Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN"

Transkripsi

1 Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia didefiisika fugsi terdiferesial pada subhimpua suatu iterval Selajutya ditujukka bahwa kekotiua suatu fugsi merupaka syarat perlu agar fugsi terdiferesial Tekik pediferesiala tidak dibahas dalam modul ii Modul ii lebih meekaka segi teoriya daripada pegguaa praktis hitug diferesial Dua teorema yag sagat petig yaitu Teorema Rolle da Teorema Nilai Rata-rata megawali pembahasa teori hitug diferesial ii, selajutya dikembagka utuk membahas Atura L Hospital tetag peghituga limit, Teorema Taylor, da masalah ilai ekstrem Kaita atara keterdiferesiala suatu fugsi dega fugsi korespodesi satu-satu maupu dega fugsi mooto disajika khusus sebagai suatu teorema Adaya ilai derivatif di atara dua ilai derivatif suatu fugsi ditujukka sebagi Teorema Darbou Cotoh soal maupu soal-soal dalam latiha diharapka megajak para pembaca lebih memahami teori hitug diferesial, da megigat kembali kosep-kosep da teorema-teorema dalam aalisis yag perah dipelajari dalam buku Aalisis I Setelah mempelajari modul ii pembaca diharapka dapat: (a) memahami defiisi derivatif suatu fugsi; (b) memahami da megguaka teorema ilai rata-rata; (c) memahami da megguaka tada ilai fugsi derivatif; (d) megguaka teorema L Hospital; da (e) megguaka teorema Taylor

2 ANALISIS II D Kegiata Belajar Derivatif alam Buku Materi Pokok Aalisis I telah dibahas perihal fugsi, mulai dari fugsi yag berilai real yag didefiisika pada N, yaitu barisa, kemudia yag didefiisika pada subhimpua dari R Tetag ilai fugsi dikeal ilai defiisi, yaitu ilai meurut defiisi fugsi itu, da ilai limit Jika c aggota domai D R fugsi f da juga titik limit domai itu, didefiisika f kotiu di c apabila lim f ( ) f ( c ) Fugsi f dikataka c kotiu pada D jika f kotiu di setiap titik aggota D Dalam Aalisis I telah dibahas pajag lebar tetag sifat-sifat fugsi kotiu Dalam Modul ii aka dibahas tetag fugsi terdiferesial (differetiable) Utuk maksud ii aka dibahas kosep derivatif suatu fugsi yag didefiisika pada suatu iterval A DERIVATIF Defiisi Diberika fugsi f : a, b R f ( ) f ( c) Utuk c [ a, b ] dibetuk fugsi ( ) a b, c c Jika lim ( ) ada da real (berhigga) maka f dikataka terdiferesial c (differetiable) di c Nilai lim ( ) diotasika dega f () c yag c diamaka derivatif fugsi f di titik c Jika f () c ada da real utuk setiap c E [ a, b] dikataka f terdiferesial pada E Jadi, f terdefiisika di titik-titik pada[ abdi, ] maa limit ( ) utuk medekati titik itu ada da real, da diamaka fugsi derivatif dari f Tetu saja Ada memahami di ujug iterval[ ab, ] fugsi f terdiferesial di a atau di b apabila limit kaa lim ( ) ada da limit kiri lim ( ) ada a a

3 MATA43/MODUL 3 Cotoh Mudah pembaca pahami bahwa fugsi kosta f () k da g( ) terdiferesial pada R dega f( ) da g( ), R Cotoh Tetuka fugsi derivaif f utuk f :[, R ) dega f ( ) Jawab: Utuk maka t f ( ) lim ( t) lim lim t t t t t t Aka tetapi, f () lim tidak ada di dalam R, jadi f tidak t t terdiferesial di Fugsi f ( ) terdiferesial pada (, ) da f( ) utuk Cotoh 3 Buktika jika f ( ) si da g( ) cos maka f ( ) cos da g( ) si, R Bukti: Utuk R, t t si cos si tsi f ( ) lim ( t) lim lim cos t t t t t Demikia juga mudah dibuktika bahwa g( ) si Teorema Jika f :[ a, b] R terdiferesial di suatu titik c [ a, b] maka f kotiu di c Bukti: f ( t) f ( c) lim f ( t) f ( c) lim lim t c f ( c) tc tc tc tc

4 4 ANALISIS II Jadi, lim f ( t) f ( c) sehigga f kotiu di c tc Tetapi sebalikya tidak bear Fugsi g( ) kotiu tetapi tidak terdiferesial di, jika Fugsi g ( ) g( ) g(), jadi lim da, jika g( ) g() g( ) g() lim, sehigga lim tidak ada da g tidak terdiferesial di meskipu kotiu di Teorema tetag rumus-rumus derivatif kombiasi dari dua fugsi terdiferesial berikut ii buktiya sudah pembaca keal dalam kalkulus Teorema Jika fugsi f da g didefiiska pada [ abda, ] terdiferesial di titik c [ a, b] maka f g, f g, fg da f g terdiferesial di c da ( f g) ( c) f ( c) g( c) ; ( f g) ( c) f ( c) g( c) ; ( fg) ( c) f ( c) g( c) f ( c) g( c) ; da f f ( c) g( c) f ( c) g( c) () c g gc () asalka gc ( ) Teorema 3 (Atura Ratai) Diberika fugsi f :[ a, b] [ c, d], da g :[ c, d] R da c [ a, b] Jika f terdiferesial di c da g terdiferesial di f() c maka fugsi komposisi g f terdiferesial di c da mempuyai derivatif ( g f ) ( c) g( f ( c)) f ( c)

5 MATA43/MODUL 5 Bukti: Dibetuk fugsi g( y) g( f ( c)) g( f ( c)) hy ( ) y f () c jika y f ( c), y c, d jika y f ( c), y c, d Maka h :[ c, d] R kotiu di f() c karea diketahui bahwa g terdiferesial di f() c Demikia juga karea diketahui f terdiferesial di c maka f kotiu di c sehigga fugsi komposisi h f kotiu di c Jadi, lim( h f )( ) ( h f )( c) Jadi, c ( ) ( ) ( ) ( ) lim f f c f f c ( h f )( ) g( f ( c)) g( f ( c)) lim c c c c g( f ( c)) f ( c) Di lai pihak ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) lim f f c g f g f c f f c ( h f )( ) g( f ( c)) lim c c c f ( ) f ( c) c Dega demikia diperoleh ( g f ) ( c) g( f ( c)) f ( c) g( f ( )) g( f ( c)) lim ( g f ) ( c) c c Cotoh 4 si, utuk Didefiisika f( ), utuk Tetuka f ( ) utuk R Jawab: Fugsi f kotiu di, sebab utuk diperoleh si si sehigga lim f( ) da f kotiu di, sedagka utuk fugsi f merupaka hasil kali dua fugsi kotiu

6 6 ANALISIS II jadi juga kotiu Dega demikia, f kotiu pada R, sehigga syarat perlu utuk keterdiferesiala f dipeuhi (lihat Teorema ) Utuk dega megguaka atura pediferesiala hasilkali dua fugsi da atura ratai diperoleh f ( ) si cos si cos utuk Utuk = dega defiisi derivatif, dihitug f ( ) f () lim lim si tidak ada Jadi, f tidak terdiferesial di Dega demikia f terdiferesial pada R Cotoh 5 Buktika fugsi f dega terdiferesial pada R f ( ) cos utuk da f () Bukti: Fugsi f jelas kotiu utuk sebab merupaka hasilkali dua fugsi kotiu Utuk, f ( ) cos sehigga lim f ( ) f () da f kotiu di Syarat perlu utuk adaya derivatif di titik pada R dipeuhi Utuk maka f ( ) cos si da f ( ) f () f () lim lim cos Jadi, f terdiferesial pada R Dua teorema berikut sagat petig dalam peelaha fugsi real Pegguaa kedua teorema ii meghasilka mafaat dalam teori optimisasi, deret Taylor, letak ilai ol fugsi da dalam kawasa laiya

7 MATA43/MODUL 7 Teorema 4a (Teorema Rolle) Jika f :[ a, b] R kotiu pada iterval tertutup [ abda, ] terdiferesial pada iterval terbuka ( ab, ), da f ( a) f ( b) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) Bukti: Jika f ( ) f ( a), [ a, b] maka f( ) kosta pada [ absehigga, ] f ( ) Jika f tidak kosta maka meurut teorema tetag fugsi kotiu pada iterval tertutup terbatas, terdapat da dalam ( ab, ) sehigga f ( ) if{ f ( ) : [ a, b]} da f ( ) sup{ f ( ) : [ a, b]} Utuk f ( ) f ( ) titik maka f ( ) f ( ) da jika jika utuk suatu Jadi f ( ) f ( ) lim ilai limit ii harus sama, jadi Teorema 4b (Teorema Nilai Rata-rata) f ( ) f ( ) lim da _ Karea diketahui f terdiferesial di maka kedua f ( ) f ( ) f ( ) lim Jika f ;[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka terdapat ( ab, ) dega f ( ) f ( b) f ( a) ba Bukti: Dibetuk fugsi F( ) f ( ) A B pada [ ab, ] dega A da B dipilih f ( a) f ( b) sehigga F( a) F( b), jadi A da ba f ( b) f ( a) B f ( a) a ba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b F f f a a f a ba

8 8 ANALISIS II Jadi F kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) dega F( a) F( b) Meurut Teorema Rolle, terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) F ( ), jadi f ( ) ba Dalam bukti Teorema Rolle tersimpul suatu lagkah petig tetag ilai miimum (maksimum) di titik iterior iterval [ ab, ] yag kita agkat mejadi lemma berikut Lemma Jika fugsi f yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) mempuyai ilai maksimum (miimum) di titik iterior ( a, b) maka f ( ) Cotoh 6 Buktika utuk h da berlaku ( h) h Bukti: Ditijau fugsi f ( ) yag kotiu da terdiferesial pada[, h] Meurut Teorema ilai Rata-rata terdapat (, h) dega f ( h) f () f ( ), jadi ( h) hf ( ) h h h karea diketahui da Teorema berikut adalah sebagai akibat teorema ilai rata-rata

9 MATA43/MODUL 9 Teorema 5 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka (i) f ( ), ( a, b) f fugsi korespodesi - pada [ ab, ] (ii) f ( ), ( a, b) f kosta (iii) f ( ), ( a, b) f aik tegas pada [ ab, ] (iv) f ( ), ( a, b) f turu tegas pada [ ab, ] (v) f ( ), ( a, b) f aik pada [ ab, ] (vi) f ( ), ( a, b) f turu pada [ ab, ] Bukti: (i) Fugsi f :[ a, b] R adalah fugsi korespodesi - jika y [ a, b] maka f ( ) f ( y) f ([ a, b]) Utuk a y b maka ( y, ) da f ( y) f ( ) ( y) f ( ) karea diketahui bahwa f ( t), t ( a, b) Jadi f korespodesi - pada [ ab, ] (ii) Utuk a y b, (, y) sehigga f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi f( ) kosta sama dega f( a ) (iii) Karea f ( t), t ( a, b) maka a y b (, y), f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi a y b f ( ) f ( y) sehigga f aik tegas pada [ ab, ] (v) Utuk a y b, (, y) sehigga f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi f aik pada [ ab, ] (iv) da (vi) berturut-turut dibuktika seperti (iii) da (v) Lemma Jika f da g fugsi berilai real yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ), da jika f ( ) g( ), ( a, b) maka terdapat k R sehigga f ( ) g( ) k, [ a, b] Bukti: Guaka Teorema 5 (ii) utuk fugsi f g Cotoh 7

10 ANALISIS II Jika f fugsi dari R ke dalam R da f ( ) f ( y) y utuk suatu p, buktika bahwa f kosta Bukti: f ( ) f ( y) p y y dega p f ( ) f ( y) p Jadi lim lim y sehigga f( ) utuk y y y sembarag R Meurut Teorema 5(ii) maka f kosta Cotoh 8 Jika f : ( a, b) R terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat M sehigga f ( ) M, ( a, b) buktika bahwa: Bukti: (a) f kotiu seragam pada ( ab, ) (b) lim f( ) da lim f( ) ada a b f ( y) f ( ) f ( y) f ( ) (a) Karea lim f ( ) maka lim f ( ) y y y y, y ( a, b), ( ) ( ) f y f y f ( ) M y y ( a, b), y f ( y) f ( ) ( M ) y ii berlaku ( a, b) Karea f terdiferesial [jadi f kotiu, maka lim f ( y ) f ( ) ] y sehigga utuk semua, y ( a, b) da y f ( ) f ( y) ( M ) y Jika diberika da mi, maka, y ( a, b), M y f ( ) f ( y) Terbukti f kotiu seragam pada ( ab, ) p

11 MATA43/MODUL (b), y ( a, a ) f ( ) f ( y) Jika y tetap maka f ( y) f ( ) f ( y) Jadi E { f ( ) : ( a, a )} terbatas sehigga A if E da B sup Eada Tergatug kepada sifat fugsi f maka lim f( ) adalah A atau B Dega cara yag serupa ditetuka lim f( ) b a Cotoh 9 Buktika bahwa persamaa akar di dalam [,] 3 b 3 palig bayak mempuyai satu Bukti: Ditijau fugsi kotiu da terdiferesial pada [,] Fugsi derivatif ( ) 3 3, (,) Meurut Teorema 5(i) da (iv) f fugsi f korespodesi - da turu tegas pada [,] Karea f ( ) b f () b da f kotiu pada [,] maka persamaa tidak mempuyai akar di dalam [,] apabila b atau b Jika b da megigat f turu tegas, yaitu jika b da b, atau jika b da b maka persamaa mempuyai tepat satu akar di dalam [,] Jadi utuk semua ilai dari b persamaa 3 palig bayak mempuyai satu akar di dalam [,] 3 b Cotoh Jika f fugsi terdiferesial dari R ke dalam R dega f () da f ( ) f ( ), R, buktika bahwa f( ) pada R Bukti: Diadaika bahwa f tidak kosta ol pada R Karea f kotiu pada R maka himpua Z { : f ( ) } tertutup Meurut Teorema 5, Aalisis I, C Z memuat ( ab, ) dega a atau b atau keduaya dalam Z da f( ), boleh dimisalka f ( ), a b Ambil titik c b da ca da f ( d) maks f ( ) : [ a, c] Dega megguaka teorema ilai rata-rata da megigat f(d) > da f(a) =, maka

12 ANALISIS II f ( d) f ( d) ( d a) f ( ) ( d a) f ( ( d a) f ( ) ( d a) f ( ) ( d a) f ( d) dega ilai tertetu di atara a da d Jadi f ( d) ( d a) f ( d) Terjadi kotradiksi karea ( da) Cotoh Fugsi f da g mempuyai derivatif yag kotiu pada iterval I Tujukka bahwa jika fggf pada I, maka ilai-ilai ol f da g satu dega yag lai salig terpisah Bukti: Karea f da g mempuyai derivatif yag kotiu pada I, maka fugsi fg gf kotiu pada I Karea itu fg gf tidak mugki berubah tada pada I, sebab utuk perubaha tada ii fugsi ii harus berilai ol di suatu titik pada I, kotradiksi dega fggf pada I Adaika a da b dua ilai ol yag berturuta dari f Aka dibuktika terdapat tepat satu ilai ol c dari g da a c b Jadi f( ) utuk a b Karea fggf da f( a) maka ga ( ) Diasumsika f( ) utuk a b da ga ( ) terdiferesial pada ( ab, ) da Maka fugsi f( ) f g f f ( ) g( ) g( ) f ( ) ( ) g Jika fggf maka f g aik tegas pada ( ab, ), da ii tidak mugki terjadi f karea lim ( ) a g Jadi fggf da f g turu tegas pada ( ab, ) mulai dari melalui meuju ke Jadi f g berilai di tepat satu titik c ( a, b) da tepat ada satu ilai ol dari g di atara dua ilai ol dari f Karea pera f da g dalam masalah ii simetris, maka di atara dua ilai ol yag berturuta terdapat satu ilai ol dari f

13 MATA43/MODUL 3 Tiga kasus utuk asumsi yag lai dibahas dega cara yag semacam Teorema 6 (Teorema Nilai Rata-rata Umum) Jika fugsi f da g kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ), maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) f ( ) g( b) g( a) g ( ) Bukti: Dibetuk fugsi h( ) [ f ( b) f ( a)] g( ) [ g( b) g( a)] f ( ) Maka h kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) lagi pula h( a) h( b) Meurut Teorema Rolle terdapat ( ab, ) dega h( ) da terbuktilah teorema di atas Sebagai akibat dari teorema ilai rata-rata umum adalah Atura L Hospital yag sagat bermafaat utuk meghitug jeis-jeis tertetu tetag limit B ATURAN L HOSPITAL Teorema 7 (Atura L Hospital) Diberika fugsi f da g : ( ab, ) R da g( ) utuk ( a, b), ( ) da lim f L a g ( ) Jika lim f ( ) lim g( ) (i) a a atau lim f ( ) lim g( ) (ii) maka a a lim f( ) L a g ( ) Bukti: Diberika Maka sehigga utuk a a ketiga ketaksamaa berikut ii berlaku

14 4 ANALISIS II () f() () g () (3) f ( ) L L g( ) Jika a y a maka meurut Teorema 6 ( y, ) sehigga f ( ) f ( y) f ( ) L L g( ) g( y) g( ) Karea lim f ( ) lim g( ) da jika dalam (4) diambil a maka a a f( ) da g ( ) sehigga diperoleh a y a f( y) L g( y) utuk Jadi, jika diberika, sehigga, berlaku f( ) L g ( ) Jadi terbukti lim f( ) L a g ( ) Jika lim f ( ) lim g( ) diambil y tetap dalam (4) da dibetuk fugsi Maka a a g( y) g ( ) ( ) f( y) f( ) f ( ) g( ) g( y) f ( ) g( ) ( ) g( ) f ( ) f ( y), sehigga g( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) g( ) g( ) ( a y a ) Oleh karea (ii) maka lim ( ) sehigga, berlaku a ( ) utuk a a Karea maka ( ) utuk a a Megigat (ii) da (4) maka ( ), ( ) da f ( ) L g( ) utuk a a, sehigga diperoleh (4)

15 MATA43/MODUL 5 f ( ) f ( ) L ( ) L g( ) g( ) = f ( ) ( ) L ( ) L ( ) L g( ) f ( ) ( ) L L ( ) L g( ) Jadi terbukti bahwa jika lim f ( ) lim g( ) maka jika diberika a a tedapat, ( a, a ) Dega demikia telah dibuktika f( ) g ( ) berlaku L L lim f( ) L a g ( ) Jelas bahwa hasil di atas berlaku juga utuk limit kiri, selajutya hasil yag diperoleh utuk limit satu arah mudah diperluas utuk limit dua arah Atura L Hospital juga berlaku utuk limit tak higga da limit di tak higga Teorema 8 Diberika fugsi f da g terdiferesial pada ( ab, ) dega g ( ) da g( ) utuk ( a, b) da (i) jika lim f ( ) lim g( ) maka a a lim f ( ) (atau ) z a g ( ) lim f( ) (atau ); a g ( ) (ii) jika lim f ( ) lim g( ) maka lim f( ) (atau ) a a a g ( ) Bukti: (i) Diberika da M Maka terdapat sehigga f ( ), g( ), da f ( ) M utuk y a Pilih y da a y a maka g( ) ( y, ) da f ( y) f ( ) f ( ) M g( y) g( ) g( )

16 6 ANALISIS II Jika diambil y a maka diperoleh terdapat sehigga utuk a a berlaku f( ) M Jadi diberika g ( ) M f( ) M g ( ) ( ) Jadi, lim f a g ( ) (ii) Diberika M Maka sehigga berlaku tiga ketaksamaa f ( ) f ( ) M, g( ) M, M, ( a, a ) g( ) Dipilih y da a y a, maka, y da fugsi f( ) f( y) ( ) g ( ) g( y) sehigga f ( y) f ( y) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) g ( y ) g ( ) g ( ) Jadi, utuk y a diperoleh lim ( ) da f ( y) f ( ) lim lim a f ( ) a g( ) Teorema 9 ca Jika f da g terdiferesial pada ( b, ) dega g( ), g( ) utuk ( b, ) da f ( ) lim ( atau ) g ( ) (i) jika lim f ( ) lim g( ) maka (ii) jika lim f ( ) lim g( ) maka f( ) lim ; g ( ) f( ) lim g ( ) Dega megadaka perubaha seperluya teorema juga berlaku utuk Bukti:

17 MATA43/MODUL 7 Dega megadaka pegubaha variabel perhatika fugsi F da G t utuk t, dega F() t f b t da G() t g t utuk t b Maka kita mempuyai fugsi F da G terdiferesial pada, b dega lim f ( ) lim F( t) da lim g( ) lim G( t) t t F t f t f G t g ( )( / t ) g ( ) ( )( / ) ( ) ( ) ( ), jadi f ( ) F ( t) lim lim g ( ) t G ( t) Dega pegubaha variabel ii Teorema 9 berubah mejadi Teorema 8 Catata : Utuk mudahya Atura L Hospital ii diguaka utuk meghitug limit berbetuk atau dari f( ) g ( ), dega meghitug f ( ) f ( ) lim lim a g( ) a g( ) utuk a bilaga real, atau Atura L Hospital diguaka utuk meghitug limit betuk tak tetu atau da betuk tak tetu yag lai yag dapat dibawa ke betuk itu,,,, da dega melakuka maipulasi aljabar atau megguaka fugsi logaritma atau ekspoesial Sesugguhya tekik peghituga limit dega megguaka atura L Hospital sudah diberika dalam kuliah kalkulus, sehigga tidak perlu diulag lagi di sii Namu, ada baikya diberika beberapa cotoh Cotoh (a) Betuk si cos lim lim ;

18 8 ANALISIS II cos si cos lim lim lim / ; e e 3 lim lim (b) Betuk l 4 lim lim ; lim lim lim lim e e e e cos l si lim(cos ) 6 lim lim si l lim(si ) (c) Betuk dibawa ke betuk si cos 7 lim lim lim si si si cos si lim cos si (d) Betuk dibawa ke betuk 8 l lim l lim lim lim ( ) (e) Betuk

19 MATA43/MODUL 9 t 9 Megigat kekotiua fugsi f () t e maka lim l l lim lim e e e (f) Betuk (g) Betuk lim l e e e lim, karea l lim lim lim lim l lim e e, karea l lim l lim lim lim C PENDIFERENSIALAN FUNGSI INVERS Diberika fugsi f fugsi korespodesi - pada iterval [ ab, ] Maka tetu saja f mempuyai fugsi ivers, da jika f juga terdiferesial, wajar jika timbul pertayaa tetag adaya derivatif dari fugsi ivers Teorema Diberika fugsi f :[ a, b] R yag terdiferesial pada [ ab, ] dega f( ) utuk semua [ a, b] Maka f ([ a, b ]) dega f ( f ) ( f ( )), [, ] f ( ) a b ada da terdiferesial pada Bukti:

20 ANALISIS II Eksistesi fugsi f sebagai akibat dari Teorema 5(a) Jika m if{ f ( ) : [ a, b]} da M sup{ f ( ) : [ a, b]} maka f ([ a, b]) [ m, M] Dimisalka y [ m, M ] dega y [ m, M ], y y, y y Dibetuk barisa fugsi dega f ( y) f kotiu pada [ mm, ] sehigga barisa da y barisa dega f ( y ), N Meurut teorema f ( y ) koverge ke f ( y) Karea f fugsi - maka Ii berakibat bahwa f ( y) f ( y) y y f ( ) f ( ) f ( ) Jadi, utuk f ( y), atau y f ( ) terbukti bahwa ( f ) ( f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) Cotoh: y f ( ) ta terdiferesial pada,, f ( ) sec f ( y) arcta y, ( f ) ( y), y (, ) sec ta y Teorema berikut adalah Teorema Nilai Atara utuk fugsi derivatif Teorema (Teorema Darbou) Jika f terdiferesial pada [ ab, ] da suatu bilaga di atara f ( a) da f () b, maka palig sedikit ada satu titik c ( a, b) da f() c Bukti: Diadaika f ( a) f ( b) Didefiisika g pada [ ab, ] oleh g( ) f ( ) utuk pada [ ab, ] Karea g kotiu maka g mecapai ilai maksimum pada [ ab, ] Karea g( a) f ( a), maka meurut Lemma ilai maksimum tidak terjadi di a Dega cara sama karea g( b) f ( b) maka ilai maksimum tidak terjadi di b Oleh

21 MATA43/MODUL karea itu g mecapai maksimum di suatu titik c ( a, b) Sekali lagi meurut Lemma karea g mecapai maksimum di titik iterior iterval [ ab, ] di maa g terdiferesial maka g( c) f ( c) Jadi f() c Cotoh 3 Diberika restriksi fugsi sigum g dari [,] ke dalam R, utuk g( ), utuk, utuk Apakah ada fugsi yag terdiferesial pada [,] yag derivatifya sama dega g? ( ) Jawab: Adaika ada fugsi f dega f ( ) g( ) pada [,] Jadi f () da f () Dega demikia tidak ada ilai f ( ) di atara f () da f () Kotradiksi dega Teorema sebab diadaika f terdiferesial pada [,] jadi juga pada [,] Jadi tidak mugki ada fugsi yag derivatifya sama dega g ( ) pada [,] LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! Diberika fugsi f dari R ke dalam R dega f ( ) f ( y) ( y),, y R Buktika bahwa f fugsi kosta Diberika fugsi terdiferesial g dari R ke dalam R dega derivatif yag terbatas Ditetuka da didefiisika fugsi

22 ANALISIS II f ( ) g( ) Buktika bahwa f fugsi korespodesi - jika cukup kecil 3 Diberika fugsi f :[ a, b] R yag terdiferesial di c [ a, b] Buktika utuk yag diberika terdapat sehigga utuk y da a c y b berlaku f ( ) f ( y) f ( y) y 4 Buktika bahwa utuk da maka ( ) Kemudia utuk a da b buktika a b a ( ) b kesamaa berlaku jika da haya jika a b Petujuk: Tijaulah fugsi kotiu g( ) pada [, ) da terdiferesial pada (, ) 5 Jika c, c,, c, c kostata real da jika c c c c 3 ( ) Buktika bahwa persamaa sedikit mempuyai satu akar di atara da c c c c palig 6 Diberika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) Buktika jika lim f ( ) A maka f ( a) ada da sama dega A a 7 Fugsi terdiferesial f :[ a, b] R dikataka terdiferesial seragam pada [ ab, ] jika utuk setiap yag diberika terdapat sehigga, y [ a, b] da y berlaku f ( ) f ( y) f ( y) y Buktika bahwa jika f terdiferesial seragam pada [ ab, ] maka f kotiu pada [ ab, ]

23 MATA43/MODUL 3 8 Diberika fugsi f :[,] R yag kotiu pada [,] da terdiferesial pada (, ), dega f (), f (), f () Buktika terdapat: (a) (,) da f ( ) ; (b) (, ) da f ( ) ; da (c) 3 (, ) da f( 3 ) 3 9 Tetag fugsi f diketahui bahwa : kotiu pada [, ); terdiferesial pada (, ), f () ; da f aik mooto f( ) Dibetuk fugsi g ( ) utuk Buktika bahwa g aik mooto Apakah fugsi yag didefiisika oleh, jika rasioal f( ), jika irasioal utuk [,] dapat mejadi derivatif sesuatu fugsi? Petujuk Peyelesaia Latiha Diberika Pilihlah maka utuk f ( ) f ( y) y y Jadi f ( y), y R sehigga f kosta utuk y sembarag Terdapat M sehigga g( ) M, R Maka f ( ) g( ) M Utuk M maka f ( ) 3 Jadi f ( ), R da meurut Teorema 5(i) f korespodesi - 3 Diberika f ( t) f ( c),, t c f ( c) f ( c) tc ()

24 4 ANALISIS II Utuk a c y b da y maka c c y c Jika tetap maka kotiu Jadi, f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) lim sebab f fugsi yc y c f ( ) f ( c) f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) c y c Megigat (), maka f ( ) f ( c) f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) f ( c) f ( c) c y c Terbukti f ( ) f ( y) f ( c) y 4 Ditijau g( ), Karea maka gkotiu ( ) da terdiferesial dega ( ) utuk g Utuk ilai g( ) da utuk ilai g( ) Karea g fugsi kotiu da g ( ) aik tegas pada (,) maka g( ) g() atau ( ) Sekaligus terbukti bahwa dalam ketaksamaa ( ) kesamaa haya terjadi utuk a Jika diamb utuk a da b maka diperoleh b a b a ( ) b da kesamaa haya terjadi utuk a b yaitu a b c c c 5 Tijaulah fugsi f ( ) c da guaka Teorema Rolle 6 Diberika maka sehigga utuk a a berlaku f ( ) A

25 MATA43/MODUL 5 Karea f kotiu pada [ aa, ] da terdiferesial pada ( aa, ), maka utuk a a terdapat ( a, ) da f ( ) f ( a) f ( ) (Teorema Nilai Rata-rata) a ( ) ( ) Jadi diberika,, (, ) f f a a a A, a jadi f ( a) A 7 Karea f terdiferesial seragam pada [ ab, ] jika diberika,,, y [ a, b] da y maka f ( ) f ( y) f ( y) da y f ( y) f ( ) f ( ) y Jadi f ( ) f ( y) f ( y) f ( ) f ( ) f ( y) f ( y) f ( ) y y utuk semua, y [ a, b] da y Karea f ( ) f ( y) utuk y maka ( )( )(, y [ a, b], y f ( ) f ( y) ) Jadi f kotiu seragam pada [ ab, ] sehigga kotiu pada [ ab, ] 8 (a) Guaka Teorema Nilai Rata-rata pada iterval [,] (b) Guaka Teorema Nilai Rata-rata pada iterval [,] (c) Pada [, ] fugsi f terdiferesial dega f ( ) da f ( ) Meurut Teorema terdapat 3 (, ) (,) sehigga f( 3 ) karea f ( ) f ( ) 3 3 f ( ) f ( ) 9 Utuk maka g() f ( ) f( ) Jadi utuk y, g( y) g( ) ( y ) utuk suatu da y Meurut Teorema Nilai Rata-rata f( ) f() f ( ), jadi f( ) f( ) dega sebab diketahui f ()

26 6 ANALISIS II Karea f aik mooto maka f( ) f( ) Jadi utuk y berlaku f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( y) g( ) f( ) Terbukti g ( ) aik mooto utuk Kotradiksi dega Teorema (Darbou), karea jika h terdiferesial pada [,] da h( ) f ( ) maka h da h(), tetapi tidak ada, sehigga h( ) dega h h() Jadi tidak mugki ada fugsi f( ) mejadi fugsi derivatif dari fugsi yag maapu pada, jadi juga pada [,] RANGKUMAN Fugsi f :[ a, b] R terdiferesial di c [ a, b ] maka f kotiu di c Teorema Rolle: Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) da f ( a) f ( b) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) 3 Teorema Nilai Rata-rata: Jika f :[ a, b] R kotiu pada[ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) f ( b) f ( a) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) ba 4 Jika fugsi f kotiu pada [ ab, ] da terdiferesiabel pada ( ab, ) mempuyai ilai maksimum (miimum) di titik iterior ( a, b ) maka f ( ) 5 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) maka (i) f ( ), ( a, b) f korespodesi - pada [ ab, ]

27 MATA43/MODUL 7 (ii) f ( ), ( a, b) f kosta pada [ ab, ] (iii) f ( ), ( a, b) f aik tegas pada [ ab, ] (iv) f ( ), ( a, b) f turu tegas pada [ ab, ] (v) f ( ), ( a, b) f aik pada [ ab, ] (vi) f ( ), ( a, b) f turu pada [ ab, ] 6 Teorema Nilai Rata-rata Umum: Jika f da g kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) f ( ) g( b) g( a) g ( ) 7 Atura L Hospital diguaka utuk meghitug limit berbetuk f( ) f ( ) f ( ) atau dari dega meghitug lim lim utuk a g ( ) a g( ) a g ( ) real atau (lihat Teorema 7, 8, 9) 8 Teorema Darbou: Jika f terdiferesial pada [ ab, ] da f ( a) da f () b maka terdapat c ( a, b) sehigga f() c di atara TES FORMATIF Coba kerjaka sediri terlebih dahulu, sebelum melihat jawaba! Diberika fugsi f :[ a, b] R terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat M sedemikia higga f ( ) M, ( a, b ) buktika bahwa: (i) f kotiu seragam pada ( ab, ) (ii) lim f( ) da lim f( ) ada a b h Guaka Teorema Nilai Rata-rata utuk membuktika h utuk h Apakah ada cara yag lebih mudah utuk megerjaka ii?, jika rasioal 3 Diberika fugsi f dega rumus f( ), jika irasioal Apakah f () ada? Apakah f ( ) ada utuk?

28 8 ANALISIS II 4 p Tujukka bahwa lim p e da bulat positif p 5 Hituglah lim(cot / ) da lim l l lim utuk setiap bilaga p e 6 Jika f :[ a, b] R terdiferesial dalam ( ab, ) da ( a, b ) hituglah f ( h) f ( h) lim h h Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai

29 MATA43/MODUL 9 J Kegiata Belajar Teorema Taylor ika f suatu fugsi real yag terdiferesial pada [ abmugki, ] bahwa f juga fugsi terdiferesial pada beberapa atau semua titik pada [ ab, ] A DERIVATIF TINGKAT TINGGI Jika titik yag dimaksudka itu maka derivatif dari f di titik diyataka dega f ( ) da diamaka derivatif tigkat kedua dari f di titik Perlu diperhatika bahwa agar f ( ) ada, f ( ) harus ada di suatu kitar dari Derivatif-derivatif tigkat tiggi didefiisika secara iduktif dega () f f da f B SUKU BANYAK TAYLOR ( f ) utuk k,,, ( k) ( k) k Jika P( ) a a ak a suatu sukubayak berderajat, maka P ( ) k! a ( k ) k a ( ) ( k) a da ( k) k k k ( k P ) () k! a k Kita peroleh P ( ) ( k a P ) () / k! sehigga P ( ) mejadi k ( k) ( ) P() P() P () k P () P()!! k!! ( k) P () k k! k Dega cara yag serupa peyajia P ( ) dalam pagkat-pagkat ( ) dapat diperoleh P ( ) P ( k) k ( ) ( ) k k! Jika fugsi f :[ a, b] R mempuyai derivatif sampai tigkat di ( a, b) maka betuk yag sama utuk fugsi f, f ( ) P ( k) k ( ) ( ) k k!

30 3 ANALISIS II diamaka sukubayak Taylor derajat utuk fugsi f di sekitar Jika ( k) P ( ) k P fugsi sukubayak derajat dalam maka P( ) ( ), k! k tetapi tidak demikia halya utuk fugsi f yag buka sukubayak derajat Utuk fugsi f ii f ( ) f P R R ( k) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k! di maa R( ) f ( ) P( ) diamaka sukusisa di Mudah dihitug ( k) ( k) ( k) bahwa R ( ) f ( ) P ( ) utuk k,,,, o Aka kita tetuka bagaimaa betuk sukusisa R () Kita betuk fugsi Q( ) ( ) Pehatika bahwa ( k ) R ( ) da Q ( ) ( k) utuk k,,,, Dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata Umum (Teorema 6) diperoleh, R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) utuk suatu Q( ) Q( ) Q( ) Q ( ) di atara da R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) utuk suatu Q( ) Q( ) Q( ) Q di atara da ( ) Demikia seterusya diperoleh ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( 3) R ( ) ( ) Q( ) Q( ) Q( ) Q ( ) Q ( ) 3 di maa suatu titik di atara k da k Aka tetapi, R ( t) f ( t) f ( ) da ( ) ( ) ( ) ( ) Q t t ( ) ( )!( ) sehigga ( ) ( ) R( ) f ( ) f ( ) ( ) ( )! Dega megguaka teorema ilai rata-rata pada betuk terakhir ii, diperoleh ( ) R ( ) f ( ) ( ) ( )! di maa suatu titik di atara da

31 MATA43/MODUL 3 Uraia di atas disajika sebagai Teorema Taylor dega suku sisa sebagai berikut Teorema (Teorema Taylor dega Suku Sisa) Diberika f :[ a, b] R yag mempuyai derivatif sampai tigkat pada ( ab, ) da ( a, b) Maka ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) R ( )!! ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! dega suatu titik tertetu di atara da, da R () diamaka suku sisa ke- dalam peyajia f( ) ke dalam sukubayak Taylor dalam pagkat-pagkat ( ) Catata : Dalam kasus = Teorema Taylor ii mejadi Teorema Nilai rata-rata Utuk deret Taylor diamaka deret Maclauri Teorema Taylor memotivasi kita kepada suatu pertayaa berikut Jika f :[ a, b] R mempuyai derivatif dari segala tigkat dalam ( ab, ), fugsi semacam ii dikataka terdiferesial tak higga (ifiitely differetiable), apakah ( k) f ( ) hubuga atara f( ) dega deret tak higga ( ) k? Deret k! ii diamaka deret Taylor utuk f di sekitar titik Fugsi f( ) da deret ii aka sama jika da haya jika lim R ( ) utuk semua ( a, b) Teorema 3 k Jika fugsi f mempuyai derivatif dari semua tigkat dalam ( ab, ) da terdapat M sehigga ( a, b) maka berlaku ( k) k ( ) ( ) k k! ( k f ) () M, k,,,, ( a, b) utuk f ( ) f, ( a, b) ()

32 3 ANALISIS II Bukti: Syarat perlu da cukup agar () bear adalah lim R ( ), ( a, b) f ( ) f R, ( k) k ( ) ( ) ( ) k k! dega f ( k ) ( ) ( ) k M k da k! k! Badigka dega deret suku positif koverge R ( ) adalah suku ke-(+), jadi M lim R ( ) lim, ( a, b)! M R ( ) (!)! M k! Cotoh 4 Berikut ii diberika beberapa deret Maclauri yag terkeal: (a) e!! (, )! k di maa 4 ( ) ( ) (b) cos, (, )! 4! ( )! ( )! 3 5 ( ) ( ) (c) si, (, ) s! 5! ( )! ( )! (d) cosh, (, )! ( )! ( )! 3 (e) sih, (, ) 3! ()! ()! (f), (,) (g) ( ) ( ), (,)

33 MATA43/MODUL 33 Bukti: (a) f ( ) e terdiferesial pada (, ) da utuk semua k,,, da berlaku k e e R ( ) dega R ( ) k k! ( )! da ilai tertetu di atara da ( k ) f ( ) e, (, ) ( k f ) () Jadi utuk tertetu dalam R Harus dibuktika utuk ilai tertetu ii lim R ( ) Jika telah ditetapka maka terdapat N N sehigga Jadi, e ( N )! N RN ( ) N M ( ) e ( ) N N RN RN M M ( N )! N N N dega N N RN( ) RN ( ) M M N3 N3 N p Demikia seterusya diperoleh RN p( ) M dega p Jadi lim R ( ) lim R ( ) M lim sehigga lim R ( ) Np p p utuk setiap yag diberika Dega demikia utuk setiap R terbukti (b) Jadi e k k k! f f f f (4 k) (4k ) (4 ) ( ) cos, ( ) cos, k ( ) si, ( ) cos, (4k f 3) ( ) si, ( k f ) ( ), k,,, R, maka meurut Teorema 3 lim R ( ), R

34 34 ANALISIS II Karea (4 k) (4k) (4k) (4k3) f (), f (), f (), f () maka ( ) f () ( ) Jadi ( ) 4 f () ( ) f ( ) cos, R ( )!! 4! ( )! (f) f ( ) ( ), ( k) ( k ) f ( ) k!( ) f () k f ( ) R ( ) R ( ), 3 f ( ) ( ), f ( )!( ), ( k) k ( ) k k! k R ( ) [ ],( ) Jadi, lim R ( ) k da terbukti bahwa ( ) k Rumus-rumus Maclauri yag laiya buktiya diserahka kepada pembaca C NILAI EKSTREM Fugsi f : D R dega DR dikataka mempuyai maksimum lokal di titik D, jika terdapat da utuk semua D N(, ) berlaku f ( ) f ( ) Miimum lokal didefiisika dega cara yag semacam Fugsi f dikataka mempuyai ekstrem di jika di titik itu f mempuyai maksimum atau miimum Dalam Lemma telah disajika syarat perlu adaya ekstrem dari fugsi f yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) di titik iterior ( a, b) adalah f ( ) Bahwa syarat ii tidak cukup dapat diambil cotoh f ( ) da 3 meskipu terdiferesial pada [,] f () tetapi f tidak mecapai ekstrem titik iterior Baiklah kita tulis lagi lemma tersebut

35 MATA43/MODUL 35 Lemma 3 Jika f :[ a, b] R mempuyai ekstrem lokal di titik ( a, b) da jika f terdiferesial di maka f () Bukti: Diadaika f mempuyai miimum lokal di Utuk cukup dekat f ( ) f ( ) dega da aka kita jumpai bahwa yag f ( ) f ( berakibat f ) ( ) Utuk maka f ( ) Teorema 4 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] mempuyai derivatif sampai tigkat ( ) pada ( ab, ) da di titik iterior ( a, b) berlaku sehigga ( ) f ( ) f ( ) f ( ) da ( ) ( ) f ( ), f kotiu di da gasal maka f mempuyai ekstrem lokal di, da ekstrem miimum jika f ( ) ( ), da ekstrem maksimum jika f Jika geap maka tidak terjadi ekstrem utuk f di titik ( ) ( ) Bukti: (a) Kasus utuk gasal, jadi geap ( ) f ( ) Maka f ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! di atara da Utuk yag cukup kecil tada dari sama dega tada dari f ( ) ( ) utuk karea f di O karea geap maka utuk ii ilai f ( ) f ( ) jika f f ( ) ( ) ( ) Jadi, f mempuyai miimum di jika f ( ) ( ) ( ) da f ( ) f ( ) jika f ( ) utuk a b da ( f ) ( ) ( ) kotiu ( ) da maksimum jika

36 36 ANALISIS II (b) Kasus utuk geap, jadi gasal Dalam hal ii tada dari f ( ) f ( ) utuk tidak sama dega utuk, sehigga tidak terjadi ekstrem utuk f di titik Cotoh 5 Dalam Teorema 4 utuk kita mempuyai teorema yag sagat terkeal dalam kalkulus: Jika f :[ a, b] R di titik iterior ( a, b) mempuyai ilai f ( ) da f ( ) maka f mempuyai ilai ekstrem di, ekstrem itu maksimum jika f ( ) da miimum jika f ( ) Cotoh 6 Jika f :[ a, b] R terdiferesial da mempuyai maksimum (miimum) lokal di a, apakah perlu f ( a)? Jika tidak yataka da buktika syarat perlu utuk maksimum (miimum) lokal di a Bagaimaakah keadaaya di b? Jawab: Tidak perlu f ( a) Fugsi f maksimum lokal di a jika diberika,, [ a, b], a a berlaku f ( a) f ( ), jadi f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) Karea f ( a) ada maka f( a) lim a a a Dega demikia agar f mecapai maksimum lokal di a haruslah f( a) Syarat perlu utuk miimum lokal di a adalah f ( a) Dega cara yag serupa dapat ditujukka bahwa syarat perlu utuk maksimum lokal di b adalah f( b) da utuk miimum lokal di b adalah f( b) Syarat itu tidak cukup, misalya f ( ) si,,, f () Maka 4 f (), f 4, f 4 Karea f ( 4 k) ( 4 k)

37 MATA43/MODUL 37 da 4 f, k,,, maka f tidak mecapai (4k3) (4k3) maksimum atau miimum lokal di meskipu f (), tetapi f mecapai maksimum lokal di Cotoh 7 Diberika fugsi f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) kecuali mugki di titik ( a, b) Jika tujukka bahwa f terdiferesial di da f ( ) L lim f ( ) L ada, Bukti: Diberika, maka terdapat sehigga utuk ( a, b), berlaku f ( ) L () Karea f kotiu di, maka f kotiu pada [, ] da [, ] terdiferesial pada (, ) da (, ) Meurut teorema ilai rata-rata utuk atau berlaku f ( ) f ( ) f ( ) utuk suatu di atara da Karea maka berlaku (), yaki Jadi f ( ) f ( ) f ( ) L L f ( ) f ( ) f ( ) lim L utuk, Cotoh 8 utuk Jika diberika f( ) e utuk buktika bahwa f () [Petujuk : guaka Cotoh 7]

38 38 ANALISIS II Bukti: lim f( ) lim e Dega meggati variabel t maka utuk diperoleh t da utuk diperoleh t Jadi lim f( ) lim t e Karea f () maka f kotiu di Dega demikia f kotiu pada [,] da terdiferesial pada iterval (,) kecuali mugki di titik di dalam (,) 3 t Utuk diperoleh f ( ), maka lim f ( ) lim t 3 e e Dega atura L Hospital utuk betuk diperoleh lim f( ) Meurut Cotoh 7 maka f () lim f ( ) Cotoh 9 (Atura Leibitz) ( ) ( ) ( ) Buktika ( ) k k k! fg C(, k) f g, k C(, k) k!( k))! Bukti : Aka dibuktika dega iduksi matematik Rumus bear utuk sebab () () () () () ( fg) C(,) f g C(,) f g f g fg Diasumsika rumus bear utuk r, jadi ( ) ( ) ( ) ( fg r kr ) C k r k ( r, k ) f g bear k ( r ) k r ( k) ( r k) k Berdasarka asumsi ii dibuktika ( fg) C( r, k) f g bear ( fg ) C ( r, k ) f g C ( r, k )[ f g f g ] ( r ) k r ( k ) ( rk ) k r ( k ) ( rk ) ( k ) ( r k ) k k, kr ( k) ( rk ) kr ( k) ( r k ) C( r, k) f g C( r, k) f g k k

39 MATA43/MODUL 39 dega meggati ideks k dega s pada pejumlaha yag pertama da k dega s pada yag kedua, diperoleh ( r) sr ( s) ( r s) sr ( s) ( r s) fg C ( r, s ) f g C ( r, s ) f g s s ( r) () () ( r) s r ( s) ( r s) s C( r, r) f g C( r,) f g [ C( r, s ) C( r, s)] f g Tetapi C( r, r) C( r, r ) da C( r,) C( r,) da r! r! C( r, s) C( r, s) s!( r s)! ( s)!( r s )! r! ( r )! [/ s /( r s )] C( r, s) ( s)!( r s)! s!( r s)! ( r) s r ( s) ( r s) Jadi ( fg) C( r, s) f g da terbuktilah rumus s Leibitz Cotoh Guaka Teorema Taylor dega utuk medekati 3, Diambil fugsi 3 3 f ( ) ( ) da 3 f ( ) di titik da Karea sehigga f ( ) P ( ) R ( ) R ( ) dega f ( ) ( ) maka f (), f () 3 9 f ( ) R ( ) utuk suatu di atara da 8 3! Jika diambil,3 maka ilai pedekata utuk 3,3 adalah P (,3),9 Karea maka 8 3 ( ) da 5 3 R ( ) (,3),7 8 6 Jadi kita peroleh 3,3,9,5 sehigga ilai pedekata kita teliti dua desimal di belakag koma Cotoh 5 Dekati ilai bilaga e dega ralat kurag dari ( Diambil f ( ) e da da Karea ) f ( ) e maka 3 9

40 4 ANALISIS II e P ( ) R ( ) R ( )!! dega R ( ) e utuk suatu di atara da ( )! Karea e 3 kita harus mecari sedemikia higga 3 ( )! 5 Jika 5 dihitug 9! ( ) sehigga 8 cukup memeuhi syarat utuk ralat yag dimita Karea 8! 43 maka tidak ada yag lebih kecil lagi dapat diguaka utuk ilai Jadi, kita peroleh e P(), 788 8! 8! dega ralat kurag dari 5 Carilah suku bayak Taylor P( ) dega suku sisa 3 R () 3 utuk fugsi f di 3 (a) f ( ) a b c d da, (b) f ( ) si da, (c) f ( ) /( ) da Tujukka bahwa jika maka 8 3 Tujukka bahwa cos utuk semua R 4 Kita igi medekati sius dega suku bayak pada [,] sehigga ralatya kurag dari, Tujukka bahwa diperoleh 3 5 si utuk Diadaika bahwa I R suatu iterval terbuka da f ( ), I Jika c LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! I, tujukka bahwa bagia grafik fugsi f pada I tidak perah di bawah garis siggug pada grafik di titik ( c, f ( c ))

41 MATA43/MODUL 4 Petujuk Peyelesaia Latiha (a) (b) (c) f d c b a R 3 ( ), 3( ) si R ( ), R ( ) si da suatu bilaga di atara da 4 cos R ( ), R ( ) cos da suatu bilaga di atara da Diambil f ( ), f (), f ( ) ( ), f ( ) ( ), f ( ) ( ) f ( ) R ( ), f ( ) R ( ) ( ) ( ), 8 ( ) ( ) 6 R R dega bilaga tertetu di atara da Karea R( ), R( ) maka 3 f ( ) cos utuk R 8 f ( ) f () f () f () R ( ) R ( ) f ( ) 3 si 3 dega R ( ) 6 6 Utuk maka maka R ( ) Demikia juga utuk maka diperoleh R ( ) Jadi, cos utuk Jika maka 3 cos maka ketaksamaa cos dega sediriya bear Jadi ketaksamaa berlaku utuk semua R 4 f ( ) si, f ( ) cos, f ( ) si, f ( ) cos, (4) (5) f ( ) si, f ( ) cos, (4) (5) f (), f (), f (), f (), f (), f () (6) (7) f (), f (), (7) f ( ) 7 R6 ( ), suatu di atara da, sehigga 7! R6 ( ),, karea [,], sedagka 7! 54 6! 7

42 4 ANALISIS II 3 5 Jadi, si R6 ( ), da utuk [,] maka si (, Grafik fugsi f mempuyai persamaa y f ( ), I Garis siggug di ( c, f ( c )) adalah y g( ) dega g( ) f ( c)( c) f ( c ), I f ( ) Utuk I, f ( ) f ( c) f ( c)( c ) da suatu bilaga di atara c da Karea f ( ) utuk I maka f ( ) g( ) f ( ), da grafik f tidak perah di bawah garis siggug di titik ( c, f ( c )) RANGKUMAN Teorema Taylor Jika f :[ a, b] R mempuyai derivatif sampai tigkat da ( a, b) maka ( k) ( ) k f ( ) k f ( ) f ( ) ( ) R ( ), R ( ) ( k ) k! ( )! da titik tertetu di atara da ( k) k f ( ) k Deret Taylor: f ( ) ( ) jika da haya jika k k! lim R ( ) Teorema Nilai Ekstrem Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da mempuyai derivatif sampai tigkat pada ( ab, ) da di titik iterior ( a, b) berlaku f ( ) f ( ) f ( ) da ( ) ( ) f ( ), ( ) f da da gasal, maka f mempuyai ekstrem lokal di, ekstrem itu miimum jika ( ) f ( ) da maksimum jika Jika geap tidak terjadi ekstrem di ( ) f ( )

43 MATA43/MODUL 43 TES FORMATIF Coba kerjaka sediri terlebih dahulu, sebelum melihat jawaba! Jika f ( ) 3 hituglah utuk R ilai f ( ) da f ( ) Tujukka bahwa f () tidak ada Megapa tidak memeuhi koklusi Teorema Rolle pada[,]? 3 Didefiisika fugsi f : R R oleh Apakah f () ada? Apakah f ( ) ada utuk?, jika rasioal f( ), jika irasioal 4 Jika f :[ a, b] R terdiferesial pada ( ab, ) da ( a, b) tetuka 5 Tujukka bahwa 6 Jika f : e R R buktika g( t) f ( t) f ( t) f ( h) f ( h) lim h h ( ) utuk jika f ( ) maks f ( ), g ( f ) terdiferesial di t dega, Petujuk: Guaka fugsi ( ), 7 Diketahui f :[, R ) da terdiferesial pada (, ) da diketahui bahwa lim f ( ) L Buktika bahwa: f ( h) f ( ) (a) utuk sembarag h > maka lim L; h (b) jika f ( ) k utuk maka L = ; f( ) (c) lim L 8 Diberika f :[,] R terdiferesial sedemikia higga tidak ada di maa f ( ) f ( ) Buktika bahwa himpua Z { : f ( ) } berhigga

44 44 ANALISIS II 9 Diberika f :[ a, b] [ a, b] terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat,, sehigga f () t utuk t ( a, b) Buktika bahwa f mempuyai titik tetap yag tuggal dalam [ ab, ] Diberika fugsi f : (,) R terdiferesial dalam [,] da f ( ), (,) Buktika barisa koverge jika f Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Modul berikutya Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar ii, terutama bagia yag belum dikuasai

45 MATA43/MODUL 45 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif (i) Utuk sembarag y di dalam ( ab, ) maka f ( y) f ( ) f ( )( y ) utuk suatu ( y, ) Jadi f ( y) f ( ) f ( ) y M y Jika diberika maka, y ( a, b ) dega y Terbukti f kotiu seragam pada (, ) M berlaku f ( f ( ) ab (ii) Fugsi f terbatas pada ( aa, ), sebab utuk, y ( a, a ) da y tetap berlaku f ( ) f ( y ) Tergatug pada kelakua fugsi di dekat a maka lim f( ) ada yaki supremum atau ifimum dari a himpua ilai f( ) disekitar dekat a itu Ada buktika sediri bahwa lim f( ) ada b Dipadag fugsi f ( ) utuk [, h ], maka 3 h f ( h) f () utuk suatu (, h ) Jadi h h f ( h) f () Utuk a da b berlaku h da karea a b a b Karea h da h h h bear maka h juga bear f( h) f () lim h Diberika h h f ( h) f () Utuk h rasioal h, utuk h irasioal h f ( h) f () h Jadi jika diberika terdapat

46 46 ANALISIS II sehigga utuk h berlaku f ( h) f () h, yag f ( h) f () berarti bahwa f () lim h h Sekarag diselidiki utuk Dibedaka utuk rasioal da irasioal (i) Jika rasioal da h rasioal maka f ( h) f ( ) ( h) lim lim ; jika h irasioal maka h h h h lim h h tidak ada Jadi utuk da irasioal f ( ) tidak ada (ii) Utuk irasioal f ( y) f ( ) y Utuk y rasioal maka lim lim tidak ada, y y y y f ( y) f ( ) utuk y irasioal maka lim lim Jadi utuk y y y y da irasioal maka f ( ) tidak ada Dari (i) da (ii) diperoleh bahwa utuk maka f ( ) tidak ada p p p p! 4 Dega atura L Hospital lim lim lim ; e e e l lim lim p p p 5 Dega atura L Hospital ta cos si lim(cot / ) lim lim lim ta ta cos si cos si lim cos si l lim l lim lim lim

47 MATA43/MODUL 47 f ( h) f ( h) f ( h) f ( ) f ( ) f ( h) h h 6 lim lim h h f ( h) f ( ) f ( t) f ( ) lim lim h t h t f ( ) Tes Formatif 3 jika, f( ) 3 jika 3 maka f ( ) jika, 3 jika da 6 jika, f ( ) 6jika f ( ) f () 6 lim lim 6, sedagka f ( ) f () 6 lim lim 6 f ( ) f () Karea kedua ilai limit ii tidak sama maka lim tidak ada, jadi f () tidak ada, Karea f( ),, maka f ( ),, da f () tidak ada Meskipu f kotiu pada [, ] da f() f() tetapi tidak terdiferesial pada (, ) (sebab f () tidak ada), jadi hipotesis dalam Teorema Rolle tidak dipeuhi oleh f, sehigga koklusi bahwa terdapat (,) da f ( ) tidak dipeuhi 3 Nilai f () Utuk da rasioal, ada barisa y, y irasioal, da y da lim f( y ) f ( ) da irasioal dapat dibuat barisa rasioal, lim f ( z) f ( ) Demikia juga utuk z z tetapi Kedua peryataa ii meujukka bahwa

48 48 ANALISIS II f diskotiu di (lihat Teorema 8 (b), buku Aalisis I) Karea f tidak kotiu di maka f ( ) tidak ada (lihat Teorema ) Agar f () ada perlu f ( ) ada di sekitar, karea f ( ) tidak ada utuk, jadi f () pasti tidak ada 4 Utuk h, da megigat f terdiferesial di maka f ( h) f ( h) f ( h) f ( ) f ( h) f ( ) lim lim lim h h h h h h ( ) ( ) ( ) f f f 5 f ( ) e ( ), f ( ) e Utuk, f( ) da f( ) turu tegas pada (,) Utuk, f( ) da f( ) aik tegas (,) f () da f () f( ) mecapai maksimum di Jadi e ( ), (,] da e, (,] t, t 6 Fugsi () t t, t mempuyai derivatif () t, t, t f ( ), f ( ) g( ) [ f ( )] ( f ( ) da f ( ), f( ) Jadi f ( ) f ( ), jika f( ) g( ) ( t)( f ) ( ) t f ( ) f ( ) f ( ), jika f( ) 7 Jika diberika, maka terdapat M sehigga M maka f ( ) L f ( h) f ( ) a Utuk M da h maka f ( ) utuk h suatu da h Karea M maka M berlaku

49 MATA43/MODUL 49 f ( h) f ( ) L h f ( ) L Terbukti bahwa f ( h) f ( ) lim L h b f ( h) f ( ) k k Jika lim f ( ) k maka lim h h c Utuk M meurut Teorema Nilai Rata-rata f ( ) f ( M ) f ( )( M ) utuk suatu da di atara M da f ( ) f ( M) M Maka ( ) f ( ) f ( ) f ( M ) M L L f ( ) M f( M) ( f ( ) L) L( M Jadi, f ( ) f ( ) L f ( ) L L M f( M) Dapat dipilih KM sehigga da M L utuk K Dega demikia utuk K M berlaku f( ) f( ) L 3 Jadi lim L 8 Diadaika Z { [,]: f ( ) } tak higga Oleh karea [,] kompak maka mempuyai sifat Bolzao-Weierstrass, yaki setiap ifiite subset dari [,] mempuyai titik limit di dalam [,] Jadi p [,] da p titik limit Z Utuk setiap kitar N( p, ) memuat takhigga titik-titik Z Meurut teorema Rolle di atara dua

50 5 ANALISIS II titik Z memuat titik ol dari f Jadi N( p, ) memuat tak higga titiktitik di maa derivatif f berilai ol Jadi p titik limit himpua F { [,]: f ( ) } Karea f kotiu pada [,] maka Z tertutup jadi pz da f( p) Utuk setiap,, [,] da ( ) ( ) f f p p f ( p) p f terdiferesial di p da f( p) f( ) f ( p) p Tetapi p titik limit Z sehigga y Z, jadi f( y) da y p f( y) f ( p) y p sebab f ( p) Jadi f ( p) Dega demikia jika Z tak higga terdapat titik p [,] dega f ( p) f ( p) Terjadi kotradiksi sehigga Z harus berhigga 9 Utuk da y dalam [ ab,, ] di atara da y da f ( ) f ( y) y f ( ) Jadi,, y [ a, b] berlaku f ( ) f ( y) y dega Meurut Defiisi 94, Aalisis I, f fugsi kotraksi dari himpua kompak [ ab, ] kepada [ ab, ] sehigga f mempuyai titik tetap yag tuggal di dalam [ ab, ] (Teorema 9,8, Aalisis I) f f f ( ), ( ( ) ( ) Jadi N berlaku k S k k k S, dega S barisa suku-suku positif yag koverge, sebab S jumlah k k parsial dari deret da p yag koverge (Lihat p Cotoh 44, Modul 4, Aalisis I) Jadi N berlaku S S da terbukti bahwa barisa koverge

51 MATA43/MODUL 5 Daftar Pustaka Bartle, Robert G & Sherbert, Doald R (99) Itroducto to Real Aalysis Joh Wiley & Sos, Ic DePree, Joh D & Swartz, Charles W (988) Itroductio to Real Aalysis Joh Wiley & Sos, Ic Rudi, Walter (976) Priciples of Mathematical Aalysis McGraw-Hill Kogakusha, Ltd

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

Induksi Matematik dan Teorema Binomial

Induksi Matematik dan Teorema Binomial Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L.

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L. DIFERENSIAL 6. Usur Turua 6.. Deiisi Diketahui I R mempuyai iterval : I. Kita dapat megataka bahwa bilaga real L adalah turua dari jika pada c diberika >, maka aka ada > sehigga jika da haya jika x h

Lebih terperinci

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN

4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN 4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN Saat asumsi keormala tidak dipuhi maka kesimpula yag kita buat berdasarka suatu metod statistik yag mesyaratka asumsi keormala meadi tidak baik, sehigga mucul

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,

Lebih terperinci