BAB II TINJAUAN PUSTAKA
|
|
- Doddy Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur aljabar grup dan ring serta mengenai grup fuzzy. A. Himpunan Fuzzy Sebuah himpunan klasik didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek x X yang dapat terbatas, berhingga ataupun tak terbatas atau tak berhingga. Menurut Klir (1995: 6) terdapat beberapa metode dasar untuk menentukan himpunan tersebut yang dapat didefinisikan secara umum dalam himpunan X: 1. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh penamaan semua anggotanya (metode pendataan). Metode ini dapat digunakan hanya untuk himpunan berhingga. Himpunan A dengan anggota a 1, a 2, a 3,, a n sering ditulis sebagai A = {a 1, a 2, a 3,, a n }. 2. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh sifat yang memenuhi dari tiap anggotanya (metode aturan). Notasi umum yang menggambarkan metode ini adalah A = {x P(x)}. Dengan simbol dinotasikan sebagai yang seperti, dan P(x) menunjuk proposisi dari bentuk x memiliki sifat P. 5
2 3. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi biasa disebut sebagai fungsi karakteristik yang menyatakan elemen dari X merupakan anggota dari himpunan tersebut atau tidak. Himpunan A didefinisikan oleh sebuah fungsi karakteristik μ A sebagai berikut: 1, untuk x A μ A = { 0, untuk x A. Fungsi karakteristik di atas memetakan elemen-elemen A ke anggota-anggota himpunan {0, 1}, secara formal dinyatakan sebagai, μ A : X [0,1]. Untuk x X, μ A (x) = 1, x anggota A; saat μ A (x) = 0, x bukan anggota A. Fungsi keanggotaan μ yang memetakan himpunan universal X yang merupakan himpunan klasik, ke interval bilangan riil [0,1] disebut himpunan fuzzy μ menurut Klir (1995: 11). Definisi Klir (1995: 11) Misal X adalah himpunan dari objek tertentu, himpunan fuzzy μ dari himpunan X adalah pemetaan anggota-anggota X ke interval riil [0,1] dan dinotasikan sebagai berikut. μ X [0,1]. Untuk lebih jelas memahami definisi di atas, diberikan contoh himpunan fuzzy sebagai berikut: 6
3 Contoh Suatu himpunan A didefinisikan sebagai bilangan riil R yang mendekati 10. Dari definisi himpunan fuzzy, A merupakan pemetaan dari bilanganbilangan riil R ke interval tertutup [0, 1], atau dapat ditulis sebagai A: R [0,1]. Selanjutnya himpunan A dapat digambarkan pada Gambar 2.1. berikut: A(x) Gambar 2.1. Bilangan riil R yang mendekati 10. B. Grup Grup merupakan salah satu struktur aljabar yang memuat suatu operasi biner beserta aksioma-aksiomanya. Berikut diberikan definisi dari grup. Definisi Gallian (2010: 41) Misalkan G merupakan sebuah himpunan bersama dengan sebuah operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan pasangan berurutan (a, b) dari anggota-anggota G dengan setiap anggota dalam G dapat dinotasikan sebagai ab. G dikatakan sebagai grup atas operasi ini jika memenuhi tiga sifat berikut. i. Asosiatif. Operator ini bersifat asosiatif; memenuhi (ab)c = a(bc) untuk setiap a, b, c dalam G. 7
4 ii. Identitas. Terdapat elemen identitas e di dalam G sedemikian sehingga ae = ea = a untuk setiap a dalam G. iii. Invers. Untuk setiap elemen a dalam G, terdapat suatu elemen b dalam G (b disebut sebagai invers dari b) sedemikian sehingga ab = ba = e. Dari definisi di atas diberikan contoh grup berikut. Contoh Himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan rasional Q, dan himpunan bilangan rill R merupakan grup dengan penjumlahan biasa, yang mempunyai elemen identitas 0 dan invers dari elemennya adalah negatif dari elemen tersebut. Contoh Himpunan bilangan rasional positif Q + merupakan suatu grup dengan perkalian biasa. Invers dari elemannya yakni 1/a = a -1. Jika suatu grup memiliki sifat a b = b a untuk setiap a, b G, maka grup tersebut disebut sebagai grup komutatif atau grup abelian (Gallian, 2010: 41). Berikut contoh grup abelian. Contoh (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (C, +) masing-masing merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0 dan invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut. Contoh Jika n suatu bilangan bulat positif dan nz adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan n, maka (nz, +) merupakan suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan untuk nz = { kn k bilangan bulat}, dengan n suatu bilangan bulat positif. 8
5 a. Terdapat x, y nz, maka x = an, y = bn, dengan a, b Z, sehingga x + y = an + bn = (a + b)n. Karena a, b Z, maka (a + b) Z, sehingga (a + b)n nz, yaitu (x + y) nz. Jadi operasi + pada nz merupakan operasi biner. b. Karena nz Z dan operasi + pada Z bersifat asosiatif dan komutatif, maka operasi + pada nz juga bersifat asosiatif dan komutatif. c. Elemen identitasnya adalah 0, sebab jika x nz, maka x + 0 = 0 + x = x. d. Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut yakni jika x nz maka inversnya adalah x nz, sehingga x + ( x) = ( x) + x = Subgrup Subgrup yang terdapat di dalam struktur grup didefinisikan oleh Gallian (2010: 58) sebagai berikut, Definisi Gallian (2010: 58) Jika H subhimpunan dari suatu grup G sehingga H merupakan suatu grup dengan operasi yang bersesuaian dengan G, maka H disebut sebagai subgrup dari G. Untuk lebih jelas, diberikan contoh subgrup sebagai berikut. Contoh Subgrup yaitu (Z, +) merupakan grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika 5Z = {5n n Z}, yaitu himpunan semua bilangan bulat 9
6 kelipatan 5, maka (5Z, +) adalah suatu grup. Kerana 5Z Z, maka 5Z subgrup dari Z. 2. Sifat-Sifat Grup Merujuk pada tulisan Gallian (2010: 48-50), sifat-sifat dari struktur aljabar grup sebagai berikut. Pada Teorema dinyatakan bahwa grup hanya memiliki satu elemen identitas. Teorema Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup G hanya ada satu elemen identitas. Diberikan teorema berikut yang menyatakan hukum kanselasi oleh Gallian (2010: 48). Teorema Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup G berlaku hukum kanselasi kiri dan kanan; yakni jika ba = ca maka b = c, jika ab = ac, maka b = c. Mengenai ketunggalan invers dari elemen-elemen dalam grup diberikan teorema berikut oleh Gallian (2010: 49). Teorema Gallian (2010: 49) Untuk sebarang elemen a dalam grup G, terdapat elemen tunggal b dalam G sedemikian sehingga ab = ba = e. 3. Subgrup Normal Subgrup Normal didefinisikan menurut Gallian (2010: 178) sebagai berikut. 10
7 Definisi Gallian (2010: 178) Subgrup H dari grup G disebut sebagai subgrup normal dari G jika ah = Ha, untuk setiap a G, yang dinotasikan oleh H G. Berdasarkan definisi diberikan contoh subgrup normal sebagai berikut. Contoh Misalkan S 3 = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} merupakan grup simetri tingkat 3. N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah subgrup dari S 3. Untuk menunjukkan bahwa N merupakan subgrup normal dari S 3 maka harus memenuhi an = Na, untuk setiap a anggota S 3. (1)N = {(1 2), (1 3), (2 3)} (1 2)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 3)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (2 3)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 2 3)N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} (1 3 2)N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} N(1) = {(1 2), (1 3), (2 3)} N(1 2) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(1 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(2 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(1 2 3) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} N(1 3 2) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Jadi N merupakan subgrup normal dari S 3. 11
8 4. Grup Faktor Menurut Gallian (2010: 180) grup faktor didefinisikan berikut. Definisi Gallian (2010: 180) Misalkan G grup dan H subgrup normal dari G. Himpunan G H = { ah a G} adalah grup atas operasi (ah)(bh) = abh. Berdasarkan Definisi di atas, berikut diberikan contoh subgrup normal. Contoh Misalkan U(11) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan modulo 11 adalah suatu grup abelian. N = {1, 10} suatu subgrup normal dari U(11). 1N = {1, 10} = N = 10N 2N = {2, 9} = 9N 3N = {3, 8} = 8N 4N = {4, 7} = 7N 5N = {5, 6} = 6N, Jadi grup faktor U(11) oleh N adalah U(11) N = { N1, N2, N3, N4, N5}. 5. Homomorfisme Grup Selain subgrup, terdapat pula homomorfisme pada struktur grup. Menurut Gallian (2010: 200) homomorfisme grup didefinisikan sebagai berikut. Definisi Gallian (2010: 200) Suatu homomorfisme φ dari suatu grup G ke grup G merupakan pemetaan dari G ke G yang melanggengkan operasi grup. Hal tersebut menunjukkan bahwa φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b G. 12
9 Misalkan (G, ) dan (G 1, 1 ) merupakan grup dan f merupakan fungsi yang memetakan G ke G 1. f disebut sebagai sebuah homomorfisme dari G ke G 1 jika untuk setiap a, b G, f(a b) = f(a) 1 f(b). Galian (2010: 200) mendefinisikan mengenai kernel dari suatu homomorfisme sebagai berikut. Definisi Gallian (2010: 200) Kernel dari suatu homomorfisme φ dari grup G ke grup dengan elemen identitas e adalah himpunan {x G φ(x) = e}. Kernel dari φ dinotasikan sebagai Ker φ. Sifat-sifat dari homomorfisme suatu grup yang berkaitan dengan kernel ditunjukkan oleh (Gallian, 2010: 202) pada teorema berikut. Teorema Gallian (2010: 202), Misalkan φ suatu homomorfisme dari grup G ke G dan terdapat g anggota dari G. Maka, 1. φ membawa identitas dari G ke G. 2. φ(g n ) = (φ(g)) n untuk setiap bilangan bulat n. 3. Jika g terbatas, maka φ(g) membagi habis g. 4. Ker φ adalah subgrup dari G. 5. φ(a) = φ(b), jika dan hanya jika a Ker φ = b Ker φ. 6. Jika φ(g) = g, maka φ 1 (g ) = {x G φ(x) = g } = g Ker φ. Untuk lebih jelas mengenai homomorfisme grup, diberikan contoh mengenai homomorfisme berikut. 13
10 Contoh Misalkan (Z, +) adalah grup bilangan bulat dengan penjumlahan aritmetik dan Z n = {[0], [1], [2],, [n 1]} dengan penjumlahan (+) modulo n. Pemetaan φ: Z Z n didefinisikan oleh φ(m) = [m], m Z. Apabila m, r Z, maka φ(m) = [m], φ(r) = [r] dan (m + r) Z, sehingga φ(m + r) = [m + r] = [m] + [r] = φ(m) + φ(r). Jadi, φ merupakan suatu homomorfisme dari Z ke Z n. Teorema pertama isomorfisme grup menurut Gallian (2010: 207). Teorema Gallian (2010: 207) Misalkan φ merupakan homomorfisme dari grup G ke G. Maka pemetaan dari G/Ker φ ke φ(g), diberikan oleh gker φ φ(g), adalah suatu isomorfisme yang ditulis sebagai, G Ker φ φ(g). C. Ring Ring merupakan salah satu struktur aljabar yang menyertakan dua operasi biner. Merujuk dari tulisan Gallian ring didefinisikan sebagai berikut. Definisi Gallian (2010: 237) Suatu himpunan R tak kosong dengan dua operasi biner (penjumlahan + dan perkalian ), sedemikian sehingga untuk setiap a, b, c dalam R berlaku: 1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). 14
11 3. Terdapat identitas penjumlahan yang disebut 0. Sehingga memenuhi a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a dalam R. 4. Terdapat elemen a dalam R sedemikian sehingga a + ( a) = a(bc) = (ab)c. 6. a(b + c) = ab + ac dan (b + c)a = ba + ca. Dari Definisi di atas, diberikan beberapa contoh ring berikut. Contoh Himpunan bilangan bulat (Z), himpunan bilangan rasional (Q), himpunan bilangan riil (R), dan himpunan bilangan komplek (C), dengan penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. Contoh lain mengenai ring sebagai berikut. Contoh Jika n Z, subhimpunan nz = {a Z: n membagi a} dari bilangan bulat merupakan operasi tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian, yang jelas memenuhi aksioma ring, sehingga membentuk sebuah ring terhadap dirinya sendiri. Contoh Z 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yaitu himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 7. Z 7 dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7 adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan [1]. Berikut ini tabel cayley penjumlahan dan perkalian dari Z 7. 15
12 Tabel 2. 1 Tabel Cayley penjumlahan dari Z [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] Tabel 2. 2 Tabel Cayley perkalian dari Z 7. 7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1] Memperhatikan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2, tampak sifat tertutup dari penjumlahan dan perkalian modulo 7 dipenuhi, dengan elemen identitasnya adalah [0], invers terhadap penjumlahan modulo 7 dari elemen-elemennya adalah negatifnya, yaitu [0] = [0], [1] = [6], [2] = [5], [3] = [3], [4] = [3], [5] = [2], [6] = [1]. Karena tabel simetris terhadap diagonal utama maka penjumlahan modulo 7 maupun perkalian modulo 7 pada Z 7 bersifat komutatif. Z 7 terhadap perkalian 16
13 modulo 7, bersifat tertutup dan invers dari setiap elemennya terhadap perkalian modulo 7, yaitu [1] 1 = [1], [2] 1 = [4], [3] 1 = [5], [6] 1 = [6]. Jadi Z 7 juga merupakan medan. Selain itu, terdapat juga ring komutatif seperti yang telah dicontohkan di atas, yakni suatu ring yang mempunyai sifat komutatif terhadap perkalian. Berikut didefinisikan oleh Musili (1992: 5) ring komutatif dan elemen satuan. Definisi Musili (1992: 5) Suatu ring dikatakan sebagai ring komutatif jika semi-grup (R, ) adalah komutatif yaitu a. b = b. a untuk semua a, b R. Lebih lanjut mengenai ring, diberikan Definisi oleh Musili (1992: 5) mengenai elemen identitas perkalian dari ring. Definisi Musili (1992: 5) Jika semi-grup (R, ) mempunyai sebuah identitas yang tunggal dan dinotasikan sebagai 1R atau secara sederhana dilambangkan dengan 1 dan disebut sebagai elemen identitas perkalian atau unity dari R. Definisi berikut diberikan oleh Musili (1992: 5) menjelaskan mengenai invers pada ring. Definisi Musili (1992: 5) Andaikan R merupakan ring dengan unity. Sebuah elemen u R dikatakan sebagai unit atau invertible jika terdapat v R sedemikian sehingga uv = vu = 1. Jika u adalah sebuah unit, terdapat v sedemikian uv = vu = 1 adalah tunggal dapat dinotasikan sebagai u 1 dan disebut sebagai invers perkalian dari u. 17
14 1. Sifat-sifat Ring Sifat-sifat ring yang terdapat pada Teorema berikut membahas aturan perkalian pada ring. Teorema Gallian (2010: 239). Andaikan a, b dan c elemen dari ring R. maka 1) a0 = 0a = 0 2) a( b) = ( a)b = (ab) 3) ( a)( b) = ab 4) A(b c) = ab ac dan (b c)a = ba ca. Selain itu, jika R memiliki elemen kesatuan 1, maka 5) ( 1)a = a 6) ( 1)( 1) = 1. Teorema berikut ini menjelaskan tentang ketunggalan dari elemen kesatuan dan invers dari ring oleh Gallian (2010: 240). Teorema Gallian (2010: 240). Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka itu tunggal. Jika elemen suatu ring mempunyai invers perkalian, maka itu tunggal. 2. Subring Di dalam struktur grup terdapat subgrup sedangkan pada struktur ring juga terdapat analogi dari subgrup yakni subring, berikut didefinisikan subring menurut Gallian (2010: 240). 18
15 Definisi Gallian (2010: 240) Sebuah subhimpunan S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S itu sendiri merupkan ring dengan operasi pada R. Untuk menjamin suatu subring, diperlukan syarat cukup dan syarat perlu yang juga akan dipakai untuk membangun definisi dari ring fuzzy. Berikut ini teorema mengenai subring oleh Gallian (2010: 240). Teorema Gallian (2010: 240) Subhimpunan tak kosong S dari ring R adalah subring jika tertutup atas pengurangan dan perkalian, yakni jika (a b) dan (ab) dalam S bilamana a dan b di dalam S. Mengenai definisi subring diberikan Contoh sebagai berikut. Contoh Misalkan Z merupakan ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik dan Z 2 adalah himpunan semua bilangan genap. Z 2 dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik merupakan suatu ring. Karena Z 2 subhimpunan dari Z maka Z 2 adalah subring dari Z. 3. Ideal Ring Ideal merupakan subring dengan sifat khusus seperti didefinisikan oleh Gallian (2010: 262). Definisi Gallian (2010: 262) Suatu subring A dari ring R disebut ideal kiri dan kanan dari R jika untuk setiap r R dan setiap a A keduanya ra dan ra berada dalam A. 19
16 Jadi, suatu subring A dari R merupakan suatu ideal jika A menyerap elemen dari R yakni jika ra = {ra a A} A dan Ar = {ar a A} A untuk setiap r R. Diberikan teorema berikut yang menyatakan suatu ideal ring. Teorema Gallian (2010: 262) Suatu subhimpunan tak kosong A dari ring R adalah suatu ideal dari R jika, 1. a b A untuk a, b A. 2. ra dan ar dalam A untuk a A dan r R. Dari Definisi dan Teorema diberikan contoh ideal ring berikut. Contoh Misalkan Z merupakan ring bilangan bulat dan B adalah himpunan semua bilangan genap. B merupakan subring dari Z dan B adalah ideal kiri dan ideal kanan dari Z sehingga B adalah ideal dari Z. 4. Ring Faktor Selain ideal juga terdapat ring faktor yang merupakan analogi dengan grup faktor pada struktur aljabar grup, diberikan teorema oleh Gallian (2010: 264) sebagai berikut: Teorema Gallian (2010: 264) Misalkan R ring dan A subring dari R. Himpunan dari koset {r + A r R} adalah ring atas operasi (s + A) + (t + A) = s + t + A dan (s + A)(t + A) = st + A jika dan hanya jika A adalah ideal dari R berikut. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai ring faktor, diberikan Contoh 20
17 Contoh Misalkan Z adalah ring bilangan bulat dan M adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. M adalah ideal dari Z, sehingga koset-koset dari M dalam Z adalah: M + 1 = {, 9, 4, 1, 6, 11, } = M + 6 = M 4 = M + 2 = {, 8, 3, 2, 7, 12, } = M + 7 = M 3 = M + 3 = {, 7, 2, 3, 8, 13, } = M + 8 = M 2 = M + 4 = {, 6, 1, 4, 9, 14, } = M + 9 = M 1 = M + 0 = {, 10, 5, 0, 5, 10, } = M + 5 = M + 10 = Diperoleh, ring faktor dari M dalam Z adalah {M, M + 1, M + 2, M + 3, M + 4}. 5. Homomorfisme Ring Homomorfisme ring merupakan peluasan dari konsep homomorfisme grup yang didefinisikan oleh Gallian (2010: 280) sebagai berikut. Definisi Gallian (2010: 280) Suatu homomorfisme ring φ dari ring R ke ring S adalah pemetaan dari R ke S yang melanggengkan dua operasi ring; yakni untuk setiap a, b dalam R, φ(a + b) = φ(a) + φ(b) dan φ(ab) = φ(a)φ(b). Homomorfisme ring yang keduanya bersifat satu-satu dan onto disebut isomorfisme ring. Diberikan Contoh mengenai homomorfisme ring sebagai berikut. Contoh Koresponden φ: x 5x dari Z 4 dan Z 10 merupakan homomorfisme ring ditunjukkan sebagai berikut. 21
18 x + y = 4q 1 + r 1 dan xy = 4q 2 + r 2. Dengan 0 r 1 < 4 dan 0 r 2 < 4. Maka, φ(x + y) = φ(r 1 ) = 5r 1 = 5(x + y 4q 1 ) = 5x + 5y 20q 1 = 5x + 5y Menggunakan 5. 5 = 5 dalam Z 10 diperoleh, = φ(x) + (y) dalam Z 10. φ(xy) = φ(r 2 ) = 5r 2 = 5(xy 4q 2 ) = 5xy 20q 2 = (5. 5)xy = 5x5y = φ(x)φ(y) dalam Z 10. D. Grup Fuzzy Merujuk pada tulisan Ajmal (1994), Kandasamy (2003) dan Karyati (2015) mengenai grup fuzzy dan semigrup fuzzy yang merupakan pemetaan dari suatu grup ke interval [0,1]. Didefinisikan grup fuzzy sebagai berikut. 22
19 Definisi Ajmal (1994: 330) Misalkan G merupakan suatu grup. Subhimpunan fuzzy μ dari G disebut subgrup fuzzy dari G jika x, y G, i. μ(xy) min{μ(x), μ(y)}, ii. μ(x 1 ) μ(x). Untuk jelas mengenai Definisi diberikan contoh grup fuzzy sebagai berikut. Contoh Himpunan bilangan bulat modulo 6 (Z 6 ) terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan suatu grup yang ditunjukkan oleh tabel cayley 2.3 berikut. Tabel 2. 3 Tabel Cayley penjumlahan dari Z Dari Tabel 2.3. disimpulkan bahwa: i. Operasi biner + 6 bersifat asosiatif karena memenuhi (a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c Z 6. ii. Elemen identitasnya yakni 0. 23
20 iii. Setiap elemen Z 6 mempunyai invers di dalamnya. 0 1 = 0, 1 1 = 5, 2 1 = 4, 3 1 = 3, 4 1 = 2, 5 1 = 1. Kemudian didefinisikan pemetaan μ terhadap Z 6 yakni, μ(x) = { , untuk x = 1, 3, 5,, untuk x = 0, 2, 4. Terlihat bahwa setiap elemen Z 6 dipetakan tepat satu elemen pada interval [0,1]. Sehingga μ merupakan pemetaan. Akan ditunjukkan bahwa μ grup fuzzy dari Z 6 yaitu memenuhi aksioma berikut: i. μ(xy) min{μ(x), μ(y)}, Untuk membuktikan aksioma ini, maka harus ditunjukkan berlaku untuk setiap x, y Z 6, sehingga harus diuji berlaku untuk setiap kemungkiunan yang terjadi. Kemungkinan Misalkan P = {0, 2, 4} dan Q = {1, 3, 5}, kemungkinankemungkinan yang terjadi sebagai berikut: a. Untuk sebarang x P dan y Q maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 3, 2 } = Karena (xy) Q dan (xy) P μ(xy) = 2 dan μ(xy) = Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. b. Untuk sebarang x Q dan y P maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 2, 3 } = Karena (xy) Q dan (xy) P 24
21 μ(xy) = 2 dan μ(xy) = Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. c. Untuk sebarang x, y P maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 3, 3 } = Karena (xy) P μ(xy) = 3. 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. d. Untuk sebarang x, y Q maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 2, 2 } = Karena (xy) P μ(xy) = 3. 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma pertama grup fuzzy sehingga μ merupakan grup fuzzy dari Z 6. ii. μ(x 1 ) μ(x). Bukti aksioma kedua ditunjukkan sebagai berikut: a. Untuk x = 0 maka, μ(0 1 ) = μ(0) = 3 = μ(0). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(0 1 ) μ(0). b. Untuk x = 1 maka, 25
22 μ(1 1 ) = μ(5) = 2 = μ(1). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(1 1 ) μ(1). c. Untuk x = 2 maka, μ(2 1 ) = μ(4) = 3 = μ(2). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(2 1 ) μ(2). d. Untuk x = 3 maka, μ(3 1 ) = μ(3) = 2 = μ(3). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(3 1 ) μ(3). e. Untuk x = 4 maka, μ(4 1 ) = μ(2) = 3 = μ(4). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(4 1 ) μ(4). f. Untuk x = 5 maka, μ(5 1 ) = μ(1) = 2 = μ(5). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(5 1 ) μ(5). Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma kedua grup fuzzy sehingga μ merupakan grup fuzzy dari Z 6. Struktur aljabar grup mengenal istilah subgrup normal, pada grup fuzzy diberikan definisi normal grup fuzzy sebagai berikut. Definisi Kandasamy (2003: 11) Misalkan G Grup. Suatu subgrup fuzzy μ dari G disebut normal jika μ(x) = μ(y 1 xy) untuk setiap x, y G. 26
23 Untuk memperjelas Definisi tersebut, diberikan contoh sebagai berikut: Contoh Diberikan grup Z 6 dan pemetaan μ seperti dalam Contoh Akan ditunjukkan μ merupakan normal fuzzy untuk setiap x, y Z 6 dengan memperhatikan setiap kemungkinan yang terjadi, yaitu: i. Untuk x = 0 sehingga μ(x) = μ(0) = 3, akan ditunjukkan μ(x) = 4 μ(y 1 xy). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(0) = 3 4 = μ(x). ii. Untuk x = 1 sehingga μ(x) = μ(1) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(1) = 2 3 = μ(x). iii. Untuk x = 2 sehingga μ(x) = μ(2) = 3 4, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(2) = 3 4 = μ(x). 27
24 y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(2) = 3 4 = μ(x). iv. Untuk x = 3 sehingga μ(x) = μ(3) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(3) = 2 3 = μ(x). v. Untuk x = 4 sehingga μ(x) = μ(4) = 3 4, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(4) = 3 4 = μ(x). vi. Untuk x = 5 sehingga μ(x) = μ(5) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(5) = 2 3 = μ(x). 28
25 y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ( ) = μ(5) = 2 3 = μ(x). Berdasarkan bukti di atas untuk setiap x, y Z 6 memenuhi μ(x) = μ(y 1 xy) sehingga μ merupakan normal. Lebih lanjut secara sederhana dijelaskan oleh Ajmal (1994: 330) mengenai normal. Misalkan elemen identitas dari G adalah e, jika μ(e) = t, dan μ disebut normal jika μ(xy) = μ(yx) untuk setiap x, y G. Selain itu, pada penelitian ini juga digunakan konsep pembuktian menggunakan subhimpunan level μ t maupun > subhimpunan level kuat μ t yang didefinisikan oleh Ajmal (1993: 330) sebagai berikut. Definisi Ajmal (1994: 330) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam himpunan S dan t [0,1]. Maka, subhimpunan level (μ t ) dan subhimpunan level kuat (μ > t ) dari μ didefinisikan, i. μ t = {x S μ(x) t}, ii. μ > t = {x S μ(x) > t}. Guna memperjelas Definisi diberikan contoh subhimpunan level dan subhimpunan level kuat sebagai berikut: 29
26 Contoh Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan fuzzy μ memetakan A ke interval [0, 1] yang didefinisikan sebagai μ(x) = 2x untuk setiap x A. Sehingga diperoleh derajat keanggotaan dari elemen-elemen A sebagai berikut: i. Untuk x = 1, diperoleh μ(1) = = ii. Untuk x = 2, diperoleh μ(1) = = iii. Untuk x = 3, diperoleh μ(1) = = iv. Untuk x = 4, diperoleh μ(1) = = v. Untuk x = 5, diperoleh μ(1) = = = 1. Ditunjukkan subhimpunan level μ t dan subhimpunan level kuat μ t > dari himpunan fuzzy μ dengan t = 4, yaitu μ 10 4 = {x A μ(x) 4 } = {2, 3, 4, 5} subhimpunan level, sedangkan subhimpunan level kuat μ > 4 = {x A μ(x) > 4 } = {3, 4, 5} Dalam hal ini berlaku μ 4 μ Penyelidikan mengenai sifat-sifat ring fuzzy juga dilakukan dengan memanfaatkan peta dan pra-peta homomorfisme. Definisi mengenai pemetaan yang digunakan oleh Ajmal (1994: 330) dalam grup fuzzy tidak jauh berbeda dengan yang akan digunakan pada penelitian ring fuzzy, yakni hanya pada struktur yang digunakan. 30
27 Definisi Ajmal (1994: 330) Misalkan f pemetaan dari grup G ke grup G, μ dan η masing-masing merupakan himpunan fuzzy dari grup G dan grup G. Peta homomorfis f(μ) didefinisikan untuk setiap y G berlaku: f(μ)(y) = { sup x f 1 (y) μ(x) jika f 1 (y) 0, 0 jika f 1 (y) = 0, Prapeta dari f 1 (η) didefinisikan untuk setiap x G berlaku: f 1 (η)(x) = η(f(x)), untuk x G. berikut: Guna memperjelas definisi Definisi di atas, diberikan contoh sebagai Contoh Misalkan dibentuk pemetaan f: Z 4 Z 4 yang didefinisikan sebagai f(x) = 2x. Didefinisikan α subhimpunan fuzzy dari Z 4 sebagai berikut: α = { 3 4, x = 1 4 5, x = 2 5 6, x = 0,3, dengan demikian yang dimaksud dengan f(α)(x) adalah: a. Untuk y = 0, berlaku f(α)(1) = sup x f 1 {μ(x)}, = sup {0,2} f 1 {μ(0), μ(2)} = sup {0,2} f 1 { 5 6, 4 5 } =
28 b. Untuk y = 1, berlaku f(α)(1) = 0 karena f 1 (1) =. c. Untuk y = 2, berlaku f(α)(2) = sup x f 1 {μ(x)}, = sup {1,3} f 1 {μ(1), μ(3)} = sup {1,3} f 1 { 3 4, 5 6 } = 5 6. d. Untuk y = 3, berlaku f(α)(3) = 0 karena f 1 (1) =. Selanjutnya didefinisikan β subhimpunan fuzzy dari Z 4 sebagai berikut: β = { , x = 0, 3, x = 1,2 Sehingga untuk f 1 (β)(y) = β(f(x)) diperoleh sebagai berikut: a. Untuk x = 0, berlaku: b. Untuk x = 1, berlaku: c. Untuk x = 2, berlaku: d. Untuk x = 3, berlaku: f 1 (β)(0) = β(f(0)) = β(0) = 3 7. f 1 (β)(1) = β(f(1)) = β(2) = 5 6. f 1 (β)(2) = β(f(2)) = β(0) = 3 7. f 1 (β)(3) = β(f(3)) = β(2) =
29 Beberapa sifat-sifat dalam grup fuzzy yang telah dibuktikan oleh Ajmal (1993: 331). Proposisi dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan memanfaatkan subhimpunan level. Proposisi Ajmal (1994: 331) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam grup G. Maka, μ adalah subgrup fuzzy dari G jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong dari μ adalah subgrup dari G. Sebagai akibat dari Proposisi diperoleh Proposisi yang dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan menggunakan definisi subhimpunan level. Proposisi Ajmal (1994: 331) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam grup G. Maka, μ adalah subgrup fuzzy dari G jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level μ t untuk t Im μ adalah subgrup dari G. Selain sifat pada grup fuzzy, Ajmal (1994: 332) juga menyelidiki mengenai sifat dari subgrup normal fuzzy, sehingga diperoleh Proposisi Pembuktian yang dilakukan juga dengan memanfaatkan sifat dari subhimpunan level. Proposisi Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy μ dari G adalah suatu normal jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong μ t adalah subgrup normal dari G. Proposisi memberikan akibat pada Proposisi sehingga berlaku sebagai berikut: 33
30 Proposisi Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy μ dari G adalah normal fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level μ t untuk t Im μ adalah subgrup normal dari G. 34
RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES
J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI
RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciHOMOMORFISMA. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
HOMOMORFISMA Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 19, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Homomorfisma 3 3 Sifat-sifat Homomorfisma
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal
BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciTINGKATAN SUBGRUP DARI SUBHIMPUNAN FUZZY
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 82 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND TINGKATAN SUBGRUP DARI SUBHIMPUNAN FUZZY AFIFAH RAHAYU, NOVA NOLIZA BAKAR Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciRelasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi
Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori tentang subhimpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Hal ini menginspirasi banyak peneliti lain untuk melakukan penelitian
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciBEBERAPA SIFAT DARI SUBGRUP FUZZY
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 57 64 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BEBERAPA SIFAT DARI SUBGRUP FUZZY PUTRI EKA RIANDANI, NOVA NOLIZA BAKAR, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Gelanggang, Lapangan, dan Ruang Vektor Suatu himpunan tak kosong R disebut gelanggang jika di dalam R didefinisikan dua operasi, masing-masing dinotasikan dengan + dan., sedemikian
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING Dwi Ayu Anggraini Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : dwiayuanggraini55@gmail.com Dr.Raden Sulaiman M.Si. Matematika,
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SUBGRUP MULTI ANTI FUZZY DAN BEBERAPA SIFATNYA Umar Faruk Jurusan Matematika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciSoal-soal Latihan Pra UTS MATDAS. 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q q. ( p)
Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q p q q ( p) p 2. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? r s r t t r s 3.
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND
LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND Nomor DIPA : DIPA BLU: DIPA-025.04.2.423812/2016 Tanggal : 7 Desember 2017 Satker : (423812)
Lebih terperinciIDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciPERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACHE TUGAS AKHIR
ERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACE TUGAS AKIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh : NIKI OKTAFIANA 00087 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciPENENTUAN SUATU GRUP KUOSIEN FUZZY DARI SUATU GRUP
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 4 Hal. 89 95 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN SUATU GRUP KUOSIEN FUZZY DARI SUATU GRUP PUTRI ELIZA, NOVA NOLIZA BAKAR Program Studi Matematika,
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciI RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS)
Teori Ring Definisi dan Beberapa Contoh Ring I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS) Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciMODUL STRUKTUR ALJABAR 1. Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP
MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP 196612021999012001 Program Studi S-1 Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Januari 2017 DAFTAR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciKONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA
KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA I Ketut Suastika Pend. Matematika Univ. Kanjuruhan Malang Suastika_cipi@yahoo.co.id Abstrak Pada tulisan ini, penulis mencoba mengkonstruksi homomorfisma grup
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciTEORI HEMIRING ABSTRAK
TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia 50275 email :tri_matematika@yahoocom
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciKarakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Relatif terhadap Homomorfisma Ring
Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Relati terhadap Homomorisma Ring Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK
LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK Oleh : Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd Ahmadi, M.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinci