KESETARAAN UJI PEPIN DAN LUCAS-LEHMER. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

Transkripsi

1 KESETARAAN UJI PEPIN DAN LUCAS-LEHMER Yulismasyah 1 *, Sri Gemawati, Musraii M 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika akultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kamus Biawidya Pekabaru (89), Idoesia * yulismasyah_matematika08@yahoocom ABSTRACT Pei test rovides a ecessary ad sufficiet coditio for a ermat umber to be a rime Lucas-Lehmer test rovides a ecessary ad sufficiet coditio for a Mersee umber to be a rime I this article, we review a art of the work of Jaroma [Euroea Joural of Pure ad Alied Mathematics Vol, No, 009, (5-60)] that is the equivalece structure of Pei test ad Lucas-Lehmer test through Lehmer sequeces so that both test ca be used to check whe a ermat umber or a Mersee umber to be a rime Keywords: Prime umbers, rimality, Lehmer sequece, Pei test, Lucas-Lehmer test ABSTRAK Uji Pei memberika syarat erlu da cuku agar suatu bilaga ermat meruaka bilaga rima, semetara uji Lucas-Lehmer memberika syarat erlu da cuku agar bilaga Mersee meruaka bilaga rima Tulisa ii meruaka review sebagia dari tulisa Jaroma [Euroea Joural of Pure ad Alied Mathematics Vol, No, 009, (5-60)] yag berisika kesetaraa atara uji Pei da uji Lucas-Lehmer melalui barisa Lehmer sekawa sehigga kedua uji ii daat diguaka utuk meetuka kaa sebuah bilaga ermat atau bilaga Mersee meruaka bilaga rima Kata Kuci: Bilaga rima, uji rimalitas, barisa Lehmer, uji Pei, uji Lucas- Lehmer 1 PENDAHULUAN Bilaga rima meruaka salah satu materi etig ada bidag teori bilaga sebagai eleme himua bagia dari himua bulat ositif Bilaga rima adalah bilaga bulat ositif > 1 yag haya memiliki dua faktor yaitu satu da bilaga itu sediri Sebagai cotoh yaitu Pierre de ermat ( ) dega bilaga ermat da Mari Mersee ( ) dega bilaga Mersee [1, h 5-6], [11, h 71-76], [14, h 15-17] JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015

2 Bilaga ermat adalah bilaga bulat dalam betuk = + 1, dimaa 0 Utuk meghormati Pierre de ermat ( ) yag sagat yaki bahwa bilaga tersebut selalu rima, bilaga tersebut diberi ama bilaga ermat Pada tahu 17, Leohard Euler meyataka kekuraga dari eryataa ermat dega emfaktora 5, kemudia ada tahu 1880 Ladry meujukka 6 buka bilaga rima da ada awal tahu 1970 Ladry meujukka 7 buka meruaka bilaga rima, sehigga dugaa dieroleh tidak ada bilaga rima ermat di atas = 4 kemudia sebuah syarat erlu da cuku utuk egujia bilaga rima dari setia bilaga ermat disediaka oleh uji Pei yag disebut juga r Théohile Pei ( ) [1, h 5-6], [14, h 15-17] Bilaga Mersee meruaka bilaga bulat dega betuk M = 1, dimaa 1 Mari Mersee ( ) meyataka bilaga tersebut rima utuk {,, 5, 7, 1, 17, 19, 1, 67, 17, 57} da komosit utuk semua bilaga selai dari 57 Dierluka waktu lebih dari 00 tahu bagi matematikawa utuk membuktika dugaa tersebut memuyai kekuraga da Mersee telah membuat beberaa kesalaha Utuk itu uji Lucas-Lehmer meyediaka syarat erlu da cuku utuk bilaga Mersee yag meruaka bilaga rima [1, h 5-6], [1] Meskiu tidak ada eryataa kokrit, baik uji Pei da Lucas-Lehmer meruaka egujia bilaga rima yag secara ihere berasal dari sifat-sifat barisa Lehmer da kedua uji tersebut daat dibuktika dega argume yag samakesamaa atara kedua uji rimalitas ii tamakya telah diabaika Misalya, uji Pei yag embahasa uji rimalitasya dilakuka berdasarka barisa Lucas Selajutya, Uji Pei tidak erah secara ekslisit disebutka dalam makalah Lehmer Selai itu, Williams dalam [15, h 17] meyebutka bahwa Pei telah meyadari bahwa versi sebelumya daat diubah mejadi seerti uji Lucas Namu, hubuga lagsug ke hasil Lucas-Lehmer tidak mucul utuk diberika ada [4], [11, h 71-76] Sehigga embahasa ii bermaksud utuk membuat struktur umum yag setara dari dua uji ii agar daat dikeal lebih luas Pembahasa dimulai dega memerkealka barisa Lehmer Kemudia dilajutka beberaa sifat-sifat barisa Lehmer yag dierluka Kemudia dilajutka memerkealka uji Pei da Lucas-Lehmer dalam koteks sejarahya Pada bagia terakhir membahas betuk setara atara uji Pei da Lucas-Lehmer yag sama-sama berasal dari barisa Lehmer BARISAN LEHMER Pada bagia ii memerkealka barisa Lehmer da barisa Lehmer sekawa Berdasarka [4], misalka R da Q bilaga bulat relatif rima sehigga barisa Lehmer U R, Q da barisa Lehmer sekawa V R, Q didefiisika masigmasig dega U + R, Q = RU + QU, U 0 = 0, U 1 = 1, 0, 1,, (1) da V + R, Q = RV + QV, V 0 =, V 1 = R, 0, 1, () Selai itu, karea (1) da () adalah fugsi liear, maka ada solusi da diberika secara ekslisit dega () da (4), masig-masig JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015

3 da dimaa, θ = R+ R 4Q U R, Q = θ φ, 0, 1,, () θ φ V R, Q = θ + φ, 0, 1,, (4) da φ = R R 4Q SIAT-SIAT DARI BARISAN LEHMER Berikut Lema-Lema yag memuat sifat-sifat embagi ada barisa Lucas-Lehmer Lema 1 meyataka bahwa tidak ada bilaga rima gajil yag mejadi faktor dari R Q V R, Q barisa Lehmer U, da barisa Lehmer sekawa Lema 1 [4, h 41] aktor ersekutua terbesar dari U R, Q da R Q atau V, adalah 1 Misalka bilaga rima gajil da a, maka Legedre Symbol a didefiisika 1 utuk a sisa kuadratis modulo da -1 jika a o sisa kuadratis modulo Utuk semua a dimaa (a, ) = 1, a disebut sisa kuadratis modulo jika kogruesi x a mod memuyai solusi Sebalikya, a disebut o sisa kuadratis jika tidak memuyai solusi Jika a maka a 0 Pertimbagka Legedre Symbol [4] diguaka utuk meujukka R Q,, da, (5) dimaa R 4Q dari ersamaa karakteristik (1) da () Lema berikut meujukka bahwa harus membagi U 1 R, Q atau U 1 R, Q Lema [4, h 4] Misalka RQ maka R, Q 0 mod U rak of aaritio dari ada Misalka ( ) U R, Q Lema meujukka bahwa ideks ada barisa Lehmer meruaka keliata yaitu harus sebagai faktor Lema [4, h 4] Misalka diotasika sebagai Rak of Aaritio (RoA) dari R Q U R, Q jika da haya jika k, dimaa dalam barisa U, maka k 1,, Lema berikut meruaka egembaga tulisa dari R D Charmichael [] dimaa U R, Q, kesamaaya secara khusus diberika RoA dari ada barisa Lehmer aakah memuyai RoA atau tidak ada barisa sekawa R Q V, Jika gajil maka membagi tak terhigga bayakya ideks yag daat diidetifikasi dari JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015 4

4 V R, Q Sebalikya, tidak ada ideks dari R Q faktor Lema 4 [4, h 44] Jika gajil maka R Q V 1k V, yag mugki berisi sebagai V, Jika gea k sehigga tidak ada faktor embagi selai ada barisa tersebut maka Lema memberika kodisi dimaa membagi U 1 R, Q atau U 1 R, Q Jadi, daat disimulka bahwa RoA dari dimaa RQ tidak haya berada di R Q / R Q U, tetai juga tidak bisa lebih besar dariada 1 sehigga U, Lema 5 [4, h 4] Misalka RQ maka U R, Q 0 mod jika da haya, dimaa Q Terakhir, Lema 6 mejelaska kodisi ada ideks dari RoA suatu bilaga N meruaka bilaga rima Lema 6 [4, h 44] Jika N 1 RoA dari N maka N rima 4 UJI PEPIN DAN LUCAS-LEHMER Utuk memeroleh emahama yag lebih legka dari kedua uji, aka dibadigka keduaya terlebih dahulu dalam koteks sejarah Pada tahu 1877, r Pei merumuska Teorema sebagai berikut: Teorema 1 (Uji Pei) [8, h 9] Bilaga bulat 1 dimaa > 1 adalah bilaga rima jika da haya jika Bukti Bilaga JOM MIPA Volume No 1 ebruari mod orde yag meruaka kuadrat o-sisa dari rerositas 5, dimaa > 1 adalah rima dega kogruesi Aka ditujukka x 1 mod jika rima maka aka membagi bilaga dari kogruesi tersebut dega x 5 yaitu Kodisi yag cuku utuk membuktikaya adalah embagi bilaga rima dega sediri Sehigga dega memisalka P embagi bilaga dihiotesa dega kogruesi berikut 1 sama daat

5 mod P (6) Berdasarka Teorema ermat, dieroleh P mod P (7) aktor embagi terbesar dari P 1 da 1 adalah eragkata, dilambagka dega Berdasarka kogruesi (6) da (7) daat disimulka 5 1 mod P dimaa < 1 Pada hiotesis ii, karea meruaka mejadi embagi dari maka 1 mod P sehigga aka didaatka dua kogruesi da 1 0 mod P yag jelas tidak mugki Peragkata faktor embagi terbesar dari P 1 da 1 adalah 1 itu sediri serta P meruaka embagi Syarat erlu P yag artiya tidak lai faktor rima diriya sediri Sehigga kogruesi (7) daat meyimulka bahwa adalah bilaga rima Pei didalam tulisaya [8] meyataka bilaga 10 daat diguaka di temat 5 Selajutya dikaji ulag oleh raçois Proth ( ) meulis ada tahu 1876 yag kemudia dilajutka ada tahu 1878 bahwa daat megguaka bilaga sebagai eggati dari 5 ada Teorema 1 [9], [10], tetai tak ada bukti dari eryataaya Kemudia, Édouard Lucas ( ) beredaat bahwa sebarag bilaga bulat a daat diguaka di temat 5 asalka Jacobi Symbol a memiliki ilai sama dega -1 [6] da ada tahu 1879 daat dibuktika [7] Hasilya sekarag uji Pei yag meruaka sara Proth da dibuktika oleh Lucas Pejelasa lebih detail terdaat dalam [16, h 17] Sebuah versi moder dari uji Pei yag diberika sebagai berikut: Teorema (Uji Pei) [8, h 9-1] Bilaga ermat = + 1 dimaa 1 adalah bilaga rima jika da haya jika 1 1 (mod ) Bukti Asumsika modulo 1 1 membagi mod maka 1 1 mod,, sehigga orde erkalia 1 yag meruaka eragkata Namu, orde 1 tersebut tidak membagi da haruslah sama dega 1 yag maa terdaat setidakya bilaga komosit di, maka hal ii terjadi jika da haya jika bilaga rima Syarat erlu asumsika bahwa bilaga rima Maka megguaka kriteria Euler mejadi 1 mod, JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015 6

6 dimaa meruaka Legedre Symbol Dega egulaga egakara, didaatka 1 mod, sehigga mod da 1 berasal dari 1 mod 4 yag meruaka atura resirositas kuadrat Selajutya egujia rimalitas bilaga Mersee berikut ii dirakarsai oleh Lucas ada tahu 1878 Lucas megusulka dua uji utuk meetuka aakah 1 adalah bilaga rima [6] dega memberika syarat erlu da cuku Pada tahu 190, D H Lehmer meulis bahwa ada jural Lucas kodisi utuk uji rimalitas cuku tetai buka yag dierluka Satu yag tidak asti aakah uji Lucas aka megugkaka karakter dari bilaga rima yag sebearya atau tidak [4] Lehmer selajutya meulis bahwa RD Carmichael [] telah memberika satu himua dega kodisi erlu da cuku utuk uji rimalitas bilaga tersebut Namu, dega egecualia dari dua kasus, mereka bergatug ada keberadaa seasag eambaha bilaga yag diguaka dalam egujia bilaga bulat yag diberika Jadi, meurut Lehmer, dari sudut adag raktis melihat uji ii tidak berlaku karea tidak ada metode yag diberika utuk meetuka betuk umum asaga bilaga yag sesuai Akhirya, Lehmer meaggai egamataya dega membetuk kodisi erlu da cuku ekslisit utuk bilaga Mersee meruaka bilaga rima [4] Saat ii umumya dikeal sebagai uji Lucas-Lehmer Peryataa asli dari hasil ii diaresiasi da ditemuka dalam [4], meskiu erah keliru dicatat ada [14] bahwa bukti asli Lehmer tetag uji Lucas-Lehmer diberika Teorema (Uji Lucas-Lehmer) [6, h 16] Bilaga Mersee M = 1, adalah bilaga rima jika da haya jika membagi 1 st dega barisa 4, 14, 194, 764, , S, dimaa S = S 1 Sebelum Teorema dibuktika, diberika barisa S da Lema yag dierluka Misalka akar dari barisa S sebagai berikut: 1 1,, da, dimaa 1 da beberaa Lema utuk membuktika Teorema dimaa S meruaka barisa yag berasal dari barisa Lucas Lema 7 [14, h 855] Misalka m bilaga bulat maka S Bukti m1 1 m m1 m1 m Misalka Tm, maka T1 4 S1 da T m1 Tm demikia T S utuk setia m m m Dega Lema 8 [14, h 856] Jika M 1 M rima maka 1 modm JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015 7

7 Bukti Kogruesi berada di rig dari bilaga bulat aljabar Tetaka q, selajutya tulis 1, agkatka kedua sisi dega agkat ke-q da ambil kogruesi q q1 q1 modulo q, sehigga 1 mod q karea 1 mod8 q1 q 1 mod q Selajutya karea q 1 mod maka q1 q 1 mod q, q sehigga dega megikuti hal tersebut aka didaatka mod q q1 1 mod q M q maka da Utuk membuktika Teorema, ertama aka dibuktika bahwa S 0 1 mod M dega M rima Berdasarka Lema 7 dega kodisi S mod M maka 0 mod M sehigga 1 mod M da 1 mod M Misalka l adalah bilaga rima membagi Koset berada di G lg memuyai orde dega kogruesi di atas Jika l terbagi-bagi di G maka tetulah G lg* l* l*, da juga membagi l 1 Dega demikia M, gru G l 1 k utuk k 1 Ii memugkika karea berarti l 1 M Asumsika l rima di G maka G lg* memuyai orde l 1 da membagi 1 l 1 l 1 l 1 mod4 maka haruslah membagi l 1 atau l Jika 1 l 1 k utuk k 1 Hal tersebut jika aka terjadi karea l M Jika l mod4 maka 1 1 membagi l 1 sehigga l 1 k utuk k 1 Satu yag tidak didaatka k 1 karea 1 1 tidak membagi 1 Kasus ii haya terjadi jika k sehigga l 1 M dimaa M bilaga rima Terakhir, asumsika M bilaga rima Berdasarka Lema 8 aka didaat Karea dimaa 1 M 1 1 modm atau 1 0 mod M 1 maka 1 0 mod M sehigga 0 mod Kalika kedua sisi kogruesi dega S 1 M 5 KESETARAAN UJI PEPIN DAN LUCAS-LEHMER Pada bagia ii aka ditujukka bahwa uji Pei da Lucas-Lehmer memuyai struktur setara, yaitu ada betuk syarat erlu da cuku dari kedua uji tersebut Betuk + 1dari uji Pei ada Teorema da betuk barisa S = S 1 dari uji Lucas- V R, Q Lehmer ada Teorema sama-sama berasal dari barisa Lehmer sekawa JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015 8

8 Utuk itu, selajutya aka diselidiki bahwa barisa Lehmer 4, 1 Teorema berikut V melalui Teorema 4 [, h 58] Ambil sebarag bilaga bulat Selajutya barisa Lehmer Sekawa V R, Q V a 1, a membetuk a 1 Bukti Berdasarka ersamaa (4) dega memisalka R a 1 da Q a, V a 1, a a1 a1 4a a1 a1 4a a a 1 1 a1 a1 a 1 V 4, yag meruaka V 1 Berdasarka Teorema 4 dega ketetua 1 1 maka V sehigga Teorema daat direvisi Sebelum Teorema direvisi dierluka ersamaa idetitas berikut [4: h 419] V U V (8) Berikut meruaka egamata yag dibuat utuk Teorema yag meruaka uji Pei direvisi mejadi Teorema berikut Teorema 5 Uji Pei [, h 58] Bilaga ermat 1 dimaa 1 adalah bilaga rima jika da haya jika 4, V 1 Bukti Misalka R 4 da Q maka R 4Q Misalka 1 4 bilaga rima sehigga meurut ersamaa (5) 1 da R 1 Selai itu, karea > 1, maka dega megguaka hukum resirositas Gauss dieroleh Utuk, dieroleh Q 1 1 mod 1 JOM MIPA Volume No 1 ebruari 015 9

9 Karea 1, maka dega Lema, U Kemudia karea, maka dega Lema 5 meyataka bahwa adalah yaitu 1 1 U Dega demikia, RoA dari Sebalikya, dega Lema RoA dari di U 4, adalah - r, utuk Sebalikya, suatu bilaga bulat ositif r da U -1 Berdasarka Lema 4, V -1 maka dega ersamaa (8) U 1 Secara khusus, U memisalka V 1 Berdasarka Lema, ω harus mejadi embagi dari Namu, berdasarka Lema 1, U relatif rima terhada U 1 sehigga berdasarka Lema 6 ω = = 1 da adalah bilaga rima Selajutya merevisi Teorema yag meruaka uji Lucas-Lehmer yag meujukka bahwa barisa agka 4, 14, 194, 764, , adalah barisa Lehmer sekawa V, 1 yag meruaka agkat Sebelumya dierluka ersamaa idetitas [, h 419] berikut: V = V Q (9) Diketahui V, 1 sehigga V = 4 Berdasarka Teorema S k = S k 1, dimaa S 1 = 4 = V Karea Q = 1, maka meurut ersamaa (9) mejadi S k = V k utuk k {1,, } Oleh karea itu, eryataa tersebut diberika ada Uji Lucas- Lehmer yag meegaska M membagi 1 st yaitu 4, 14, 194, 764, , maka M adalah faktor dari V 1 sehigga daat dikataka setara dega M VM +1 Bagia tersebut memuyai betuk setara dega Teorema yag direvisi sebagai berikut: Teorema 6 Uji Lucas-Lehmer [, h 59] Bilaga M = 1, dimaa > adalah bilaga rima jika da haya jika M VM +1, 1 Bukti Ambil R =, Q = 1 da = 6, selajutya ε = 1, σ = 1 da τ = 1 maka buktiya megikuti bukti yag disajika ada Teorema 5 Daat diambil kesimula bahwa Teorema 5 da Teorema 6 yag meruaka uji Pei da uji Lucas-Lehmer memuyai betuk setara dalam eyajia syarat erlu da cuku, baik utuk bilaga ermat mauu bilaga Mersee DATAR PUSTAKA [1] Burto, D M 005 Elemetary Number Theory Edisi ke 6 McGraw-Hill, New York [] Carmichael, R D 191 Othe umerical factors of the arithmetic forms α ± β, Aal of Mathematics 15: 0 70 [] Jaroma, J H 009 Equivalece of Pei s ad the Lucas-Lehmer Tests, Euroea Joural of Pure ad Alied Mathematics : 5-60 JOM MIPA Volume No 1 ebruari

10 [4] Lehmer, D H 190 A exteded theory of Lucas fuctios, Aal of Mathematics 1: [5] Lehmer, D H 195 O Lucas test for the rimality of Mersee s umbers, Joural Lodo Math Soc10: [6] Lucas, É 1878 Théorie des foctios umériques simlemet ériodiques America Joural of Mathematics 1: , 89 1 [7] Lucas, É 1879 Questio 45, Nouv Cor Math 5: 17 [8] Pei, T 1877 Sur la formule + 1 Comtes Redus Academie Scieces 85: 9 1 [9] Proth, 1876 Éocés de divers théorèmes sur les ombres Comtes Redus Academie Scieces 8: [10] Proth, 1878 Mémoires résetés, Comtes Redus Academie Scieces 87 : 74 [11] Ribeboim, P 1996 The New Book of Prime Number Records Sriger-Verlag, New York [1] Rose, K H 000 Elemetary Number Theory, 4th ed, Addiso Wesley Logma, Readig [1] Rose, M 1988 A roof of the Lucas-Lehmer test, America Mathematical Mothly 95: [14] Tattersall, J J 005 Elemetary Number Theory i Nie Chaters, d ed, Cambridge Uiv Press, Cambridge [15] Willams, H C 1998 Edouard Lucas ad Primality Testig Joh Wiley & Sos, New York JOM MIPA Volume No 1 ebruari