UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
|
|
- Sudirman Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III HOMOMORFISMA RING Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-6 dan 7 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III3 SKSMMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013
2 BAB III HOMOMORFISMA RING Pada bab ini akan dijelaskan tentang homomorfisma ring, yaitu suatu pemetaan dari suatu ring R 1 ke ring R 2 yang bersifat mengawetkan kedua operasi biner dari ring tersebut. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait sifat pemetaannya, yakni sifat injektif, surjektif, dan bijektif. Dari sebarang homomorfisma ring f : R S dapat didefinisikan kernel (ker(f)) seperti halnya pada teori grup. Kernel dari homomorfisma ring merupakan ideal, sehingga dapat digunakan untuk membentuk ring faktor R ker(f). Pada bab ini juga akan dibahas hubungan antara ring faktor R ker(f) dan Im(f) yang selanjutnya dikenal dengan teorema utama homomorfisma ring Homomorfisma Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I) telah dipelajari tentang homomorfisma grup. Suatu pemetaan h dari grup (G 1, 1 ) ke grup (G 2, 2 ) disebut homomorfisma grup jika untuk setiap x, y G 1 berlaku h(x 1 y) = h(x) 2 h(x). Konsep dari pendefinisian homomorfisma grup tersebut secara analog akan diterapkan pada ring. Misal diberikan ring (R 1, + 1, 1) dan (R 2, + 2, 2) serta suatu pemetaan f : R 1 R 2. Mengingat ring merupakan grup terhadap operasi penjumlahannya, f merupakan homomorfisma grup jika untuk setiap a, b R 1 berlaku f(a + 1 b) = f(a) + 2 f(b). Selanjutnya, jika f merupakan homomorfisma grup sekaligus memenuhi sifat f(r 1 s) = f(r) 2 f(s), untuk setiap r, s R 1, maka f disebut homomorfisma ring. Secara ringkas, definisi homomorfisma ring diberikan pada Definisi di bawah ini. Definisi Diberikan ring (R 1, + 1, 1) dan (R 2, + 2, 2) serta suatu pemetaan f : R 1 R 2. Pemetaan f disebut homomorfisma ring jika f(x + 1 y) = f(x) + 2 f(y) dan f(x 1 y) = f(x) 2 f(y) untuk setiap x, y R 1. 23
3 Contoh Berikut ini merupakan contoh-contoh homomorfisma ring. (1). Diberikan ring T 2 2 (Z) = a b a, b, c Z 0 c terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Didefinisikan pemetaan f : T 2 2 (Z) Z, yaitu untuk setiap a b T 2 2 (Z), 0 c f b = a. 0 c Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan f merupakan homomorfisma ring. (2). Diberikan ring (Z, +, ). Misal diambil ideal 6Z dari ring Z, sehingga dapat dibentuk ring faktor ( Z 6Z = {0 + 6Z, 1 + 6Z,, 5 + 6Z} = {0, 1,, 5}, +, ). Didefinisikan pemetaan h : Z Z 6Z, yaitu h(n) = n, untuk setiap n Z. Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap n 1, n 2 Z berlaku h(n 1 + n 2 ) = h(n 1 )+h(n 2 ) dan h(n 1 n 2 ) = h(n 1 ) h(n 2 ). Oleh karena itu, h merupakan homomorfisma ring. (3). Misalkan R = a b a, b R. Himpunan R terhadap operasi penjumlahan dan perkaliam matriks merupakan ring (buktikan sebagai b a latihan!). Didefinisikan pemetaan ϕ dari ring C ke ring R, yaitu ϕ(a + bi) = a b, b a untuk setiap a + bi C. Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan ϕ merupakan homomorfisma ring. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait dengan sifat pemetaannya. Suatu homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2 disebut: 24
4 (i). monomorfisma jika f merupakan pemetaan injektif, (ii). epimorfisma jika f merupakan pemetaan surjektif, dan (iii). isomorfisma jika f merupakan pemetaan bijektif. Dua ring R 1 dan R 2 dikatakan isomorfis, dinotasikan R 1 = R2, jika terdapat suatu isomorfisma dari R 1 ke R 2. Selanjutnya, khusus untuk isomorfisma dari ring R 1 ke R 1 disebut automorfisma. Contoh Berikut ini diberikan beberapa contoh terkait jenis-jenis homomorfisma. 1. Diperhatikan kembali homomorfisma f : T 2 2 (Z) Z pada Contoh (1). Untuk setiap a Z, dapat ditemukan matriks A = a 1 T 2 2 (Z) 0 1 sedemikian sehingga f(a) = a. Dengan demikian f bersifat surjektif, sehingga homomorfisma f merupakan epimorfisma dari ring T 2 2 (Z) ke Z. Perhatikan bahwa untuk P = 2 1, Q = 2 3 T 2 2 (Z) diperoleh f(p ) = 2 dan f(q) = 2. Dengan demikian homomorfisma f tidak bersifat injektif, sehingga f bukan monomorfisma ring. 2. Diberikan homomorfisma h dari ring Z ke ring M 2 2 (Z) dengan definisi h (z) = z 0, 0 0 untuk setiap z Z. Diambil sebarang a, b Z dengan h(a) = h(b). Perhatikan bahwa a 0 = h(a) = h(b) = b
5 Dari kesamaan dua matriks, berakibat a = b. Dengan demikian diperoleh kesimpulan homomorfisma h bersifat injektif, sehingga h merupakan monomorfisma dari ring Z ke ring M 2 2 (Z). Perhatikan bahwa terdapat I 2 = 1 0 M 2 2 (Z) 0 1 sedemikian sehingga untuk setiap z Z, h(z) I 2. Dengan demikian homomorfisma h tidak bersifat surjektif, sehingga h bukan epimorfisma ring. 3. Diperhatikan kembali homomorfisma ϕ : C R pada Contoh (3). Diambil sebarang a + bi, x + yi C sedemikian sehingga ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi). Karena ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi), diperoleh a b = x y b a y x dan berakibat a = x dan b = y. Dengan demikian a + bi = x + yi, yang berarti ϕ bersifat injektif. Diambil sebarang A = r s R, berarti r, s R. s r Dibentuk c = r + si, maka jelas bahwa c C. Selanjutnya diperhatikan bahwa ϕ(c) = ϕ(r+si) = A. Oleh karena itu, ϕ bersifat surjektif. Jadi, homomorfisma ϕ bersifat bijektif, sehingga ϕ merupakan isomorfisma dari ring C ke ring R. Akibatnya, ring C isomorfis dengan ring R dan dapat ditulis dengan C = R. Berikut ini merupakan sifat-sifat elementer dari homomorfisma ring. Teorema Diberikan homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2. Sifat-sifat berikut ini berlaku. (i). f(0 R1 ) = 0 R2. (0 R1 := elemen nol di R 1 dan 0 R2 := elemen nol di R 2 ) (ii). f( r) = f(r) untuk setiap r R. Misalkan R 1 mempunyai elemen satuan 1 R1 dan f bersifat surjektif. (iv). R 2 mempunyai elemen satuan, yaitu f(1 R1 ). 26
6 (v). Jika r R 1 mempunyai invers terhadap perkalian di R 1, maka f(r) juga mempunyai invers terhadap perkalian di R 2, yaitu Bukti. (sebagai latihan) (f(r)) 1 = f(r 1 ). Misal diberikan sebarang homomorfisma ring f : R R. Karena f merupakan pemetaan R ke R, maka image dari f, yaitu Im(f) = {f(r) r R}, merupakan himpunan bagian tak kosong dari R. Pertanyaan yang muncul adalah apakah Im(f) merupakan subring atau ideal dari R. Teorema Diberikan sebarang homomorfisma ring f : R R. Berlaku sifat-sifat berikut: (i). Im(f) merupakan subring dari R, (ii). Jika R adalah ring komutatif, maka Im(f) merupakan ring komutatif. Bukti. (sebagai latihan) (Sebagai latihan, cek bahwa Im(f) belum tentu merupakan ideal dari R!) Seperti pada teori grup, untuk sebarang homomorfisma ring dapat didefinisikan kernel. Definisi Diberikan homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2. Kernel dari f, dinotasikan ker(f), didefinisikan sebagai himpunan ker(f) = {a R 1 f(a) = 0 R2 }. Contoh Perhatikan kembali homomorfisma ring f dan h pada Contoh Perhatikan bahwa ker(f) = a b T 2 2 (Z) f( a b ) = 0 0 c 0 c = a b T 2 2 (Z) a = 0 0 c = 0 b b, c Z 0 c 27
7 dan ker(h) = {n Z h(nı = 0)} = {n Z n = n} = {n Z n + 6Z = 0 + 6Z} = {n Z n 0 6Z} = {n Z n 6Z} = 6Z. Dari definisi kernel, jelas bahwa ker(f) R 1. Berdasarkan Teorema 3.1.4, mudah dipahami bahwa 0 R1 ker(f) sehingga ker(f). Muncul pertanyaan apakah ker(f) merupakan ideal dari R 1 atau hanya merupakan subring saja. Perhatikan Teorema di bawah ini. Teorema Jika f adalah homomorfisma ring dari ring R 1 ke ring R 2, maka ker(f) merupakan ideal dari R 1. Bukti. Jelas bahwa ker(f), sebab 0 R1 ker(f). Tinggal ditunjukkan bahwa untuk setiap x, y ker(f) dan r R berlaku a b ker(f), ra ker(f), dan ar ker(f). (sebagai latihan) Diperhatikan kembali homomorfisma ring f pada Contoh (2). Homomorfisma ring f tersebut merupakan contoh homomorfisma dari ring Z ke suatu ring faktornya. Secara umum, untuk sebarang ring R dan sebarang ring faktornya, katakan R I, ternyata selalu dapat dibentuk suatu homomorfisma υ : R R I. Lemma Diberikan sebarang ring R dan ideal I dari R. Dibentuk ring faktor R I dan didefinisikan pengaitan υ : R R I, yaitu untuk setiap r R, υ(r) = r + I. Pernyataan-pernyataan berikut ini berlaku: (i). υ merupakan homomorfisma ring, (Homomorfisma υ disebut homomorfisma natural.) 28
8 (ii). υ bersifat surjektif, dan (iii). ker(υ) = I. Bukti. (sebagai latihan) Untuk sebarang ideal I dari ring R dapat dibentuk ring faktor R I. Misal diberikan sebarang subring S dari R yang memuat I. Oleh karena itu, I juga merupakan ideal dari S, dan berakibat dapat dibentuk juga ring faktor S I. Mudah dipahami bahwa ring faktor S I merupakan subring dari R I. Teorema di bawah ini menjelaskan adanya korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dari R yang memuat I dan himpunan semua subring dari R I. Teorema Diberikan sebarang ring R. Jika I adalah ideal dari R, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dari R yang memuat I dan himpunan semua subring dari R I. Bukti. Misalkan dan A = {S S adalah subring dari R, I S} B = { K I K } I adalah subring dari R I. Didefinisikan pengaitan f : A B, yaitu untuk setiap S A, f(s) = S I = Im(υ S), dengan υ adalah homomorfisma natural dari S ke S I. Mudah ditunjukkan bahwa f merupakan pemetaan (sebagai latihan). Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa f bersifat injektif (sebagai latihan). Langkah terakhir harus ditunjukkan bahwa f bersifat surjektif. Diambil sebarang T B. Mudah dipahami bahwa υ 1 (T ) A dan f(υ 1 (T )) = T, sehingga f bersifat surjektif. Oleh karena itu, f merupakan korespondensi satu-satu antara A dan B. Misal diberikan homomorfisma ring f : R 1 R 2. Telah kita ketahui bahwa ker(f) merupakan ideal dari R 1. Oleh karena itu dapat dibentuk ring faktor R ker(f). Pada subbab selanjutnya akan dibahas hubungan antara R ker(f) dan Im(f). 29
9 3.2. Teorema Utama Homomorfisma Ring dan Aplikasinya Berikut ini merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara R ker(f) dan Im(f). Teorema ini dikenal dengan Teorema Utama Homomorfisma Ring (TUHR). Teorema Jika f adalah homomorfisma dari ring R 1 ke ring R 2, maka R ker(f) = Im(R 1 ). Bukti. Akan ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma ring dari R ker(f) ke Im(f). Dibentuk pengaitan ϕ : R ker(f) Im(f), yaitu untuk setiap r + ker(f) R ker(f). Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (a). ϕ merupakan pemetaan, (b). ϕ merupakan homomorfisma ring, (c). ϕ bersifat injektif, dan (d). ϕ bersifat surjektif. Selanjutnya akan diberikan aplikasi dari Teorema Utama Homomorfisma Ring. Misal I dan J masing-masing merupakan ideal dari ring R. Dari pembahasan bab sebelumnya, diperoleh I J dan I + J masing-masing merupakan ideal di R. Mudah dipahami bahwa I J I dan J I + J, sehingga I J merupakan ideal dari I dan J merupakan ideal dari I + J. Akibatnya, dapat dibentuk ring faktor I (I J) dan (I + J) J. Dengan memanfaatkan TUHR dapat ditunjukkan bahwa kedua ring faktor tersebut isomorfis. Perhatikan teorema di bawah ini. Teorema Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing merupakan ideal dari R, maka I (I J) = (I + J) J. 30
10 Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : I (I + J) J yang memenuhi sifat: a). ker(f) = I J b). Im(f) = (I + J) J. Dibentuk pengaitan f : I (I + J) J, yaitu untuk setiap a I, f(a) = a + J. Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). f merupakan pemetaan, (ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f) = I J (iv). Im(f) = (I + J) J. Untuk aplikasi selanjunya, misalkan I dan J masing-masing merupakan ideal dari ring R dengan J I. Dari kedua ideal tersebut dapat dibentuk beberapa ring faktor: (i). R I = {r = r + I r R}, (ii). R J = {r = r + J r R}, dan (iii). I J = {r = r + J r I}. Mengingat I R, diperoleh I J R J. Dapat ditunjukkan bahwa I J merupakan ideal dari R J (sebagai latihan). Oleh karena itu, terbentuk ring faktor ( R J ) ( I J ) = { r = r + I J r R J }. 31
11 Teorema Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing merupakan ideal dari R dengan I J, maka ( R J ) ( I J ) = R I. Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : R J R I yang memenuhi sifat: a). ker(f) = I J b). Im(f) = R I. Dibentuk pengaitan f : R J R I dengan definisi f(r + J) = r + I, untuk setiap r = r + J R J. Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). f merupakan pemetaan, (ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f) = I (iv). Im(f) = R I. J. dan 3.3. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Selidiki apakah pemetaan-pemetaan berikut ini merupakan homomorfisma ring. Jika pemetaan tersebut merupakan homomorfisma, maka selidiki juga apakah merupakan isomorfisma. (a). Didefinisikan pemetaan f dari ring Z ke ring 5Z dengan definisi untuk setiap n Z, f(n) = 5n. 32
12 (b). Diberikan ring (Z, +, ) dan ring (Z, +, ) dengan x + y = x + y 1 dan x y = x + y xy, untuk setiap x, y Z. Didefinisikan pemetaan f dari (Z, +, ) ke (Z, +, ), yaitu untuk setiap n Z, f(n) = 1 n. (c). Diberikan pemetaan dari ring matriks M 2 (Z) ke Z dengan definisi untuk setiap A M 2 (Z), f(a) = det(a). (d). Diberikan ring (Z, +, ) dan didefinisikan pemetaan f : Z Z, yaitu untuk setiap n Z, f(n) = 3n. (e). Diberikan pemetaan f dari ring faktor Z 8Z dan Z 4Z dengan definisi untuk setiap z + 8Z Z 8Z, f(z + 8Z) = z + 4Z. 2. Diberikan ring Z Z = {(m, n) m, n Z} terhadap operasi yang didefinisikan (m 1, n 1 ) + (m 2, n 2 ) = (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) dan (m 1, n 1 ) (m 2, n 2 ) = (m 1 m 2, n 1 n 2 ), untuk setiap (m 1, n 1 ), (m 2, n 2 ) Z Z. Diberikan juga ring T 2 2 (Z) = a b a, b, c Z 0 c terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa pemetaan ϕ : T 2 2 (Z) Z Z a b (a, c) 0 c merupakan epimorfisma dan carilah kernel dari ϕ! 3. Buktikan ring 2Z tidak isomorfis dengan ring 3Z! 4. Buktikan bahwa hanya ada dua homomorfisma dari ring Z ke ring Z! 5. Buktikan bahwa pemetaan f : Z Z dengan definisi f(n) = 3n merupakan homomorfisma grup, tetapi bukan homomorfisma ring! 33
13 6. Misalkan f : R S adalah homomorfisma ring dan T adalah suatu subring dari S. Buktikan bahwa himpunan {r R f(r) T } merupakan subring di R! 7. Jika g : R S dan f : S T masing-maasing adalah homomorfisma ring, maka buktikan bahwa f g : R T merupakan suatu homomorfisma ring! Selanjutnya, jika f dan g masing-masing adalah isomorfisma ring, maka buktikan bahwa f g juga merupakan suatu isomorfisma ring! 8. Misalkan ϕ : R R adalah homomorfisma ring dan a R, a R sedemikian sehingga ϕ(a) = a. Buktikan bahwa {x R ϕ(x) = a } = a + ker(ϕ)! 9. Misalkan f adalah suatu homomorfisma dari ring R ke ring R. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut ini benar! (a). Jika I adalah ideal dari R, maka f(i) = {f(x) x I} merupakan ideal dari R. (b). Jika I adalah ideal dari R, maka f 1 (I ) = {a R f(a) I } merupakan ideal dari R dan ker(f) f 1 (I ). (c). Jika R adalah ring komutatif, I dan J masing-masing adalah ideal dari R, maka f(i + J) = f(i) + f(j) dan f(ij) = f(i)f(j). 10. Diperhatikan kembali ring R 1 R 2 pada soal Subbab 1.4. no. 3. Misalkan R = R 1 R 2, I = {(r, 0 R2 ) r R 1 }, dan J = {(0 R1, s) s R 2 }. (a). Buktikan I dan J masing-masing merupakan ideal di R! (b). Buktikan R I = R 2 dan R J = R 1! 34
BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciIDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye
DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,
3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING
IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Penelitian ini membahas ideal near-ring yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciTeorema Jacobson Density
Teorema Jacobson Density Budi Santoso 1, Fitriani 2, Ahmad Faisol 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 1,2,3 E-mail: budi.klik@gmail.com Abstrak. Misalkan adalah ring (tidak harus
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 10 11 12 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Transformasi Linier
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
SIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL 1 Suryoto, 2 Bambang Irawanto, 3 Nikken Prima Puspita 1, 2, 3 Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciSYARAT PERLU DAN CUKUP SUBMODUL TERKOMPLEMEN. Sri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM. Abstrak
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 8-13, April 2002, IN : 1410-8518 YARAT PERLU DAN CUKUP UBMODUL TERKOMPLEMEN ri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM Abstrak Dipresentasikan syarat perlu dan
Lebih terperinciFUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN
FUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN Agus Suryanto, Nikken Prima Puspita, Robertus Heri S. U. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof. H. Soedarto, SH. Tembalang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciHASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK
HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin samsul_arifin@mail.ugm.ac.id Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil
Lebih terperinciGRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma
Lebih terperinciFUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciHUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [ S
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [ S Budi Surodjo
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciTEORI HEMIRING ABSTRAK
TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia 50275 email :tri_matematika@yahoocom
Lebih terperinciBeberapa Sifat Modul Tersuplemen lemah (Weakly Supplemented Module)
Beberapa Sifat Modul Tersuplemen lemah (Weakly Supplemented Module) A 4 Didi Febrian 1, Sri Wahyuni 2 1 Mahasiswa S2 Jurusan Matematika Fakultas MIPA UGM, Dosen Univ. Dian Nusantara Medan email : febrian.didi@mail.ugm.ac.id
Lebih terperinciRING STABIL BERHINGGA
RING STABIL BERHINGGA Samsul Arifin Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Surya, Tangerang Email: samsul.arifin@stkipsurya.ac.id ABSTRACT Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik ring
Lebih terperinciHOMOMORFISMA. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
HOMOMORFISMA Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 19, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Homomorfisma 3 3 Sifat-sifat Homomorfisma
Lebih terperinciSEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS PADA HIMPUNAN WORD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya Indonesia
SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS PD HIMPUNN WORD Novia Yumitha Sarie, Sri Gemawati, Rolan Pane Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan lam Univeritas
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB I Ring dan Ring Bagian
BAB I Ring dan Ring Bagian Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan.
Lebih terperinciFUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1
FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciFungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciHIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
HIPOTESIS KONTINUUM SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: R. Pudji Tursana NIM: 943114004 NIRM: 940051180810004 PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Lebih terperinciSILLABUS PENILAIAN JENIS. SOAL Tes Tulis Uraian 4x50 David SD & Richard MF (1991) Abstract Algebra. Prentice Hall, Inc. Herstein, I.
SILLABUS Mata Kuliah : & Ring Fakultas /Jurusan : FTIK /TMT Semester : 4 & 5 SKS : 3 & 3 Standar Kompetensi : Mahasiswa mampu memahami fungsi & operasi, grup & subgroup, grup permutasi, order grup, grup
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciHAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA
HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis
Lebih terperinciPERLUASAN DARI RING REGULAR
PERLUASAN DARI RING REGULAR Devi Anastasia Shinta 1, YD. Sumanto 2, Djuwandi 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang fue_anastasia@yahoo.com
Lebih terperinciDEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 13 20 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR RAHMIATI ABAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciDERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL
DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL SKRIPSI Oleh : ANI NURHAYATI J2A 006 001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2010
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND
LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND Nomor DIPA : DIPA BLU: DIPA-025.04.2.423812/2016 Tanggal : 7 Desember 2017 Satker : (423812)
Lebih terperinciFUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.
FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur
Lebih terperinciFUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi
Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 61-66 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2)
Modul Strongly Supplemented A 6 Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2) 1) Mahasiswa S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA UGM Email : dzikoebar@yahoo.com 2) Dosen PS S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR
ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Skripsi Oleh ALI ABDUL JABAR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017 ABSTRAK ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciI RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS)
Teori Ring Definisi dan Beberapa Contoh Ring I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS) Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang
Lebih terperinciMengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan dengan Persamaan Fungsional
Jurnal Penelitian Sains Edisi Khusus Desember 009 (A) 09:-03 Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan dengan Persamaan Fungsional Ning Eliyati, Novi Rustiana Dewi, dan Roni Simanjuntak Jurusan Matematika
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciBab 3 Gelanggang Polinom Miring
Bab 3 Gelanggang Polinom Miring Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih kompleks (banyak variabel) berikut
Lebih terperinciPembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak Miring
Pembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak Miring Ahmad Faisol Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Jl. Prof. Soemantri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung Email : faisol_mathunila@yahoo.co.id
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ruang vektor adalah suatu grup abelian yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar atas suatu lapangan. Suatu ruang vektor dapat dikawankan dengan ruang
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 13 14 15 Materi Kuliah Transformasi Linier dari F n ke F m Perubahan Matriks Basis Matriks dari Transformasi Linier Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Matriks-matriks Ekivalen
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciKaitan Antara Homomorfisma Pada Graf dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf
Kaitan Antara Homomorfisma Pada Graf dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf Nunung Nurhidayah, Rizky Rosjanuardi, Isnie Yusnitha Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia Correspondent
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciGRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI
GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI MICHELLE PURWAGANI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 i GRUP NON-ABELIAN YANG
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciHalaman Pengesahan. Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar
Halaman Pengesahan Skripsi Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar Nursatria Vidya Adikrisna 03/165344/PA/09352 Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh tim penguji Dosen Penguji
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL
8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah
Lebih terperinci