BEBERAPA SIFAT HIMPUNAN KRITIS PADA PELABELAN AJAIB GRAF BANANA TREE. Triyani dan Irham Taufiq Universitas Jenderal Soedirman

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal BEBERAPA SIFAT HIMPUNAN KRITIS PADA PELABELAN AJAIB GRAF BANANA TREE Triyani dan Irham Taufiq Universitas Jenderal Soedirman trianisr@yahoo.com.au ABSTRACT. A critical set in edge magic total labeling on graph G is a subset label such that it can forms the edge magic total labeling uniquely. This paper investigate critical set on Banana Tree graph. The result shows some properties of critical set on Banana Tree graph, such as the size of it at least ( n 1), where n is number of leaf and is number of star, except the size of critical set on graph BT(1,1) is 2. Beside it, if x is the label of any leaf and y is the label of the edge adjacent to it then each critical set in λ must contain either x or y, not both. Keywords : properties of critical set, edge magic total labeling, Banana Tree graph. ABSTRAK. Sebuah himpunan ritis pada pelabelan total sisi ajaib pada graf G merupaan subhimpunan label sedemiian sehingga label tersebut membangun pelabelan total sisi-ajaib secara tunggal. Pada artiel ini diselidii semua emunginan himpunan ritis pada pelabelan total sisi ajaib graf Banana Tree. Hasil penelitian menunjuan bahwa terdapat beberapa sifat himpunan ritis pada graf Banana Tree, yaitu minimal beruuran ( n 1), dengan n menyataan banyanya daun dari graf bintang dan menyataan banyanya graf bintang ecuali himpunan ritis pada graf BT(1,1) beruuran 2. Selain itu, jia x adalah label dari titi daun dan y adalah label dari sisi yang bersisian dengan x, maa setiap himpunan ritis dalam λ harus memuat x atau y, tapi tida eduanya. Kata Kunci : Karateristi himpunan ritis, pelabelan total sisi ajaib, graf Banana Tree 1. PENDAHULUAN Sebuah himpunan ritis pada pelabelan suatu graf adalah subhimpunan label dan posisi label tersebut yang apabila dilengapi aan menghasilan pelabelan graf secara tunggal (Imron d., 2007). Salah satu onsep dari himpunan ritis yaitu penentuan suatu garis pada bidang datar (Sudarsana dan Junaidi, 2008). Penentuan sebuah garis pada bidang datar membutuhan paling sediit dua buah titi sebagai dasar untu mengetahui emiringannya. Jia hanya

2 272 Triyani dan Irham Taufiq diberian sebuah titi maa ada ta hingga banya emunginan persamaan garis yang dapat dibuat. Menurut Basoro (2007), masalah menentuan himpunan ritis dari suatu pelabelan graf merupaan masalah yang tida mudah arena emunginan dari subhimpunan label pada graf tersebut sangat banya, emudian masing-masing subhimpunan tersebut dicari subhimpunan label yang dapat membangun pelabelan graf secara tunggal. Salah satu jenis dari pelabelan graf adalah pelabelan total sisi ajaib. Pelabelan total sisi ajaib pada graf G adalah fungsi betif yang memetaan setiap titi dan sisi e bilangan bulat positif sedemiian sehingga jumlah label dua buah titi dan sebuah sisi yang bersisian dengan edua titi tersebut adalah sama. Graf yang dapat dilabeli dengan pelabelan total sisi ajaib selanjutnya disebut graf sisi ajaib. Beberapa ajian tentang himpunan ritis pada pelabelan total sisi ajaib telah dilauan antara lain: himpunan ritis dalam pelabelan total sisi ajaib pada graf Star (Basoro, 2005) dan himpunan ritis dalam pelabelan total sisi ajaib pada graf Caterpilar (Imron d., 2007). Pada artiel ini aan dibahas tentang sifat-sifat himpunan ritis pada pelabelan total sisi ajaib graf Banana Tree. Graf Banana Tree adalah graf pohon yang dibentu dari gabungan terpisah graf bintang dengan menambahan sebuah titi baru yang terhubung dengan sebuah titi daun dari setiap graf bintang. Adapun sistematia penulisan artiel ini adalah bagian pertama pendahuluan yang menguraian latar belaang masalah, rumusan masalah, beberapa hasil ajian yang telah dilauan dan tujuan penulisan. Bagian e dua membahas himpunan titi dan sisi pada graf Banana Tree yang meliputi pendefinisian dan ardinalitas himpunan titi dan sisi pada graf Banana Tree. Pada bagian e tiga membahas pelabelan total sisi ajaib graf Banana Tree yang menguraian lemma dan teorema yang digunaan dalam penulisan artiel. Bagian e empat membahas beberapa sifat himpunan ritis pada pelabelan graf Banana Tree. Bagian e lima pada artiel ini adalah esimpulan yang menguraian simpulan dari bagian sebelumnya.

3 Beberapa Sifat Himpunan Kritis HIMPUNAN TITIK DAN SISI PADA GRAF BANANA TREE Graf Banana Tree dinotasian dengan BT ( n1, n2,..., n ) merupaan graf pohon yang terdiri dari gabungan terpisah graf bintang dengan menambahan sebuah titi yang terhubung dengan sebuah titi daun dari setiap graf bintang. Notasi ni menyataan banyanya titi daun dari graf bintang e-i dan menyataan banyanya graf bintang. a 13 a1n 1 a2n 2... a 12 a 11 a 23 a 22 a 21 a 3... a n... a2 a 1... c 1 c 2 c a Gambar 1. Graf Banana Tree Himpunan titi pada graf Banana Tree BT ( n1, n2,..., n ) didefinisian dengan V ( BT ( n1, n2,..., n )) { a} { ci 1 i } { a 1 i ;1 j ni}, dan himpunan sisinya didefinisian dengan E( BT ( n, n,..., n )) { aa 1 i } { c a 1 i ;1 j n }. Notasi ci i1 i i menyataan titi pusat pada graf bintang e-i, a menyataan sebuah titi baru, dan a menyataan titi daun e-j pada graf bintang e-i. Banyanya titi pada BT ( n1, n2,..., n ) adalah sebuah titi ditambah dengan banyanya titi dari setiap graf bintang. Jia graf bintang e-i dinotasian sebagai banyanya titi pada graf Banana Tree adalah S n, maa i V ( BT ( n, n,..., n )) 1 V ( S ) V ( S )... V ( S ) n1 n2 n 1 ( n 1) i1 1 ni. i i1

4 274 Triyani dan Irham Taufiq Karena graf Banana Tree merupaan graf pohon, maa banyanya sisi pada graf Banana Tree adalah E( BT( n, n,..., n )) V( BT( n, n,..., n )) 1 ni. i1 Aibatnya, banyanya bilangan positif yang dibutuhan untu melabeli titi dan sisi pada graf Banana Tree BT ( n1, n2,..., n ) adalah V ( BT ( n, n,..., n )) E( BT ( n, n,..., n )) 1 n n i i i1 i1 =1+2( n ) i1 i 3. PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BANANA TREE Bentu husus dari pelabelan total sisi ajaib adalah pelabelan super total sisi ajaib, yaitu pelabelan total sisi ajaib yang label titinya adalah bilangan positif terurut 1, 2,, VG ( ). Lemma beriut dapat digunaan sebagai acuan dalam menentuan sifat dalam himpunan ritis pada pelabelan graf. Lemma 3.1 (Figueroa-Centeno d., 2001). Sebuah graf G dengan VG ( ) menyataan banyanya titi pada graf G dan EG ( ) menyataan banyanya sisi pada graf G adalah graf super total sisi ajaib jia dan hanya jia terdapat fungsi betif : V ( G) 1,2,..., V ( G) sedemiian sehingga S ( x) ( y) xy E( G) adalah sebuah himpunan yang terdiri dari bilangan bulat berturutan. Selanjutnya, disebut pelabelan super total sisi ajaib dari graf G dengan onstanta ajaib h V( G) E( G) s dengan s min{ z z S} dan S ( x) ( y) xy E( G) h V ( G) 1, h V ( G) 2,..., h V ( G) E( G).

5 Beberapa Sifat Himpunan Kritis 275 Teorema 3.2. (Hussain, d., 2009). G BT ( n1, n2,..., n ) diataan graf super total sisi ajaib jia n1 n2... n n dan n BEBERAPA SIFAT HIMPUNAN KRITIS PADA PELABELAN AJAIB GRAF BANANA TREE Menurut Imron d (2007), Sebuah himpunan ritis pada pelabelan suatu graf adalah subhimpunan label dan posisi label tersebut yang jia dilengapi aan menghasilan pelabelan tersebut secara tunggal. Secara sederhana jia diberian subhimpunan label suatu graf dan posisinya, apaah himpunan tersebut hanya membangun graf yang sama dengan pelabelannya secara tunggal? Jia ya maa himpunan tersebut adalah himpunan ritis. Sebelum menguraian sifat himpunan ritis pada graf BT ( n1, n2,..., n ), beriut diberian contoh label posisi (gambar 2a) dan pelabelan graf total sisi ajaib pada graf BT(1,1) (gambar 2b). Himpunan pasangan terurut dari label posisi dan pelabelan total sisi ajaib pada graf BT(1,1) dapat ditulis sebagai (1,4),(2,8),(3,1),(4,9),(5,3),(6,7),(7,2),(8,6),(9,5). Setiap satu elemen dari himpunan pasangan terurut ini buan merupaan himpunan ritis, sebab jia dipunyai hanya sebuah pasangan terurut ini, selalu dapat dionstrusi pelabelan super total sisi ajaib lain yaitu dengan menuar label titi daun dengan label sisi daun yang bersisian dengan titi tersebut. Aan tetapi jia dipunyai dua elemen yang merupaan ombinasi dari 9 pasangan terurut, misal (5,3) dan (9,5), maa tida dapat dionstrusi pelabelan lain selain pelabelan. Hal ini berarti subhimpunan pasangan terurut {(5,3),(9,5)} merupaan himpunan ritis minimal. Beberapa himpunan ritis minimal pada graf BT(1,1) yang lain adalah {(5,3),(8,6)}, dan {(4,9),(9,5)}. Subhimpunan {(5,3),(1,4)} buan himpunan ritis. Karena dengan menuar (8,6) dengan (8,5) dan (9,5) dengan (9,6), dapat dionstrusi pelabelan total sisi ajaib lain selain pelabelan total sisi ajaib λ yaitu sebuah himpunan pasangan terurut dari label posisi dan pelabelan total sisi ajaib

6 276 Triyani dan Irham Taufiq baru {(1,4), (2,8), (3,1), (4,9), (5,3), (6,7), (7,2), (8,5), (9,6)}. Jadi himpunan ritis minimal pada graf BT(1,1) minimal anggotanya sebanya (a) 4 (b) Gambar 2. Label posisi dan pelabelan total sisi ajaib pada graf BT(1,1) Berdasaran hal ini, diperoleh beberapa sifat himpunan ritis dalam pelabelan total sisi ajaib pada graf BT ( n1, n2,..., n ) sebagai beriut: Sifat 1. Himpunan ritis pada graf Banana Tree BT ( n1, n2,..., n ) dengan n 1 = n 2 = = n = n, n 2, 2 minimal anggotanya sebanya (n -1) dengan n menyataan banyanya titi daun dari graf bintang dan menyataan banyanya graf bintang. Buti: Misal λ menyataan pelabelan total sisi ajaib pada graf BT ( n1, n2,..., n ), dan Qλ adalah himpunan ritis pada pelabelan λ. Andaian Q ( n 1) artinya banyanya elemen dalam Qλ urang dari banyanya titi daun pada graf BT ( n, n,..., n ). Aibatnya terdapat i dan j sedemiian hingga pasangan terurut (c, x) dan (d, y ) dengan c, d menyataan label posisi dan x, y masing-masing menyataan label titi daun dan label sisi daun yang bersisian dengan titi tersebut, eduanya tida berada di Qλ. Oleh arena itu, pelabelan total sisi ajaib yang dapat dionstrusi dari Qλ tida tunggal, yaitu dengan menuar pasangan terurut ( c, x ) dengan ( c, y ) dan ( d, y ) dengan ( d, x ). Hal ini ontradisi dengan definisi himpunan ritis. Oleh arena itu, haruslah Q ( n 1).

7 Beberapa Sifat Himpunan Kritis 277 Sifat 2. Jia x adalah label dari titi daun v dan y adalah label dari sisi yang bersisian dengan v, maa setiap himpunan ritis dalam λ harus memuat x atau y, tapi tida eduanya. Buti: Misalan a12, a13,..., a n adalah himpunan semua titi daun dari graf Banana Tree ( 1, 2,..., ) BT n n n dan e12, e13,..., e n adalah himpunan semua sisi yang bersisian dengan titi daun. Misal ( a ) x menyataan label titi daun dan ( e ) y menyataan label sisi daun yang bersisian dengan titi daun a, dengan i 1,2,..., dan j 2,3,..., n, sehingga ( ax, ) menyataan label x pada posisi a, dan ( by, ) menyataan label y pada posisi b. Aan ditunjuan bahwa setiap himpunan ritis dalam pelabelan harus memuat memuat ( a, x ) atau ( b, y ), tapi tida eduanya. Andaian terdapat himpunan ritis yang memuat ( a, x ) dan ( b, y ). Berdasaran sifat 1 maa terdapat sediitnya sebuah titi v dan sisi daun yang bersisian dengan v yang tida termuat di Q λ. Dengan ata lain terdapat s dan t, sedemiian hingga (c, xst ) dan (d, yst ) eduanya tida berada di himpunan ritis Qλ. Oleh arena itu, dapat dionstrusi pelabelan total sisi ajaib λ dengan cara menuar pasangan terurut ( c, x ) dengan ( c, y ) dan ( d, y ) dengan ( d, x ). Aibatnya pelabelan total sisi ajaib yang dapat st st dionstrusi dari Qλ tida tunggal. Hal ini ontradisi dengan definisi himpunan ritis. Oleh arena itu, haruslah setiap himpunan ritis dalam pelabelan λ memuat ( a, x ) atau ( b, y ), tapi tida eduanya. st st 5. KESIMPULAN Berdasaran penentuan himpunan ritis, diperoleh sifat banyanya anggota minimal dari himpunan ritis pada pelabelan total sisi ajaib graf BT ( n, n,..., n ) adalah ( n1) dengan n menyataan banyanya titi daun dari graf bintang dan menyataan banyanya graf bintang, ecuali himpunan ritis pada graf BT(1,1), banyanya anggota minimal adalah 2. Setiap himpunan ritis

8 278 Triyani dan Irham Taufiq dalam pelabelan total sisi ajaib pada graf BT ( n1, n2,..., n ) tida memuat label titi daun sealigus label sisi daun yang bersisian dengan titi tersebut, tetapi harus salah satu, yaitu memuat label titi daun atau label sisi daun yang bersisian dengan titi tersebut. DAFTAR PUSTAKA Basoro, E. T Critical Sets in Edge-Magic Total Labellings, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 55(1), Basoro, E. T Mengenalan Indonesia Melalui Teori Graf. Pidato Ilmiah Guru Besar ITB. Bandung. Figueroa-Centeno, R. M., Ichisima, R., dan Muntaner-Batle, F. A The place of super edge-magic labeling among other classes of labeling, Discreate Math. 231, Hussain, M., Basoro, E. T., dan Slamin On super edge-magic total labeling of Banana Trees. Utilitas Math., Vol 79, Imron, C., Setiyono, B., Simanjunta, R., dan Basoro, E. T Critical Set of Caterpillar Graph for Secret Sharing Scheme, Proceeding IGGTIS, ITB-Bandung, Sudarsana, I. W. dan Junaidi Secret Sharing Scheme Based on Magic Labeling of Star, Proceeding of International Converence and Worshop on Basic and Aplied Science (ICOWOBAS). UNAIR-Surabaya,