Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Transkripsi

1 Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis

2 Peaksira Parameter Terdapat dua jeis peaksira yaitu:. Peaksira Titik 2. Peaksira Iterval Sifat sifat peaksir parameter yag baik yaitu:. Tak bias 2. Variasi Miimum 3. Kosiste 4. Statistik Cukup Statistik cukup dega Keluarga Ekspoesial 2

3 Metode - Metode Peetua Peaksir Titik yaitu:. Metode Mome 2. Metode Maksimum Likelihood 3. Peaksir Bayes Statistik iferesial : Statistik yag dega segala iformasi dari sampel diguaka utuk mearik kesimpula megeai karakteristik populasi dari maa sampel itu diambil. 3

4 Peaksira Titik Peaksira titik sebuah parameter : sebuah ilai yag diperoleh dari sampel da diguaka sebagai peaksir dari parameter yag ilaiya tidak diketahui. Misalka X X 2 X merupaka sampel acak berukura dari X maka statistik ˆ h X X yag berkaita dega θ diamaka peaksir dari θ. Setelah sampel diambil ilai-ilai yag dihitug dari sampel itu diguaka sebagai taksira titik bagi θ. 2 X 4

5 Beberapa taksira titik yag dihitug dari data sampel utuk parameter populasi yag bersesuaia.. Rerata populasi μ taksira titikya adalah ˆ 2. Variasi populasi σ 2 2 taksira titikya adalah ˆ s 3. Simpaga baku populasi σ taksira titikya adalahˆ s 4. Proporsi populasi X N taksira titikya adalah ˆ Y p 2 5

6 ˆ ˆ Tak Bias dikataka peaksir tak bias bagi parameter θ jika ˆ E dikataka peaksir bias bagi parameter θ jika ˆ E Namu peaksir bias dapat diubah mejadi peaksir tak bias jika ruas kaa dikalika atau ditambahka dega kostata tertetu 6

7 Cotoh : Misalka X adalah peubah acak dega rerata μ da variasi σ 2. Jika X X 2 X merupaka sampel acak berukura dari X apakah rerata sampel X da variasi sampel s 2 merupaka peaksir tak bias utuk μ da σ 2? Cotoh 2: Misalka X X 2 X merupaka sampel acak berukura dari X yag berdistribusi seragam Tujukka bahwa rerata sampel acak X merupaka peaksir tak bias bagi θ X i ~ UNIF 7

8 Variasi Miimum Apabila terdapat dua buah peaksir yag tak bias Maka kedua peaksir tersebut aka dibadigka dalam hal variasiya. Misalka dua peaksir tak bias yaitu ˆ da ˆ utuk θ Jikaˆ mempuyai variasi yag lebih kecil dibadig dega ˆ maka ˆ dikataka peaksir tak bias 2 bervariasi miimum 2 8

9 Sebuah peaksir tak bias aka mecapai variasi miimum di atara semua peaksir tak bias laiya jika variasi dari peaksir itu miimal sama dega batas bawah Cramer-Rao Perumusa batas bawah Cramer-Rao utuk variasi dari ˆ adalah Var ˆ d E l d f ; 2 E d 2 d 2 l f ; 9

10 Cotoh : Apakah rerata sampel merupaka peaksir tak bias bervariasi miimum utuk rerata distribusi ormal dega variasi diketahui. Cotoh 2: Misalka X X 2 X merupaka sampel acak berukura dari X yag berdistribusi poisso Tetuka batas bawah Cramer-Rao utuk variasi peaksir tak bias dari μ X X i ~ POI 0

11 Jika ˆ Kosiste adalah peaksir utuk θ yag didasarka pada sampel acak berukura maka bagi parameter θ jika lim P dikataka kosiste Peetua peaksir kosiste ii dapat dilakuka dega megguaka ketidaksamaa Chebyshev s lim P ˆ ˆ k X k 2

12 Cotoh : Misalka peubah acak X berdistribusi N(μ σ 2 ) dega σ 2 diketahui. Apaka rerata sampel X merupaka peaksir kosiste bagi rerata distribusi yaitu μ? 2

13 Statistik Cukup Statistik T = T(X X 2 X ) dikataka cukup bagi parameter tidak bergatug pada θ. Cotoh: P jika fkp bersyarat: X X TX X X t 2 Misalka X X 2 X merupaka peubah acak Beroulli yag salig bebas dega P(X i = ) = p da P(X i = 0) = ( p) i = 2. Perlihatka bahwa merupaka statistik cukup bagi p. T i X i 3

14 Keluarga Ekspoesial Peetua statistik cukup bagi suatu parameter dapat dapat dilakuka dega megguaka keluarga ekspoesial. Keluarga ekspoesial yag aka dibahas di sii adalah keluarga ekspoesial utuk satu parameter. 4

15 . Suatu fkp dega satu parameter dikataka termasuk ke dalam keluarga ekspoesial jika fkp tersebut dapat diuraika dalam betuk: f 2. Jika X X 2 X merupaka sampel acak yag berasal dari distribusi dega fkp gabugaya diotasika dega f( 2 ;θ) f maka f(;θ) dikataka termasuk keluarga 5 ekspoesial ; C epq T h C Q ; ep T j h h j

16 Cotoh: Misalka peubah acak X berdistribusi biomial dega parameter da θ. Apakah f(;θ) termasuk keluarga ekspoesial? Cotoh: Misalka X X 2 X merupaka sampel acak dari distribusi B(;θ). Apakah f(;θ) termasuk keluarga ekspoesial? X 6

17 Metode Mome Misalka X adalah peubah acak kotiu (diskrit) dega fkp berbetuk f(;θ θ k ) dega θ θ k adalah k buah parameter yag tidak diketahui. Misalka X X 2 X merupaka sebuah sampel acak berukura da didefiisika k buah mome sekitar pusat sampel pertama: t mt ' i ; t 2 k i Selajutya k buah mome sekitar populasi pertama: ' t E X t 7

18 Cotoh: Misalka X peubah acak berdistribusi B(;θ) dega θ tidak diketahui. Tetuka peaksir titik utuk θ dega megguaka metode mome? Cotoh: Dega megguaka metode mome tetuka estimator utuk θ berdasarka sampel acak X X 2 X yag mempuyai fkp: f ; laiya 8

19 Metode Maksimum Likelihood Metode maksimum likelihood merupaka metode terbaik yag dapat diguaka dalam meetuka peaksir titik sebuah parameter. Misalka X adalah peubah acak kotiu (diskrit) dega fkp berbetuk f(;θ) dega θ adalah suatu parameter yag tidak diketahui. 9

20 Misalka X X 2 X merupaka sebuah sampel acak berukura fugsi likelihood dari sampel acak itu adalah: L f f Fugsi likelihood adalah fugsi dari parameter yag tidak diketahui θ. Utuk memudahka dalam megaalisa maka fugsi likelihood L(θ) diberi l. Peaksir maksimum likelihood dari θ adalah ilai θ yag memaksimumka fugsi likelihood L(θ). 20

21 Cotoh: Misalka X X 2 X adalah sampel acak berukura dari distribusi B(θ) dega θ tidak diketahui. Tetuka peaksir titik utuk θ degamegguaka metode maksimum likelihood? Cotoh: Dega megguaka metode maksimum likelihood Tetuka estimator utuk θ berdasarka sampel acak X X 2 X yag berdistribusi X i ~ GEO p 2

22 Pada MME da MLE parameter-parameter yag aka diestimasi adalah kostata-kostata yag tidak diketahui. Pada Bayesia parameter-parameter yag aka diestimasi dipadag sebagai variabel-variabel radom yag mempuyai distribusi awal yaitu distribusi prior λ(θ). 22

23 Peaksir Bayes Misalka X X 2 X merupaka sebuah sampel acak berukura yag berasal dari distribusi dega fkp f(;θ); Lagkah-lagkah utuk meetuka peaksir Bayes bagi θ adalah:. Tetuka fkp gabuga dari sampel acak yaitu g 2. Tetuka distribusi prior dega fkpya λ(θ) diambil/dipilih da disesuaika dg g( ;θ) ; f ; f ; 23

24 24 3. Peaksir Bayes utuk θ ditetuka sbb: a.jika λ(θ) dari peubah acak Θ berasal dari peubah acak diskrit maka peaksir bayes ditetuka dega rumus sbb: ; ; ; g g

25 25 b.jika λ(θ) dari peubah acak Θ berasal dari peubah acak kotiu maka peaksir bayes ditetuka dega rumus sbb: Sedagka peetua distribusi posteriorya diguaka rumus: d g d g ; ; ; d g g h ; ;

26 Cotoh: Misalka X X 2 X adalah sampel acak berukura dari distribusi B(θ) dega θ tidak diketahui. Tetuka peaksir Bayes utuk θ. 26