and the mapping is a fixed point mapping to itself in a complete metic space. Keywods: Fixed Point, Contaction Mapping, Complete Metic Space, Banach Space PENDAHULUAN Matematia meupaan abstasi dai dunia nyata. Abstasi secaa bahasa beati poses pengabstaan. Abstasi sendii dapat diatian sebagai upaya untu menciptaan definisi dengan jalan memusatan pehatian pada sifat yang umum dai bebagai obje dan mengabaian sifat-sifat yang belainan. Untu menyataan hasil abstasi, dipeluan suatu media omuniasi atau bahasa. Bahasa yang digunaan dalam matematia adalah bahasa simbol. Penggunaan bahasa simbol mempunyai dua euntungan yaitu sedehana dan univesal. Sedehana di sini beati sangat singat dan univesal beati bahwa ahli matematia di belahan bumi manapun aan dapat memahaminya (Abdussai, 2009). Menuut Keyzig (1978:1-2) misalnya dalam analisis fungsional memusatan pehatian pada uang. Hal ini meupaan dasa penting untu mengaji uang Banach, uang noma, uang meti, dan uang Hilbet dengan sangat inci. Dalam hubungan ini onsep uang yang digunaan dalam uang Banach mempunyai ati yang sangat luas. Ruang Banach adalah uang noma yang lengap, atinya bahwa uang Banach adalah uang noma, uang yang memenuhi sifat-sifat uang noma, diataan lengap bahwa baisan Cauchy tesebut onvegen (Wilde, 2003:84). Ruang Banach meupaan suatu onsep penting dalam analisis fungsional. Pada tahun 1992, seoang ahli matematia beasal dai Polandia membutian teoema yang menyataan ebeadaan dan etunggalan suatu titi tetap. Teoema tesebut disebut juga dengan teoema titi tetap Banach atau pinsip ontasi Banach. Teoema ini menyediaan teni untu memecahan bebagai masalah yang diteapan dalam matematia sains (ilmu matematia) dan ilmu teni. Teoema titi tetap Banach (teoema ontasi) meupaan teoema etunggalan dai

2 Teoema Titi Tetap di Ruang Banach suatu titi tetap pada suatu pemetaan yang disebut ontasi dai uang meti lengap e dalam diinya sendii. KAJIAN TEORI 1. Ruang Meti Ruang meti mempejelas onsep jaa. Definisi dai meti bemanfaat untu mengetahui apliasi yang lebih umum dai onsep jaa. Di dalam alulus dipelajai tentang fungsi-fungsi yang tedefinisi dalam gais bilangan eal R. Di dalam bilangan eal R tedefinisi fungsi jaa, yaitu memasanganan d(x, y) = x y dengan setiap pasangan titi x, y R, jadi R mempunyai fungsi jaa atau disebut dengan d, dimana jaa d (x, y) = x y dengan setiap pasangan titi x, y R (Keyszig, 1978:2-3). Definisi Ruang meti (X, d), dimana X meupaan himpunan dan d meupaan meti di X (fungsi jaa X) yaitu fungsi yang didefinisian pada X X untu setiap x, y, z X, sehingga dipeoleh 1. d(x, y) 0 (d adalah benilai eal, tebatas, dan tida negatif) 2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) (simeti) 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (etasamaan segitiga) (Keyszig, 1978:3). Didefinisian fungsi d: R 2 R 2 R yaitu d(a, b) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 dengan a = (x 1, x 2 ) dan b = (y 1, y 2 ). Tunjuan bahwa fungsi d adalah meti! Definisi (Peseitaan) Misalan (X, d) adalah uang meti, maa untu suatu ε > 0, peseitaan titi di x 0 X meupaan himpunan v ε (x 0 ) = {x X: d(x 0, x) < ε} (Shebet dan Batle, 2000:329). 2. Himpunan Tebua dan Himpunan Tetutup Definisi Misalan (X, d) adalah uang meti, untu sebaang x X dan setiap > 0, himpunan-himpunan 1. B x () = (y X d(x, y) < ) disebut bola tebua 2. B x () = (y X d(x, y) ) disebut bola tetutup (Rynne dan Youngson, 2008:13). a. Dietahui uang meti (X, d) dengan meti d(x, y) = x y b. B(0,1) = (y X 1 < y < 1) disebut bola tebua bepusat di 0 dengan jai-jai 1 pada uang meti (X, d). c. Dietahui uang meti (X, d) dengan meti d(x, y) = x y d. B(0,1) = (y X 1 y 1) disebut bola tetutup bepusat di 0 dengan jai-jai 1 pada uang meti (X, d). Definisi (Titi Inteio) Titi p disebut suatu titi inteio himpunan E jia tedapat suatu peseitaan dai p yang meupaan subset dai E (Soemanti, 1988). Definisi (Himpunan Tebua) Himpunan E disebut himpunan tebua jia setiap anggotanya meupaan titi inteio himpunan E (Soemanti, 1988). Definisi (Titi Limit) Misalan A R, suatu titi c R disebut titi limit jia untu setiap δ > 0 tedapat paling sediit satu titi x A, x c sedemiian sehingga x c < δ (Batle dan Shebet, 2000:97). Menuut Soemanti (1988) titi p X disebut titi limit himpunan E subset X, bila setiap seita titi p memuat paling sediit satu titi q X dan q p. Definisi (Himpunan Tetutup) Himpunan E disebut tetutup jia semua titi limitnya temuat di dalam E (Soemanti, 1988). Definisi (Himpunan Tebatas) Himpunan E dalam uang meti (X) disebut tebatas jia tedapat titi p X dan bilangan M > 0 sehingga untu setiap x X, maa jaa d(p, x) M (Soemanti, 1988). 3. Keonvegenan dan Kelengapan Definisi (Baisan Tebatas) Baisan x n di uang meti X = (X, d) disebut baisan tebatas jia daeah jangauan (ange) dai baisan tesebut meupaan himpunan bagian tebatas di X (Soemanti, 1988). Cauchy ISSN:

3 Amanatul Husnia, Haiu Rahman Definisi (Baisan Konvegen) Baisan x n di uang meti X = (X, d) diataan onvegen jia ada x X, maa lim d(x n, x) = 0 n x disebut limit dai x n dapat juga ditulis dengan lim x n = x n atau x n x Baisan x n yang tida onvegen disebut divegen (Keyszig, 1978:25). Teoema Jia baisan x n onvegen di dalam uang meti (X, d), maa baisan x n tesebut tebatas dan limit baisan x n tunggal. Definisi (Baisan Cauchy) Baisan x n di dalam uang meti (X, d) diataan baisan Cauchy jia untu setiap ε > 0, tedapat N N sedemiian sehingga untu semua m, n > N belau d(x m, x n ) < ε (Ghozali, 2010:12). Teoema Setiap baisan yang onvegen dalam suatu meti (X, d) meupaan baisan Cauchy Definisi (Ruang Meti Lengap) Ruang meti (X, d) diataan lengap jia setiap baisan Cauchy onvegen di dalam X (Shebet dan Batle, 2000:330). 4. Ruang Veto Benoma Definisi (Ruang Veto Benoma) Ruang veto benoma adalah uang veto X dengan pemetaan : X R +, dengan sifat-sifat 1. x = 0 jia dan hanya jia x = 0 (x X) 2. x = x untu setiap x X dan sala 3. x + y x + y untu setiap x, y X Ruang veto benoma ini dinotasian dengan (x, ) dan pemetaan ini disebut noma pada uang (Cohen, 2003:174). Misalan X meupaan uang veto bedimensi hingga di F dengan basis {e 1, e 2, e 3,, e n } yang mana x X dapat juga ditulis dengan x = n j=1 λ j e j dengan λ 1, λ 2, λ 3,, λ n F. Maa fungsi x : X R didefinisian dengan Meupaan noma di X n x = ( λ j 2 ) 1 2 j=1 5. Keonvegenan dalam Ruang Benoma Menuut Cohen (2003:178) dalam mempetimbangan uang benoma menjadi uang meti dapat dietahui dengan satu caa. Kemudian gagasan yang teait pada eonvegenan baisan di uang meti dapat dipindahan e uang benoma. Oleh sebab itu, dapat disimpulan dengan baisan x n di uang noma onvegen jia tedapat bilangan ε > 0 dan tedapat elemen x X seta tedapat bilangan bulat positif N sepeti x n x < ε dimana n > N dapat ditulis dengan x n x atau lim xn = x dan x disebut limit pada baisan. Definisi (Ruang Banach) Setiap uang veto benoma yang lengap disebut uang Banach (Cohen, 2003:178). 6. Teoema Titi Tetap Definisi Misalan T meupaan pemetaan dai uang meti (X, d) e dalam diinya sendii a. Sebuah titi x X sedemiian sehingga T(x) = x maa x disebut titi tetap pada pemetaan T b. Jia ada, dengan 0 < < 1, maa untu setiap pasangan dai titi x, y X dipeoleh d(t x, T y ) d(x, y) Kemudian T disebut pemetaan ontasi atau ontasi sedehana, sedangan disebut ontasi onstan di T (Cohen, 2003:116). Teoema Jia T adalah pemetaan ontasi di uang meti X maa T ontinu di X. Teoema (Teoema Titi Tetap/ Titi Tetap Banach) Setiap pemetaan ontasi di uang meti lengap hanya mempunyai titi tetap tunggal. 7. Pemetaan Definisi (Pemetaan) Misalan X dan y adalah uang meti. Pemetaan T dai himpunan X e himpunan Y dinotasian dengan T: X Y adalah suatu 118 Volume 3 No. 2 Mei 2014

4 Teoema Titi Tetap di Ruang Banach pengawanan setiap x X diawanan secaa tunggal dengan y Y dan ditulis y = T(x). Definisi (Pemetaan Kontinu) Misalan X = (X, d 1 ) dan Y = (Y, d 2 ) adalah uang meti. Pemetaan T: X Y diataan ontinu di titi x 0 X jia untu setiap ε > 0 tedapat δ > 0 sedemiian sehingga untu setiap x X dengan d 1 (x, x 0 ) < δ maa belau d 2 (T(x), T(x 0 )) < ε Pemetaan T diataan ontinu pada X jia T ontinu di setiap titi anggota X. Definisi (Komposisi Pemetaan) Misalan A, B dan C adalah uang meti. jia f: A B dan g: B C maa omposisi pemetaan gof meupaan pemetaan dai A C yang didefinisian (gof)(x) = g(f(x)) untu setiap x X Komposisi (fof)(x) = f(f(x)) = f 2 (x) dan jia omposisi sebanya n suu, maa (fofofo of) = f n (x) Definisi (Pemetaan Kontasi) Misalan (X, d) meupaan uang meti. Pemetaan T: X X diataan pemetaan ontasi, jia ada onstanta c dengan 0 c 1 belau d(t(x)t(y)) cd(x, y) untu setiap x, y X PEMBAHASAN Dalam matematia teoema titi tetap Banach juga dienal sebagai teoema pemetaan ontasi yang meupaan alat penting dalam teoi uang meti, untu menjamin ebeadaan dan etunggalan titi tetap pemetaan dii pada uang meti, dan menyediaan metode ontasi untu menemuan titi tetap (Banach, 1992:133). Teoema Misalan T adalah pemetaan ontasi pada uang meti (X, d) e dalam diinya sendii. Maa T n adalah pemetaan Kannan, untu setiap n adalah bilangan bulat positif (Kannan, 1969:71-78). Buti Menuut definisi pemetaan ontasi (definisi 2.7.4) bahwa misalan (X, d) meupaan uang meti. Pemetaan T: X X diataan pemetaan ontasi, jia ada onstanta c dengan 0 c 1 sehingga untu setiap x, y X. d(t(x)t(y)) cd(x, y) Seaang aan ditunjuan bahwa T n adalah pemetaan Kannan, jia ada onstanta dengan 0 1 sehingga d(t n (x), T n (y)) [d(t(x), x) + d(t(y), y)] untu setiap x, y X. d(t n (x), T n (y)) = d(tt n 1 (x), TT n 1 (y)) cd(t n 1 (x), T n 1 (y)) = cd(tt n 2 (x), TT n 2 (y)) c 2 d(t n 2 (x), T n 2 (y)) Sehingga dipeoleh d(t n (x), T n (y)) c n d(x, y) (3.1) untu setiap x, y X. Kaena d(x, y) d(t n (x), x) + d(t n (x), T n (y)) + d(t n (y), y) Dengan menggunaan etasamaan (3.1), maa dipeoleh d(t n (x), T n (y)) c n d(x, y) c n [d(t n (x), x) + d(t n (x), T n (y)) + d(t n (y), y)] = c n d(t n (x), x) + c n d(t n (x), T n (y)) + c n d(t n (y), y) Sehingga mengaibatan (1 c n )d(t n (x), T n (y)) c n [d(t n (x), x) + d(t n (y), y)] d(t n (x), T n (y)) cn (1 c n ) [d(tn (x), x) + d(t n (y), y)] (3.2) untu setiap x, y X. Kaena c < 1, maa dapat diambil n sebaang dengan c n < 1 3, sehingga (1 c n ) > (1 c n ) > 2 3 atau 1 Oleh aena itu Dimana < 3 (1 c n ) 2 c n < 1 (1 c n ) 2 c n (1 c n ) =, dengan menggunaan etasamaan (3.2) dipeoleh d(t n (x), T n (y)) [d(t n (x), x) + d(t n (y), y)] untu setiap x, y X, dimana Sehingga tebuti bahwa T n adalah pemetaan Kannan. Cauchy ISSN:

5 Amanatul Husnia, Haiu Rahman Misalan X adalah himpunan bilangan eal dengan 2 < x < 2 dan didefinisian meti dengan d(x, y) = x y T adalah pemetaan pada uang meti (X, d) e dalam diinya sendii dengan Maa x Tx = { 4, x 1 x 4, 1 < x < 2 d(tx, Ty) = Tx Ty Tx + Ty = x 4 + x 4 Sehingga mengaibatan d(tx, Ty) 1 x + y (3.3) 4 untu setiap x, y X. d(x, Tx) = x Tx x Tx dan d(y, Ty) = y Ty y Ty Sehingga d(x, Tx) + d(y, Ty) x Tx + y Ty Maa = x x 4 + y y 4 = x (1 1 4 ) + y (1 1 4 ) = x ( 3 4 ) + y (3 4 ) = 3 ( x + y ) 4 d(x, Tx) + d(y, Ty) 3 ( x + y ) (3.4) 4 Oleh aena itu, dengan menggunaan etasamaan (3.3) dan (3.4) dipeoleh d(tx, Ty) 1 [d(x, Tx) + d(y, Ty)] 3 untu setiap x, y X. Jadi, tebuti bahwa T adalah pemetaan Kannan. Dai teoema dan contoh di atas aan ditunjuan bahwa pemetaan Kannan mempunyai titi tetap yang tunggal. Petama aan ditunjuan bahwa uang meti (X, d) adalah lengap, dapat dietahui bahwa ondisi pemetaan Kannan adalah d(t(x), T(y)) [d(t(x), x) + d(t(y), y)] (3.5) untu setiap x, y X, dimana 0 < 1 2. d(t n (x), T n+1 (x)) = d(tt n 1 (x), TT n (x)) Dengan menggunaan etasamaan (3.5), dipeoleh d(t n (x), T n+1 (x)) [d(t n 1 (x), T n (x)) + d(t n (x), T n+1 (x))] Mengaibatan (1 )d(t n (x), T n+1 (x)) d(t n 1 (x), T n (x)) d(t n (x), T n+1 (x)) (1 ) d(tn 1 (x), T n (x)) (3.6) Dengan mengubah n menjadi n 1 dai pesamaan di atas, dipeoleh d(t n 1 (x), T n (x)) (1 ) d(tn 2 (x), T n 1 (x)) Maa dai etasamaan (3.6), dipeoleh d(t n (x), T n+1 (x)) (1 ) (1 ) d(tn 2 (x), T n 1 (x)) = ( (1 ) )2 d(t n 2 (x), T n 1 (x)) ( (1 ) )n d((x), T(x)) untu setiap x, y X, dimana 0 < 1 2. d(t n (x), T n+ (x)) d(t n (x), T n+ (x)) + d(t n+1 (x), T n+2 (x)) + + d(t n+ 1 (x), T n+ (x)) Dengan menggunaan etasamaan segitiga, dipeoleh d(t n (x), T n+ (x)) ( (1 ) )n d((x), T(x))+ ( (1 ) )n+1 d((x), T(x)) + + ( (1 ) )n+ 1 d((x), T(x)) = ( (1 ) )n [1 + ( ) + ( (1 ) (1 ) )2 + + ( (1 ) )n+ 1 ] d((x), T(x)) ( (1 ) )n [1 + ( ) + ( (1 ) (1 ) )2 + + ] d((x), T(x)) Dengan asio (1 ) onvegen yaitu onvegen tehadap < 1, maa baisan tesebut 1 1 ( ). (1 ) Maa ( (1 ) ) + ( (1 ) ) = = 1 ( (1 ) ) Dai pesamaan di atas dipeoleh Volume 3 No. 2 Mei 2014

6 Teoema Titi Tetap di Ruang Banach d(t n (x), T n+ (x)) n ( (1 ) ) ( 1 ) d((x), T(x)) 1 2 Kaena baisan T n (x) adalah baisan Cauchy yang onvegen maa x mempunyai titi tetap tunggal yaitu T(x) = x. Teoema Misalan x, y X dan, β [0, 1 2 ] dengan d(t(x), T(y)) [d(t(x), x) + d(t(y), y) + βd(x, y)] Maa T mempunyai titi tetap tunggal di X (Fishe, 1976: ). Buti Ambil titi x 0 X dan x n baisan di X didefinisian dengan x n = Tx n 1, n N Maa x 0, x 1 = T(x 0 ), x 2 = T(x 1 ), x 3 = T(x 2 ),, x n 1 = T(x n 2 ), x n = T(x n 1 ) Aan ditunjuan bahwa x n adalah baisan Cauchy d(x 1, x 2 ) = d(t(x 0 ), T(x 1 )) [d(t(x 0 ), x 0 ) + d(t(x 1 ), x 1 )] + βd(x 0, x 1 ) = [d(x 1, x 0 ) + d(x 2, x 1 )] + βd(x 0, x 1 ) = [d(x 1, x 2 ) + d(x 0, x 1 )] + βd(x 0, x 1 ) d(x 1 0, x 1 ) + βd(x 0, x 1 ) d(x 2, x 3 ) = d(t(x 1 ), T(x 2 )) [d(t(x 1 ), x 1 ) + d(t(x 2 ), x 2 )] + βd(x 1, x 2 ) = [d(x 2, x 1 ) + d(x 3, x 2 )] + βd(x 1, x 2 ) = [d(x 2, x 3 ) + d(x 1, x 2 )] + βd(x 1, x 2 ) 1 d(x 1, x 2 ) + βd(x 1, x 2 ) ( 1 )2 d(x 0, x 1 ) + β 2 d(x 0, x 1 ) d(x 3, x 4 ) = d(t(x 2 ), T(x 3 )) [d(t(x 2 ), x 2 ) + d(t(x 3 ), x 3 )] + βd(x 2, x 3 ) = [d(x 3, x 2 ) + d(x 4, x 3 )] + βd(x 2, x 3 ) = [d(x 3, x 4 ) + d(x 2, x 3 )] + βd(x 2, x 3 ) 1 d(x 2, x 3 ) + βd(x 2, x 3 ) ( 1 )3 d(x 0, x 1 ) + β 3 d(x 0, x 1 )... d(x n, x n 1 ) = d(t(x n ), T(x n 1 )) [d(t(x n ), x n ) + d(t(x n 1 ), x n 1 )] + βd(x n, x n 1 ) = [d(x n, x n 1 ) + d(x n+1, x n )] + βd(x n, x n 1 ) = [d(x n 1, x n+1 ) + d(x n, x n 1 )] + βd(x n, x n 1 ) d(x 1 n, x n 1 ) + βd(x n, x n 1 ) ( 1 )n d(x n, x n 1 ) + β n d(x n, x n 1 ) Secaa umum dipeoleh jia m meupaan bilangan bulat positif maa belau d(x m, x m+1 ) ( 1 )m d(x 0, x 1 ) + β m d(x 0, x 1 ) = (q) m d(x 0, x 1 ) + m d(x 0, x 1 ) (3.7) dengan q = 1 dan = β. Kaena, β [0, 1 ], jelas bahwa 0 < q < 1 dan 2 0 < < 1 Ambil ε > 0 dan ambil bilangan n, m N dengan sifat etasamaan segitiga pada meti dan jumlah dai baisan geometi, didapatan untu n > m d(x m, x n ) d(x m, x m+1 ) + d(x m+1, x m+2 ) + d(x m+2, x m+3 ) + + d(x n 1, x n ) (q m + q m+1 + q m+2 + q m q n 1 )d(x 0, x 1 ) + ( m + m+1 + m+2 + m n 1 )d(x 0, x 1 ) q m (1 + q + q 2 + q q n m 1 )d(x 0, x 1 ) + m ( n m 1 ) d(x 0, x 1 ) = q m n m 1 i=0 q i d(x 0, x 1 ) + m n m 1 i=0 i d(x 0, x 1 ) = q m i=0 q i d(x 0, x 1 ) + m i=0 i d(x 0, x 1 ) (3.8) Kaena 0 < q < 1 dan 0 < < 1, maa deet i=0 q i pada etasamaan (3.8) onvegen 1 e dan deet i=0 i 1 onvegen e 1 q Sehingga dipeoleh d(x m, x n ) untu n > m > N. 1 qm 1 q d(x 0, x 1 ) + m 1 d(x 0, x 1 ) Kaena lim m q m = 0 dan lim m m = 0, maa lim m d(x m, x n ) = 0 maa x n adalah baisan Cauchy. Kaena X lengap, maa x n onvegen. Kataan x n x. Atinya sedemiian sehingga jia N N, untu setiap n N belau d(x n, x) < ε 2 Aan ditunjuan bahwa x adalah titi tetap dai pemetaan T. Dai sifat etasamaan segitiga dan pinsip Fishe, didapatan d(x, T(x)) d(x, x n ) + d(x n, T(x)) = d(x, x n ) + (T(x n 1 ), T(x)) d(x, x n ) + [d(t(x n 1 ), x n 1 ) + d(t(x), x)] + βd(x n 1, x) Kaena x n x dipeoleh etasamaan d(x, T(x)) < ε 2 + [d(t(x n 1 ), x n 1 ) + d(t(x), x)] + βd(x n 1, x) Cauchy ISSN:

7 Amanatul Husnia, Haiu Rahman < ε 2(1 ) + ( 1 ) d(t(x n 1 ), x n 1 ) + βd(x n 1, x) = ε 2(1 ) + ( 1 ) d(x n 1, x n ) + βd(x n 1, x) Menuut etasamaan (3.8) d(x n 1, x n ) ( n 1 1 ) d(x 0, x 1 ) + (β) n 1 d(x 0, x 1 ) Sehingga dipeoleh d ε + ( ) ( 2(1 ) 1 1 )n 1 d(x 0, x 1 ) + ( β 1 β )n 1 d(x 0, x 1 ) + βd(x n 1, x) = ε + ( 2(1 ) 1 )n d(x 0, x 1 ) + ( β 1 β )n d(x 0, x 1 ) = ε + 2(1 ) qn d(x 0, x 1 ) + () n 1 d(x 0, x 1 ) Untu n, maa q n 0 dan n 0, sehingga ε d(x, T(x)) < 2(1 ) Kaena ε sebaang, maa d(x, T(x)) = 0 atau T(x) = x, dengan demiian tebuti bahwa pemetaan Fishe pada X yang lengap mempunyai titi tetap tunggal. Misalan x n adalah baisan Cauchy di l 2 Aan ditunjuan bahwa baisan di l 2 tesebut onvegen, untu setiap n N dan x n = (x n1, x n2, x n3, ) yang telah didefinisian pada uang l 2 atau =1 x n 2 onvegen tehadap n. Dimana x n adalah baisan Cauchy, untu setiap ε > 0 tedapat bilangan bulat positif N, sehingga x n x m 2 < ε =1 dengan m, n > N. Dengan menggunaan definisi l 2, dipeoleh sehingga =1 x n x m 2 < ε 2, m, n > N x n x m < ε, m, n > N untu setiap N. Maa untu setiap, (x n ) adalah baisan Cauchy di C sehingga lim n x n ada etia C meupaan uang meti lengap. lim n x n dimana x = (x 1, x 2, x 3, ) Aan ditunjuan bahwa x l 2 dan x n onvegen tehadap x. Maa l 2 dapat diataan lengap =1 x n x m 2 < ε 2, m, n > N Dapat dipehatian bahwa = 1,2,3, Maa n meupaan titi dan lim m x m = x Ambil titi =1 x n x 2 < ε 2, n > N (a 1, a 2, a 3,, a ), (b 1, b 2, b 3,, b ), (c 1, c 2, c 3,, c ) C dengan menggunaan etasamaan segitiga di C, dipeoleh a c 2 =1 a b 2 =1 + b c 2 =1 Misalan a = x, b = x n dan c = 0, sehingga dipeoleh x 2 =1 x x n 2 =1 ε + =1 x n 2 ε + =1 x n 2 + x n 2 =1 Jia n > N dan onvegen tehadap =1 x n 2, tentu x l 2. Oleh aena itu, dapat dilihat pada etasamaan segitiga sebelumnya x n x 2 < ε, n > N =1 Yang mengaibatan bahwa baisan x n onvegen tehadap x dan l 2 adalah lengap. PENUTUP Dai pembahasan pada bab sebelumnya, dapat ditai esimpulan bahwa teoema titi tetap Banach juga dienal sebagai teoema pemetaan ontasi, sebelum mencai etunggalan titi tetap dapat dicai elengapan uang meti, diataan lengap jia suatu baisan Cauchy tesebut onvegen, sehingga dapat dibutian bahwa teoema titi tetap di uang Banach mempunyai titi tetap yang tunggal. Dalam membutian teoema titi tetap di uang Banach, dipeluan suatu teoema yaitu: Pemetaan Kannan d(t(x), T(y)) [d(t(x), x) + d(t(y), y)] untu setiap x, y X dan [0, 1 ], maa T mempunyai titi tetap tunggal 2 di X. Dan Pemetaan Fishe d(t(x), T(y)) [d(t(x), x) + d(t(y), y) + βd(x, y)] untu setiap x, y X dan, β [0, 1 ], maa T mempunyai 2 titi tetap tunggal di X. 122 Volume 3 No. 2 Mei 2014

8 Teoema Titi Tetap di Ruang Banach 1. Saan Dalam penulisan sipsi ini, penulis menggunaan pemetaan Kannan dan pemetaan Fishe untu membutian titi tetap di uang Banach. Oleh aena itu penulis membeian saan epada pembaca yang tetai pada pemasalahan ini supaya mengembangannya dengan menggunaan pada fungsi uang yang lainnya BIBLIOGRAPHY [13] Rynne, B.P. and Youngson, M.A Linea Functional Analysis. New Yo: Spingge- Velag. [14] Soemanti Analisis Real 1. Jaata: Univesitas Tebua [15] Wijaya, B.T Spectum Detou Gaf m- Patisi Komplit. Sipsi S1. Malang: UIN Maulana Mali Ibahim Malang. [16] Wilde, F.I Topological Vecto Space. London. [1] Abdussai Pentingnya Matematia dalam Pemiian Islam: State Islamic Univesity of Malang. (Online: diases 20 Desembe 2013). [2] Al-Mahali, M.J.A. dan As-Suyuthi, A.J.A Tafsi Jalalain 1. Suabaya: Bina Ilmu Suabaya [3] Al-Maaghi, M.A Tafsi Al-Maaghi 2. Mesi: Musthafa Al-Babi Al-Halabi [4] Banach, S Su Les Opeations Dans Les Ensembles Abstaits Et Leu Application Aux Equations Integales, Fund. Math [5] Batle, R.G. and Shebet, D.R.. (2000). Intoduction to Real Analysis, Thid Edition. New Yo: John Wiley and Sons. [6] Cohen, G A Couse in Moden Analysis and Its Applications. United States of Ameica: Cambidge Univesity Pess. [7] Fishe A fixed Point Theoem fo Compact Metic space. Publ. Inst. Math. 25, [8] Ghozali, M.S Analisis Real 1. Bandung. Pusat Pebuuan Depatemen Pendidian [9] Keyzig, E Intoductoy Functional Analysis with Application. United States of Ameica. [10] Kannan, R Some Result on Fixed Point Theoems, Bull. Calcutta. Math. Soc, Vol. 60, [11] Nasoetion, A.H Landasan Matematia. Jaata: PT. Bhaataa Kaya Asaa. [12] Quth, S Tafsi Fi Dzilalil Qu an jilid 24. Jaata: Bina Insani Cauchy ISSN: