Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Relatif terhadap Homomorfisma Ring

Transkripsi

1 Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Relati terhadap Homomorisma Ring Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yatiuny@yahoocom Abstrak Diawali dengan pendeinisian invarian translasional suatu subhimpunan uzzy pada sebarang himpunan yang di dalamnya dilengkapi dengan operasi biner selanjutnya deinisi ini secara khusus dideinisikan juga pada subhimpunan uzzy pada ring Dengan demikian deinisi invarian translasional tersebut dideinisikan relati terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan pada ring Berdasarkan deinisi image ( dan pre-image ( ϕ dengan adalah pemetaan dari ring R ke R ' μ dan ϕ masing-masing adalah subhimpunan uzzy pada R dan R ' maka dalam tulisan ini akan dikaji karakteristik invarian translasional suatu subhimpunan uzzy relati terhadap homomorisma ring yaitu dengan menambah syarat khusus untuk bukan hanya suatu pemetaan akan tetapi merupakan suatu homomorisma Diperoleh hasil bahwa: jika homomorisma dari ring R ke R ' dan λ subhimpunan uzzy invarian translasional pada R ' maka ( λ subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan λ subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Jika λ adalah -invarian maka (λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada ' I( λ = I ( ( λ untuk setiap a R Untuk R Akibat lain adalah ( ( suatu maka untuk setiap a' R' b 1 ( a' I( ( λ = I( ( λ Kata Kunci : subhimpunan uzzy invarian translasional homomorisma ring A Pendahuluan interval Subhimpunan uzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke [ 01] Misalkan pada himpunan (Ajmal Aktas Asaad Kandasami Mordeson & Malik Shabir X dideinisikan suatu operasi biner maka selanjutnya dideinisikan bilamana suatu subhimpunan uzzy μ dikatakan invarian translasional kiri maupun kanan Subhimpunan uzzy μ dikatakan invarian translasional kiri relati terhadap operasi * apabila dipenuhi ( x y μ( a x a y x y a X μ dan dikatakan invarian translasional kanan apabila berlaku μ ( x y μ( x a y a x y a X Subhimpunan uzzy μ dikatakan invarian translasional relati terhadap operasi * jika μ invarian translasional kiri sekaligus invarian translasional kanan ( Ray AK & Ali T; 67 Jika μ komutati Dipresentasikan dalam Seminar Nasional MIPA 2007 dengan tema Peningkatan Keproesionalan Peneliti Pendidik & Praktisi MIPA yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 25 Agustus 2007

2 Karyati yaitu μ ( x y y x untuk setiap x y X maka μ merupakan invarian translasional kiri jika dan hanya jika invarian translasional kanan Jika pada X tidak hanya dideinisikan satu operasi biner akan tetapi dua operasi biner sehingga membentuk struktur ring maka dinotasikan dengan R Selanjutnya dapat dideinisikan pemetaan μ dari R ke interval [ 0 1] dan pemetaan ini juga membentuk subhimpunan uzzy Dalam pembicaraan ini maka subhimpunan uzzy memenuhi μ ( x x untuk setiap x R Karena ring R melibatkan dua operasi biner yan disebut dengan penjumlahan dan pergandaan maka deinisi invarian translasional kiri maupun kanan dapat dideinisikan relati terhadap kedua operasi tersebut Teorema 11( RayAK & Ali T: 68 Misalkan μ adalah invarian translasional kiri relati terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan pada ring R untuk suatu a R himpunan L( μ = { r R μ( r x untuk suatu x R} adalah ideal kiri dari R Selanjutnya dibentuk suatu subhimpunan dari ring R dengan siat μ ( r ax dan mempunyai struktur seperti dalam teorema berikut: Teorema 12 ( RayAK & Ali T: 68 Misalkan μ adalah invarian translasional kanan relati terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan pada ring R untuk suatu a R himpunan R( μ = { r R μ( r ax untuk suatu x R} adalah ideal kanan dari R Jika μ komutati maka L ( = R( untuk setiap a R Jika R adalah ring komutati dengan elemen satuan maka ideal utama a = ar = Ra adalah subhimpunan dari L ( = R( Selanjutnya himpunan L( disebut μ -ideal utama kiri dari R yang dibangun oleh a dan μ Sedangkan R ( disebut μ -ideal utama kanan dari R yang dibangun oleh a dan μ Jika L ( = R( selanjutnya dinotasikan dengan I ( disebut μ - ideal utama yang dibangun oleh a dan μ 172 Seminar Nasional MIPA 2007

3 M 12 : Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Teorema 13 ( RayAK & Ali T: 69 Misalkan b R sehingga berlaku: a a L( L( L( b a R( R( R( Teorema 14 ( RayAK & Ali T: 70 Misalkan b R Jika μ ( a b maka L ( = L( dan R ( = R( Perlu diingat kembali bahwa suatu pemetaan dari ring R ke R ' disebut homomorisma jika: untuk setiap x y R maka berlaku ( x + y = ( x + ( y dan ( xy = ( x ( y (Adkin : 58 Misalkan adalah pemetaan dari ring R ke R ' μ dan ϕ masing-masing adalah subhimpunan uzzy pada R dan R ' selanjutnya dideinisikan image ( dan pre-image ( ϕ sebagai berikut: sup μ( x jika 1 x ( y a ( ( y = 0 jika b ( ϕ ( x = ϕ ( x x R ( ( y φ (y = φ ( Ajmal : 329 Aktas : 75 Kandasamy: 43 Dalam tulisan ini akan dikaji siat subhimpunan uzzy dari suatu ring yang merupakan invarian translasional terkait dengan image dan pre-image dari suatu hoomorisma ring B Pembahasan Misalkan adalah pemetaan dari ring R ke R ' dan μ subhimpunan uzzy Subhimpunan uzzy μ disebut -invarian jika ( x = ( y μ ( x y Teorema 21 Misalkan adalah homomorisma dari ring R ke R ' Jika subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R ' maka ( adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Matematika 173

4 Karyati Bukti: Dalam hal ini dibuktikan jika ( (a = ( (b maka 1 ( ( a + x = ( ( b + x 2 ( (xa = ( (xb ( (ax = ( (bx Misalkan ( (a = ( (b untuk a b R Misalkan x R dan invarian translasional pada ' sehingga ( ( a λ( ( b λ = ( x = y R' Diketahui bahwa λ adalah subhimpunan uzzy R dan ( ( a λ( ( b λ = maka berlaku: λ ( ( a + y ( b + y dan λ ( ( a y ( b y serta ( ( a λ( y ( b λ y = Dari kondisi λ ( ( a + y ( b + y berakibat ( ( a + ( x λ( ( b + ( x Diketahui λ = homomorisma ring sehingga berlaku λ ( ( a + x ( b + x dan akibatnya ( ( a + x = ( ( b + x (21 Di lain pihak ( ( a y λ( ( b y λ = sehingga diperoleh λ ( ( a ( x ( b ( x Diketahui homomorisma ring sehingga berlaku λ ( ( ax ( bx atau (22 ( λ( ax = ( λ( bx Secara analog dipenuhi juga ( y ( a λ( y ( b λ = yang juga berakibat λ ( ( x ( a ( x ( b akibatnya ( ( xa λ( ( xb λ = Hal ini dipenuhi juga ( λ( xa = ( λ( xb (23 Dari persamaan (21 (22 dan (23 terbukti bahwa ( adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Teorema 22 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R 174 Seminar Nasional MIPA 2007

5 M 12 : Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Jika λ adalah -invarian maka (λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R ' Bukti: Misalkan λ adalah -invarian sehingga berlaku untuk setiap x y R dengan ( x = ( y maka λ ( x y Karena surjekti maka untuk suatu a R' { ( x x R ( x a} ( λ ( a = sup λ = Misalkan x y R dan ( x = a ( y = a maka ( x = ( y dan karena λ adalah -invarian maka λ ( x y Sehinga ( λ ( a x dengan x R dan ( x = a Sehingga berlaku untuk setiap a R' ( λ ( a x dengan x R dan ( x = a Misalkan b R' dan ( λ ( a = ( λ( b sehingga λ ( x y dengan x y R dan ( x = a ( y = b Misalkan c R' dengan ( z = c untuk suatu z R (hal ini dijamin ad sebab surjekti sehingga a + c = ( x + ( z = ( x + z dan b + c = ( y + ( z = ( y + z Sehingga ( λ ( a + c x + z dan ( λ ( b + c y + z Berikutny secara analog diperoleh: ac = ( x ( z = ( xz ca = ( z ( x = ( zx bc = ( y ( z = ( yz cb = ( z ( y = ( zy Selanjutnya diperoleh: ( λ ( ac xz ( λ ( ca zx ( λ ( bc yz ( λ ( cb zy Diketahui bahwa λ adalah invarian translasional dan λ ( x y sehingga λ ( x + z y + z λ ( xz zx λ ( yz zy Sehingga dipenuhi: ( λ ( a + c = ( λ( b + c ( λ ( ac = ( λ( bc dan ( λ ( ca = ( λ( cb Jadi terbukti jika b R' dan ( λ ( a = ( λ( b mak ( λ ( ac = ( λ( bc ( λ ( ca = ( λ( cb untuk setiap c R' Atau dengan kata lain (λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R ' Matematika 175

6 Karyati Teorema 23 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Jika λ adalah -invarian maka ( I( λ = I( ( ( λ untuk setiap a R Bukti: Misalkan λ adalah -invarian dan ( s ( y ( ( ( λ I maka ( λ ( y = ( λ a untuk suatu s R' Karena y s R' dan surjekti maka terdapat x r R sedemikian sehingga ( x = y dan ( r = s Sehingga ( ( x = ( λ ( ( r ( ( λ ( ( ra ( λ a = Karena λ invarian translasional dan menurut Teorema 21 maka diperoleh ( ( ( x λ( x ( ( ra λ( λ = dan ( λ = ra yang akhirnya dipenuhi λ ( x ra Sebagai akibatnya x I( λ dan ( x ( I( λ I( ( ( λ ( I( λ (24 yaitu y ( I( λ Sebagai konsekuensiny Misalkan y ( I( λ maka terdapat x I( λ sedemikian sehingga ( x = y Selain itu juga berakibat λ ( x ra untuk suatu r R Sehingga: { ( x x ( } 1 y ( λ ( y = sup λ x ar Juga dipenuhi jika ( r = s maka λ ( ( a s = ( λ ( ( a ( r ( ( sup ( x' x' ( ( ar ( = ar karena λ adalah -invarian { } = λ ar Sehingga ( λ ( y = ( λ ( ( a s yang berakibat y I ( ( ( λ demikian diperoleh ( I( λ ( ( ( λ Dari persamaan (24 dan (25 maka diperoleh ( I( λ = ( ( ( λ setiap a R I (25 Dengan I untuk Teorema 24 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R 1 a Untuk suatu a' R' maka untuk setiap b ( ' I( ( λ = I( ( λ 176 Seminar Nasional MIPA 2007

7 M 12 : Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Bukti: Ambil x I ( ( maka ( λ( x = ( λ( ra untuk suatu r R Sehingga diperoleh ( λ( x 1 λ ( (ra ( r ( a maka ( a = ( b = a' Dengan demikian diperoleh: ( ( b ( r λ( ( br ( λ ( x = λ = 1 a = Karena b ( ' = ( λ( br atau x I ( ( Sehingga terbukti I( ( I( ( (26 Selanjutnya ambil y I ( ( maka ( λ( y = ( λ( br' untuk suatu r' R' Sehingga diperoleh ( λ( y = λ ( br' = λ ( b ( r' Karena b 1 ( a' maka 1 ( ( ( a = ( b = a' sehingga diperoleh ( ( a ( r' λ( ( ar' ( λ ( y = λ = = ( λ( ar' atau y I ( ( Sehinga terbukti I( ( I( ( (27 Dari persamaan (26 dan (27 maka terbukti bahwa I ( ( = I( ( C Penutup C1 Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1 Misalkan adalah homomorisma dari ring R ke R ' Jika subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R R ' maka ( λ 2 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Jika λ adalah translasional pada R ' -invarian maka (λ adalah subhimpunan uzzy invarian 3 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada R Jika λ adalah -invarian maka ( I( λ = I( ( ( λ untuk setiap a R Matematika 177

8 Karyati 4 Misalkan adalah homomorisma surjekti dari ring R ke R ' dan subhimpunan uzzy λ adalah subhimpunan uzzy invarian translasional pada 1 a R Untuk suatu a' R' maka untuk setiap b ( ' I( ( λ = I( ( λ C2 Saran Dalam tulisan ini baru dikaji pada homorisma ring sehingga dapat diduga dapat dikerjakan pada struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner misalnya pada grup monoid semigrup maupun grupoid terkait dengan homomorphisma yang dideinisikan kepadanya D Datar Pustaka Adkins Weintraub 1992 Algebra : An Approach Via Module Theory New York: Springer Verlag Ajmal Naseem 1994 Homomorphism o Fuzzy groups Corrrespondence Theorm and Fuzzy Quotient Groups Fuzzy Sets and Systems 61 p: North-Holland Aktaş Haci 2004 On Fuzzy Relation and Fuzzy Quotient Groups International Journal o Computational Cognition Vol 2 No 2 p: Asaad Mohamed1991 Group and Fuzzy Subgroup Fuzzy Sets and Systems 39 p: North-Holland Kandasamy WBV 2003 Smarandache Fuzzy Algebra American Research Press and WB Vasantha Kandasamy Rehoboth USA Mordeson JN Malik DS 1998 Fuzzy Commutative Algebra World Scientiics Publishing Co Pte Ltd Singapore Shabir M 2005 Fully Fuzzy Prime Semigroups International Journal o Mathematics and Mathematical Sciences:1 p: Ray AK Ali T 2002 Ideals and Divisibility in A ring with Respect to A Fuzzy Subset Novi Sad J Math Vol 32 No 2 p: Zimmermann HJ 1991 Fuzzy Set Theory and Its Applications Kluwer Academic Publishers USA 178 Seminar Nasional MIPA 2007