Peubah Acak. Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang. Peubah Acak. Peubah Acak

Transkripsi

1 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit da Distribusi Peluag Peubah Acak (Radom Variable): Sebuah keluara umerik yag merupaka hasil dari percobaa (eksperime) Utuk setiap aggota dari ruag sampel percobaa, peubah acak bisa megambil tepat satu ilai Peubah Acak Peubah Acak Diskrit : Sebuah Peubah Acak yag haya bisa berilai terbatas atau terhitug Peubah Acak Peubah Acak dituliska sebagai huruf kapital (X, Y, Z) Peubah Acak Kotiu: Sebuah Peubah Acak yag bisa berilai pada sebarag ilai dalam sebuah selag Nilai-ilai tertetu yag merupaka keluara percobaa dituliska dega huruf kecil (x, y, z)

2 Distribusi Peluag Distribusi Peluag adalah tabel, gambar, atau persamaa yag meggambarka atau medeskripsika ilai-ilai yag mugki dari peubah acak da peluag yag bersesuaiaya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadata (Peubah Acak Kotiu) Distribusi Peluag Distribusi Peluag Diskrit: Memberika peluag kepada tiap keluara percobaa Merupaka probability mass fuctios (pmf) Distribusi Peluag Kotiu: Memberika kepadata (frekuesi) pada tiap titik, peluag pada selag bisa didapatka dega megitegralka fugsi (probability desity fuctio/pdf) Distribusi Peluag Peluag Diskrit dituliska sebagai: p(y) = P(Y=y) Kepadata Kotiu dituliska sebagai: f(y) Fugsi Distribusi Kumulatif: F(y) = P(Y y) Cumulative Distributio Fuctio (cdf) Distribusi Peluag Diskrit (PMF) Probability (Mass ) Fuctio: p( y )=P(Y=y ) p( y ) 0 y p ( y)=1

3 Discrete Probability Distributios Cumulative Distributio Fuctio (CDF ): F ( y )=P(Y y) F (b)=p(y b )= p( y) y= F ( )=0 F ( )=1 F ( y ) adl aik scr mooto di y b Cotoh Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Y = Jumlah muka dadu yag ampak. Tabel dibawah memberika semua ilai yag mugki dalam himpua S Merah\Hijau Cotoh Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Melempar 2 Dadu Probability Mass Fuctio (pmf) & CDF Y = Jumlah muka dadu yag ampak. Tabel dibawah memberika semua ilai yag mugki dalam himpua S Merah\Hijau y p(y) F(y) 2 1/36 1/36 3 2/36 3/36 4 3/36 6/36 5 4/36 10/36 6 5/36 15/36 7 6/36 21/36 8 5/36 26/36 9 4/36 30/ /36 33/ /36 35/ /36 36/36 # bayak cara 2 dadu dijumlahka sbg y p( y )= # cara 2 dadu dijumlahka F ( y)= p(t ) t=2 y

4 Melempar 2 Dadu Probability Mass Fuctio (pmf) Melempar 2 Dadu Cumulative Distributio Fuctio (cdf) Dice Rollig - CDF sub-title sub-title Dice Rollig Probability Fuctio sub-title sub-title E y y Nilai Harapa Peubah Acak Diskrit Mea (alias Nilai Harapa) Rata-rata dari peubah acak yag diharapka mucul dalam percobaa yag berulag-ulag. Varias Rata-rata beda kuadrat atara ilai yata dari peubah acak da meaya Stadard Deviasi Akar positif dari varias (uitya sama dega dataya) Notasi: Mea: E(Y) = Varias: V(Y) = 2 Stadard Deviasi: Nilai Harapa Mea: E(Y )=μ= yp( y ) Mea dari fugsi g(y ): E [ g(y )]= g( y ) p( y )

5 Varias da Stadard Deviasi Varias: V (Y )=σ 2 =E [(Y E(Y )) 2 ] =E [(Y μ) 2 ] = = ( y μ ) 2 p( y)= y 2 p( y ) 2μ yp( y )+μ 2 =E [Y 2 ] 2μ( μ )+μ 2 (1)=E [Y 2 ] μ 2 Stadard Deviasi: σ =+ σ 2 ( y 2 2yμ+μ 2 ) p( y ) p( y ) Nilai Harapa dari Fugsi Liear Peubah Acak Fugsi Liear: g (Y )=ay+b (a,b kosta ) E [ay+b ]= (ay+b ) p ( y)= =a yp( y)+b p( y )=aμ+b Varias da Stadard Deviasi dari Fugsi Liear Peubah Acak Fugsi Liear : g(y )=ay+b (a,b kosta ) V [ ay+b ]= (( ay+b) ( aμ+b)) 2 p ( y)= ( ay aμ) 2 p( y)= ( y μ ) 2 p( y )=a 2 σ 2 =a 2 σ ay+b = a σ [ a 2 ( y μ ) 2 ] p( y )= Cotoh Melempar 2 Dadu 12 μ=e(y )= yp ( y )=7.0 y=2 σ 2 =E [Y 2 ] μ 2 = y 2 p( y ) μ 2 y=2 = (7.0) 2 = σ= =

6 Defiisi: Beroulli Percobaa Beroulli: Haya terdapat satu kali percobaa dega peluag sukses p da peluag gagal 1-p Peluag Sukses: Peluag Gagal: P( X =1 )=( 1 1) p1 (1 p) 1 1 =p P( X =0)=( 0 1) p0 (1 p ) 1 0 =1 p Perilaku Distribusi Beroulli E(Y) = p Var (Y) = p(1-p) Var(Y )=E (Y 2 ) E(Y ) 2 =[ 1 2 p+0 2 (1 p)] [1p+0(1 p)] 2 = p p 2 = p(1 p) Cotoh Biomial Melempar koi sebayak 5 kali. Berapa peluag medapatka tepat 3 kepala? Catata: - Percobaa Diskrit - Mempuyai keluara bier (ya da tidak atau 1 da 0) - mempuyai peluag yag sama tiap kali lempara Peyelesaia: Cotoh Biomial Satu cara medapat tepat 3 kepala: HHHTT Peluagya adalah: P(heads)xP(heads) xp(heads)xp(tails)xp(tails) =(1/2) 3 x (1/2) 2 Cara lai medapatka tepat 3 kepala: THHHT Peluagya = (1/2) 1 x (1/2) 3 x (1/2) 1 = (1/2) 3 x (1/2) 2

7 Cotoh Biomial Cotoh Biomial Jadi, (1/2) 3 x (1/2) 2 merupaka peluag utuk medapatka tepat 3 kepala da 2 ekor Sehigga, peluag utuk medapat 3 kepala da 2 ekor (sejauh yag kita dapat sekarag) adalah: 1/2) 3 x (1/2) 2 + (1/2) 3 x (1/2) 2 + (1/2) 3 x (1/2) Namu, terdapat lebih dari satu cara medapatka 3 kepala da 2 ekor. Ada berapa cara utuk megambil tepat 3 kepala dari 5 kali lempara? ( 5 ) 3 5 C 3 cara utuk megambil 3 kepala dalam 5 percobaa = 5!/3!2! = 10 Keluara Peluag THHHT (1/2) 3 x (1/2) 2 HHHTT (1/2) 3 x (1/2) 2 TTHHH (1/2) 3 x (1/2) 2 HTTHH (1/2) 3 x (1/2) 2 HHTTH (1/2) 3 x (1/2) 2 HTHHT (1/2) 3 x (1/2) 2 THTHH (1/2) 3 x (1/2) 2 HTHTH (1/2) 3 x (1/2) 2 HHTHT (1/2) 3 x (1/2) 2 THHTH (1/2) 3 x (1/2) 2 HTHHT (1/2) 3 x (1/2) 2 10 pegatura x (1/2) 3 x (1/2) 2 Peluag dari tiap cara yag uik Cat: peluagya sama P(3 kepala da 2 ekor) = x P(heads) 3 x P(tails) 2 = 10 x (½) 5= 31.25% 5 ( 3 ) Biomial distributio fuctio: X= bayakya keluar kepala dari 5 kali percobaa p(x) Atau lihat tabel Biomial bayakya kepala x

8 Distribusi Peluag Biomial Bayak yag tepat dari sejumlah observasi (percobaa), Cotoh: koi dilempar 15 kali, 20 pasie, 1000 orag yag ikut survei Peubah Acak Bier Cotoh: kepala atau ekor, sembuh atau tidak sembuh, laki atau perempua Secara umum disebut sukses atau gagal Peluag sukses adalah p, peluag gagal adalah 1 p Utuk setiap observasi percobaa adalah kosta Cotoh: peluag medapatka kepala adalah sama utuk tiap percobaa X = # bayak sukses dari percobaa Distribusi Biomial, secara umum Betuk umum dari distribusi Biomial adalah: = bayak percobaa ( ) px (1 p ) X X 1-p = peluag gagal p = peluag sukses Defiisi: Biomial Biomial: Misal terdapat percobaa yag salig bebas, da tiap percobaa meghasilka sebuah sukses dega peluag p da gagal dega peluag 1-p. Jika total bayakya sukses, X, merupaka peubah acak Biomial dega parameter da p. Peulisaya adalah: X ~ Bi (, p) {dibaca: X berdistribusi biomial dega parameter da p} Da peluag bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses) adalah: P( X =r )=( r ) pr (1 p ) r Defiisi: Biomial Jika X megikuti distribusi biomial dega parameter da p: X ~ Bi (, p) Maka: x = E(X) = p x 2 =Var (X) = p(1-p) x =SD (X)= p(1 p ) catata: varias aka berada atara 0*N *N p(1-p) mecapai maks saat p=.5 P(1-p)=.25

9 Utuk X~Bi(N,p) X = i=1 Y Beroulli ;Var(Y )= p(1 p) Var( X )=Var ( i=1 Defiisi: Biomial Y )= Var(Y )=p (1 p) i=1