Restia Sarasworo Citra 1, Suryoto 2. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

Transkripsi

1 ENDOMORFISMA DARI BCH-AJABAR Restia Sarasworo Citra 1 Suryoto 1 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto S. H Tembalang Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstract. BCH-algebras is an algebraic structure which built on a commutative group. In BCHalgebra there is a mapping from this structure to itself which called a BCH-endomorphism. In BCH-algebra contet we denote as a set of all left mapping and it contains which the only non-identity BCH-endomorphism in with some properties : the left map is a center of BCHendomorphism both be a periodic mapping dan an epimorphism on BCH-algebra. Such as a group with the fundamental group homomorphism theorem in a BCH-algebra we have a fundamental BCH-algebra homomorphism theorem. Keywords : endomorphism left mapping periodic. 1. PENDAHUUAN Pada tahun 1996 Y. Imai dan K. Iseki telah memperkenalkan dua kelas penting dari aljabar logika yaitu BCKaljabar dan BCI-aljabar [5 6]. Selanjutnya pada referensi [3 4] Q. P. Hu dan X. i juga memperkenalkan kelas aljabar logika yang lain yang disebut BCH-aljabar. Oleh keduanya diperlihatkan bahwa BCH-aljabar merupakan perumuman dari BCI-aljabar. Pembahasan BCH-aljabar lebih lanjut dilakukan oleh M. A. Chaudary dan H. Fakhruddin [1]. Menurut [3] BCHaljabar merupakan struktur aljabar yang dibentuk dari grup komutatif. Di dalam BCH-aljabar seperti telah dipakai pada [] notasi dimaksudkan adalah himpunan semua pemetaan kiri dari BCH-aljabar ke dirinya sendiri di mana pemetaan kiri ini dituliskan dengan notasi : X X dimana setiap unsur t di X dikaitkan dengan unsur t di X yang didefinisikan oleh ( t t. Di dalam himpunan semua pemetaan kiri tersebut terdapat yang didefinisikan dengan ( t t di mana pemetaan tersebut merupakan BCH-endomorfisma. Pada makalah ini akan dibahas lebih jauh mengenai pemetaan ini dan sifat-sifat pentingnya.. BCH-AJABAR Berikut ini terlebih dahulu diberikan definisi dari BCH-aljabar. Definisi.1 [3] [4] Misalkan ( X suatu grup komutatif dengan operasi biner dan sebagai unsur identitas. Selanjutnya jika pada X didefinisikan operasi biner dengan 1 y y y X maka tripel terurut ( X dikatakan BCH-aljabar jika untuk setiap y z X memenuhi aksioma-aksioma berikut : (BCH1 (BCH jika y dan y maka y (BCH3 ( y z ( z y Contoh.1 Misalkan { 1} X suatu himpuanan yang dilengkapi dengan operasi biner seperti diberikan oleh tabel berikut. Tabel 1. Operasi pada X

2 Restia Sarasworo Citra dan Suryoto (Endomorfisa dari BCH-Aljabar Terlihat bahwa { 1} X merupakan grup komutatif terhadap operasi. Selanjutnya jika pada X didefinisikan operasi dengan 1 y y y X maka diperoleh tabel berikut ini. Tabel. Operasi pada X X {1} dengan operasi biner seperti pada Tabel. merupakan BCH-aljabar karena y z X memenuhi aksioma BCH1BCH dan BCH3. Proposisi. [3] Jika ( X adalah suatu BCH-aljabar maka berlaku sifat-sifat berikut : ( y ( ( y 4. ( ( 5. { ( y } y Selanjutnya diberikan definisi BCHendomorfisma beserta sifat pentingnya seperti diberikan oleh definisi dan teorema berikut. Definisi.3 [3] Suatu pemetaan φ : X X pada BCH-aljabar ( X disebut BCHendomorfisma jika φ( y φ( φ( y untuk semua y X. Teorema.4 [3] Jika φ : X X adalah suatu BCH- endomorfisma dari ( X maka : (i φ ( (ii φ( φ( (iii Jika y maka φ ( φ( y (iv Jika S adalah BCH-subaljabar dari X maka φ ( S adalah BCHsubaljabar dari X juga (v Jika S adalah suatu BCH-ideal dari X maka φ ( S adalah BCH- ideal dari X juga (vi Ker { X : φ( } dari X untuk setiap φ dalam End ( X φ adalah ideal Definisi.5 [3] Untuk setiap elemen X berpadanan dengan pemetaan kiri dengan pemetaan : X X didefinisikan oleh ( t t untuk semua t X. 3. ENDOMORFISMA DARI BCH- AJABAR Dari Definisi.5 jika maka dipunyai pemetaan kiri. Berikut ini diberikan definisi mengenai pusat dari himpunan semua endomorfisma dari X dan pemetaan kiri ini. Definisi 3.1 [] Misalkan End(X menyatakan himpunan semua endomorfisma dari BCHaljabar ( X pusat dari End(X dinotasikan dengan p(end(x tidak lain adalah p(end(x {f End(X f o φ φ o f φ End (X}. Teorema 3. [3] Misalkan ( X adalah BCH-aljabar maka adalah satu-satunya BCH-endomorfisma dari X di dalam. Dapat dibuktikan bahwa adalah suatu endomorfisma dari X sebab untuk semua y X berlaku : ( ( y ( y Akan ditunjukkan bahwa adalah satu-satunya BCH-endomorfisma dari X di dalam. Diambil sebarang X dengan kemudian dibentuk pemetaan : X X melalui pengaitan setiap unsur t di X dikaitkan dengan unsur t di X atau ( t t. Andaikan suatu endomorfisma pada X maka berlaku : ( ( ( Bertentangan dengan. Jadi dengan bukan merupakan endomorfisma pada X atau dengan kata lain satu-satunya endomorfisma pada X di dalam adalah. 4

3 Jurnal Matematika Vol. 16 No. 1 April 13 : Teorema 3.3 [] Pada BCH-aljabar ( X termuat di dalam pusat dari BCH-endomorfisma. Misalkan φ adalah endomorfisma pada ( X dan sebarang unsur pada X maka : φ o ( φ [ ( ] φ ( φ( oφ( Karena hal ini berlaku φ End( X dan X maka didapat φ o oφ yaitu p(end(x. Dalam BCH-aljabar ( X untuk semua X akan diberikan notasinotasi perpangkatan yang akan digunakan pada pembahasan lebih lanjut yaitu : 1 (i (ii ( 3 (iii ( ( n (iv ( (... ( sebanyak n kali semua n bilangan bulat positif. Teorema 3.4 [] Misalkan ( untuk X suatu BCH-aljabar maka untuk sebarang bilangan bulat positif l m k dan y X berlaku : k k +1 (a ( l m l+ m (b ( l l l (c ( ( y ( y Teorema 3.5 [] Jika ( X merupakan BCH-aljabar maka untuk semua X berlaku: 3 3 ( ( Teorema 3.6 [] Pada BCH-aljabar ( X adalah pemetaan periodik dengan periode. Diambil sebarang unsur X akan diperoleh: (i ( (ii ( sehingga dapat diperoleh bahwa : ( n Teorema 3.7 [] Pada BCH-aljabar ( adalah pemetaan identitas dari ( X. X Menurut Teorema 3.6 dapat dilihat bahwa adalah pemetaan periodik dengan periode dan karena ( X maka adalah pemetaan identitas dari. Teorema 3.8 [] Pada BCH-aljabar ( adalah epimorfisma pada X. Misalkan diambil sebarang unsur dipilih ( y y ( ( (( y (( y ( y X y X dan akan dibuktikan X X y. y Teorema 3.9 [] Jika ( X adalah BCHaljabar maka untuk semua y z X berlaku: y y (a ( ( (b ( z ( y ( ( y z (a Diambil sebarang untuk semua n ganjil untuk semua n genap y X maka : 3 ( y ( y ( ( y 41

4 Restia Sarasworo Citra dan Suryoto (Endomorfisa dari BCH-Aljabar (b Diambil sebarang (( y ( y ( ( y y z X maka ( z ( y ( z ( ( y ( ( y ( z (( y z ( ( ( y z ( ( y z ( y z ( ( y z Akibat 3.1 [] Pada BCH-aljabar ( ( ( y y y X X berlaku Diambil sebarang y X maka : ( ( y ( ( ( y y ( (( ( y ( (( ( (( ( y ( y ( y y Akibat 3.11 [] Pada BCH-aljabar ( X berlaku y z z y y z Diambil sebarang y z X maka : (( ( ( X (( y ( z (( ( z y ( ( ( z ( y ( z ( y ( z y Akibat 3.1 [] Pada BCH-aljabar X berlaku ( ( y ( y ( y X Diambil sebarang y X maka : ( y ( y ( ( ( y ( y 4. REASI PADA BCH-AJABAR Berikut akan diberikan definisi mengenai relasi ~ pada BCH-aljabar. Definisi 4.1 []Misalkan ( X merupakan BCH-aljabar relasi ~ pada X didefinisikan dengan ~ y y untuk setiap y X. Teorema 4. Pada BCH-aljabar ( X relasi ~ bersifat refleksif tidak simetris antisimetris dan tidak transitif. a Relasi ~ bersifat refleksif artinya X berlaku ~. Diambil sebarang X maka menurut aksioma BCH1 atau ~. b Relasi ~ bersifat tidak simetris Andaikan relasi ~ bersifat simetris maka y X dan berlaku ~ y maka y ~. Diambil sebarang y X dan berlaku ~ y atau y. Akan diperlihatkan apakah y ~ atau y. Dalam hal ini terdapat dua kemungkinan terhadap unsur dan y yaitu y atau y. (i Untuk y maka y ini berarti y ~. (ii Untuk y klaim bahwa y. Andaikan y dengan mengingat bahwa ~ y yaitu y maka akan diperoleh y hal ini bertentangan dengan y jadi yang benar adalah y. Dari (ii dapat disimpulkan bahwa relasi ~ tidak simetris. 4

5 Jurnal Matematika Vol. 16 No. 1 April 13 : c Relasi ~ bersifat antisimetris yaitu. y X dan berlaku ~ y dan y ~ maka y. d Relasi ~ bersifat tidak transitif Andaikan relasi ~ bersifat transitif maka y z X dan berlaku ~ y dan y ~ z maka ~ z. Diambil sebarang y z X dan berlaku ~ y dan y ~ z maka dari dua hubungan diatas dipunyai y dan y z. Akan diperlihatkan apakah ~ z atau z. Terdapat dua kemungkinan terhadap unsur y dan z yaitu : (i y z Untuk y z maka z (ii y dan z ketiganya berbeda. akan diperlihatkan apakah ~ z atau z. z ( z ( ( z ( z y Karena ( z y maka z. Dari (ii dapat disimpulkan bahwa relasi ~ tidak transitif. Teorema 4.3 [] Pada BCH-aljabar ( X relasi ~ bersifat transitif jika ~ dan ~ y maka ~ y. Diambil sebarang y X berlaku ~ atau dan ~ y atau y. Akan dibuktikan bahwa ~ y atau y. ( y y ( ( y (( ( y atau dapat dikatakan bahwa ~ y. Selanjutnya akan diberikan definisi relasi pada BCH-aljabar X Definisi 4.4 [] Misalkan ( X suatu BCHaljabar relasi pada X didefinisikan dengan y y Ker( untuk setiap y X. emma 4.5 [] Misalkan ( X suatu BCHaljabar dan terdapat relasi pada X maka berla y y ; y X. Dengan melihat definisi dari relasi dimana untuk setiap y X berlaku y Ker maka y X akan y ( dibuktikan bahwa y Ker ( y. ( Diambil sebarang y X dan misalkan y Ker atau berlaku ( ( y ( y maka ( y atau ( ( y disisi lain ( ( y atau ( (... (4.1 y... (4. Dari (4.1 dan (4. menurut aksioma BCH maka terlihat bahwa y. ( Diambil sebarang y X dan berlaku y maka dari y didapat ( ( y atau ( y yaitu y yang memberikan ( y Ker(. Teorema 4.6 Misalkan ( X adalah BCHaljabar relasi merupakan relasi ekuivalensi. Akan dibuktikan bahwa relasi bersifat refleksif simetris dan transitif. a Relasi bersifat refleksif yaitu X berlaku. Diambil sebarang X maka atau ( yaitu ( Ker(. Maka benar bahwa. 43

6 Restia Sarasworo Citra dan Suryoto (Endomorfisa dari BCH-Aljabar b Relasi bersifat simetris yaitu y X dan berlaku y maka y. Diambil sebarang y X dan berlaku y y Ker atau ( atau ( y ( y. Akan dibuktikan bahwa y Ker( atau ( y. ( y ( ( y ( y atau ( y yaitu y Ker( maka y. c Relasi bersifat transitif yaitu y z X berlaku y dan y z maka z. Diambil sebarang y z X dan berlaku y y Ker atau ( atau ( y ( y dan y z atau y z Ker( atau ( y z ( y z.akan dibuktikan bahwa z Ker(. ( z ( ( z ( ( z ( z ( ( z ( z ( z ( z atau ( z yaitu z Ker( atau dengan perkataan lain z. Jadi karena relasi bersifat refleksif simetris dan transitif maka relasi disebut relasi ekuivalensi. Definisi 4.7 [] Misalkan X adalah himpunan tidak kosong dan terdapat relasi R 1 dan R pada X maka relasi R disebut penutup ekuivalen dari R 1 pada X jika : (i R 1 R (ii R adalah relasi ekuivalensi. Teorema 4.8 [] Pada BCH-aljabar X dan terdapat relasi ~ dan ( pada X maka relasi disebut penutup ekuivalen dari ~ pada X. (i Pertama akan dibuktikan bahwa ~. Diambil sebarang y X akan ditunjukkan apabila ~ y maka y. Diambil sebarang ( y ~ maka ~y y y Ker( y Dengan kata lain ( y Sehingga terbukti bahwa ~. (ii Telah dibuktikan bahwa relasi merupakan relasi ekuivalensi Sehingga karena ~ dan relasi merupakan relasi ekuivalensi maka relasi merupakan penutup ekuivalen dari ~ pada X. Dengan mengingat bahwa relasi merupakan relasi ekuivalensi yang didefinisikan dengan y jika dan hanya jika y Ker( apabila dipilih salah satu kelas ekuivalensi yang memuat yaitu X { } { X Ker( } { X } Ker( maka ( Ker merupakan salah satu kelas ekuivalensi pada X sehingga dapat dibentuk aljabar hasil bagi X / Ker(. Akibat 4.9 [] Jika Ker ( X maka BCHaljabar hasil bagi X / Ker( yaitu X / X X. Karena Ker ( X maka X / Ker( X / X. Akan ditunjukkan bahwa X / X X. X X X X / { } X 44

7 Jurnal Matematika Vol. 16 No. 1 April 13 : Selanjutnya apabila aljabar hasil bagi X / Ker( dilengkapi operasi biner " " kemudian diambil sebarang y X / Ker( dan dibentuk pengaitan : : ( y a ( y dengan y y yang mendefinisikan pemetaan X X X : Ker( Ker( Ker( Dengan menggunakan operasi tersebut dan dilengkapi dengan sebagai elemen khusus maka dapat dibentuk ( X / Ker( Teorema 4.1 [] Jika Ker ( { X : } adalah ideal sejati pada X maka aljabar hasil bagi X / Ker( adalah BCH-aljabar. Pada BCH-aljabar ( X didefinisikan aljabar hasil bagi X / Ker( { Ker( X }. (i Pertama akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa X / Ker( { }. Aljabar hasil bagi X / Ker( { } karena paling tidak terdapat X / Ker( yaitu yang disebabkan karena setidaknya terdapat X dan Ker(. (ii Kedua akan diperlihatkan bahwa X / Ker( adalah BCH-aljabar yaitu ( y z X / Ker memenuhi aksioma BCH1 BCH dan BCH3. 1. Aksioma BCH1 dipenuhi yaitu.. Aksioma BCH dipenuhi yaitu jika y dan y maka y 3. Aksioma BCH3 dipenuhi yaitu ( y z ( z y Karena semua aksioma BCH-aljabar terpenuhi maka ( X / Ker( adalah suatu BCHaljabar. Teorema 4.11 [] Pada BCH-aljabar ( X η : X X Ker yang pemetaan / ( didefinisikan dengan η ( Ker( adalah BCH-homomorfisma. Bukti: Pertama Untuk setiap unsur dibentuk pengaitan η : η ( diambil sebarang unsur y X y maka: η y X dengan sesuai dengan pengaitan diatas η ( ( sehingga ini berarti pengaitan η : η ( mendefinisikan pemetaan η : X X / Ker(. Kedua akan diperlihatkan bahwa η : X X / Ker( merupakan suatu homomorfisma. Diambil sebarang y X maka η y y Ker ( ( ( η ( ( y η Teorema 4.1 [] Jika X adalah suatu BCHaljabar dan adalah epimorfisma pada X maka X / Ker X. Untuk bukti bagian ini dapat dipandang diagram komutatif berikut. 45

8 Restia Sarasworo Citra dan Suryoto (Endomorfisa dari BCH-Aljabar η X X Ker( Gambar 1 Diagram Komutatif Teorema Fundamental Homomorfisma BCH-aljabar Pertama untuk sebarang unsur tetap X / Ker( dibentuk pengaitan η : a (. Akan diperlihatkan bahwa pengaitan ini mendefinisikan pemetaan η : X / Ker( X. Untuk itu diambil sebarang unsur y X yang mewakili satu koset di X / Ker( yaitu y maka Ker( y Ker( ( y Ker( Ker( Akibatnya y Ker( atau ( y selanjutnya karena ( y maka ( ( y. Ini berarti pengaitan η : a ( tidak bergantung pada wakil koset sehingga benar bahwa pengaitan η : a mendefinisikan suatu ( pemetaan : X / Ker( X η. Kedua akan diperlihatkan bahwa pemetaan η : X / Ker( X merupakan homomorfisma. Diambil sebarang y X maka: η Ker y Ker η (( ( ( ( η (( y Ker( η ( Ker( η( y Ker( X Akan diperlihatkan bahwa η : X / Ker( X suatu pemetaan yang bijektif. (i Akan diperlihatkan bahwa η : X / Ker( X pemetaan yang bersifat satu satu. Diambil sebarang y X / Ker sedemikian hingga ( η ( η( y maka ( ( y ( y ( y y ( y akibatnya y... (4.1 y Di sisi lain ( ( ( ( y ( y yaitu y... (4. Dengan demikian dari (4.1 dan (4. serta menurut aksioma BCH maka y (ii Akan diperlihatkan bahwa η : X / Ker( X merupakan pemetaan yang bersifat pada. Diambil sebarang ' X karena : X X epimorfisma maka ( η( X '. Dengan demikian terbukti bahwa X / Ker X. Selanjutnya akan diperlihatkan homomorfisma η : X / Ker( X adalah tunggal. Misalkan terdapat homomorfisma η ': X / Ker yang memenuhi ( X η ' η. Diambil sebarang unsur X / Ker( maka η '( η' ( η ( ( η'η ( ( ηη ( ( η Karena ini berlaku untuk setiap X / Ker( hasil diatas memperlihatkan bahwa η ' η yaitu 46

9 Jurnal Matematika Vol. 16 No. 1 April 13 : homomorfisma η : X / Ker( X tunggal. Terakhir untuk memperlihatkan kekomutatifan diagram di atas akan diperlihatkan beberapa hal berikut : a. Akan diperlihatkan ηη. Diambil sebarang unsur X maka berlaku : ( ηη ( η( ( η η( ( Dan karena ini berlaku X maka terbukti bahwa ηη b. Terakhir karena untuk setiap homomorfisma : X X terdapat suatu homomorfisma η : X / Ker( X yang tunggal dan bersifat 1-1 maka diagram di atas komutatif. 5. PENUTUP Dari pembahasan pada bagian sebelumnya didapat kesimpulan bahwa pemetaan kiri mempunyai beberapa sifat penting yaitu merupakan pusat dari BCH-endomorfisma merupakan pemetaan periodik dengan periode sehingga merupakan pemetaan identitas dan adalah epimorfisma BCH-aljabar. Selain itu pada BCH-aljabar dapat didefinisikan relasi ekuivalensi yang dapat digunakan untuk membentuk aljabar hasil bagi yang mempunyai struktur berupa BCH-aljabar pula. Selanjutnya sebagaimana terorema fundamental homomorfisma yang dapat ditemukan pada pembahasan grup pada BCHaljabar juga dipunyai teorema fundamental homomorfisma BCH-aljabar. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Chaudary M.A and H. Fakhruddin (3 On Some Classes of BCH-algebra IJMMS 7 : [] Dar K.H. and M. Akram (6 On Endomorphism of BCH- algebra Annals of University of Craiova Math. Comp. Sci. Ser 33: 7 34 [3] Hu Q.P. and X. i (1983 On BCH- Algebras Mathematics Seminar Notes 11 : [4] Hu Q.P. and X. i (1985 On Proper BCH-Algebras Math. Japonica 3 : [5] Imai Y. And K. Iseki (1996 On Aioms Systems of Proportional Calculi XIV Proc. Japon Academy 4 : 19 [6] Iseki K. (1996 An Algebra Related with A Propositional Calculus Proc. Japan Acad. 4 :