Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN"

Transkripsi

1 Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa tetag barisa ditekaka pada peyelidika kekovergea, sifat-sifat barisa terutama sifat yag merupaka syarat kovergea da juga sifat-sifat yag dimiliki oleh barisa yag koverge. Pada pembahasa deret terutama juga meyagkut kekovergea deret, sifat-sifat deret koverge, uji kekovergea da perhituga jumlah deret. Pegguaa deret aka Ada jumpai di berbagai bidag, seperti pada Statistika Matematika, Ekoomi, Perhituga Keuaga da sebagaiya. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka dapat memahami da megeal barisa da deret secara baik. Ada diharapka mampu: meetuka apakah suatu barisa koverge atau diverge; meetuka apakah suatu barisa mooto aik/mooto turu, terbatas ke atas atau terbatas ke bawah atau tidak; meetuka limit barisa yag koverge. Selai itu Ada mampu pula: meetuka apakah satu deret koverge atau diverge; meetuka apakah suatu deret koverge mutlak atau koverge bersyarat; meetuka jumlah deret yag koverge; megguaka deret utuk hitug keuaga.

2 . Matematika P Kegiata Belajar Barisa ada Matematika Ada telah bayak mempelajari fugsi-fugsi yag didefiisika dega domai suatu iterval atau gabuga itervaliterval. Berikut ii Ada aka mempelajari barisa da sifat-sifatya. Defiisi. Suatu fugsi berharga real yag didefiisika pada himpua bilaga bulat positif disebut suatu barisa. Lazimya barisa diberi simbol dega ( a ), ( b ), ( c ) da sebagaiya. Selajutya: a, a, a 3,...., a,... meyataka barisa tak higga atau dega sigkat barisa da a adalah suku pertama, a adalah suku ke- da a adalah suku ke dari barisa (a ). Cotoh.: ) a a :, 4,9,6,,, ) ( b ) 3 ( b ):0,,,,...,, ) 4) c log log :log, log, log 3,..., log,... 3 d l l : l, l,3 l,..., l,...

3 SATS40/MODUL.3 Defiisi. Suatu barisa ( a ) dikataka: ) Naik, jika da haya jika a a, 0;( dibaca utuk setiap). ) Tidak turu, jika da haya jika a a, 0. 3) Turu jika da haya jika a a, 0. 4) Tidak aik jika da haya jika a a, 0. Selajutya jika salah satu sifat dari keempat sifat di atas berlaku, maka ( a ) dikataka mooto. Barisa ( a ) dikataka terbatas ke atas jika da haya jika terdapat bilaga A dega sifat A utuk semua bilaga bulat positif. Setiap bilaga yag memiliki sifat seperti bilaga A disebut batas atas dari ( a ). Barisa ( a ) dikataka terbatas ke bawah jika da haya jika terdapat bilaga B dega sifat B utuk semua bulat positif. Bilaga B disebut batas bawah dari ( a ). Barisa ( a ) dikataka terbatas jika da haya jika ( a ) terbatas ke atas da terbatas ke bawah kalau dalam modul ii disebut selalu dimaksudka bilaga bulat positif, kecuali bila diberika keteraga lai. Cotoh.: a a ) ) a a 3. a a a > utuk setiap. Barisa a aik mooto, terbatas 3 a. a a!! a. ( )!

4 .4 Matematika a Jadi a a a = utuk. < utuk. Barisa ( a ) turu mooto, terbatas utuk da terbatas 0 a. Jika A adalah ilai miimum dari semua batas atas barisa ( a ) maka A disebut batas atas terkecil dari ( a ). Cobalah Ada kataka apa yag disebut batas bawah terbesar dari ( a ). Kemudia carilah batas atas terkecil da batas bawah terbesar dari cotoh-cotoh barisa yag telah diberika. Defiisi.3 Limit a utuk meuju tak higga adalah l, ditulis dega lim a l, jika da haya jika utuk setiap > 0 yag ditetuka terdapat suatu bilaga bulat N > 0 dega sifat utuk setiap N berlaku a l. Dega kata lai, lim a l jika da haya jika a dapat dibuat dekat sekehedak kita terhadap l dega megambil yag cukup besar. Selai ditulis dega lim a l dapat juga ditulis dega a l utuk. Cotoh.3: ) Buktika 3 lim 3 Bukti: Ambil 0. Harus ditujukka terdapat N 0 dega sifat 3 3 utuk semua N

5 SATS40/MODUL.5 Aka dipeuhi oleh. Jadi dapat dipilih bilaga bulat N. ) Jika agka a 0, , buktika lim a 3 Bukti: Ambil 0 agka a 0, agka, 998 0, Pilih N sehigga 0 atau N bilaga bulat, N log. N Defiisi.4 Barisa ( a ) dikataka koverge ke-a jika da haya jika lim Barisa yag tidak mempuyai limit dikataka diverge. a a. Perhatika bahwa limit utuk suatu barisa selalu dimaksudka sebagai limit utuk meuju tak higga. Dikataka lim a a atau a jika utuk setiap bilaga positif M dapat ditetuka bilaga N 0 sehigga a M utuk setiap N. Secara sama, a jika utuk setiap bilaga positif N terdapat suatu bilaga positif N sehigga a M utuk setiap N. Perlu Ada perhatika bahwa da buka bilaga da barisa dega limit seperti di atas adalah tidak koverge.

6 .6 Matematika Teorema. Limit suatu barisa, jika ada, adalah tuggal. Bukti: Adaika a l da a m dega l m. Ambil l m. Jadi terdapat bilaga bulat positif N dega sifat utuk N berlaku a l l m da terdapat bilaga bulat N 0 dega sifat utuk N berlaku a ( l m ). Ambil N = bilaga terbesar di atara N da N. Diperoleh a l a m l m l m l m l m l a a m l a a m.berarti l -m l m jadi l m l m l m, berarti l m salah ( pegadaia salah atau kotradiksi) berarti l m. Jadi limit suatu barisa, jika ada adalah tuggal. Teorima. Setiap barisa yag koverge adalah terbatas. Bukti: Misal a l utuk. Ambil sebarag bilaga positif, misal, sebagai. Jadi terdapat N dega sifat a l utuk N. Berarti a l utuk N. Selajutya jika M adalah ilai maksimum dari a, a,, a N, l maka a M. Jadi ( a ) terbatas. Dari Teorema. di atas dapat dituruka bahwa setiap barisa yag tidak terbatas adalah diverge. Ada perlu memperhatika bahwa sifat terbatas pada suatu barisa tidak megakibatka bahwa barisa tersebut koverge.

7 SATS40/MODUL.7 Cotoh.4 a ( ). Barisa ii terbatas, tetapi tidak koverge. Teorema.3 Jika suatu barisa terbatas da tidak turu, maka barisa tersebut koverge ke batas atas terkecil. Jika barisa itu terbatas da tidak aik maka barisa tersebut koverge ke batas bawah terbesar. Bukti: Adaika ( a ) terbatas da tidak turu da adaika l adalah batas atas terkecil. Jika l utuk semua. Ambil sebarag bilaga positif. a Karea l batas atas terkecil maka l buka batas atas. Jadi terdapat k sehigga ak l. Karea barisa tidak turu, maka ak a utuk k. Jadi l a l utuk k, yag berarti a l utuk semua k. Terbukti a l utuk. Utuk barisa terbatas da tidak aik Ada dapat mecoba membuktika sediri. Cotoh.5 Jawab: Tujukka ( a ) dega ( ) ( 3 ) (.3 ).36 a 6. Jadi ( a ) terbatas. a ( 3 ) adalah koverge. Perhatika ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) (3 ) 3 3 Jadi ( 3 ) ( 3 ) a a Karea juga terbatas maka ( a ) koverge.

8 .8 Matematika Teorema.4 Jika c bilaga real, a l da b m, maka () a b l m () Ca Cl (3) a b lm. (4) (5) Dega syarat m 0 da b tidak perah 0 utuk semua. m b a b m utuk l 0 a b (6) a p l (7) a p mugki mempuyai atau tidak mempuyai limit utuk l = 0. p p Bukti: Misal utuk (3). Pilih > 0. a b lm a b a m a m lm a ( b m) m( a l) a b m m a l ( a ) koverge, jadi terbatas, jadi terdapat M > 0 sehigga utuk semua. Karea b m maka utuk M a < M terdapat bilaga bulat N sehigga b m M utuk N.

9 SATS40/MODUL.9 Karea a a l m l maka utuk utuk N. m terdapat bilaga bulat N sehigga Jika N adalah bilaga terbesar di atara N da N maka utuk > N berlaku ab lm a m. M m Jadi a b lm utuk. Buktika utuk laiya dapat Ada kerjaka sediri. Teorema.5 Adaika utuk yag cukup besar berlaku a b c, jika a l da c l utuk maka b utuk. Ada dapat membuktika sediri. Cotoh.6 cos a cos 0utuk 0 utuk cos Jadi 0utuk Cotoh.7 a 5

10 .0 Matematika Jadi 5 5. Teorema.6 Jika utuk fugsi f ( x ) da barisa ( c ) berlaku: (i) c c utuk. (ii) f ( x ) kotiu di c. (iii) utuk setiap utuk., c berada di dalam domai f, maka f ( c ) f ( c ) Bukti: Ambil 0. Karea f kotiu di c, maka terdapat 0 sehigga f ( x) f ( c ) utuk x c. Karea c c utuk maka terdapat bilaga positif N sehigga utuk N berlaku c c. Jadi utuk N berlaku f ( c ) f ( c). Terbukti f ( c ) f ( c ) utuk. Cotoh.8 () 0 utuk. Jadi cos cos 0 utuk. () 6 4 utuk f ( x) ta x adalah fugsi yag kotiu pada 6 Jadi ta ta utuk 4 x. utuk.

11 SATS40/MODUL. Defiisi.5 Suatu barisa ( a ) disebut barisa Cauchy jika da haya jika utuk setiap bilaga 0 terdapat suatu bilaga bulat positif N dega sifat a a utuk setiap m N da N. m Teorema.7 Setiap barisa koverge adalah barisa da sebalikya. Bukti: Misal a Ambil 0. l utuk. Terdapat bilaga bulat N 0 dega sifat a l utuk N. Ambil m da, m, N. a a a l l a a l l a m m m a l a l m Jadi a a utuk m, N. m Dapat dibuktika pula bahwa barisa Cauchy adalah koverge. Apabila Ada sekarag telah memahami isi pembicaraa di muka cobalah Ada megerjaka soal-soal latiha berikut. Setelah selesai badigka jawaba Ada dega jawaba yag ada. Tetu saja mugki ada perbedaa cara megerjaka. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Tetuka sifat terbatas, aik da turuya barisa-barisa di bawah ii.

12 . Matematika a) b) c) ( ) a a a d) a ( ) e) ( ) a e 5 ) Tujukka barisa turu utuk 5.! 3) Kalau barisa-barisa di bawah ii koverge tetuka limitya. a) a b) a 4 c) a log 4) Adaika (a ) adalah barisa. Kemudia disusu barisa ( l ) da ( O ) dega l a da O a. Tujukka bahwa a l utuk jika da haya jika l l da O l utuk. 5) Tujukka bahwa! 0 utuk. 6) Jika koverge, tetuka limit barisa Petujuk Jawaba Latiha ) a) tidak mooto, terbatas ke bawah da terbatas ke atas, 0 a. 3 b) aik, terbatas ke bawah da tidak terbatas ke atas, a.

13 SATS40/MODUL.3 c) turu terbatas ke bawah da terbatas ke atas 0 a d) tidak mooto, tidak terbatas ke bawah da tidak terbatas ke atas. ) a 5! a 5! 5 a 5 ( )! utuk 3. a a 4 a a 4 a a 3) a) diverge b) koverge, a 4 utuk c) koverge, a log utuk.. 4) Adaika a l utuk aka dibuktika l l, O l utuk. Ambil 0, terdapat N sehigga utuk semua N berlaku a l. Perhatika l a. Jadi jika dipilih bilaga bulat positif N N maka utuk semua N berlaku l l. Perhatika O a. Jadi jika dipilih bilaga bulat positif N N maka utuk semua N berlaku [ O l]. Jadi a l utuk megakibatka l l, O l utuk. Selajutya masih harus dibuktika. Jika a l utuk membuktikaya. l l da O l utuk maka. Tetuya tidak sukar utuk Ada

14 .4 Matematika 5) 0! utuk..! ! 3 3 0utuk Jadi 0 utuk! c 4 4 c utuk. 4 f ( x) Jadi 5 x merupaka fugsi kotiu di utuk x. 4. RANGKUMAN Barisa ( a ) adalah fugsi berharga real yag didefiisika pada himpua bilaga bulat positif. Barisa ( a ) dikataka aik jika a a, tidak turu jika a a turu jika a a, tidak aik jika a. Jika memeuhi salah satu sifat di atas dikataka mooto. a Barisa ( a ) dikataka terbatas ke atas jika terdapat bilaga A dega sifat a A utuk semua da dikataka terbatas ke bawah jika terdapat bilaga B dega sifat a A utuk semua.

15 SATS40/MODUL.5 Barisa yag terbatas adalah barisa yag terbatas ke atas da ke bawah. Jika barisa terbatas da tidak turu maka barisa koverge ke atas terkecil. Jika barisa terbatas da tidak aik maka barisa koverge ke batas bawah terbesar. Jika utuk tiga barisa berlaku a b c utuk cukup besar da a l, c l utuk maka b l utuk. Jika f(x) fugsi yag kotiu di c barisa c c utuk da c berada di domai f, maka f( c ) f(c),. Jika Ada telah siap. kerjaka soal-soal pada Test Formatif berikut ii. TES FORMATIF Utuk soal omor sampai dega omor 5. Berilah tada-tada sebagai berikut. A. bila jawaba,, da 3 betul; B. bila jawaba da 3 betul; C. bila jawaba da 4 betul; D bila jawaba 4 yag betul; E. bila jawaba semua betul. log ( 5) ) Barisa mempuyai sifat. 5. turu. terbatas ke atas 3. terbatas ke bawah 4. koverge dega limit 5 log 5 3 ) Barisa. 4. turu. tak terbatas ke atas 3. mempuyai limit 4. diverge

16 .6 Matematika 3) Barisa si.. mempuyai batas bawah terbesar = -. mempuyai batas atas terkecil = 3. tidak mooto 4. koverge dega limit 0 4) Suatu barisa ( a ) didefiisika dega: a da a a utuk. Barisa ii.... terbatas ke bawah. terbatas ke atas 3. koverge dega limit 4. mooto 5) Suatu barisa ( a ) didefiisika dega a da a a utuk. Barisa ii.. mooto. terbatas ke bawah 3. mempuyai limit 0 4. terbatas ke atas Utuk soal omor 6 sampai dega omor 0. Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! 6) Jika 0 < c < d maka lim A. tidak ada B. e C. e D. d E. 0 c d =.

17 SATS40/MODUL.7 7) Jika a da a maka ilai terkecil k bulat positif supaya a k adalah. 00 A. 00 B. 0 C. 99 D. 00 E. 0 8) Jika a ( ) A. B. C. 0 D. E. maka barisa ( a ) mempuyai limit. 9) Jika a A. B. C. 0 D. E. tidak ada ( ) ( ) maka lim a adalah. 0) Jika a A. 0 B. C. D. E. tidak ada maka lim a adalah.

18 .8 Matematika Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

19 SATS40/MODUL.9 B Kegiata Belajar erikut ii kita beralih pada pembicaraa topik baru, yaitu deret. Defiisi.6 Diberika barisa u, u, u3,, u, Deret Jumlah tak higga suku-suku ii, u u u u disebut deret tak higga atau disigkat deret. Dapat dipakai juga simbol u yag lebih sederhaa. Di sii u juga disebut suku ke- dari deret. Jumlah suku terdepa, s u u u disebut jumlah parsial ke- dari deret u. Defiisi.7 Deret u dikataka koverge jika da haya jika lim S lim ( u u u ) S, suatu ilai yag berhigga. Selajutya S disebut jumlah deret. Deret yag tidak koverge dikataka diverge. Secara lai dapat dikataka bahwa deret u koverge dega jumlah S jika barisa (S ) koverge ke S. Teorema.8 Jika deret u koverge dega jumlah S, deret u koverge dega jumlah T da k adalah bilaga kosta, maka: ) deret ( u v ) koverge dega jumlah S + T. ) deret ku koverge dega jumlah ks. Bukti: S u u u )

20 .0 Matematika T v v v W ( u v ) ( u v ) ( u v ) S T limw lim ( S T ) S T, meurut Teorema.4 Kegiata Belajar. Jadi W ( u v ) koverge dega jumlah S T. Ada dapat membuktika sediri bagia () dari Teorema di atas. Dapat dituruka ( V ) ( ) V adalah deret koverge dega jumlah T. Jadi diperoleh ( u v ) koverge dega jumlah S T. Da selajutya utuk k da h kosta deret ( ku hv ) koverge dega jumlah ks ht. Cotoh.9: ) u ( )( ) Tujukka u koverge da tetuka jumlahya. Jawab : u ( )( ) S u u u lim S Jadi u koverge dega jumlah S.

21 SATS40/MODUL. u Tujukka u koverge da tetuka jumlahya. ) 3 Jawab : S S S S 3 lim S Jadi deret 3 koverge dega jumlah S 3) Buktika deret ( ) diverge Bukti : S S S S , utuk gajil S = 0, utuk geap Jadi ( ) diverge.

22 . Matematika Sifat-sifat Deret ) Jika setiap suku dari suatu deret dikalika dega kostata yag tidak sama dega 0 maka kekovergea (atau kedivergea) deret tidak berubah. ) Peghapusa (atau peambaha) sejumlah berhigga suku-suku dari (atau terhadap) suatu deret tidak megubah kekovergea atau kedivergea deret. Teorema.9 Jika deret u koverge, maka. lim u 0. Bukti: lim u lim ( S S ) S S 0 Perhatika bahwa kebalika teorema di atas tidak berlaku, lim 0 selalu berarti u koverge. tidak Cotoh.0: ) Deret Aritmatika a ( ) b a ( a b) ( a b) S a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) a ( ) b ( u u ). Deret ii diverge. Terlihat lim u 0. ) Deret Geometrik ar a ar ar ar dega a da r kostata. a( r ) S r.9). (buktika dega memperhatika soal omor cotoh

23 SATS40/MODUL.3 Deret ii koverge dega jumlah a S jika r da diverge jika r. r 3) Deret harmoik, p kosta. p p p p 3 Deret ii koverge utuk p da diverge utuk p. Jika p deret mejadi 3 Perhatika u 0 tetapi deret diverge. 4) Deret bergati-gati (tada) Deret u u u3 u dega sifat utuk setiap dua suku berturuta u da u + selalu berbeda tada. Misalya : a) (Cotoh.9 soal omor 3). 3 4 b) 3 Deret ii koverge. Seperti juga pada pembicaraa barisa maka kekovergea atau kedivergea deret merupaka masalah yag utama. Utuk deret yag koverge jumlah deret juga medapatka bayak perhatia. Oleh karea itu sagat diperluka adaya alat-alat utuk meguji kekovergea/ kedivergea deret.

24 .4 Matematika Uji kekovergea/kedivergea utuk deret dega suku-suku tak egatif:. Uji perbadiga a) Adaika v 0 utuk semua N da adaika v koverge. Jika 0u v utuk semua N maka u juga koverge. b) Adaika v 0 utuk semua N da adaika v diverge. Jika u v utuk semua N, maka u juga diverge. Seperti juga uji-uji selajutya, di dalam pembicaraa ii tidak disertai bukti.. Uji pembagia u a) Jika u 0da v 0 da lim A 0atau, makau dav v kedua-duaya koverge atau kedua-duaya diverge. u b) Jika dalam a) di atas lim 0 da v koverge, maka v u koverge. c) Jika dalam a) A = da v diverge, maka u diverge. 3) Dari uji pembagia di atas dega megambil v p dapat dituruka uji lai yag serig diguaka sebagai peggati uji pembagia. p Adaika lim u A, maka a) u koverge jika p > da A berhigga b) u diverge jika p da A 0. 4) Uji itegral Jika f(x) adalah positif, kotiu da mooto turu utuk x N da f ( ) u utuk N, N, N,... maka u koverge atau

25 SATS40/MODUL.5 M M N diverge sesuai dega f ( x) dx lim f ( x) dx koverge atau diverge. Serig kali N =. N Cotoh.: ) Pada cotoh.0 omor 3 diberika bahwa p >. p koverge utuk Kita buktika: Perhatika f ( x), p 0. Fugsi ii positif da mooto turu. p x M dx lim dx p x x p M Jadi p, lim utuk p M p ( p) x lim, p M p ( p) M p utuk p p, utuk p p M koverge utuk p da diverge utuk p, utuk M dx lim dx x x l M l Jadi koverge utuk p, diverge utuk p <. p

26 .6 Matematika ) u Dega uji perbadiga: koverge, jadi koverge. 3) u, l l l diverge. Jadi diverge l 4) u 3 3 lim 3 3 Jadi koverge ) l u ( ) l lim ( ) Jadi l diverge ( )

27 SATS40/MODUL.7 6) u 3 Uji pembagia: Ambil v lim lim 3 v Jadi u v koverge koverge 3 Uji utuk Deret Bergati-gati Suatu deret bergati-gati koverge jika dipeuhi: a) u u utuk b) lim u 0, atau lim u 0. Cotoh.: ( ) ) u deret : Tampak di sii a) u u Jadi u u utuk b) lim u lim 0 Jadi deret koverge.

28 .8 Matematika Defiisi.8 Deret u dikataka koverge mutlak jika u adalah koverge. Jika u diverge, tetapi u koverge maka u dikataka koverge bersyarat. Teorema.0 Jika u koverge mutlak maka u koverge. Cotoh.3: si A si A si 3A si A ) Deret u Perhatika deret si A si A si 3A si A u u 3 Sudah kita keal Jadi u koverge. deret koverge. Deret u koverge mutlak, berarti juga koverge. ) Deret u adalah koverge. Tetapi deret 3 4 adalah diverge. 3 Jadi u koverge bersyarat.

29 SATS40/MODUL.9 Berikut ii Ada aka mempelajari uji kekovergea mutlak.. Uji Rasio u Adaika lim u L maka jika: (a) L <, deret u koverge mutlak (b) L >, deret u diverge (c) L =, uji gagal (tidak meghasilka keputusa).. Uji akar Adaika lim u L maka jika: a) L <, deret u koverge mutlak b) L >, deret u diverge c) L =, uji gagal Dapat Ada perhatika bahwa kedua uji di atas dapat diguaka utuk deret dega suku-suku tak egatif dega tidak memerluka tada ilai mutlak lagi. Cotoh.4: ) Deret u.3.5 ( ) Uji rasio: u u u u.3.5 ( )( 3) ( ). u lim 0 u. Jadi deret koverge.

30 .30 Matematika ) u =! u u ( )! lim lim lim. u u ( )! ( ) ( ) lim lim lim e. ( ) Jadi deret koverge. 3) u 3 lim u lim 0 3 Jadi deret koverge. 4) ( ) u u lim lim ( ) lim u ( )( ) ( ) Uji rasio teryata gagal. Kita coba dega cara lai. u. ( ) Deret mejadi: S lim S. Jadi u koverge.

31 SATS40/MODUL.3 Sampai pelajara ii Ada telah megeal beberapa uji kekovergea. Jika suatu uji yag Ada pilih gagal meetuka kekovergea atau kedivergea suatu deret, maka Ada dapat mecoba uji yag lai. Deret aritmatika da deret geometrik teryata dapat diterapka utuk perhituga-perhituga dalam Hitug Keuaga. Teryata di sii jumlah parsial ke-, S, bayak dimafaatka. Selajutya, aka Ada pelajari cotoh-cotoh pegguaa deret dalam hitug keuaga terutama yag berhubuga dega suku buga kredit, ivestasi da auitas yag timbul sebagai masalah sehari-hari. Suku buga sederhaa (tuggal) Buga adalah uag yag dibayarka oleh pihak ke- kepada pihak pertama atas pegguaa sejumlah uag pihak pertama (yag disebut uag pokok). Tigkat suku buga adalah perbadiga yag diyataka dalam % atara buga yag dikeaka dalam satu kuru waktu tertetu terhadap uag pokok. Biasaya utuk kuru waktu tertetu ii diambil tahu. (Jika tidak diteragka berarti kuru waktu tahu). Jika besarya buga (I) utuk waktu t tahu atas uag pokok P dega tigkat suku buga r adalah l P r t maka buga yag diberlakuka di sii disebut buga sederhaa atau buga tuggal. Dega demikia Jumlah uag (A) mejadi A P Prt P( rt) Suku buga majemuk Kalau pada setiap akhir kuru waktu buga ditambahka pada uag pokok, sehigga setiap awal kuru waktu uag pokok mejadi ( + r) kali uag pokok awal kuru waktu sebelumya, maka dikataka buga adalah buga majemuk. Jika r adalah suku buga per tahu sedag perhituga buga dilakuka tiap tahu maka pada akhir tahu ke t berlaku. k tk r A p k

32 .3 Matematika Di sii k diperoleh A P( i). r tahu disebut periode koversi. Jika i, tk k maka Jika diigika sejumlah uag A pada akhir periode koversi dega suku buga per periode koversi adalah i maka ilai sekarag P dari jumlah A tersebut adalah A P ( i ) Auitas Bayak trasaksi perdagaga yag dilakuka dega pembayara yag sama pada setiap akhir selag waktu tertetu. Selag waktu tersebut diamaka periode pembayara. Suatu dereta pembayara ii disebut auitas. Jagka waktu yag dihitug dari permulaa periode pembayara pertama sampai dega akhir periode pembayara terakhir disebut waktu auitas. Jumlah dari suatu auitas adalah jumlah total yag dihitug akumulatif pada akhir waktu auitas bila setiap pembayara diivestasika dega buga majemuk dega waktu koversi sama dega periode pembayara. Jika pembayara auitas agar periode waktu adalah rupiah dega buga per periode waktu pembayara i maka jumlah auitas dega pembayara adalah. s i ( i) i Jika pembayara adalah R rupiah jumlah auitas mejadi s R s. i i

33 SATS40/MODUL.33 Dega pembayara rupiah diperoleh s i i i i ( ) ( ) ( ) ( i) ( i) Ii merupaka jumlah suku pertama deret geometrik dega a da r i. Jadi s i ( i) i Sebalikya, ilai sekarag dari auitas dega pembayara rupiah seperti di atas adalah a a i i i ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) S i ( i) i ( i) i Jika pembayara rupiah, ilai sekarag auitas A R a Pembayara dega cara auitas ii dilakuka seperti pada pembayara premi asurasi, pembelia dega cara agsura da sebagaiya. Walaupu amaya auitas tetapi periode pembayara tidak selalu tahua, dapat bulaa, triwulaa da sebagaiya. Mari kita lihat beberapa cotoh hitug keuaga berikut. Cotoh.5: Daa sebesar 400 juta rupiah di ivestasika dega suku buga 8%, dimajemukka tiap tegah tahua selama 5 tahu. Berapa besar jumlah uag pada akhir tahu ke-5 tersebut? Jawab: 80% A 8%, i 4%, 5 0 i i

34 .34 Matematika Jumlah uag pada akhir tahu ke-5 = 400 (,04) 0 = juta rupiah. Cotoh.6: Pijama sebesar Rp ,00 harus dikembalika setiap akhir bula sebesar Rp00.000,00 dari sisa pijama saat itu ditambah buga utuk pijama tersebut. Jika suku buga %, berapakah total pegembalia uag seluruhya? Jawab: Besar buga yag harus dibayar pada: Pegembalia ke- = % Rp ,00 = Rp0.000,00 Pegembalia ke- = % Rp ,00 = Rp9.000,00 Pegembalia ke-3 = % Rp ,00 = Rp8.000,00 Pegembalia ke-0 = % Rp00.000,00 = Rp.000,00 Total buga 0 = (Rp Rp.000) = Rp55.000,00 Total pegembalia = Rp Rp55.000,00 = Rp ,00 Cotoh.7: Suatu auitas dibayar Rp00.000,00 tiap 3 bula dalam waktu 5 tahu dega suku buga % per tahu. Tetuka jumlah auitas da ilai sekarag auitas tersebut. Jawab: i = % = 3%, = 4 5 = 0. 4 ( i) Jumlah auitas R. i 0 (.03) = Rp ,00.

35 SATS40/MODUL.35 ( i) Nilai sekarag R. i -0 (.03) = Rp ,00. Jika Ada telah memahami uraia di atas, cobalah kerjaka soal-soal latiha berikut. LATIHAN Selidikilah kekovergea atau kedivergea dari deret-deret berikut. u ) ) 3) 4) 3 4 u ( ) u si si si Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! u 3 u ) Selidikilah apakah deret berikut koverge mutlak/koverge atau diverge. ( ) u Petujuk Jawaba Latiha ) Koverge u

36 .36 Matematika koverge u koverge ) Diverge u ( ) diverge ) Diverge Perhatika u, deret diverge u si lim lim. v 4) Koverge u 3 3, v 4, deret koverge 5) Koverge, koverge bersyarat, u merupaka deret bergati-gati u lim u 0.Jadi u koverge u u diverge. 3 4 Jadi koverge tetapi tidak mutlak.

37 SATS40/MODUL.37 RANGKUMAN Diberika barisa u, u, u3,, u u u u u 3 disebut deret tak higga atau deret dega simbol u. S u u u disebut jumlah parsial ke dari deret Deret u dikataka koverge ke S bila lim S S. u. S disebut jumlah deret. Deret yag tidak koverge dikataka diverge. Jika u koverge maka u dikataka koverge mutlak. Dikeal beberapa cara uji kekovergea/kedivergea.. Uji perbadiga Jika 0u v utuk semua N da v koverge, maka u juga koverge. Jika 0u v utuk N da v diverge, maka u juga diverge.. Uji pembagia u Jika u 0, v 0 da lim A yag tidak sama dega ol da v tidak, maka u da v kedua-duaya koverge atau kedua-duaya diverge. Jika A = 0 da v Jika A = da koverge, maka v diverge, maka u juga koverge. u diverge. Utuk uji ii secara khusus dapat diambil v. p 3. Uji itegral Jika f(x) adalah positif, kotiu da mooto turu utuk x N da f() = u utuk = N, N +, N +,..., maka u koverge atau diverge sesuai dega

38 .38 Matematika N f ( x) dx lim f ( x) dx N Koverge atau diverge. 4. Jika u merupaka deret bergati-gati dega u u utuk da u = 0 maka u koverge. 5. Jika u koverge maka u juga koverge. 6. Uji rasio u Jika lim L, v diverge jika L >. maka u koverge mutlak bila L < da 7. Uji akar ke- Jika lim u L, maka u koverge mutlak bila L < da u diverge bila L >. TES FORMATIF Utuk soal omor sampai dega omor 5. Jawablah: A. Apabila,, 3 bear B. Apabila da 3 bear C. Apabila da 4 bear D. Apabila 4 saja bear E. Apabila semua bear cos 3 ) Jika u da 3 v, maka.. v koverge bersyarat. v koverge mutlak 3. u koverge bersyarat 4. u koverge mutlak

39 SATS40/MODUL.39 ) Jika l u v, maka. 4. u diverge ( ) da. u koverge 3. v diverge 4. v koverge 3 3) Jika ( ) u da v si si si! 3. u koverge. u diverge 3. v koverge 4. v diverge maka. 4) Jika l u e da v, maka. 3. u koverge. u diverge 3. v diverge 4. v koverge 5) Jika u da v!!. v koverge ( ), maka.. u koverge 3. u v koverge 4. u diverge

40 .40 Matematika Utuk soal omor 6 sampai dega omor 0. Pilihlah jawaba yag palig sesuai. 6) Deret log adalah. A. koverge ke e B. koverge ke e - C. koverge ke D. koverge ke 0 E. diverge 7) Deret ( ) adalah. A. koverge ke 4 3 B. koverge ke 3 C. koverge ke 3 D. koverge ke 0 E. diverge 8) Jika A. B. C. D. E. u, maka jumlah parsial ke-, S =. ( )( )

41 SATS40/MODUL.4 9) Jika u maka jumlah parsial ke-, S =. A. B. C. D. E. 0) Seorag peabug tiap akhir bula memasukka sisa gajiya sebesar Rp dalam tabugaya. Jika suku buga adalah % per tahu maka akhir tahu ke- besar tabugaya adalah. A B C D E Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag

42 .4 Matematika Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

43 SATS40/MODUL.43 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) A. ) B. 3) C. 4) E. 5) E. 6) D. 7) E. 8) C. 9) E. 0) C. Tes Formatif ) D. ) C. u deret bergati, u u, lim u 0. 3) B. u deret bergati-gati. Guaka uji pembagia terhadap u dega deret. 4) B. Pakailah uji itegral utuk u da uji pembagia dega. 3 5) C. Ujilah kedua deret dega uji rasio. 6) E. S log log log log 3 7) B. 8) C. lim S. ( ) S ) B. S ) A. Hituglah sebagai jumlah parsial deret atau dega rumus auitas.

44 .44 Matematika Daftar Pustaka Kapla, W. Advaced Calculus. Addiso Wesley Publishig Compay, Ic. Piskuov, N. Differetial a Itegral Calculus. Mir Publisher. Salas, S.L. (98). Hillie Eias, Calculus Ed. VI. Joh Wiley ad Sos. Spiegel, Murray. Theory ad Problems of Advaced Calculus. McGraw Hill Book Co.

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Barisan dan Deret EXPERT COURSE. #bimbelnyamahasiswa

Barisan dan Deret EXPERT COURSE. #bimbelnyamahasiswa Barisa da Deret EXPERT COURSE #bimbelyamahasiswa Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BARISAN. a n 1 a. a 1 1, a n 1

BARISAN. a n 1 a. a 1 1, a n 1 BARISAN DAN DERET BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) =a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga riil {a } dega a adalah

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL

LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL Zumrotus Sya diyah ) ) Dose Sekolah Tiggi Ilmu Komputer (STIKOM) Ambo Email: zuma.yakuza@gmail.com Abstrak Kosep dasar barisa bilaga real merupaka hal

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid

Lebih terperinci

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si.

ANUITAS. 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmanto,S.Si. ANUITAS 9/19/2012 MK. Aktuaria Darmato,S.Si. 1 OVERVIEW Auitas adl suatu pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu, secara berkelajuta. Suatu auitas yg pasti dilakuka

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B. TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH #12&13 Bunga Majemuk

CATATAN KULIAH #12&13 Bunga Majemuk CATATAN KULIAH #12&13 Buga Majemuk 10.1 Pedahulua Pada pembahasa sebelumya diasumsika bahwa P atau ilai pokok pembayara tidak megalami perubaha dari awal higga akhir sehigga ilai buga selalu dihitug dari

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

Buku Padua Belajar Maajeme Keuaga Chapter 0 KONSEP NILAI WAKTU UANG. Pegertia. Nilai Uag meurut waktu, berarti uag hari ii lebih baik / berharga dari pada ilai uag dimasa medatag pada harga omial yag sama.

Lebih terperinci

Muniya Alteza

Muniya Alteza NILAI WAKTU UANG 1. Kosep dasar ilai waktu uag (time value of moey) 2. Nilai masa depa (future value) 3. Nilai sekarag (preset value) 4. Auitas (auity) 5. Perpetuitas (perpetuity) 6. Buga tahua efektif/

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini Aritmetika odular da Aritmetika Sosial ARITETIKA ODULAR DAN ARITETIKA SOSIAL podul p p3p p p PENDAHULUAN odul ii adalah modul ke-3 dalam mata kuliah atematika. Isi modul ii membahas tetag aritmetika modular

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11 SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

Konsep Fungsi Semikontinu

Konsep Fungsi Semikontinu JURNAL FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 91-104 ISSN 2252-763X Kosep Fugsi Semikotiu Malahayati Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sua Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta,

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS 1

E-learning matematika, GRATIS 1 E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah

Lebih terperinci

E Ukuran Penyebaran Data. Evaluasi Materi 2.4. Kata Kunci

E Ukuran Penyebaran Data. Evaluasi Materi 2.4. Kata Kunci Evaluasi Materi 4 Kerjaka soal-soal berikut di buku latiha Ada 1 Berikut ii meujukka data berat balita yag ditimbag di Posyadu Kasih Ibu yaitu 5 kg 4 kg 3 kg 1 kg 9 kg 4 kg kg 8 kg 5 kg Berdasarka data

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

Manajemen Keuangan. Idik Sodikin,SE,MBA,MM KONSEP WAKTU UANG PADA MASALAH KEUANGAN. Modul ke: Fakultas EKONOMI DAN BISNIS. Program Studi Akuntansi

Manajemen Keuangan. Idik Sodikin,SE,MBA,MM KONSEP WAKTU UANG PADA MASALAH KEUANGAN. Modul ke: Fakultas EKONOMI DAN BISNIS. Program Studi Akuntansi Modul ke: 05 KONSEP WAKTU UANG PADA MASALAH KEUANGAN Fakultas EKONOMI DAN BISNIS Program Studi Akutasi Idik Sodiki,SE,MBA,MM Pedahulua Kosep ilai waktu dari uag (time value of moey) pada dasarya mejelaska

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2:

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2: MAKALAH KALKULUS LANJUT DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA OLEH : KELOMPOK 2:. NI LUH PUTU SUARDIYANTI (0830005) 2. I WAYAN WIDNYANA (0830008) 3. LUH PUTU PRAJAYANTHI W. (0830027) JURUSAN

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah :... Kelas : IX (Sembila) Mata Pelajara : Matematika Semester : II (dua) BILANGAN Stadar : 5. Memahami sifat-sifat da betuk akar serta pegguaaya dalam pemecaha masalah sederhaa

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Ruag Barisa BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membicaraka barisa da deret aka dibicaraka lebih dahulu tetag bilaga real karea barisa da deret yag aka dibicaraka adalah barisa da deret bilaga real. Sistem

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig

Lebih terperinci

Pengujian Hipotesis Statistika. Sigit Nugroho. Universitas Bengkulu. Disusun oleh. (7 sesi)

Pengujian Hipotesis Statistika. Sigit Nugroho. Universitas Bengkulu. Disusun oleh. (7 sesi) Pegujia Hipotesis Statistika (7 sesi) Disusu oleh Sigit Nugroho Uiversitas Begkulu Hipotesis Hipotesis merupaka dugaa semetara yag diaggap bear. Dalam Statistika, Hipotesis merupaka peryataa yag bisa diuji

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. yang terdistribusi dalam enam kelas. Setiap kelas memiliki kemampuan matematika

III. METODE PENELITIAN. yang terdistribusi dalam enam kelas. Setiap kelas memiliki kemampuan matematika III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VII SMP Negeri 10 Badar Lampug semester geap tahu pelajara 011/01 sebayak 195 siswa yag terdistribusi

Lebih terperinci

BAB I PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

BAB I PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR P e r p a g k a t a & B e t u k A k a r BAB I PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR Pegalama Belajar:. Megidetifikasi, medeskripsika, Kata Kuci: Sifat-sifat pagkat Pagkat Negatif Pagkat Pecaha Betuk Baku mejelaska

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci