PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI

Transkripsi

1 PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI Nadya Zulfa Negsih, Bustami Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus BiaWidya Pekabaru (893), Idoesia NZegsih@gmail.com ABSTRACT This paper discusses the estimator for parameter of expoetial distributio usig Bayesia statistics. Prior distributio used is the extesio of Jeffrey s prior. Bayes estimators are obtaied by quadratic loss fuctio ad etropy loss fuctio. Bayes estimators uder quadratic loss fuctio ad etropy loss fuctio are biased estimators. Mea squared errors of Bayes estimators are obtaied usig simulatio. Simulatio results show that Bayes estimator uder etropy loss fuctio with proper choise of ad depedig o the value of c is more efficiet tha Bayes estimator uder quadratic loss fuctio. Keywords: Expoetial distributio, Bayesia statistics, extesio of Jeffrey prior, quadratic loss fuctio, etropy loss fuctio ABSTRAK Artikel ii membahas peaksir parameter distribusi ekspoesial megguaka statistika Bayesia. Distribusi prior yag diguaka adalah prior perluasa Jeffrey. Peaksir Bayes diperoleh berdasarka fugsi kerugia kuadratik da fugsi kerugia etropi. Peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik da fugsi kerugia etropi adalah peaksir bias. Mea squared error dari Peaksir Bayes diperoleh melalui simulasi. Hasil simulasi meujukka bahwa peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi dega piliha yag tepat dari da bergatug pada ilai c lebih efisie dari pada peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik. Kata kuci: Distribusi ekspoesial, statistika Bayesia, prior perluasa Jeffrey, fugsi kerugia kuadratik, fugsi kerugia etropi. PENDAHULUAN Statistika iferesi merupaka suatu metode utuk mearik kesimpula megeai parameter populasi yag didasarka pada iformasi data sampel tersebut diambil.

2 Pearika kesimpula dapat dilakuka dega taksira parameter da uji hipotesa. Taksira parameter dalam statistika ada dua jeis yaitu taksira titik da taksira iterval. Kedua jeis taksira ii dapat ditetuka megguaka dua metode yaitu statistika klasik da statistika Bayesia. Pada statistika klasik data sampel diyataka dalam betuk fugsi desitas yag distribusiya bergatug pada parameter yag ilaiya tidak diketahui, dari fugsi desitas aka ditetuka fugsi likelihood. Berdasarka fugsi likelihood, dapat dibuat suatu iferesi megeai parameter. Pada statistika Bayesia terdapat iformasi tambaha megeai parameter suatu populasi yag diperoleh berdasarka pegalama atau ivestigasi statistika sebelumya yag disebut dega distribusi prior. Al-Kutubi da Ibrahim [] mejelaska peaksir Bayes utuk distribusi ekspoesial dega prior perluasa Jeffrey. Berdasarka teorema Bayes, iformasi yag diyataka dega fugsi likelihood da distribusi prior digabugka utuk membetuk distribusi posterior. DeGroot [6, h. 6] mejelaska distribusi posterior merupaka distribusi yag merigkas iformasi megeai parameter setelah dilakukaya observasi data. Distribusi posterior yag telah diperoleh, diguaka utuk mecari peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik da fugsi kerugia etropi. Calabria da Pulcii [4] mejelaska taksira titik berdasarka fugsi kerugia asimetris utuk sampel dari ekspoesial terpotog di kiri. Ramachadara da Tsokos[7, h. 7] mejelaska bagaimaa cara meetuka peaksir yag efisie melalui efisiesi relatif. Kosep efisiesi relatif aka diguaka dalam simulasi utuk mecari mea squared error yag miimum. Pada artikel ii dibahas megeai peaksir Bayes utuk parameter distribusi ekspoesialberdasarka fugsi kerugia kuadratik da fugsi kerugia etropi, dega membatasi pembahasa haya dega megguaka prior perluasa Jeffrey yag merupaka kajia ulag dari artikel Albaldawi [].. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Albaldawi [] mejelaska megeai distribusi ekspoesial dega megguaka satu parameter yaitu parameter. Fugsi desitas da fugsi distribusi komulatif dari distribusi ekspoesial adalah f(x;) = [ exp x ], < x <, >, () da F (x;) = exp [ x ]. Ekspektasi da variasi dari distribusi ekspoesial berturut-turut sebagai berikut: E(X) =. Var(X) =.

3 Misalka X,X,...,X merupaka sampel radom berukura dari distribusi ekspoesial dega fugsi desitas pada persamaa (), maka fugsi likelihood dari distribusi ekspoesial adalah L() = exp [ ]. () 3. STATISTIKA BAYESIAN Al-Kutubi da Ibrahim [] mejelaska prior perluasa Jeffrey yag dikemukaka oleh Harold Jeffrey adalah prior o iformatif yag didefiisika dega π() = k[i()] c,,c >, (3) dega k adalah kostata da I() adalah iformasi Fisher yag didefiisika [ ] lf (x;) I() = E. (4) Utuk mecari I(), terlebih dahulu dicari logaritma atural dari fugsi desitas pada persamaa () kemudia ditetuka turua kedua terhadap da diperoleh I() =. (5) Dega mesubstitusika persamaa (5) ke persamaa (3), diperoleh π() = kc,,c >, (6) c dega k adalah kostata. Selajutya, utuk meetuka peaksir Bayes diperluka distribusi posterior dega otasi π( x) yag didefiisika dega π( x) = H(x,x,...,x ;) P (x,x,...,x ). (7) Utuk memperoleh distribusi posterior diperluka fugsi desitas gabuga da fugsi desitas margial. Fugsi desitas gabuga ditulis dalam betuk H(x,x,...,x ;) = L()π(). (8) Dega mesubstitusika persamaa () da persamaa (6) ke persamaa (8), diperoleh ( H(x,x,...,x ;) = ) exp k c c H(x,x,...,x ;) = kc exp. (9) +c 3

4 Selajutya ditetuka fugsi desitas margial dari pada data (x,x,...,x ). Fugsi desitas margial ditulis dalam betuk P(x,x,...,x ) = H(x,x,...,x ;) d. () Dega mesubstitusika persamaa (9) ke persamaa (), maka diperoleh ( ) P(x,x,...,x ) = k c exp d. () +c Jika itegral maka diperoleh +c exp +c exp d pada persamaa () diselesaika, d = Γ(+c ) ( x ) +c, () dega mesubstitusika persamaa () ke persamaa (), maka fugsi desitas margial adalah P(x,x,...,x ) = kc Γ(+c ) ( ). (3) +c x Selajutya ditetuka distribusi posterior dega mesubstitusika persamaa (9) da persamaa (3) ke persamaa (7), diperoleh ( ) +c exp π( x) =. (4) +c Γ(+c ) 4. PENAKSIR BAYES Peaksir Bayes yag aka diguaka adalah peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik da peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi. Peaksir Bayes Berdasarka Fugsi Kerugia Kuadratik Berikut ii diberika teorema utuk meetuka peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik. 4

5 Teorema [3, h. 34] Peaksir Bayes ˆ BK dari berdasarka fugsi kerugia ( kuadratik l(ˆ,) = ˆ ) adalah ˆ BK = ( ) E x ( ) = E x π( x) d. (5) π( x) d Bukti. Resiko Bayes yag diotasika Aˆ pada fugsi kerugia kuadratik adalah [ ( ˆ + ˆ ) ] π( x) d p(x) dx. Aˆ = ( ˆ + Resiko Bayes mecapai miimum apabila itegral ˆ ) π( x) d miimum, utuk memiimumkaya maka turua pertama harus sama dega ol [ d ˆ + ˆ ] π( x) d =. (6) dˆ Berdasarka kosep differesial di dalam tada itegral [5, h. 69], persamaa (6) ditulis mejadi [ ( d ˆ + ˆ ) ] [ ( d ˆ + π( x) d = ˆ ) ] π( x) d dˆ dˆ [ ( d ˆ + ˆ ) ] ˆ π( x) d = π( x) d + π( x) d, (7) dˆ dega mesubstitusika persamaa (7) ke persamaa (6), diperoleh ( ) E x π( x) d ˆ BK = ( ) =. E x π( x) d Peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik, diperoleh megguaka Teorema. Selajutya lagkah pertama ditetuka itegral π( x) d sebagai berikut: ( ) +c exp π( x) d = d. +c Γ(+c ) 5

6 ( ) +c exp π( x) d = d. (8) Γ(+c ) +c+ exp Jika itegral d pada persamaa (8) diselesaika, maka diperoleh +c+ exp +c+ d = ( Γ(+c) ), (9) +c dega mesubstitusika persamaa (9) ke persamaa (8), diperoleh π( x) d = ( ) Γ(+c) Γ(+c ). () Lagkah kedua aka ditetuka itegral π( x) d sebagai berikut: ( ) +c exp π( x) d = d +c Γ(+c ) ( ) +c exp π( x) d = d. () Γ(+c ) +c+ exp Jika itegral d pada persamaa () diselesaika, maka diperoleh +c+ exp +c+ d = ( Γ(+c+) ), () +c+ 6

7 dega mesubstitusika persamaa () ke persamaa (), diperoleh π( x) d = ( ) Γ(+c+) Γ(+c ). (3) Selajutya dega mesubstitusika persamaa () da persamaa (3) ke persamaa (5), diperoleh ˆ BK = +c. (4) Persamaa (4) adalah peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik dega E(ˆ BK ) = +c. Karea E(ˆ BK ), maka peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik adalah peaksir bias. Peaksir Bayes Berdasarka Fugsi Kerugia Etropi Berikut ii diberika teorema utuk meetuka peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi. Teorema [3, h. 34] ) Peaksir Bayes ˆ BE dari berdasarka fugsi kerugia ) ] [(ˆ (ˆ etropi l(ˆ,) = l adalah ˆ BE = [ E( x) ] [ = ] π( x) d. (5) Bukti. Resiko Bayes yag diotasika Aˆ pada fugsi kerugia etropi adalah Aˆ = [ [(ˆ ) l ) ] ] (ˆ π( x) d p(x) dx. [(ˆ ) ) ] (ˆ Resiko Bayes aka mecapai miimum apabila itegral l π( x) d miimum. Utuk memiimumkaya, turua pertamaya harus sama dega ol. [ ) ) ] ] d [(ˆ (ˆ l π( x) d =. (6) dˆ 7

8 Berdasarka kosep differesial di dalam tada itegral [5, h. 69], persamaa (6) ditulis mejadi [ ) ) ] ] d [(ˆ (ˆ [ ) ) ] d [(ˆ (ˆ l π( x) d = l dˆ dˆ ] d dˆ [ ) [(ˆ l π( x) d ) ] ] (ˆ π( x) d = ˆ π( x) d dega mesubstitusika persamaa (7) ke persamaa (6), diperoleh ˆ BE = [ E( x) ] [ ] = π( x) d. ˆπ( x) d, (7) Peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi, diperoleh megguaka Teorema. Lagkah pertama aka ditetuka itegral π( x) d sebagai berikut: ( ) +c exp π( x) d = d +c Γ(+c ) ( ) +c exp π( x) d = d. (8) Γ(+c ) +c+ exp Jika itegral d pada persamaa (8) diselesaika, maka diperoleh +c+ exp d = +c+ Γ(+c+ ) ( ) +c+. (9) Dega mesubstitusika persamaa (9) ke persamaa (8), diperoleh ( ) Γ(+c+ ) π( x) d = Γ(+c ). (3) 8

9 [ ] Lagkah kedua aka ditetuka π( x)d, degamesubstitusika persamaa (3) ke persamaa (5) diperoleh ˆ BE = [ ] Γ(+c ). (3) Γ(+c+ ) Persamaa (3) merupaka peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi [ ] Γ(+c ) dega E(ˆ BE ) = (). Karea E(ˆ BE ), maka peaksir Γ(+c+ ) Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi adalah peaksir bias. 5. Mea Squared Error Dalam artikel ii mea squared error disigkat dega MSE. Selajutya diberika teorema megeai MSE Teorema 3 [3, h. 39] Jika ˆ adalah peaksir dari, maka MSE(ˆ) = Var(ˆ)+(b(ˆ)). Bukti. Pembuktia Teorema 3 dapat dilihat pada buku Bai da Egelhardt [3, h. 3]. MSE Dari Peaksir Bayes Berdasarka Fugsi Kerugia Kuadratik Karea peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik adalah peaksir bias, meurut Teorema 3 MSE dari peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik adalah MSE(ˆ BK ) = Var(ˆ)+(b(ˆ)) ( MSE(ˆ BK ) = (+c) Var )+ MSE(ˆ BK ) = (+4c) (+c). ( ) c +c MSE Dari Peaksir Bayes Berdasarka Fugsi Kerugia Etropi Meurut Teorema 3, MSE dari peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi adalah MSE(ˆ BE ) = Var(ˆ)+(b(ˆ)) [ ( ) ] ( Γ(+c ) ) MSE(ˆ BE ) = Var Γ(+c+ ) 9

10 [ ] Γ(+c ) + [ Γ(+c ) Γ(+c+ ) Γ(+c+ ) MSE(ˆ BE ) = [ ( + )[ (+c )! (+c+ )! ] 6. Simulasi [ (+c )! (+c+ )! ] + ] + ]. Nilai MSE (ˆ BK ) da ilai MSE (ˆ BE ) ditetuka dega megguaka rumus [] MSE(ˆ) = (ˆi ) Simulasi ii dilakuka dega ukura sampel = 5, 5, 75, da ilai parameter distribusi =.5,. Nilai parameter prior perluasa Jeffrey c =.5, da ilai parameter fugsi kerugia etropi =,,, serta pegulaga yag dilakuka sebayak R =. Hasil dari simulasi aka disajika pada Tabel da Tabel. Tabel : Nilai MSE dari peaksir Bayes utuk parameter =.5 da c = pada distribusi ekspoesial MSE ˆ MSE ˆ BE Selisih ilai MSE BK = = = = = = = = R. Tabel : Nilai MSE dari peaksir Bayes utuk parameter = da c =.5 pada distribusi ekspoesial MSE ˆ MSE ˆ BE Selisih ilai MSE BK = = = = = = = = Berdasarka Tabel da Tabel utuk semua ukura sampel MSE(ˆ BE ) dega =,,, diperoleh ilai MSE lebih kecil dibadigka dega MSE(ˆ BK ), sehigga ˆ BE lebih efisie dibadigka ˆ BK. Dari Tabel da Tabel dapat disimpulka bahwa ilai MSE da selisih ilai MSE(ˆ BE ) da MSE(ˆ BK ) meuru

11 dega meigkatya ukura sampel. Semaki besar ukura sampel yag diamati maka selisih dari ilai MSE(ˆ BE ) da MSE(ˆ BK ) aka medekati ol. Hal iimeujukkabahwamse(ˆ BK )akamedekatimse(ˆ BE )utukukurasampel yag semaki besar. 6. Kesimpula Hasil dari simulasi meujukka bahwa peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik da peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi merupaka peaksir bias. Peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi meghasilka ilai MSE lebih kecil dibadigka peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik. Aka tetapi hal itu tidak berlaku secara umum, karea hal itu ditetuka oleh ilai c yag merupaka parameter dari distribusi prior. Oleh karea itu utuk meaksir parameter distribusi ekspoesial, peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia etropi dega piliha yag tepat dari da bergatug pada ilai c besar dari satu lebih efisie dibadigka dega peaksir Bayes berdasarka fugsi kerugia kuadratik. Daftar Pustaka [] T. H. K. Albaldawi, Bayesia estimatio of the parameters of the expoetial distributio with differet prior uder symmetric ad asymmetric loss fuctio, Egieerig ad Techology Joural, 3 (3), [] H. S. Al-Kutubi da N. A. Ibrahim, Bayes estimator of expoetial distributio with extesio of Jeffrey prior iformatio, Joural of Mathematical Scieces, 3 (9), [3] L. J. Bai da M. Egelhardt, Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics, Secod Editio, Duxbury Press, Belmot, 993. [4] R. Calabria da G. Pulcii, Poit estimatio uder asymmetric loss fuctios for left of trucated expoetial samples, Commuicatio i Statistics- Theory ad Methods, 5 (996), [5] G. Casella da R. L. Berger, Statistical Iferece, Secod Editio, Duxbury Press, Pacific Grove,. [6] M. H. DeGroot, Probability ad Statistics, Addiso-Wesley Publishig Compay Ic, Califoria, 975. [7] K. M. Ramachadra da C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Applicatios, Elsevier Academic Press, Sa Diego, 9.