Program studi Statistika, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Hasanuddin

Transkripsi

1 Uiversitas Hasauddi ESTIMASI PARAMETER GENERALIZED LINEAR MIXED MODELS PADA DATA LONGITUDINAL DENGAN METODE GAUSS-HERMITE QUADRATURE Ahid Iai Fitriaigsih, Adi Kresa Jaya 2, Raupog 3 Progra studi Statistika, Jurusa Mateatika, FMIPA, Uiversitas Hasauddi ahidiai735@gail.co ABSTRAK Geeralized liear ixed odel (GLMM) erupaka kobiasi dari Geeral Liear Model (GLM) da liear ixed odel (LMM). Sebagai pegebaga dari GLM, GLMM eggabugka efek acak ke dala prediktor liear. Sebagai pegebaga dari LMM, GLMM egadug palig sedikit satu efek tetap da palig sedikit satu efek acak. GLMM erupaka salah satu alteratif yag diguaka utuk aalisis data logitudial. Data logitudial erupaka gabuga dari data cross sectio da data tie series sehigga dapat dikataka data logitudial erupaka data yag eggabarka hubuga atara perubaha subjek peelitia terhadap waktu. Estiasi axiu Likelihood diguaka utuk edapatka paraeter regresi dari odel GLMM dega eperhitugka distribusi dari efek acak. Tetapi, peabaha efek acak aka eyebabka proses estiasi yag ruit sehigga diguaka etode Gauss- Herite Quadrature utuk egatasi asalah tersebut. Pada peelitia ii diguaka data peafaata perawata kesehata yag berdistribusi poisso. Hasil yag diperoleh eujukka bahwa peigkata julah kujuga subjek ke pusat kesehata dipegaruhi oleh faktor jeis kelai da status peyakit kroik. Kata Kuci : Data Logitudial, Estiasi Maxiu Likelihood, Gauss-Herite Quadrature, Geeralized Liear Mixed Model.. Pedahulua `Studi tetag data logitudial sagat berpera petig dala kehidupa sehari-hari khususya dala ilu kedoktera, sosial, da sais. Data logitudial erupaka gabuga dari data cross sectio da data tie series. Data cross sectio adalah data yag terdiri dari satu subjek au eerluka sub objek-objek laiya yag berkaita pada satu waktu. Sedagka data tie series adalah data yag terdiri dari beberapa waktu periode, seperti haria, bulaa, da tahua sehigga, dapat dikataka data logitudial erupaka data yag eggabarka hubuga atara perubaha subjek peelitia terhadap waktu. Ada beberapa aalisis yag diguaka utuk eggabarka pola hubuga diataraya adalah aalisis regresi. Aalisis regresi adalah aalisis yag diguaka utuk elihat suatu hubuga atau pegaruh atara variabel idepede terhadap dega variabel depede. Aalisis regresi juga serig diguaka utuk elakuka prediksi atau raala. Aalisis regresi klasik egasusika bahwa variabel depede erupaka variabel kotiu da egikuti distribusi oral. Apabila variabel depede tidak lagi kotiu elaika diskret aka aalisis ii tidak dapat diguaka. Salah satu feoea dega variabel depede diskret adalah feoea bayakya kejadia yag jarag terjadi seperti bayakya kecelakaa obil setiap bula, bayakya huja badai setiap tahu, bayakya barag cacat dala suatu produksi tertetu. Data yag diperoleh berupa cacaha biasa dikeal dega data hitug (cout data) (Megawati, 20). Aalisis regresi yag diguaka jika variabel depede berasal dari data hitug (cout data) adalah regresi poisso. Meurut Tirta (2008), salah satu perkebaga pesat yag terjadi dala bidag statistika adalah aalisis regresi atau odel liear. Model ii telah egalai perkebaga pesat di ataraya adalah odel liear klasik, odel liear capura, geeral liear odel (GLM), geeralized liear ixed odel (GLMM), da geeralized estiatig equatio (GEE). Model liear klasik egasusika bahwa variabel depede berdistribusi oral da salig bebas dega varias kosta yag haya egadug efek tetap saja. Nau, dala pegguaaya

2 Uiversitas Hasauddi terdapat variabel depede yag tidak berdistribusi oral sehigga odel liear klasik tidak dapat diterapka. Salah satu solusi yag diguaka jika variabel depede tidak berdistribusi oral adalah dega cara etrasforasi data. Selai itu, utuk egatasi asalah tersebut dikebagka sebuah odel yaitu geeral liear odel (GLM). Dala pegguaaya uit cross sectio dala data logitudial biasaya berkorelasi. Korelasi atara pegaata di dala uit yag saa pada data logitudial eyebabka GLM tidak dapat diterapka. Oleh karea itu kita egguaka sebuah pegebaga dari GLM utuk egatasi adaya korelasi tersebut. Cara ii disebut juga dega geeralized liear ixed odels (GLMM). Geeralized liear ixed odels erupaka kobiasi dari GLM da liear ixed odel (LMM). Sebagai pegebaga dari GLM, GLMM eggabugka efek acak ke dala prediktor liear. Sebagai pegebaga dari LMM, GLMM egadug palig sedikit satu efek tetap da palig sedikit satu efek acak (E.Gbar, et al., 202). Variabel depede yag diterapka pada GLMM tidak harus berdistribusi oral. GLMM dapat diguaka utuk variabel depede yag berdistribusi gologa keluarga ekspoesial. Peelitia tetag GLMM pada data logitudial telah dilakuka beberapa peeliti sebeluya. Salah satu peeliti adalah Ahad da Rasha (202). Ahad da Rasha eerapka etode GLMM haya pada data logitudial dega variabel depede berbetuk bier saja dega egguaka algorita Mote Carlo EM (MCEM) utuk eyelesaika persaaa likelihood. Sedagka GLMM juga dapat diterapka pada data logitudial dega variabel depede berbetuk data hitug yag biasa berdistribusi Poisso. Oleh karea itu, peeliti tertarik utuk egkaji peerapa GLMM pada regresi Poisso dega egguaka Gauss-Herite Quadrature sebagai etode utuk eyelesaika persaaa likelihood yag ruit. Berdasarka pebahasa di atas aka dala tugas akhir ii aka dibahas tetag; Estiasi Paraeter Geeralized Liear Mixed Models pada Data Logitudial dega Metode Gauss-Herite Quadrature. 2. Tijaua Pustaka 2.. Kosep Data Logitudial Studi logitudial sebagai suatu studi terhadap uit eksperie dega respo yag diaati dala dua atau lebih dala selag tertetu. Data logitudial erupaka data yag dihipu dari suatu pegaata atau pegukura atas sejulah subjek yag dilakuka berulag dari waktu ke waktu. Data logitudial adalah data yag eggabugka data tie series da data cross sectio, yaitu data dari asig-asig idividu diaati t kali waktu (Adityaigru, 204). Pada peelitia diaa bayakya uit waktu utuk setiap uit cross-sectio saa disebut data logitudial seibag (Greee, 2002). Model regresi data logitudial secara uu dapat diyataka pada persaaa berikut : y ij = β 0 + βx ij + ε ij i =,, j =,, (2.) dega : y ij : Variabel depede utuk uit cross sectio ke-i da periode waktu ke-j, β 0 : Kostata itersep, x ij : Variabel idepede utuk uit cross sectio ke-i da periode waktu ke-j, β : Kostata slope, ε ij : eror regresi utuk uit cross sectio ke-i da periode waktu ke j, 2.2 Regresi Poisso Aalisis regresi adalah aalisis yag diguaka utuk elihat suatu hubuga atau pegaruh atara variabel idepede terhadap variabel depede. Model tersebut eghubugka variabel idepede da depede elalui paraeter yag diaaka. Variabel depede dala regresi poisso berasal dari data hitug yag diharapka jarag terjadi (Setiawa, 205). 2

3 Uiversitas Hasauddi Jika μ i adalah rata-rata bayakya sukses terjadi dala selag waktu tertetu da diasusika μ i tidak berubah dari data poit yag satu ke data poit yag lai secara idepede aka μ i dapat diodelka sebagai fugsi dari k variabel prediktor (Myers, 990). Dala GLM terdapat sebuah fugsi g yag eghubugka rata-rata dari variabel depedeya dega sebuah prediktor liier, yaitu: g(μ ij ) = η ij = β 0 + β x i + β 2 x i2 + + β p x ij + e ij, (2.2) fugsi g disebut fugsi peghubug. Pada odel regresi poisso, fugsi peghubug yag diguaka adalah fugsi peghubug log karea fugsi log ejai bahwa ilai variabel yag diharapka dari variabel depedeya aka berilai o-egatif. Berikut ii adalah fugsi peghubug yag diguaka utuk odel regresi poisso (Sudari, 202). l E(y x) = l(μ ij ) = β 0 + β x i + β 2x i2 + + β px ij μ ij = exp( β 0 + β x i + β 2x i2 + + β px ij ). (2.3) 2.3 Geeralized Liear Mixed Model Geeralized Liear Mixed Models erupaka pegebaga dari GLM diaa prediktor liear egadug efek rado da efek tetap. Geeralized Liear Mixed Models dapat diruuska sebagai berikut: y ( ) = x ( p) β (p ) + z ( q) u (q ) + ε ( ). (2.4) Efek acak u diasusika berdistribusi oral dega ea 0 da varias σ u 2, sehigga dapat dituliska u ~ N(0, σ u 2 ) Prediktor Liear Meurut Masjkur (2008), dala GLMM efek acak da efek tetap digabugka utuk ebetuk prediktor liear sebagai berikut : η = xβ + zu. (2.5) Model utuk vektor pegaata y diperoleh dega eabahka vektor ε, sebagai berikut: y = η + ε = xβ + zu + ε Fugsi Hubug Fugsi peghubug ( g(. ) ) erupaka fugsi yag eghubugka ea μ ij dega prediktor liear η ij. Tabel.2 Fugsi Hubug da fugsi varia dari beberapa distribusi Distribusi Lik fuctio g υ (μ) Noral Idetitas η Bioial Logit e η = ( + e η ) μ( μ)/ Probit Φ(η) Poisso Log e η μ Gaa Iverse η μ 2 Log e η Suber : Masjkur,

4 Uiversitas Hasauddi Distribusi Bersyarat Lagkah awal utuk eetuka odel adalah eetuka distribusi bersyarat y i u. Vektor variabel depede y biasaya diasusika terdiri dari usur-usur kodisioal idepede, asigasig dega distribusi dega kepadata dari keluarga ekspoesial atau irip dega keluarga ekspoesial. y i u ~ idep. f Yi u(y i u ) f Yi u(y i u ) = exp{[y i γ i b(γ i )]/τ 2 c(y i, τ)} (2.6) 2.4 Estiasi Maksiu Likelihood Persaaa likelihood dapat dituliska sebagai berikut. L = i f Y u (y i u)f U (u)du (2.7) 2.5 Gauss-Herite Quadrature Gauss-Herite quadrature serig diguaka utuk peaksira uerik pada itegral dari betuk Gaussia karel. Persaaa Gaussia karel dapat ditulis sebagai berikut: G(x; σ) = x2 exp ( 2πσ 2σ2). (2.8) Gauss-Herite quadrature didefiisika dala betuk itegrasi sebagai berikut: f(x) exp( x 2 ) dx (2.9) yag dapat didekati dega, k= w k f(x k ). (2.0) 2.6 Newto-Rapsho Meurut Rahayu (2009), etode ewto raphso adalah etode pedekata yag egguaka satu titik awal da edekatiya dega eperhatika slope atau gradiet pada titik tersebut. Titik pedekata ke + dituliska dega : X + = X f(x) f (x) (2.) 2.7 Uji Chi-Square Uji Chi-Square dapat diguaka utuk variable acak diskrit aupu kotiu, uji ii didasarka atas perbadiga fugsi kepadata probabilitas dari fugsi kepadata kuulatif (Setiawa, 205). Adapu lagkah-lagkahya sebagai berikut :. Peruusa hipotesis : H 0 Data Berdistribusi Poisso H Data Tidak Berdistribusi Poisso 2. Tetuka ilai sigifikasi α 3. Statistik Uji : χ 2 k = (f 0 f e ) 2 i= ; df = k c. (2.2) 3 Metode Peelitia 3. Suber Data Data yag diguaka pada peelitia ii erupaka data sekuder yag diperoleh dari Sutradhar,B.C (20). Data logitudial yag diguaka ialah data logitudial seibag yaitu setiap uit cross-sectio diaati pada waktu yag saa da erupaka data peafaata perawata kesehata yag dikupulka oleh Ilu Kesehata Ceter, Meorial Uiversity, St. Joh, Kaada. f e 4

5 Uiversitas Hasauddi 3.2 Idetifikasi Variabel Variabel depede (y) dala peelitia ii adalah bayakya kujuga ke pusat ilu kesehata yag diabil selaa 4 tahu yaitu sejak 985 sapai 988 da variabel idepede (x) yaitu Jeis Kelai, Status Peyakit Kroik, da Usia. 3.3 Prosedur Kerja Adapu lagkah-lagkah yag aka dilakuka dala peelitia ii adalah :. Megidetifikasi distribusi data dega elakuka uji Chi-Square dega ebadigka ilai χ 2 dega χ 2 α,df atau ebadigka ilai p-value dega ilai alpha. Jika χ2 < χ 2 α,df atau p-value >0,05 aka H 0 diteria da sebalikya jika χ 2 > χ 2 α,df atau p-value < 0,05 aka H 0 ditolak (Wachidah, 2009) 2. Melakuka Eksplorasi data utuk egidetifikasi struktur rata-rata, struktur variasi, da adaya korelasi atar pegaata dala uit cross-sectio yag saa. 3. Aalisis dega egguaka GLMM ; a. Meetuka distribusi bersyarat y i u. b. Megestiasi paraeter dega egguaka peduga paraeter Maxiu Likelihood Estiatio (MLE), Gauss Herite Quadrature (GHQ) da Newto Rapsho. 4. Mebetuk odel regresi berdasarka hasil estiasi paraeter pada data peafaata perawata kesehata. 5. Mearik kesipula. 4. Hasil da Pebahasa 4.. Distribusi Bersyarat y Lagkah awal utuk eetuka odel adalah eetuka distribusi bersyarat y i u. Data yag diguaka dala peelitia ii adalah data logitudial berdistribusi poisso dega sebagai berikut: f(y i u) = e μ μ y i y i! 5, i = 0,,2,3,, (4.) diketahui fugsi hubug utuk data depede berditribusi poisso adalah log dega basis bilaga atural atau l sehigga, dapat ditulis sebagai berikut : l μ = xβ + zu (4.2) jadi, μ = exp{ xβ + zu} (4.3) dega esubsitusika Persaaa (4.2) ke dala Persaaa (4.), aka didapatka fugsi kepadata peluag (fkp) adalah f(y i u) = exp{ exp{xβ+zu}} (exp{xβ+zu})y i y i! = exp { exp{xβ+zu}+{y ixβ+y i zu} y i! 4.2. Mea dari y Mea dari y dapat dituruka dega egguaka iterasi ekspektasi, sehigga dapat dituliska sebagai berikut E[y i ] = E[E[y i u]] = E[μ i ] = E[g (x i β + z i u)] (4.5) utuk distribusi poisso diketahui g(μ) = l μ sehigga, g (μ) = exp(μ) aka Persaaa (4.5) dapat ditulis sebagai berikut; E[y i ] = E[μ i ] = E[exp{x i β + z i u}] = exp{x i β} E[exp{z i u}] = exp{x i β} M u (z i ) (4.6) (4.4)

6 Uiversitas Hasauddi utuk u i ~ N(0, σ 2 u ) da z erupaka vektor berukura aka, M u (z i ) = exp{μ z i + σ u 2 (z i ) 2 } = exp {0 + σ u 2 2 } = exp{ σ u 2 2 } 2 Berdasarka uraia diatas aka Persaaa (4.5) dapat dituliska sebagai berikut: E[y i ] = exp (x i β + σ u 2 2 (4.7) 4.3. Varias dari y var (y i ) = var (μ i ) + E[μ i ] = var (exp{x i β + z i u} + E[exp{x i β + z i u} = E[(exp{2 (x i β + z i u)}] (E[exp{x i β + z i u}]) 2 + E[exp{x i β + z i u}] = exp{2x i β} (M u (2z i ) (M u (z i )) 2 + exp{ x i β} M u (z i )) (4.8) var (y i ) = E[y i ] (exp{x i β} (exp { 3σ u 2 } exp 2 2 {σ u }) + ) (4.9) Estiasi Paraeter Persaaa Likelihood Setelah didapatka fugsi pdf dari distribusi y bersyarat u i (y u i ) pada Persaaa (4.4) da distribusi dari efek acak u pada Persaaa (4.) aka ditetuka peaksir dari asig-asig paraeter dega egguaka Metode Maxiu Likelihood Estiastio (MLE). L = i f Yi u(y i u)f U (u) du j= = μ ij yij e μ ij j= i= j= y ij! i= ] = exp[ j= y ijx ij β y ij! j= 6 2πσ exp [ u 2 2σ 2 i 2 ] du i exp [ y i u i i= j= exp [ x ij β + u i ]] exp [ 2πσ2 2σ 2 u i 2 ] du i j= i= ] j= y ij! l L = l exp[ j= y ijx ij β exp[ y i u i exp[ x ij β + u i ]] exp [ u 2πσ2 2σ 2 i 2 ] du i = y xβ ij l y i! + i= l exp[y i u i j exp x ij β + u i ] exp [ u 2πσ2 2σ 2 i 2 ] du i (4.) Nau dala peyelesaia estiasi paraeter dega egguaka Estiasi aksiu likelihood (MLE) aka diperoleh persaaa yag tidak dapat disederhaaka, sehigga tidak dapat dievaluasi lebih lajut. Oleh karea itu, utuk eyelesaika perasalaha tersebut aka diguaka suatu etode uerik Gauss Herite Quadrature (GHQ) Gauss-Herite Quadrature Persaaa 4.2 belu berbetuk seperti Persaaa 2.9 aka terlebih dahulu kita egkostruksi persaaa tersebut. Persaaa 4.4 yag egadug itegrasi yaitu, dega eisalka, i= i= l exp[y i u i j exp x ij β + u i ] exp [ u 2 2σ 2 i 2 ] du i (4.2) j= 2πσ j= (4.0)

7 Uiversitas Hasauddi u = 2σ 2 v da v = aka didapatka u 2σ 2 i= l exp[y i 2σv exp[x ij β + 2σv] π exp[ v2 ] dv (4.3) j ] Lagkah awal yag dilakuka utuk eyelesaika Persaaa tersebut dega egguaka GHQ adalah eetuka poit, seaki besar ilai poit yag kita pilih aka hasil estiasi paraeterya aka seaki baik. Nau, dala peulisa tugas akhir ii peulis haya eilih poit yaitu 3. Tabel titik da bobot utuk beberapa ilai k. Nilai titik da bobot dapat diperoleh pada tabel Gauss-Herite Quadrature. Tabel 4. Titik da bobot dari Gauss Herite Quadrature k x k w k -, Setelah eetuka poit, kita subsitusi ilai x k da w k ke dala Persaaa (4.5) sebagai berikut; f(v) exp( v 2 ) dx = w k f(v k ) utuk k = 3 = 3 k= w k f(v k ) = w f(v ) + w 2 f(v 2 ) + w 3 f(v 3 ) = exp[y i 2σ(,224) j exp[x ij β + 2σ(,224)] ] +.8 exp[ j exp x ij β] exp[y i 2σ(.224) j exp[x ij β + 2σ(.224)] ] (4.4) Subsitusi Persaaa (4.4) ke dala Persaaa (4.3) utuk eyelesaika persaaa yag egadug itegral sehigga Persaaa (4.) ejadi, = l ( ( exp[(,224)y i= π i 2σ j exp[x ij β + (,2249) 2σ]] +.8 exp[ j exp x ij β] exp[(.224)y i 2σ j [exp x ij β + (.224) 2σ]] )) k= (4.5) Setelah edapatka persaaa yag tidak egadug itegral, aka kita dapat eyelesaika estiasi paraeter egguaka MLE. Sebeluya telah ditetuka persaaa likelihood da ebetuk persaaa log likelihood. Lagkah selajutya yaitu esubsitusi Persaaa (4.5) ke dala Persaaa (4.). Keudia ecari ilai paraeter asig-asig. Setelah dituruka edapatka hasil seperti berikut; x ij i= i= exp[x ij β] = x y (4.6) Persaaa (4.6) eghasilka estiator yag iplisit sehigga dala pegaplikasia pada data dibutuhka solusi uerik. Solusi uerik yag aka diguaka yaitu etode Newto Raphso. 7

8 Variasi Rata-rata Julah Kujuga Uiversitas Hasauddi 4.6 Aplikasi pada Data Logitudial 4.6. Megidetifikasi Distribusi Data Dega egguaka software SPSS 22 aka dilakuka uji Chi-square. Adapu hipotesisya sebagai berikut: H 0 : Data egikuti distribusi Poisso H : Data tidak egikuti distribusi Poisso Setelah dilakuka uji Chi-square didapatka hasil output SPSS diperoleh ilai p-value 0,267. Sesuai dega kriteria pegujia diaa ilai p-value > 0,05 aka kita eeria H 0 da dapat disipulka bahwa data egikuti distribusi Poisso Eksplorasi data. Idividual Profile Eksprolasi ii bertujua utuk eggabarka perubaha subjek terhadap waktu pada setiap subjek yag diaati. Gabar berikut eujukka perubaha 20 subjek dala hal ii yaitu pegujug pusat kesehata yag diaati selaa 4 tahu. 20 Idividual Profile Tie Gabar 4. : Idividual Profile Data Peafaata Perawata Kesehata 2. Struktur Rata-Rata Eksplorasi yag kedua yaitu struktur rata-rata. Hasil dari eksplorasi ii aka bergua utuk eilih struktur efek tetap pada GLMM. 5 Struktur Rata-rata Waktu Gabar 4.2 Struktur Rata-rata Data Peafaata Perawata Kesehata 3. Struktur Variasi Eksplorasi ii bertujua utuk eggabarka perubaha variasi subjek dari waktu ke waktu Struktur variasi Waktu Gabar 4.3 Variace Structure Data Peafaata Perawata Kesehata 4. Struktur Korelasi 8

9 Uiversitas Hasauddi Struktur korelasi eggabarka pegukura di dala subjek berkorelasi. Gabar 4.4 Correlatio structure Data Peafaata Perawata Kesehata Model Regresi Poisso Setelah kodisi koverge telah terpeuhi, aka lagkah selajutya yaitu ecari ilai estiasi berdasarka ilai paraeter yag diperoleh elalui etode iterasi Newto Rapsho. Setelah diperoleh ilai estiasi paraeter aka didapatka gabuga sebagai berikut. μ ij = exp( x ij x ij x ij3 ) Dari odel di atas dapat dilihat bahwa jeis kelai epegaruhi julah kujuga yaitu sebesar exp(0.5486) yag berarti bahwa subjek yag berjeis kelai perepua lebih atusias elakuka kujuga ke pusat kesehata. Selai jeis kelai, tigkat kekroika peyakit da usia epegaruhi julah kujuga. Seaki tiggi tigkat kekroika peyakit subjek aka aka eigkatka exp(0.82) kujuga subjek ke pusat kesehata. Seaki tiggi usia seorag subjek aka eyebabka peurua julah kujuga yaitu sebesar exp( 0.008). 5. Kesipula Berdasarka hasil da pebahasa aka dapat disipulka bahwa:. Estiasi paraeter pada data logitudial berdistribusi poisso dega egguaka etode estiasi MLE eghasilka persaaa yag iplisit yaitu x ij i= i= exp[x ij β] = y x, sehigga diperluka prosedur iteratif yaitu etode iterasi Newto Rapsho. 2. Model regresi poisso data peafaata perawata kesehata secara uu adalah sebagai berikut. μ ij = exp( x ij x ij x ij3 ) Berdasarka persaaa di atas dapat eujukka bahwa faktor-faktor yag epegerahui peigkata julah kujuga subjek ke pusat kesehata adalah faktor jeis kelai da status peyakit kroik. Daftar Pustaka Adityaigru, A. (204). Estiasi Model Regresi Liear Bergada Data Logitudial Dega Geeralized Method Pada Agka Keiskia Sulawesi Selata. Jurusa Mateatika: Uiversitas Hasauddi. Ahad M.Gad, R. B. (202). Geeralized Liear Mixed Models for Logitudial Data. Iteratioal Joural of Probability ad Statistics,

10 Uiversitas Hasauddi E.Gbar, E., W.Stroup, W., S.McCarter, K., Durha, S., J.Youg, L., Christa, M.,... Kraer, M. (202). Aalysis of Geeralized Liear Mixed Models i the Agricultural ad Natural Resources Scieces. USA: Book ad Multiedia Publishig Coitte. Greee, W. H. (2002). Ecooetric Aalysis. New York: McMilla Publishig Copay. Masjkur, M. (2008). Pedugaa Kopoe Utaa pada Pegaruh Acak Model Liear Capura. Departee Statistika: FMIPA-IPB. McCulloch, C. E., & Searle, S. R. (200). Geeralized, Liear, ad Mixed Models. New York: Joh Wiley & Sos,Ic. Megawati, M. (20). Model Regresi Zero Iflated Negative Bioial (ZINB) pada data hitug aplikasiya pada pederita peyakit dea berdarah di RS. Wahidi Sudirohusodo. Jurusa Mateatika: Uiversitas Hasauddi. Myers, R. H. (990). Classical ad Moder Regressio with Aplicatio. PWS-KENT Publishig Copay: Bosto. Nia, V. P. (2006). Gauss Herite Quadrature: Nuerical or Statistical Method. Istitude of Matheatics Ecole Polytechique Federal de Lausae: Ferdowsi Uiversity of Mashhad. Rahayu, Lilik Ei. Biseksi#scribd [ diakses taggal 2 Agustus 206 ]. Setiawa, I. (205). Aalisis Regresi Model Data Pael Berdistrubusi Poisso dega Metode Efek Acak ( MEA ). Jurusa Mateatika: Uiversitas Hasauddi. Sudari, I. (202). Regresi Poisso da Peerapa Meodelka Hubuga Usia da Berperilaku Perokok Terhadap Julah Keatia Pederita Peyakit Kaker Paru-paru. Jurusa Mateatika: Uiversitas Adalas. Sutradhar,B.C.(20). Dyaic Mixed Models For failial Logitudial Data. Spriger, vol XVIII, 494 p. Tirta, I. (2008). Model Statistika Liear. Jeber: Uiversitas Jeber. Wachidah, L. (2009). Uji Kecocoka Chi-Kuadrat Utuk Distribusi Poisso. Yogyakarta: Pedidika Mateatika FMIPA UNY. Ware, N. M. (982). Rado-Effects Models for Logitudial Data. Bioetrics, Vol. 38, No.4, Wu, H., & Zhag, J.-T. (2006). Noparaetric Regressio Methods for Logitudial Data Aalysis. New Jersey: Joh Wiley ad Sos,Is. 0