PENERAPAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON

Transkripsi

1 E-Jural Matematika Vol., No., Mei 013, 6-10 ISSN: PENERAPAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON PUTU SUSAN PRADAWATI 1, KOMANG GDE SUKARSA, I GUSTI AYU MADE SRINADI 3 1,, 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa, Bukit Jimbara-Bali, 1 susapradawati@gmail.com, sukarsakomag@yahoo.com, 3 igustiayumadesriadi@yahoo.co.id Abstract Poisso regressio was used to aalyze the cout data which Poisso distributed. Poisso regressio aalysis requires state equidispersio, i which the mea value of the respose variable is equal to the value of the variace. However, there are deviatios i which the value of the respose variable variace is greater tha the mea. This is called overdispersio. If overdispersio happes ad Poisso Regressio aalysis is beig used, the uderestimated stadard errors will be obtaied. Negative Biomial Regressio ca hadle overdispersio because it cotais a dispersio parameter. From the simulatio data which experieced overdispersio i the Poisso Regressio model it was foud that the Negative Biomial Regressio was better tha the Poisso Regressio model. Keywords: Poisso Regressio, Overdispersio, Negative Biomial Regressio, best model. 1. Pedahulua Aalisis Regresi Poisso adalah suatu model yag diguaka utuk megaalisis hubuga atara variabel respo yag berdistribusi Poisso dega variabel-variabel bebasya. Pada model Regresi Poisso disyaratka keadaa yag equidispersi yaitu ilai mea da varias dari variabel respo sama. Kadagkala terjadi kasus ilai varias lebih besar dari meaya yag disebut overdispersi. Sedagka. jika ilai varias lebih kecil dari ilai meaya disebut uderdispersi (McCullagh & Nelder []). Peerapa Regresi Poisso pada data yag megadug overdispersi aka meghasilka galat baku yag lebih kecil dari ilai sesugguhya (uderestimate) (Pamugkas [4]). Salah satu metode yag dapat diguaka utuk megatasi overdispersi pada Regresi Poisso adalah Regresi Biomial Negatif, karea distribusi Biomial Negatif tidak megharuska ilai varias sama dega meaya. Pada peelitia ii peulis aka meetuka model Regresi Poisso da model Regresi Biomial Negatif pada data yag megalami overdispersi serta 1 Mahasiswa Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa,3 Staf Pegajar Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

2 e-jural Matematika Vol., No., Mei 013, 6-10 membadigka kedua model tersebut yag megetahui model yag lebih baik berdasarka kriteria ilai AIC, Devias, Pearso Chi-square, Log likelihood, da Likelihood Ratio. Regresi Poisso meyaratka keadaa ilai mea da varias dari variabel respo sama (Myers et al. [3]), pada keyataaya serig terjadi ilai varias yag lebih besar dari meaya yag disebut overdispersi. Overdispersi dapat dideteksi dari taksira dispersi yaitu ilai Devias/db da Pearso Chi-square/db yag lebih besar dari 1. Pegujia taksira dispersi (α) secara statistik dapat dilakuka dega uji ilai Devias, dega hipotesis : H 0 α = 1 H 1 α > 1. Statistik uji ilai Deviasya: G = [y i l y i i=1 (y y i y i )]. Peolaka i terhadap H 0 jika G > χ k 1,α. Hal ii berarti terjadi overdispersi pada Regresi Poisso. Metode Regresi Biomial Negatif dapat megatasi overdispersi pada Regresi Poisso karea memiliki parameter dispersi (κ). Pemiliha model terbaik dapat dilihat dari beberapa kriteria, yaitu ilai AIC da BSC yag lebih kecil, ilai Devias da Pearso Chi-square yag lebih medekati satu, ilai Log Likelihood yag lebih besar, da pegujia secara statistik dega Likelihood Ratio. Perumusa hipotesis pada pegujia dega Likelihood Ratio sebagai berikut: H 0 model Regresi Poisso = model Regresi Biomial Negatif, H 1 model Regresi Biomial Negatif lebih baik dari model Regresi Poisso, uji statistik Likelihood Ratio T = (l 1 l 0 ). Dega l 1 da l 0 adalah log likelihood masigmasig model pada hipotesis. Peolaka H 0 pada taraf sigifikasi α jika T > χ (1 α,1) (Ismail & Jemai [1]). Perbadiga atara Regresi Poisso da Regresi Biomial Negatif disajika dalam Tabel 1 berikut. Tabel 1. Perbadiga atara Regresi Poisso da Regresi Biomial Negatif Kriteria Regresi Poisso Regresi Biomial Negatif Peubah respo iid Y i ~ Poi (µ i ) Y iid i ~ BN (µ i, κ) Fugsi distribusi peluag Rata-rata da Ragam p y; µ = e µ µ y (Myers et al. [3]) y! E Y i = Var Y i = µ i f y, μ, κ = Γ y+κ 1 y!γ κ 1. ( κμ 1+κμ )y. ( 1 1+κμ )1 κ E Y i = µ i Var Y i = µ i + κµ i Peaksir parameter Fugsi Log Likelihood Maximum Likelihood Estimator i=1 y i lt i μ x i ; β t i μ x i ; β l y i! i=1 i=1 Maximum Likelihood Estimator logγ κ 1 + y i logγ κ 1 +y i log κμ i 1 + κμ i + κ 1 1 log 1 + κμ i Model Regresi μ i = x i β + ε i μ i = x i β + ε i 7

3 Putu Susa Pradawati, Kamag Gde Sukarsa, I G.A.M. Sriadi Peerapa Regresi Biomial Negatif. Metode Peelitia Data yag diguaka dalam peelitia ii adalah data simulasi yag diperoleh dega membagkitka data berdistribusi Biomial Negatif yag megalami overdispersi pada Regresi Poisso dega megguaka software SAS Tahapa peelitia diawali dega melakuka pembagkita data variabel bebas X 1 da variabel bebas X berdistribusi Gamma, variabel respo (Y) berdistribusi Biomial Negatif, dega amata masig-masig sebayak 00, pada software SAS Lagkah selajutya megaalisis data dega megguaka metode Regresi Poisso. Kemudia memeriksa terjadiya overdispersi pada Regresi Poisso. Jika terjadi overdispersi pada Regresi Poisso, aka dilajutka megaalisis data dega megguaka metode Regresi Biomial Negatif. Lagkah terakhir megidetifikasi kebaika model Regresi Poisso da Regresi Biomial Negatif dega melihat ilai AIC, Devias, Pearso Chi-square, Log likelihood, da Likelihood Ratio dalam permasalaha overdispersi. 3. Hasil da Pembahasa Deskripsi data variabel bebas X 1 da X serta variabel respo (Y) yag diguaka pada peelitia ii dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Deskripsi data variabel respo serta variabel-variabel bebasya Peubah N Rata-rata (X) Stadar Deviasi Miimum Maksimum Ragam/ rata-rata X X Y Hasil aalisis Regresi Poisso utuk data tersebut diperoleh model sebagai berikut μ = exp ( X X ). Selajutya, pegeceka overdispersi pada Regresi Poisso dapat dilihat dari taksira dispersi yaitu ilai Devias/DB da Pearso Chi-square /DB pada Tabel 3 berikut. Tabel 3. Taksira Dispersi pada Regresi Poisso Kriteria DB Nilai Nilai/DB Devias Pearso Chi-square Dari Tabel 3 terlihat bahwa ilai Devias/DB sebesar da ilai Pearso Chi-square/DB sebesar Kedua ilai tersebut lebih besar dari 1 sehigga dapat disimpulka pada data respo (Y) terjadi overdispersi. Pegujia taksira dispersi (α) secara statistik dega hipotesis: H 0 α = 1 H 1 α > 1 dega ilai Devias sebesar da χ 0.05;197 = Nilai Devias lebih besar dari χ 197;0.05, sehigga dapat diputuska meolak H 0 yag artiya 8

4 e-jural Matematika Vol., No., Mei 013, 6-10 terjadi overdispersi pada Regresi Poisso. Hal ii berarti pegguaa model Regresi Poisso kurag tepat diguaka utuk megaalisi data tersebut, utuk itu dilakuka aalisis dega Regresi Biomial Negatif. Hasil aalisis Regresi Biomial Negatif utuk data tersebut diperoleh model sebagai berikut: μ = exp ( X X ). Peetua model yag lebih baik atara model Regresi Poisso da model Regresi Biomial Negatif pada data yag diguaka dapat dilihat dari hasil uji model terbaik Tabel 4 berikut Tabel 4. Uji Model Terbaik Kriteria Regresi Poisso Regresi Biomial Negatif Devias/DB Pearso Chi-square/DB AIC Log-likelihood Tabel 4 memperlihatka bahwa dari kriteria model terbaik berdasarka ilai Devias/DB da Pearso Chi-square/DB yag lebih medekati 1, ilai AIC yag lebih kecil, da ilai Log Likelihood yag lebih besar model Regresi Biomial Negatif lebih baik dibadigka model Regresi Poisso. Pegujia secara statistik dega megguaka ilai Likelihood Ratio dega hipotesis sebagai berikut : H 0 κ = 0 (model Regresi Poisso = model Regresi Biomial Negatif), H 1 κ > 0 (model Regresi Biomial Negatif lebih baik dari model Regresi Poisso). Berdasarka Tabel 3.3 diperoleh ilai Likeliood Ratio = = Dega megguaka taraf yata α = 5%, ilai tabel χ 0.90;1 =.706, maka ilai Likelihood Ratio >.706, sehigga H 0 ditolak yag berarti model Regresi Biomial Negatif lebih baik dibadigka model Regresi Poisso. 4. Kesimpula Berdasarka data simulasi yag dibagkitka dari Software SAS model Regresi Poisso utuk data tersebut adalah μ = exp ( X X ) sedagka model Regresi Biomial Negatif utuk data tersebut adalah μ = exp ( X X ). Berdasarka ilai Devias, Pearso Chi-square, AIC, Log-likelihood, da Likelihood Ratio diperoleh bahwa model Regresi Biomial Negatif lebih baik dibadigka model Regresi Poisso. Berdasarka kesimpula di atas disaraka pembagkita data yag megalami overdispersi pada Regresi Poisso perlu dilakuka dega 9

5 Putu Susa Pradawati, Kamag Gde Sukarsa, I G.A.M. Sriadi Peerapa Regresi Biomial Negatif membagkitka parameter overdispersiya (κ). Selai itu, perlu dilakuka peelitia lajuta utuk megetahui kriteria data yaitu tigkat overdispersi yag cocok diguaka metode Regresi Biomial Negatif utuk megatasi overdispersi pada Regresi Poisso. Daftar Pustaka [1] Ismail, N. & Jemai, A.A Hadlig Overdispersio with Biomial Negative ad Geeralized Poisso Regressio Models. Casualty Actuarial Society Forum Casualty Actuarial Society Arligto. Virgiia:Witer, Diakses 1 April 01 [] McCullagh, P. & Nelder, J.A Geeralized Liier Models, secod editio. Lodo: Chapma & Hall. [3] Myers, R.H., Motgomery, D.C., Viig, G.G., & Robiso, T.J Geeralized Liier Models with Aplicatios i Egieerig ad the Scieces. Caada : A Joh Wiley & Sos, Ic., Publicatio. [4] Pamugkas, Dimas Haryato Kajia Pegaruh Overdispersi dalam Regresi Poisso. [Skripsi]. Tersedia : Diakses 18 September