BAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN"

Transkripsi

1 BAB 4 METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN Estimasi reliabilitas membutuhka pegetahua distribusi waktu kerusaka yag medasari dari kompoe atau sistem yag dimodelka Utuk memprediksi reliabilitas atau megestimasi MTTF kompoe atau sistem yag dikeai uji hidup dipercepat, diperluka estimasi parameter dari distribusi probabilitas yag meggambarka waktu kerusaka populasi yag dilakuka uji Keakurata estimasi parameter tergatug pada ukura sampel da metode yag diguaka utuk estimasi parameter Statistik yag dihitug dari sampel yag diguaka utuk estimasi parameter populasi disebut estimator Suatu estimator yag baik mempuyai sifat-sifat: tak bias, kosiste, efisie da sufiisie Statistik yag diguaka utuk estimasi parameter populasi, θ, disebut suatu estimator titik utuk θ, diotasika θ Ada 3 metode yag bayak diguaka utuk estimasi parameter dari populasi yaitu metode mome, metode maximum likelihood da metode kuadrat terkecil Metode Mome Ide utama dari metode mome adalah meyamaka karakteristik sampel tertetu seperti mea da varias utuk ilai-ilai yag diharapka populasi yag bersesuaia da kemudia meyelesaika persamaa yag dihasilka utuk medapatka ilai perkiraa parameter tidak diketahui Jika x 1, x,, x mewakili himpua data, maka mome ke k sampel adalah M k = 1 k Jika θ 1, θ,, θ m adalah parameter yag tidak diketahui dari populasi, maka estimator mome θ 1, θ,, θ m diperoleh dega meyamaka mome sampel m yag pertama dega mome populasi m yag pertama yag bersesuaia da meyelesaika utuk θ 1, θ,, θ m

2 Cotoh 41: Misal bahwa x 1, x,, x mewakili suatu sampel radom dari suatu distribusi Ekspoesial dega parameter λ Bagaimaa estimasi λ? Pdf dari distribusi Ekspoesial adalah f x = λe λx da E X = 1 λ Megguaka mome pertama sampel M 1 = Jadi estimasi dari λ adalah λ = = E X = 1 λ Cotoh 4: Sebuah produse sistem data wireless megguaka siar iframerah yag ditrasmisika atara peragkat yag dipasag pada bagia luar gedug utuk meyediaka lik data kecepata tiggi Ukura siar iframerah memiliki efek lagsug pada reliabilitas sistem da kemampuaya utuk meguragi efek dari kodisi cuaca seperti salju da kabut yag meghalagi jalur siar tsb Data ditrasmisika secara kotiyu megguaka siar iframerah da waktu sampai terjadi kerusaka dalam jam (tidak meerima data yag ditrasmisika) dicatat sebagai berikut: 47, 81, 17, 183, 188, 1, 53, 311, 33, 360, 489, 496, 511, 75, 77, 880, 1,509, 1,675, 1,806,,008,,06,,040,,869, 3,104, 3,05 Dega asumsi bahwa waktu kerusaka megikuti distribusi ekspoesial, tetuka parameter distribusi megguaka metode mome Perkiraka reliabilitas sistem saat = 1000 jam (Perhatika bahwa data di atas dihasilka dari sebuah distribusi ekspoesial dega parameter 1/ λ = 1000) Parameter dari distribusi Ekspoesial adalah atau 1 λ = 1048,36 λ = = = 0,

3 Ii sagat dekat dega ilai parameter yag sama yag diguaka dalam meghasilka data Jelas, selama meigkatya jumlah observasi, parameter yag diestimasi (λ) dega cepat medekati parameter dari distribusi waktu kerusaka yag sebearya Cotoh 43 Misal x 1, x,, x adalah suatu sampel radom dari suatu distribusi gamma yag mempuyai pdf : f x = 1 Γ(α)β α xα 1 e x β x > 0, α 0, β > 0 Guaka metode mome utuk medapatka estimasi parameter α da β Sebagaimaa yag telah ditujukka dalam Bab 1, mea da varias dari distribusi gamma, berturut-turut adalah: E X = αβ da V X = αβ = E X E[X] E[X] digati dega estimator M 1 da E X digati dega estimator M, diperoleh M 1 = αβ da M M 1 = αβ Peyelesaia dua persamaa di atas secara simulta meghasilka Cotoh 44: β = (M M 1 ) M 1 da α = M 1 (M M 1 ) Sebuah produse komputer pribadi melakuka suatu uji bur-i pada 0 moitor komputer da medapatka (dalam jam) sebagai berikut: 130, 150, 180, 40, 90, 15, 44, 18, 55, 10, 16, 77, 95, 43, 170, 130, 11, 106, 93, 71 Asumsika bahwa populasi dari waktu kerusaka yag utama megikuti distribusi gamma dega parameter α da β Tetuka estimasi parameter- parameter ii! Mula-mula, tetuka M 1 da M sebagai berikut: M 1 = = = 103,35 da M = 1 0 Selajutya, tetuka estimasi parameter-parameterya: x i = = 141, ,15 103,35 (103,35) β = = 15,09 da α = 103,35 141,15 (103,35) = 6,847 Jadi rata-rata suatu moitor hidup yag diharapka adalah αβ = 103,3 jam

4 Cotoh 45: Guaka metode mome utuk megestimasi parameter μ da σ dari distribusi ormal Pdf dari distribusi ormal: f x = 1 σ π e 1 x μ σ Mome pertama M 1 da mome kedua M dari distribusi di atas berturut-turut adalah M 1 = x x x σ π e 1 x μ σ Dega megguaka trasformasi dx da M = z = x μ σ x x x σ π e 1 x μ dx σ, kemudia megitegralkaya (lihat kembali catata mata kuliah Statistika Matematika II) maka diperoleh ilai-ilai M 1 da M sebagai berikut: M 1 = μ = 1 da Jadi estimasi utuk parameter μ da σ adalah μ = 1 da σ = 1 M = μ + σ = 1 1 = 1 x Metode mome merupaka metode sederhaa utuk memperkiraka parameter distribusi waktu kerusaka yag tersedia yaitu distribusi yag medasari diketahui Kesalaha dalam memperkiraka parameter adalah miimum ketika distri- busi yag medasari simetris dega tidak ada skewess da ketika waktu kerusaka tidak tersesor atau terpotog Selag Kepercayaa Setelah peetua estimasi titik parameter distribusi, selajutya meetuka selag kepercayaa yag maa parameter yag diperkiraka dekat dega ilai-ilai sebearya dari populasi Selag kepercayaa utuk parameter θ adalah P[LCL θ UCL] = 1 α di maa LCL adalah batas bawah kepercayaa da UCL adalah batas atas kepercayaa

5 Misalka sampel radom x 1, x,, x diambil dari suatu populasi dega mea μ da varias σ Misal x adalah estimator titik utuk μ Jika besar ( 30), maka x kira-kira memiliki suatu distribusi ormal dega mea μ da varias σ /, atau Z = x μ σ memiliki suatu distribusi ormal stadar Utuk sembarag ilai α dapat ditemuka suatu ilai Z α sedemikia sehigga P Z α Z +Z α = 1 α Atau dapat ditulis x μ 1 α = P Z α σ +Z σ α = P Z α x μ +Z σ α = P x Z α σ μ x + Z σ α Sehigga diperoleh selag x Z α σ, x + Z σ α membetuk selag kepercayaa dari parameter yag diestimasi x utuk μ dega koefisie kepercayaa 1 α Cotoh 46: Padag waktu kerusaka dari cotoh 44 Tetuka suatu selag kepercayaa utuk mea waktu kerusaka dega koefisie kepercayaa 0,95 Dari data diperoleh x = 103,35 da s = 40,5, s adalah estimasi dari stadar deviasi σ Karea ukura sampel kecil (< 30), lebih tepat megguaka distribusi t daripada distribusi ormal dalam meetuka selag kepercayaa Jadi selag kepercayaa adalah x ± t α σ, dega 1 α = 0,95 Dari tabel diperoleh t 0,05 =,093 da substitusi s utuk σ, didapat 103,35 ±,093 40,5 0 atau 103,35 ± 18,96 atau (84,39, 1,31) Dega kata lai, dega tigkat kepercayaa 95% bahwa mea waktu kerusaka yag sebearya terletak atara 84,39 da 1,31 jam

6 Metode Maksimum Likelihood Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas didasarka pada fugsi likelihood Misal dipuyai pegamata adalah x 1, x,, x yag masig-masig mempuyai suatu pdf f, θ Fugsi likelihood adalah suatu fugsi dari θ yaitu l θ = f x 1, θ f x, θ = f, θ Jika θ adalah aggota suatu selag terbuka da l θ terdiferesial da mempuyai suatu ilai maksimum pada selag tersebut, maka MLE adalah suatu peyelesaia dari persamaa maksimum likelihood d l θ = 0 dθ Beberapa ilai dari θ yag memaksimumka l θ juga aka memaksimumka log likelihood L θ, maka utuk perhituga yag cepat, sebagai betuk alteratif dari persamaa maksimum likelihood adalah Cotoh 47: d log l θ = 0 dθ Bayak cacat dalam suatu lii produksi ditemuka megikuti distribusi Poisso dega suatu rata-rata μ yag tidak diketahui Dua sampel radom diambil da bayakya uit-uit yag cacat adalah 10 da 1 Tetuka estimasi kemugkia maksimum (MLE) dari μ? Probabilitas yag mempuyai x uit dari suatu distribusi Poisso adalah P x = e μ μ x x = 0,1,, x! Probabilitas yag mempuyai 10 da 1 cacat berturut-turut adalah: P 10 = e μ μ 10 da P 1 = e μ μ 1 10! 1! Fugsi likelihood l x, μ adalah perkalia dari P 10 da P 1, yaitu: l x, μ = e μ μ 10 10! e μ μ 1 1! = e μ μ (x = 10,1) (10! 1!)

7 Evaluasi dari persamaa di atas utuk ilai-ilai yag berbeda dari μ dapat disederhaaka dega megambil logaritma dari l x, μ Misal da logaritma dari fugsi likelihood adalah Derivatif dari L μ terhadap μ adalah Jadi estimasi terbaik dari μ adalah /=11 L x, μ = log l(x, μ) L μ = log μ μ log (10! 1!) dl(μ) dμ = μ = 0 Cotoh 48: Aggap bahwa pabrik Itegrated Circuits megambil 3 sampel radom dari sekumpula yag sama dari ukura 10, 15 da 0 uit Pada pemeriksaa ditemuka bahwa sampelsampel ii berturut-turut mempuyai, 3 da 5 yag cacat Bagaimaa estimasi kemugkia maksimum (MLE) dari θ? Karea 3 sampel diambil dari sekumpula produksi yag sama, distribusi probabilitas yag medasari mempuyai parameter yag sama θ Probabilitas 3 hasil adalah: 10 θ 1 θ 8 ; 15 3 θ3 1 θ 1 ; 5 5 θ5 1 θ 0 Fugsi likelihood secara sederhaa merupaka hasil kali dari 3 probabilitas: l θ = 10 θ 1 θ θ3 1 θ θ5 1 θ 0 = Kθ 10 (1 θ) 40, di maa K adalah suatu kosta yag meliputi semua suku yag tidak melibatka θ Jadi estimasi terbaik dari θ adalah 1/5 MLE dari Distribusi Ekxpoesial L θ = log K + 10 log θ + 40 log(1 θ) dl(θ) dθ = θ 40 1 θ = 0 Pdf dari distribusi ekspoesial dega parameter λ adalah f x, λ = λe λx Pdf dari pegamata x 1, x,, x adalah f x, λ = λe λ = 1,,, Fugsi likelihood:

8 l x 1, x,, x ; λ = f x 1, λ f x, λ f x, λ = Logaritma dari fugsi likelihood: f x 1, λ L x 1, x,, x ; λ = log λ λ Derivatif dari L x 1, x,, x ; λ terhadap λ adalah Jadi estimasi terbaik dari λ adalah / L x 1, x,, x ; λ λ = λ e λ = λ = 0 (Hasil MLE dari λ sama seperti estimasi yag diperoleh megguaka metode mome) Cotoh 49: = λ e λ Suatu uji reliabilitas dilakuka pada sampel yag terdiri dari 6 kompoe elektroik utuk megestimasi MTTF Berikut adalah waktu kerusaka dari kompoe-kompoe tersebut: 5, 75, 150, 30, 430 da 700 jam Bagaimaa betuk laju kerusaka da tetuka MLE dari parameter distribusi waktu kerusaka yag medasari? MTTF adalah 60 jam da stadar deviasi adalah 3 jam Karea mea da deviasi stadar hampir sama, maka distribusi ekspoesial dapat diguaka utuk mewakili distribusi waktu kerusaka Jadi estimasi terbaik dari λ adalah λ = = = 3,76 x 10 3 kerusaka per jam MLE dari Distribusi Rayleigh Distribusi Rayleigh diguaka utuk merepresetasika distribusi waktu kerusaka dari kompoe yag meujukka laju kerusaka meigkat secara liier Pdf dari distribusi Rayleigh adalah f x = λxe λx di maa λ adalah parameter dari distribusi Rayleigh Fugsi likelihood utuk pegamata x 1, x,, x adalah

9 di maa l x 1, x,, x ; λ = f x 1, λ f x, λ f x, λ = λ e λx = X Logaritma dari fugsi likelihood: L x 1, x,, x ; λ = log λ + log X λ Derivatif dari L x 1, x,, x ; λ terhadap λ adalah L x 1, x,, x ; λ λ = λ 1 = 0 = λ Xe λ λ = Cotoh 410: Waktu kerusaka berikut diamati ketika dilakuka suatu uji reliabilitas: 15, 1, 30, 39, 5 da 68 jam Aggap bahwa distribusi Rayleigh dipadag sebagai distribusi yag tepat utuk merepresetasika waktu kerusaka ii Tetuka parameter dari distribusi ii Berapa mea da deviasi stadar dari waktu kerusaka? Parameter dari distribusi Rayleigh adalah λ = Mea da deviasi stadar dari waktu kerusaka adalah = 6 = 0,00115 kerusaka per jam μ = π λ = 36,9 jam da σ = λ 1 π 4 = 19,3 jam MLE dari Distribusi Normal Pdf dari pegamata x dari suatu distribusi ormal dega mea μ da variasi σ yag tidak diketahui f x = 1 σ π e 1 x μ σ Fugsi likelihood utuk pegamata x 1, x,, x adalah

10 l x 1, x,, x ; μ, σ = 1 σ π Logaritma dari fugsi likelihood: e 1 1 L x 1, x,, x ; μ, σ = log σ π 1 Derivatif dari L x 1, x,, x ; μ, σ terhadap μ adalah x 1 μ σ x μ σ L x 1, x,, x ; μ, σ μ μ = 1 = 1 σ μ Derivatif dari L x 1, x,, x ; μ, σ terhadap σ adalah L x 1, x,, x ; μ, σ σ = σ μ σ = 1 = σ log 1 σ π log σ 1 = 0 σ 3 = 1 σ + ( μ) σ μ atau σ = 1 Hasil yag sama sebagaimaa diperoleh dega metode mome μ x μ σ = 0 Cotoh 411: Aggap bahwa diterapka peekaa pada kompoe-kompoe da waktu kerusaka yag sesuai membetuk pasaga pegamata x 1, y 1,, x, y yag megikuti model E Y = α + βx da Var Y = σ di maa Y adalah variabel radom berdistribusi ormal da idepede Guaka pedekata maksimum likelihood utuk megestimasi parameter α da β Karea Y berdistribusi ormal da idepede, maka log likelihood adalah L x 1, y 1,, x, y == 1 log π log σ σ y i α βx i

11 Dua suku pertama dari sisi kaa dari persamaa tersebut di atas adalah idepede terhadap α da β Karea itu utuk memiimumka log likelihood, cukup utuk memiimumka suku K = y i α βx i Ambil derivatif parsial dari K terhadap α da β da samaka derivatif dega ol meghasilka persamaa liier dalam α da β Peyelesaia persamaa tersebut adalah: di maa β = y i( x ) da α = y βx ( x ) x = 1 da y = 1 y i Kadag-kadag dalam meemuka estimator maksimum likelihood (MLE), tidak diperoleh ekspresi betuk tertutup utuk estimasi parameter, karea itu perlu megguaka metode lai, atara lai seperti: metode gradie likelihood da metode iteratif Newto estimator maksimum likelihood adalah kosiste, efisie da tak bias Bias dari estimator meuru seirig meigkatya bayakya pegamata Metode tersebut memerluka perhituga yag sederhaa utuk distribusi yag mempuyai parameter tuggal tetapi mugki memerluka perhituga yag pajag utuk distribusi yag mempuyai parameter dua atau lebih Lebih lajut, metode tersebut dapat diaplikasika utuk data tersesor maupu data tidak tersesor Matriks Iformasi da Matriks Varias Kovarias Salah satu mafaat utama dari pegguaa estimator maksimum likelihood utuk medapatka parameter distribusi adalah bahwa logaritma dari fugsi likelihood dapat dimafaatka dalam meyusus matriks iformasi Fisher (atau matriks Hessia) Kebalika (ivers) dari hasil matriks dikeal sebagai matriks Varias Kovarias Berikut adalah defiisi matriks varias kovarias (atau secara sederhaa disebut matriks kovarias) Jika X 1, X,, X k adalah variabel radom berdistribusi idetik da

12 idepede satu dega yag lai dega suatu pdf f x, θ 0, dimaa θ 0 mempuyai k kompoe da ilai θ yag sebearya, maka matriks kovarias didefiisika sebagai Var(θ 1 ) Cov(θ 1, θ ) Cov(θ 1, θ 3 ) Cov(θ 1, θ k ) Cov(θ 1, θ ) Var(θ ) Cov(θ, θ 3 ) Cov(θ, θ k ) Cov(θ 1, θ k ) Cov(θ, θ k ) Var(θ k ) di maa Cov(θ i, θ j ) adalah kovarias dari θ i da θ j da Var(θ i ) adalah variasi dari θ i Matriks kovarias ii dapat diperoleh dari matriks iformasi Ketika ukura sampel data meigkat, bias MLE meuru, estimator mejadi tak bias secara asimptotis Dega kata lai lim x E θ i = θ i i = 1,,, k Utuk medapatka varias da kovarias asimptotis dari estimator, pertama susu matriks iformasi I, berkeaa likelihood sebagai suatu fugsi variabel radom yag diamati dalam suatu sampel yag diberika Eleme ke ij dari matriks iformasi I adalah I ij = E L(θ; X) θ i θ j Matriks ivers, I 1, dega eleme ke ij ditujukka oleh I ij adalah matriks varias kovarias dari θ, sehigga Var θ i = I ii da Cov θ i, θ j = I ij Cotoh 41: Suatu sampel radom x 1, x,, x megikuti suatu distribusi ormal dega parameter μ da σ Guaka matriks iformasi utuk medapatka estimasi variasi dari μ da σ Logaritma dari fugsi likelihood dari distribusi ormal adalah 1 L x 1, x,, x ; μ, σ = log σ π log σ 1 Derivatif parsial dari L terhadap μ da σ adalah L μ = 1 σ μ da x μ σ L σ = 1 σ + ( μ) σ

13 L μ = σ ; L μ σ = σ 3 μ da L σ = σ 3 σ 4 μ Dalam ragka meyusu matriks iformasi, dari persamaa derivatif kedua dari L ditetuka ilai harapaya, yaitu E L μ = σ = l11 ; E L μ σ = 0 = l1 = l 1 Sehigga matriks iformasi I disusu sebagai Matriks varias da kovarias, I 1 adalah I = σ 0 0 σ da I 1 = σ 0 0 σ da E L σ = σ = l Var(μ ) Cov(μ, σ) Cov(μ, σ) Var(σ) = σ 0 0 σ Cotoh 413: Sebuah timbaga pemeriksa adalah sebuah peralata yag memiliki tiga kompoe utama: skala, pegotrol, da alat pegalih Khususya dalam sistem produksi kecepata tiggi seperti yag ditemuka dalam idustri makaa kaleg atau idustri maufaktur farmasi, satu atau lebih timbaga pemeriksa biasaya dipasag dalam sistem utuk memastika bahwa bobot dari produk berada dalam batas spesifikasi yag dapat diterima Jika produk tidak memeuhi spesifikasi, itu dialihka jauh dari produk diterima Alat pegalih, mejadi sistem mekais, merupaka kompoe yag palig reta terhadap kegagala Berikut waktu kegagala (dalam miggu) dari alat pegalih yag diamati: 14, 18, 18, 0, 1,,, 0, 17, 17, 15, 13 Aggap bahwa pegamata megikuti suatu distribusi ormal dega mea μ da variasi σ Tetuka μ, σ da matriks varias kovarias! μ, da σ diperoleh sebagai berikut: μ = 1 = = 18,08 da σ = 1 Matriks varias da kovarias adalah μ = 8,409 atau σ =,9

14 I 1 = σ 0 0 σ = 0, ,350 Jadi variasi μ adalah 0,700 da variasi dari σ adalah 0,350

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira

Lebih terperinci

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel. II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka

Lebih terperinci

Statistika Inferensial

Statistika Inferensial Cofidece Iterval Ara Fariza Statistika Iferesial Populasi Sampel Simpulka (estimasi) tetag parameter Medapatka statistik Estimasi: estimasi titik, estimasi iterval, uji hipotesa 2 1 Proses Estimasi Populasi

Lebih terperinci

DISTRIBUSI SAMPLING. Oleh : Dewi Rachmatin

DISTRIBUSI SAMPLING. Oleh : Dewi Rachmatin DISTRIBUSI SAMPLING Oleh : Dewi Rachmati Distribusi Rata-rata Misalka sebuah populasi berukura higga N dega parameter rata-rata µ da simpaga baku. Dari populasi ii diambil sampel acak berukura, jika tapa

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

x = μ...? 2 2 s = σ...? x x s = σ...?

x = μ...? 2 2 s = σ...? x x s = σ...? Pedugaa Parameter x 2 sx s = μ...? 2 = σ x...? = σ...? Peduga Parameter Peduga titik yaitu parameter populasi p diduga dega suatu besara statistik, misal: rata-rata, proporsi, ragam, dll Peduga Selag (Iterval)

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Pengenalan Pola. Regresi Linier

Pengenalan Pola. Regresi Linier Pegeala Pola Regresi Liier PTIIK - 014 Course Cotets 1 Defiisi Regresi Liier Model Regresi Liear 3 Estimasi Regresi Liear 4 Studi Kasus da Latiha Defiisi Regresi Liier Regresi adalah membagu model utuk

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA Apa yag disebut Regresi? Korelasi? Aalisa regresi da korelasi sederhaa membahas tetag keterkaita atara sebuah variabel (variabel terikat/depede) dega (sebuah) variabel lai

Lebih terperinci

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL BAB III PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL Pada Bab III ii aka dibahas megeai taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model berdasarka asumsi

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

Metode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas Dalam Analisis Data Waktu Kerusakan

Metode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas Dalam Analisis Data Waktu Kerusakan Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka DISUSUN OLEH: ENDAH BUDIYATI ERNI RIHYANTI JANUARI 017 Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka

Lebih terperinci

BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARSA DAN FAKTOR DISKON

BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARSA DAN FAKTOR DISKON BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARA DAN FAKTOR DIKON 3.1 Ecoomic Order Quatity Ecoomic Order Quatity (EOQ) merupaka suatu metode yag diguaka utuk megedalika

Lebih terperinci

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2)

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2) Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VIII

STATISTIK PERTEMUAN VIII STATISTIK PERTEMUAN VIII Pegertia Estimasi Merupaka bagia dari statistik iferesi Estimasi = pedugaa, atau meaksir harga parameter populasi dega harga-harga statistik sampelya. Misal : suatu populasi yag

Lebih terperinci

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 115 122 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA ELVI YATI, DODI DEVIANTO, YUDIANTRI ASDI Program

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Sampling adalah proses pengambilan atau memilih n buah elemen dari populasi yang

II. LANDASAN TEORI. Sampling adalah proses pengambilan atau memilih n buah elemen dari populasi yang II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Samplig Samplig adalah proses pegambila atau memilih buah eleme dari populasi yag berukura N (Lohr, 1999). Dalam melakuka samplig, terdapat teori dasar yag disebut teori

Lebih terperinci

BAB III MENENTUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INTERVAL WAKTU PREVENTIVE MAINTENANCE OPTIMUM SISTEM AXIS PADA MESIN CINCINNATI MILACRON DOUBLE GANTRY TIPE-F

BAB III MENENTUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INTERVAL WAKTU PREVENTIVE MAINTENANCE OPTIMUM SISTEM AXIS PADA MESIN CINCINNATI MILACRON DOUBLE GANTRY TIPE-F BAB III MENENUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INERVAL WAKU PREVENIVE MAINENANCE OPIMUM SISEM AXIS PADA MESIN CINCINNAI MILACRON DOUBLE GANRY IPE-F 3.1 Pedahulua Pada Bab II telah dijelaska beberapa teori yag diguaka

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

STATISTIKA MATEMATIKA

STATISTIKA MATEMATIKA Praktikum STATISTIKA MATEMATIKA Adi Setiawa Uiversitas Kriste Satya Wacaa Salatiga 2006 i Cotets : Statistik Cukup 2 Latiha Soal Statistik Cukup 6 3 : Estimasi Titik 7 4 Latiha Soal Estimasi Titik 37 5

Lebih terperinci

BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS. Pada bab ini akan dibahas tentang bentuk model spasial lag sekaligus

BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS. Pada bab ini akan dibahas tentang bentuk model spasial lag sekaligus BAB III ESTIMASI PARAMETER MODEL DENGAN GS2SLS Pada bab ii aka dibahas tetag betuk model spasial lag sekaligus spasial error da prosedur Geeralized Spatial Two Stage Least Squares (GS2SLS) utuk megestimasi

Lebih terperinci

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikeal bahwa X 1, X 2...X sampel radom dari distribusi ormal dega mea µ da variasi σ 2, maka x µ σ/ atau xi µ σ

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.

Lebih terperinci

BAB VII DISTRIBUSI SAMPLING DAN DESKRIPSI DATA

BAB VII DISTRIBUSI SAMPLING DAN DESKRIPSI DATA BAB VII DITRIBUI AMPLING DAN DEKRIPI DATA 7. Distribusi amplig (samplig distributio) amplig distributio adalah distribusi probabilitas dari suatu statistik. amplig distributio tergatug dari ukura populasi,

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

IV. METODE PENELITIAN

IV. METODE PENELITIAN IV. METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu peelitia Peelitia dilakuka pada budidaya jamur tiram putih yag dimiliki oleh usaha Yayasa Paguyuba Ikhlas yag berada di Jl. Thamri No 1 Desa Cibeig, Kecamata Pamijaha,

Lebih terperinci

ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN

ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN 8/8/0 IE 305 tatistika Idustri LOGO ETIMAI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN Elty arvia, T.,MT. Fakultas Tekik Jurusa Tekik Idustri Uiversitas Kriste Maraatha Badug LT arvia/esi Tujua 3 4 5 6 Medefiisika

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA LATAR BELAKANG DAN KORELASI SEDERHANA Aalisis regresi da korelasi megkaji da megukur keterkaita seara statistik atara dua atau lebih variabel. Keterkaita atara dua variabel regresi da korelasi sederhaa.

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan:

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan: BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetahui pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo, dega asumsi bahwa telah

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika Wed 6/0/3 ETIMAI (PENDUGAAN TATITIK) Ir. Tito Adi Dewato tatistika Deskriptif Iferesi Estimasi Uji Hipotesis Titik Retag Estimasi da Uji Hipotesis Dilakuka setelah peelitia dalam tahap pegambila suatu

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

PENAKSIRAN M A S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2014 U T R I W E N I M U K H A I Y A R

PENAKSIRAN M A S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2014 U T R I W E N I M U K H A I Y A R PENAKSIRAN P E N A K S I R A N T I T I K P E N A K S I R A N S E L A N G S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K R A T A A N S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K V A R I A N S I M A 0 8 S T

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /

Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani    / Pedugaa Parameter 7 Debria Puspita Adriai E-mail : debria.ub@gmail.com / debria@ub.ac.id Outlie Pedahulua Pedugaa Titik Pedugaa Iterval Pedugaa Parameter: Kasus Sampel Rataa Populasi Pedugaa Parameter:

Lebih terperinci

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai PENGUJIAN HIPOTESIS Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai ilai-ilai parameter populasi,

Lebih terperinci

PENAKSIRAN. Penaksiran Titik. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI. MA2181 ANALISIS DATA Utriweni Mukhaiyar 17 Oktober 2011

PENAKSIRAN. Penaksiran Titik. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI. MA2181 ANALISIS DATA Utriweni Mukhaiyar 17 Oktober 2011 PENAKSIRAN Peaksira Titik Peaksira Selag Selag Kepercayaa utuk RATAAN Selag Kepercayaa utuk VARIANSI MA8 ANALISIS DATA Utriwei Mukhaiyar 7 Oktober 0 Metode Peaksira Peaksira Titik Peaksira Selag Nilai

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan REGRESI DAN KORELASI. Statistika dan Probabilitas

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan REGRESI DAN KORELASI. Statistika dan Probabilitas Uiversitas Gadjah Mada Fakultas Tekik Departeme Tekik Sipil da Ligkuga REGRESI DAN KORELASI Statistika da Probabilitas Kurva Regresi Mecari garis/kurva yag mewakili seragkaia titik data Ada dua cara utuk

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa

Lebih terperinci

JENIS PENDUGAAN STATISTIK

JENIS PENDUGAAN STATISTIK ENDUGAAN STATISTIK ENDAHULUAN Kosep pedugaa statistik diperluka utuk membuat dugaa dari gambara populasi. ada pedugaa statistik dibutuhka pegambila sampel utuk diaalisis (statistik sampel) yag ati diguaka

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

9 Departemen Statistika FMIPA IPB

9 Departemen Statistika FMIPA IPB Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA

STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA OUTLINE LANJUTAN Peetua garis duga regresi dega Metode OLS kostata a da koefisie b Aalisis Varias komposisi variasi sekitar garis r da r Stadard

Lebih terperinci

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa 19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

Elemen Dasar Model Antrian. Aktor utama customer dan server. Elemen dasar : 1.distribusi kedatangan customer. 2.distribusi waktu pelayanan. 3.

Elemen Dasar Model Antrian. Aktor utama customer dan server. Elemen dasar : 1.distribusi kedatangan customer. 2.distribusi waktu pelayanan. 3. Eleme Dasar Model Atria. Aktor utama customer da server. Eleme dasar :.distribusi kedataga customer. 2.distribusi waktu pelayaa. 3.disai fasilitas pelayaa (seri, paralel atau jariga). 4.disipli atria (pertama

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI. Novita Eka Chandra Universitas Islam Darul Ulum Lamongan

ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI. Novita Eka Chandra Universitas Islam Darul Ulum Lamongan JMP : Vol. 8 No., Des. 016, al. 33-40 ISSN 085-1456 ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI Novita Eka Cadra Uiversitas Islam Darul Ulum Lamoga ovitaekacadra@gmail.com Masriai Mayuddi Uiversitas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand

Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand TEKIK SAMPLIG PCA SEDERHAA Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusa Matematika FMIPA Uad Defiisi : Jika suatu cotoh berukura diambil dari suatu populasi berukura sedemikia rupa sehigga setiap kemugkia cotoh

Lebih terperinci

Analisa Data Statistik. Ratih Setyaningrum, MT

Analisa Data Statistik. Ratih Setyaningrum, MT Aalisa Data tatistik Ratih etyaigrum, MT Referesi Agoes oehiaie, Ph.D Daftar Isi Iferesi tatistik Hipotesa tatistik : Kosep Umum Hipotesa statistik adalah sebuah klaim/peryataa atau cojecture tetag populasi.

Lebih terperinci

Penaksiran Titik Penaksiran Selang. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI MA2081 STATISTIKA DASAR

Penaksiran Titik Penaksiran Selang. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI MA2081 STATISTIKA DASAR PENAKSIRAN Peaksira Titik Peaksira Selag Selag Kepercayaa utuk RATAAN Selag Kepercayaa utuk VARIANSI MA08 STATISTIKA DASAR MA08 STATISTIKA DASAR Utriwei Mukhaiyar 5 Oktober 0 Metode Peaksira Peaksira Titik

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI

REGRESI DAN KORELASI REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas

Lebih terperinci

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN 4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN Saat asumsi keormala tidak dipuhi maka kesimpula yag kita buat berdasarka suatu metod statistik yag mesyaratka asumsi keormala meadi tidak baik, sehigga mucul

Lebih terperinci

IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi dan waktu 4.2. Jenis dan Sumber Data 4.3 Metode Pengumpulan Data

IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi dan waktu 4.2. Jenis dan Sumber Data 4.3 Metode Pengumpulan Data IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da waktu Peelitia ii dilakuka di PD Pacet Segar milik Alm Bapak H. Mastur Fuad yag beralamat di Jala Raya Ciherag o 48 Kecamata Cipaas, Kabupate Ciajur, Propisi Jawa Barat.

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai dega Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam

Lebih terperinci