Relasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi

Transkripsi

1 Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yatiuny@yahoo.com Abstrak Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke interval [ 0,1]. Definisi ini adalah generalisasi dari himpunan klasik dengan pemetaannya didefinisikan dari himpunan tersebut ke himpunan { 0,1. Pada himpunan klasik didefinisikan suatu relasi,relasi refleksif, simetrik, transiftif, similaritas dan kongruensi. Selanjutnya dikonstruksi definisi relasi biner fuzzy yang refleksif, simetrik, transitif, similaritas dan kongruensi. Dalam tulisan ini akan diberikan contoh-contoh relasi kongruensi pada sebarang grup dan grup hasil baginya. Diperoleh hasil bahwa: Misalkan adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada. Didefinisikan suatu relasi β pada dipetakan ke interval [ 0,1] sebagai berikut: β ( a, a,, jika a b dan β ( a, = e jika a = b maka β adalah relasi kongruensi fuzzy pada {. Selanjutnya dibangun suatu pemetaan λ : [ 0,1], yang didefinisikan λ ( x = β ( x, untuk setiap h. Terbukti bahwa λ adalah relasi kongruensi fuzzy. Pemetaan α, dari ke interval [,1] Terbukti juga bahwa α adalah relasi kongruensi fuzzy. 0, yang didefnisikan x, y xy 1. Kata Kunci: subgrup fuzzy, subgrup hasil bagi fuzzy, subgrup normal fuzzy, relasi kongruensi fuzzy A. Pendahuluan interval Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke [ 0, 1]. impunan fuzzy ini merupakan generalisasi dari himpunan klasik, sebab himpunan klasik dapat dipandang sebagai himpunan fuzzy dengan pemetaannya adalah dari X ke himpunan { 0,1. Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (Ray dan Ali. Konsep ini telah diperluas pada fuzzifikasi struktur Aljabar, misalkan teori subgrup fuzzy (Rosenfeld dikutip oleh Ray dan Ali dan teori subring fuzzy (Liu dikutip oleh Ray dan Ali. Misalkan dimiliki sebarang himpunan X, maka yang dimaksud dengan relasi R adalah subhimpunan pada X X = { x, y x, y X (. Secara analog dengan pembentukan subhimpunan fuzzy, maka dapat dikonstruksi relasi fuzzy pada himpunan X X. Misalkan X adalah sebarang himpunan tak kosong, relasi biner fuzzy pada X adalah subhimpunan fuzzy μ pada X X, yaitu μ : X X [ 0,1]. (Kandasamy:10 Dipresentasikan dalam Seminar Nasional MIPA 2007 dengan tema Peningkatan Keprofesionalan Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 25 Agustus 2007

2 Karyati Definisi 1.1. (Kandasamy:10 Relasi fuzzy μ pada X X disebut refleksif jika μ ( x, x = 1 untuk setiap x X, dan dikatakan simetrik jika μ ( x, y = μ ( y, x untuk setiap x, y X. Relasi biner fuzzy μ dikatakan transitif jika { ( x, y, y, z x, z min μ. Relasi biner fuzzy μ pada X disebut relasi similaritas jika μ bersifat refleksif, simetrik dan transitif Dalam pembicaraan himpunan klasik, dikenal relasi yang kompatibel kiri maupun kanan, atau kompatibel saja. Secara analog dalam pembentukkan definisi relasi simililaritas dan lain-lain, maka didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel sebagai berikut : Definisi 1.2. (Kandasamy:10 Misalkan S adalah semigrup. a. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy kiri jika μ ( x, y tx, ty untuk setiap x, y, t S b. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy kanan jika μ ( x, y xt, yt untuk setiap x, y, t S c. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy jika { ( a,, c, d ac, bd min μ untuk setiap a, b, c, d S Secara analog dalam pembentukkan didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel, maka didefinisikan relasi kongruensi fuzzy sebagai berikut : Definisi 1.3. (Kandasamy:10 Relasi similaritas yang kompatibel pada semigrup S disebut relasi kongruensi fuzzy Pada himpunan klasik dikenal tiga operasi dasar, yaitu komplemen, gabungan dan irisan. Operasi operasi ini adalah tunggal pada teori himpunan klasik, namun perluasannya pada teori himpunan fuzzy tidak demikian. Untuk setiap operasi klasik terdapat operasi yang analog pada himpunan fuzzy. Terkait operasi-operasi tersebut, didefinisikan operasi standar fuzzy pada himpunan fuzzy yang dirujuk pada Klir, et.al. dan Zimmermann sebagai berikut: 180 Seminar Nasional MIPA 2007

3 M 13 : Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi 1. Complemen Fuzzy Diberikan himpunan fuzzy μ yang didefinisikan pada himpunan X. Komplemen dari himpunna fuzzy μ, yang dinotasikan dengan μ adalah himpunan fuzzy dimana derajat keanggataan dari x X, μ ( x mengekspresikan derajat x X bukan anggota μ. Secara formal, hal ini dapat dinyatakan bahwa x = 1 x 2. abungan Fuzzy Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan μ,γ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. abungan fuzzy himpunan fuzzy μ dan γ, yang dinotasikan dengan μ γ, didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus: ( μ γ ( x = max{ x, γ ( x, untuk setiap x X 3. Irisan Fuzzy Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan A,B adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. Irisan fuzzy himpunan fuzzy A dan B, yang dinotasikan dengan μ γ, didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus: ( μ γ ( x { x, γ ( x, untuk setiap x X Untuk kajian pustaka terkait dengan subgrup fuzzy maupun suggrup normal fuzzy akan merujuk pada tulisan Ajmal, Aktas, Asaad, Kandasami, Mordeson dan Malik, serta Shabir. Definisi 1.4. Misalkan adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup disebut subgrup fuzzy jika μ : [ 0,1] suatu fungsi yang memenuhi : (i μ ( xy min{ x, y (ii μ ( x = x untuk setiap x, y untuk setiap x Matematika 181

4 Karyati Definisi 1.5. Misalkan subgrup fuzzy normal jika ( xy xy adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup disebut μ = untuk setiap x, y B. Pembahasan Pada bagian ini, akan dibentuk suatu pemetaan dari suatu grup ke [ 0, 1] yang membentuk suatu relasi biner fuzzy. Definisi 2.1. Misalkan adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada. Didefinisikan suatu relasi β pada dipetakan ke interval [ 0,1] sebagai berikut: min β ( a, = { a,, e, jika a b jika a = b Proposisi berikut menjamin bahwa relasi β : [ 0, 1] yang didefinisikan di atas merupakan relasi biner fuzzy Proposisi 2.1. Relasi β merupakan relasi biner fuzzy yang didefinisikan pada. Dalam hal ini sama halnya membuktikan bahwa β adalah pemetaan: Ambil a = a', b = b' sehingga ( a, = ( a', b", untuk a = b, maka a ' = b' dan berlaku β ( a, = e = β ( a', b' untuk a b maka a' b' dan berlaku { a, min{ a', ' β ( a, = b = β ( a', b' Jelas bahwa Im( β Im( μ [ 0, 1], dan domain β adalah Berikut ini diberikan proposisi yang menunjukkan bahwa relasi fuzzy β adalah relasi similaritas: Proposisi 2.2 Relasi biner fuzzy β adalah relasi similaritas 182 Seminar Nasional MIPA 2007

5 M 13 : Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi Relasi β refleksif, sebab Ambil a, maka β ( a, a = e = 1 Relasi β simetrik, sebab Ambil a, b, a b, sehingga { a, {, a β( b, β ( a, = a Ambil a, b, a = b jelas dipenuhi Relasi β transitif Ambil Untuk kasus a, b, c, kasus a = b = c, jelas dipenuhi. a = b { c, maka min{ β ( a,, β( b, c e,min{, c {, c { μ ( a, c = β( a, c { Untu kasus a b = c, maka min{ β ( a,, β( b, c min{ a,, e { a, = β ( a, Untuk kasus a b c, maka { β ( a,, β( b, c { min{ a,,min{, c min{ a, c min = β ( a, c Berdasarkan definisi relasi fuzzy β di atas dan sifat yang berlaku pada subhimpunan fuzzy μ pada, diperoleh akibat sebagi berikut: Akibat 2.1. Untuk relasi biner fuzzy β di atas, maka berlaku β ( x, y = β ( x, y 1 { x, β ( x, y y { μ ( x, y = β( x, y Proposisi selanjutnya, menjamin bahwa relasi fuzzy β adalah relasi fuzzy yang kompatibel. Proposisi 2.3. Relasi biner fuzzy β adalah relasi kompatibel fuzzy Matematika 183

6 Karyati Untuk setiap a, b, c, d, maka ditunjukkan bahwa { ( a,, β( c, d β( ac, bd min β. Ambil sebarang a, b, c, d, maka : min { β ( a,, β ( c, d { min( μ ( a,,min( c, d { μ ( a,, c, d min( a, cd = β ( ab, cd Sebagai konsekuensi dari Proposisi 2.1, Proposisi 2.2 dan Proposisi 2.3, maka diperoleh akibat sebagai berikut. Akibat 3.2. Relasi biner fuzzy β adalah relasi kongruensi fuzzy Misalkan adalah grup, dan adalah subgrup normal dari. maka = { a a adalah suatu grup. Sehingga dapat dibentuk suatu subhimpunan fuzzy λ : [ 0,1] dan selanjutnya disebut subgrup normal fuzzy analog pula dapat didefinisikan suatu subgrup hasil bagi fuzzy dibangun suatu pemetaan λ : [ 0,1] setiap h.. Secara. Selanjutnya, yang didefinisikan λ ( x = β ( x, h untuk Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa λ relasi biner fuzzy adalah subhimpunan fuzzy pada grup hasil bagi pada. atau yang disebut dengan subgrup hasil bagi fuzzy Proposisi.2.4. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada Untuk membuktikan Proposisi tersebut, maka harus dibuktikan bahwa: a. λ( xy min{ λ( x, λ( y Sub bukti: λ ( xy xy = β ( xy,, untuk setiap h { xy, untuk setiap h 184 Seminar Nasional MIPA 2007

7 M 13 : Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi b. λ ( x x Sub bukti: { min{ x, y, min untuk setiap h { x, y, untuk setiap h { x, y untuk setiap h { min{ x,,min{ y, untuk setiap h { ( x,, β( y, β untuk setiap h { λ ( x, λ( y λ ( x x = β ( x, { x, untuk setiap h { ( x, = λ (x μ = β ( x, = λ (x untuk setiap h Proposisi 2.5. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup normal fuzzy pada Dalam hal ini tinggal dibuktikan bahwa: λ ( xy yx λ ( xy xy = β ( xy, untuk setiap h { xy, { min{ x, y, { min{ y, x, { μ ( yx, = β ( yx, yx λ ( xy yx Proposisi 2.6. Misalkan λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup x, sehingga berlaku: λ ( xy λ( y, y λ ( x = dan Matematika 185

8 Karyati ( Diketahui λ ( xy y, y λ ( xy y λ ( xy y, sehingga Akan terjadi jika dan hanya jika xy = y, atau 1 xyy = yy λ ( x = β ( x, = β ( e, e ( Diketahui λ ( x dibuktikan λ ( xy y, y Diketahui bahwa λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup subgrup fuzzy pada. Selanjutnya diperoleh: λ ( xy { λ( x, λ( y { λ(, λ( y { λ( e, λ( y { β( e,, β ( y, { min{ μ ( e,,min{ y, {,min{ y, { ( y, dan μ adalah μ = β ( y, y Jika dipunyai subhimpunan fuzzy pada sebarang himpunan yang sama, misalkan α dan β, maka yang dimaksud dengan α β adalah minimum dari derajat kanggotaan suatu elemen relative terhadap α dan β. Sehingga diperoleh propoisi sebagai berikut: Proposisi 2.7. Jika λ dan γ adalah subgrup normal fuzzy pada grup λ γ subgrup normal fuzzy pada grup. Dibuktikan λ γ min λ γ ( x, λ γ ( y λ γ (xy { (xy { λ( xy, γ ( xy min{ min{ λ ( x, λ( y,min{ γ ( x, γ ( y { min{ λ ( x, γ ( x,min{ λ( y, γ ( y { λ γ ( x, λ γ ( y Dibuktikan λ γ ( x = λ γ ( x, maka 186 Seminar Nasional MIPA 2007

9 M 13 : Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi γ ( x min{ λ( x, γ ( x { ( x, γ ( x λ = Dibuktikan λ γ ( xy = λ γ ( yx λ = λ γ ( x γ ( xy min{ λ( xy, γ ( xy { λ( yx, γ ( yx λ = = λ γ { yx impunan pemetaan α, dari x, y xy adalah grup, sehingga secara analog dapat dibentuk suatu 1. ke interval [,1] 0, yang didefnisikan Proposisi 2.8. Relasi x, y xy 1 adalah relasi biner fuzzy pada Akan dibuktikan bahwa ( x, y = ( x', y' α ( xy = α ( x' y' ( x, y = ( x', y', maka x = x' dan y = y' atau xx' dan yy' 1 β {, ( ' ' 1 β x y, ( x' y' = α ( x' y' α ( x, y xy = λ ( xy = ( xy, xy { x' y', = = λ Proposisi 2.9. Relasi Bukti x, y xy 1 adalah relasi kongruensi fuzzy pada x, y xy 1 adalah refleksif α ( x, x xx xx e = 1 x, y xy 1 adalah simetrik Matematika 187

10 Karyati α ( x, y xy 1 = ( xy = λ ( xy λ = λ ( yx = λ ( yx = α ( y, x x, y xy 1 adalah transitif arus dibuktikan bahwa min{ x, y, y, z x, z min { ( x, y, y, z α { λ( xy, λ( yz { λ ( xy, ( yz min{ β ( xy,, ( yz, { min{ xy,,min{ yz, λ = β min{ min{ xy, yz, min{ xy yz, { xz, = β ( xz, = λ ( xz = λ ( xz = α ( x, z Dibuktikan bahwa x, y xy 1 adalah kompatibel, yaitu: min min { x, y, z, w xz, yw { α ( x, y, z, w { λ( xy, λ( zw { (,, ( β xy h zw, h { min{ xy,,min{ zw, { μ ( xy, zw { μ ( y x, w z min 1 = β y xw = xzw y = β ( xzw = β z { xzw y, y, ( xz ( yw, = α ( xz, yw 188 Seminar Nasional MIPA 2007

11 M 13 : Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi C. Penutup C.1. Simpulan Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh hasil bahwa: 1. Misalkan adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada. Didefinisikan suatu relasi β pada dipetakan ke interval [ 0,1] sebagai berikut: β ( a, min{ a, = jika a b dan β ( a, = e jika a = b, maka β adalah relasi kongruensi fuzzy. 2. Pemetaan λ : [ 0,1], yang didefinisikan λ ( x = β ( x, h untuk setiap h, adalah relasi kongruensi fuzzy 3. Pemetaan α, dari ke interval [,1] 0, yang didefnisikan x, y xy 1 adalah relasi kongruensi fuzzy. C.2. Saran Dalam tulisan ini hanya didasarkan pada subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy. al ini diduga dapat dikembangkan untuk struktur aljabar yang lain. Dapat juga diberikan contoh-contoh lain definisi relasi fuzzy pada sebrang subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy. D. Daftar Pustaka Ajmal, Naseem omomorphism of Fuzzy groups, Corrrespondence Theorm and Fuzzy Quotient roups. Fuzzy Sets and Systems 61, p: North-olland Asaad, Mohamed roup and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and Systems 39, p: North-olland Kandasamy, W.B.V Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA Klir,.J, Clair, U.S, Yuan, B Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-all, Inc. USA Matematika 189

12 Karyati Mordeson, J.N, Malik, D.S Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore Ray, A.K, Ali, T Ideals and Divisibility in A Ring with Respect to A Fuzzy Subset. Novi Sad J Math, Vol 32, No. 2, p: Shabir, M Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences:1 p: Zimmermann,.J, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA. 190 Seminar Nasional MIPA 2007