PENYELESAIAN TEORI PERMAINAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS ALTERNATIF

Transkripsi

1 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, PENYELESAIAN TEORI PERMAINAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS ALTERNATIF Rii Hidayattillah, Pardi Affadi, Akhad Yusuf Progra Studi Mateatika Fakultas MIPA Uiversitas Labug Magkurat Jl. A. Yai KM. 36, Bajarbaru 70714, Kaliata Selata Eail: rii.h0706@gail.co ABSTRAK Teori peraia diawali oleh peeua teorea pertaa pada peraia catur oleh E. Zerelo pada tahu Keudia teori peraia dikeal kebali setelah uculya karya dari Joh o Neua da. Morgester pada tahu Salah satu cara peyelesaia teori peraia adalah progra liier. Metode sipleks alteratif erupaka salah satu tekik peyelesaia dala progra liier yag diguaka utuk ecari solusi optial, proses perhituga etode ii dega elakuka iterasi higga tercapai hasil optial. Metode sipleks alteratif erupaka sebuah algorita yag saa dega etode sipleks, satu-satuya perbedaa adalah dala eetuka elee kuci/agka kuci yag ejadi dasar utuk elakuka proses iterasi. Tujua dari peelitia ii utuk ejelaska proses pebetuka dari asalah teori peraia ke dala betuk progra liier da eyelesaika teori peraia egguaka etode sipleks alteratif. Dega egguaka etode sipleks alteratif persoala progra liier pada teori peraia dapat diguaka utuk eperoleh solusi optial. Metode sipleks alteratif dapat eyelesaika peraia dega edapatka strategi optial da ilai peraia optial bagi setiap peai. Kata Kuci: Teori Peraia, Progra liier, da Metode Sipleks Alteratif. ABSTRACT Gae theory is begu fro the first theore at chess gae at 1913 by E. Zerelo. After that, gae theory ade its coeback at 1944 with the asterpiece of Joh o Neua ad. Morgester. Gae theory have ay way to solve proble which is i Liear Progra. Siplex alterative ethod is of accoplishet techiques i liear progra to fid o optial solutio, the process of calculatig this ethod by coductig repeated iteratio to achieve a optial result. This ethod has the sae algorith with siplex ethod. The oly differece is i deteriig key eleet or ueral key as a basic to do iteratios process. The purpose of this study was to explai the process of gae theory proble foratio ito liear progra ad to accoplish gae theory by usig alterative siplex ethod. With the alterative siplex ethod probles of liear prograig o gae theory ca be used to obtai the optial solutio. This ethod ca solve the gae by gettig the optial strategy ad optial value of the gae for each player. Keywords : Gae theory, liear progra, ad alterative siplex ethod. 1. PENDAHULUAN Teori peraia adalah odel ateatika yag diguaka dala keadaa koflik atau persaiga dari berbagai kepetiga yag salig berhadapa sebagai pesaig [1]. Model ateatika yag sudah dibetuk selajutya aka diaalisa da dicari peyelesaia optialya [2]. Metode utuk eyelesaika teori Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

2 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, peraiastrategi capura adalah salah satuya dega egguaka progra liier. Metode sipleks adalah tekik peyelesaia dala progra liier yag diguka utuk ecari ilai optial yag elibatka bayak pebatas (costrait) da bayak variabel, proses perhituga etode ii dega elakuka iterasi higga diperoleh hasil yag optial [3]. Berdasarka peapara di atas, aka peulis epelajari betuk persoala progra liierpada teori peraia egguaka etode sipleks alteratif. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Peraia Peyelesaia dari pertetaga atara dua belah pihak yag bersaig adalah iti dari teori peraia. Dega kata lai berarti juga pegabila keputusa dala suatu pertetaga uuya disebut sebagai teori peraia. Jadi teori peraia elibatka dua pihak yag bertetaga, pihak I eilih strategi setelah elihat strategi yag dipilih oleh pihak II. Deikia juga dega pihak II eilih strategi setelah eperkiraka strategi yag dipilih oleh pihak I [4] Peraia Dua Orag da Peraia Julah Nol (Two-Perso Zerosu Gae) Betuk strategi atau betuk oral dari peraia two-peso zero-su[5] adalah H X, Y diaa: 1. X adalah hipua tak kosog, hipua strategi peai I 2. Y adalah hipua tak kosog, hipua strategi peai II 3. G adalah fugsi harga yata yag didefiisika pada X Y sedeikia sehigga G p, q adalah agka yata utuk setiap p ε X da q ε Y. Dega iterprestasi peai I eiliki p ε Xda peai II eiliki q ε Y, asig-asig eyadari piliha strategi peai lai. Jika H adalah positif aka peai I eag sebayak G p, q da jika G egatif, aka peai I ebayar ilai utlak dari julahya ke peai II Meilih Strategi Ada dua jeis persoala pada teori peraia[6]jeis pertaa yaitu peraia strategi uri (pure strategy gae) diaa para peai egguaka haya satu yaitu strategi tuggal, da jeis kedua yaitu peraia strategi capura (ixed strategy gae). Dala peraia strategi uri, peai baris egidetifikasi strategi optialya dega elihat kriteria aksii (aksiu di atara iiu baris), sedag peai kolo egguaka kriteria iiaks (iiu di atara aksiu kolo) Peraia dega Strategi Capura Defiisi peraia dega strategi capura [5]ektor X = x p ukura 1 dega p = 1,2,, dari bilaga tak egatif x p sedeikia sehigga x p = 1 didefiisika sebagai strategi capura peai I (P 1 ). Da ektor Y = [y q ] ukura 1 dega q = 1,2,, dari bilaga tak egatif y q sedeikia sehigga y q = 1 didefiisika sebagai strategi capura peai II (P 2 ). Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

3 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, Tabel 1. Tabel atriks peraia dega strategi capura P 2 P 1 (y 1 ) (y 2 ) (y ) (x 1 ) G( 1,1) G(1,2) G(1, ) (x 2 ) G(2,1) G(2,2) G(2, ) (x ) G(, 1) G(, 2) G(, ) Keteraga: x p : Probabilitas peai P 1 egguaka strategi ke p. y q : Probabilitas peai P 2 egguaka strategi ke q. G(p, q): Nilai pebayara yag bersesuaia dega strategi ke p utuk P 1 da strategi ke q utuk P 2. Secara ateatis, kriteria utuk kasus strategi capura berdasarka [7]adalahseperti berikut ii. a. Bagi peai I (P 1 ) P 1 eilih x p, (x p 0, x p = 1) yag aka eghasilka ax = x p {i( G(p, 1)x p, G(p, 2)x p,, G(p, )x p )...(2.1) b. Bagi peai II (P 2 ) P 2 eilih y q, y q 0, y q = 1 yag aka eghasilka i = y q {ax( G(1, q)y q, G(2, q)y q,, G(, q)y q )...(2.2) Miaks ekspektasi payoff aksi harapa payoff atau Jika x p da y p berkorespodesi pada solusi optialya, aka = di aa ilai yag diperoleh aka saa dega ilai harapa optial dari peraia Betuk Progra Liier pada Teori Peraia Setiap peraia dega strategi capura dapat diselesaika dega egubah asalah ejadi asalah progra liier. Trasforasi ii egguaka kriteria ilai aksii da ilai iiaks pada [8] didefiisika sebagai berikut: a. Bagi peai I (P 1 ) Miiuka X = X 1 + X X atau 1 Dega batasa: G(1,1)X 1 + G(2,1)X G(, 1)X 1 G(1,2)X 1 + G(2,2)X G(, 2)X 1 G(1, )X 1 + G(2, )X G(, )X 1 X 1 + X X 0 b. Bagi peai II (P 2 ) Maksiuka Y = Y 1 + Y Y atau 1 Dega batasa: G(1,1)Y 1 + G(1,2)Y G(1, )Y 1 G(2,1)Y 1 + G(2,2)Y G(2, )Y 1 G(, 1)Y 1 + G(, 2)Y G(, )Y 1 Y 1 + Y Y 0...(2.3) (2.5) (2.4) (2.6) Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

4 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, Jadi solusi optial dari satu asalah secara otoatis eghasilka solusi optial utuk asalah laiya. Masalah peai II (P 2 ) dapat diselesaika dega etode sipleks alteratif da asalah peai I (P 1 ) dapat diselesaika dega etode sipleks dual alteratif. 2.2 Progra Liier Dapat diruuska odel ateatis betuk uu odel progra liier [9] adalah sebagai berikut: Fugsi Tujua: Meaksiuka atau eiiuka Z = c 1 x 1 + c 2 x c x...(2.7) Fugsi kedala a 11 x 1 + a 12 x a 1 x =,, b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x =,, b 2 a 1 x 1 + a 2 x a x =,, b...(2.8) x 1, x 2,, x 0 Keteraga : Z : Fugsi tujua c j : Koefisie tujua, dega j = 1,2,..., x j : ariabel bebas, dega j = 1,2,..., a ij : Koefisie fugsi kedala, dega j = 1,2,..., da i = 1,2,..., : Batasa fugsi kedala, dega i = 1,2,..., b i Betuk Stadar Model Progra Liier Sebelu egaplikasika etode sipleks dala eyelesaika asalah persoala progra liier perlu dipelajari cara egubah betuk progra liier ejadi betuk stadarya [1] yaitu pada lagkah pertaa beberapa atura betuk progra liier stadar: 1. Seua kedala berupa betukpersaaa dega kostata o-egatif. 2. Seua variabel o-egatif. 3. Fugsi tujua dapat eaksiuka da eiiuka. Persaaa (2.7) da (2.8) adalah odel stadar progra liier dega egkoversika pertidaksaaa pada fugsi-fugsi kedala ejadi persaaa: a. Utuk batasa berotasi dapat diodifikasi ke dala betuk persaaa dega eabahka variabel slack pada ruas kiri kedala. b. Utuk batasa berotasi dapat diodifikasi ke dala betuk persaaa dega eguragka ruas kiri kedala tersebut dega variabel surplus. Lagkah-lagkah perhituga dala algorita etode sipleks [9] adalah: 1. Lagkah Awal: Masukka variabel slack dala betuk stadar sebagaiaa diasusika sebeluya. Dega variabel-variabel asli ejadi variabel tidak dasar (artiya saa dega ol) da variabel-variabel slack ejadi variabel dasar (artiya saa dega ilai ruas kaa NK). 2. Lagkah Iterasi: a. Bagia 1: Meetuka variabel dasar asuk (eterig variable), dega eilih dega koefisie egatif terbesar utuk kasus aksiu da koefisie positifterbesar utuk kasus iiu pada variabel tidak dasar. Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

5 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, b. Bagia 2: Meetuka variabel dasar keluar (leavig variable), dega eilih ilai rasio positif terkecil pada variabel dasar. Rasio diperoleh dari pebagia atara iai kaa dega kolo kuci. c. Bagia 3: Melakuka operasi baris eleeter (OBE) utuk ebuat utuk ebuat elee kuci (agka kuci) ejadi berharga 1 da berharga 0 pada baris-baris laiya pada kolo kuci. 3. Uji Optialitas: Meetuka apaka peyelesaia optial. Meeriksa koefisie pada tabel fugsi tujua Z jika tidak ada yag berilai egatif utuk kasus aksiasi da tidak ada yag berilai positif utuk kasus iiasi berarti optiasi telah tercapai. Nau apabila asih berilai egatif utuk kasus aksiasi da berilai positif utuk kasus iiasi aka kebali pada lagkah iterasi Kasus Khusus dala Pegguaa Algorita Sipleks Di dala eyelesaika persoala progra liier dega egguaka algorita etode sipleks terdapat persoala yag epuyai kasus khusus [9] seperti: 1. Keadaa Seri bagi ariabel dasar asuk (eterig variable) Utuk elakuka proses iterasi pada etode sipleks, sebeluya aka eilih variabel asuk dega eetuka koefisie egatif dega ilai yag palig besar dala persaaa awal fugsi tujua saa dega (0). Jika variabel eiliki koefisie egatif terbesar adalah seri atau saa aka jawabya adalah peiliha aka dilakuka secara sebarag. 2. Keadaa Seri bagi ariabel dasar keluar (leavig variable) - Degeerasi Kasus ii terjadi jika terdapat rasio iiu eiliki kesepata yag saa utuk eiggalka basis. Oleh karea itu terdapat keugkia pertaa variabel dasar secara siulta ejadi ol da kedua iterasi sipleks selajutya aka berputar-putar. 3. METODE PENELITIAN Pada peelitia ii diguaka referesi pedukug dari buku da jural yag berkaita dega teori peraia, progra liier, da etode sipleks. Lagkah yag dilakuka pada peelitia ii yaitu ejelaska pebetuka odel ateatika utuk perasalaha teori peraia ke dala progra liier. Serta eetuka solusi optial dari perasalaha progra liier teori peraia egguaka etode sipleks alteratif. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Perasalaha Teori peraia pada uuya diguaka utuk egaalisa proses pegabila keputusa dari situasi persaiga yag berbeda da elibatka dua atau lebih kepetiga. Dala perasalaha ii, strategi yag diguaka asigasig pesaig (copetitor), atau dala teori peraia yag disebut sebagai peai, aka dibadigka dega pegaruh tidaka peai laiya dega kepetiga yag saa utuk eilih keputusa-keputusa yag eaksiuka atau eiiu-ka.dala eilih strategi optial, beberapa asusi ditetapka terlebih dahulu, yaitu: Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

6 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, ). Setiap peai terdapat sejulah piliha yag disebut strategi. 2). Setiap peai diasusika eliki kecerdasa yag saa. 3). Setiap peai egetahui strategi lawa. 4). Setiap peai egetahui julah peroleha sediri da peai lai. 4.2 Trasforasi Peraia ke Betuk Progra Liier Utuk eyelesaika peraia-peraia strategi capura yag berdiesi, dapat egguaka progra liier dega etrasforasika persaaa iiaks da aksi ke betuk progra liier. Tabel 2. Tabel atriks peroleha utuk peraia Misalka: P 2 P 1 (y 1 ) (y 2 ) (y ) (x 1 ) G( 1,1) G(1,2) G(1, ) (x 2 ) G(2,1) G(2,2) G(2, ) (x ) G(, 1) G(, 2) G(, ) = ilai peraia x p =Probabilitas peai P 1 egguaka strategi ke p y q =Probabilitas peai P 2 egguaka strategi ke q Proses Pebetuka Progra Liier Pada Peai I Pertaa aka dibahas progra liier pada peraia dari sudut padag peai I. P 1 yag erupaka peai baris (axiizig player), aka dapat diyataka harapa eag P 1 dala tada pertidaksaaa lebih besar. Artiya P 1 ugki edapat keeaga lebih dari bila P 2 egguaka strategi yag leah. Jadi ilai harapa eag P 1 adalah: da G p, x p G p, 1 x p G p, 2 x p (4.1) x p = 1 (4.2) x p 0, utuk seua p = 1,2,,. Dega ebagi pertidaksaaa (4.1) da persaaa (4.2) dega, dala pebetuka peruusa progra liier diasusika bahwa 0, utuk eghidari resiko ilai 0, aka seua ilai elee pada atriks peraia ditabah dega ilai utlak terbesar dari kostata peraia, aka diperoleh: G p, 1 x p 1 Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

7 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, da Misalka: Maka diperoleh: G p, 2 x p 1 G p, x p 1 (4.3) x p = 1 x p 0, utuk seua p = 1,2,,. X p = x p, p = 1,2,, 4.5 G p, 1 X p 1 (4.4) da G p, X p G p, 2 X p 1 1 (4.6) X p = 1 (4.7) X p 0, utuk seua p = 1,2,,. Karea P 1 adalah axiizig player aka fugsi tujua adalah 1 eaksiuka ilai atau saa dega eiiuka, aka dapat diruuska progra liier utuk peai I sebagai berikut: Maks = Mi 1 = Mi Diketahui pada persaaa (4.7) bahwa: X 1 + X X x p = Mi X p (4.8) = 1 (4.9) Jadi betuk uu progra liier utuk peai I adalah: Mi f 0 = X = X 1 + X X (4.10) Dega batasa: G(1,1)X 1 + G(2,1)X G(, 1)X 1 G(1,2)X 1 + G(2,2)X G(, 2)X 1 G 1, X 1 + G 2, X G, X 1 (4.11) X p 0, utuk seua p = 1,2,,. Di aa: Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

8 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, da f 0 = 1 (4.12) X p = x p, p = 1,2,,. (4.13) Proses Pebetuka Progra Liier Pada Peai II Dega cara yag saa perasalaha peai II dapat dibawa ke betuk progra liier. Peai P 2 yag erupaka peai kolo (iiizig player), aka dapat diyataka harapa eag P 2 dala tada pertidaksaaa lebih kecil. Artiya P 2 ugki egalai kekalaha kurag dari bila P 1 egguaka strategi yag leah. Jadi ilai harapa kekalaha P 2 adalah: da G q, y q G q, 1 y q G q, 2 y q (4.14) y q = 1 (4.15) y q 0, utuk seua q = 1,2,,. Dega ebagi pertidaksaaa (4.15) da persaaa (4.16) dega, aka diperoleh: G q, 1 y q 1 da Misalka: Maka diperoleh: G q, 2 y q 1 G q, y q 1 (4.16) y q = 1 y q 0, utuk seua q = 1,2,,. Y q = y q (4.17), q = 1,2,, (4.18) Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

9 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, da Y q = G q, Y q G q, 1 Y q 1 G q, 2 Y q 1 1 (4.19) 1 (4.20) Y q 0, utuk seua q = 1,2,,. Utuk P 2 yag erupaka iiizig player, aka fugsi tujuaya adalah eiiuka atau saa dega eaksialka 1, aka dapat diruuska progra liier utuk P 2 sebagai berikut: Mi = Maks 1 = Maks Diketahui pada persaaa (4.20) bahwa: Y 1 + Y Y y q = Maks Y q (4.21) = 1 (4.22) Jadi betuk uu progra liier utuk peai II adalah: Maks g 0 = Y = Y 1 + Y Y (4.23) Dega batasa: G(1,1)Y 1 + G(1,2)Y G(, 1)Y 1 G(2,1)Y 1 + G(2,2)Y G(, 2)Y 1 G 1, Y 1 + G 2, Y G, Y 1 (4.24) Y q 0, utuk seua q = 1,2,,. Di aa: da g 0 = 1 (4.25) Y q = y q, q = 1,2,,. (4.26) Ruusa progra liier pada peai P 1 erupaka dual dari peai P 2 da sebalikya. Oleh karea itu, strategi optial pada P 1 ejadi strategi optial bagi P 2. Utuk eyelesaika problea progra liier ii dapat egguaka etode sipleks alteratif. 4.3 Lagkah Lagkah Peyelesaia Progra Liier dega Metode Sipleks Alteratif Lagkah-lagkah etode sipleks alteratif yag harus dilakuka: Lagkah 1. Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

10 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, Pada lagkah pertaa perasalaha progra liier aka dibawa ke dala betuk stadar progra liier, sesuai atura betuk progra liier stadar pada bab II. Lagkah 2. Setelah perasalaha progra liier diubah ke dala betuk stadar progra liier, data disusu ke dala tabel dala betuk sibol seperti tabel 3. Tabel 3. Tabel sipleks awal dala betuk sibol ariabel Dasar x 1 x 2 x s 1 s 2 s NK s 1 a 11 a 12 a b 1 s 2 a 21 a 22 a b 2 s a 1 a 2 a b Z c 1 c 2 c Lagkah 3. Pada lagkah selajutya aka dicari elee kuci dari elee terbesar pada variabel keputusa. Jika koefisie egatif terbesar seri (uik) dala eetuka kolo kuci, aka egguaka etode sipleks alteratif eetuka elee kuci (agka kuci). Tabel 4. Tabel elee kuci, baris kuci da kolo kuci ariabel x 1 x j x s 1 s 2 s NK Dasar s 1 a 11 a 1j a b 1 s i a i1 a ij a i b i s a 1 a j a b Z c 1 c j c Pada tabel tersebut a ij sebagai elee kuci, perpotoga dari elee kuci tersebut ejadi baris kuci da kolo kuci. Lagkah 4. Lajutka lagkah berikutya seperti etode sipleks biasa, dega elakuka operasi baris eleeter (ERO) utuk ebuat elee kuci ejadi berharga 1 da berharga 0 pada baris-baris laiya. Lagkah 5 Label pada sebelah kiri elee kuci digati dega label pada atas elee kuci, da sebalikya. Terjadi perubaha yag ejadi variabel dasar dega adaya variabel asuk (eterig variable) da variabel keluar (leavig variable).pada tabel tersebut s i aka bertukar tepat dega x j dega poros a ij (diligkari sebagai elee kuci). Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

11 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, Tabel 5. Tabel perubaha variabel x 1 x j x s 1 a 11 a 1j a 1 s i a i1 a ij a i s a 1 a j a Lagkah 6 Lajutka dega kebali pada lagkah 3 jika solusi belu optial. Lagkah 7 Setelah didapatka solusi optial, aka dicari strategi optial peai I da Peai II sebagai berikut: a. Peyelesaia utuk peai I (P 1 ): f 0 = X = X 1 + X X atau f 0 = 1 sehiggga diperoleh = 1 f 0 da utuk peai II (P 2 ): g 0 = Y 1 + Y Y atau g 0 = 1 sehiggga diperoleh = 1 g 0. b. Strategi optial peai I Karea X p = x p, aka x p = X p, utuk p = 1,2,,. c. Strategi optial peai II Karea Y q = y q, aka y q = Y q, utuk q = 1,2,,. 5. KESIMPULAN Kesipula dari peelitia ii berdasarka hasil da pebahasa adalah betuk persoala teori peraia dapat dibawa kedala betuk progra liier keudiaetode sipleks alteratif dapat diguaka utuk eyelesaika progra liier utuk kasus teori peraia tersebut, sehigga atiya aka didapatka solusi optial da strategi optial peraia. DAFTAR PUSTAKA x 1 s i x s 1 a 11 a 1j a 1 x j a i1 a ij a i s a 1 a j a [1]Aiudi Prisip-prisip Riset Operasi. Erlagga, Jakarta. [2]Affadi, P Peerapa Progra Liier pada Peraia No-Koperatif. Jural Mateatika Muri da Terapa vol.5 No.2 (1-12). [3]Mulyoo, S. 2007, Riset Operasi. Lebaga Peerbit Fakultas Ekooi Uiversitas Idoesia, Jakarta. [4]Siagia Peelitia Operasioal :teori da praktek. (UI-Press), Jakarta. [5]Ferguso, T. S Gae Theory. Uiversity of Califoria, Los Ageles. [6]Taha, H. A Riset Operasi. Departeet of idrustrial Egieerig uiversity of Arkas, Fayettevile. [7]Diyati, T., da Diyati, A Operatios Research: Model-odel Pegabila Keputusa. Siar Baru Algesido, Badug. Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif

12 Jural Matriks, ol. 1, No. 2, [8]K. P. Ghadle., da T. S. Pawar Gae theory probles by a alteratie siplex ethod. Iteratioal Joural of Research i Egieerig ad Techology vol.03 ( ). [9]Hillier, G., da Liebera, J Itroductio To Operatios Research, McGraw-Hill, Ic. Rii Hidayattillah, Peyelesaia Teori Peraia Megguaka Metode Sipleks Alteratif