Estimator Imputasi Regresi Untuk Mengestimasi Model Regresi Semiparametrik Dengan Respon Hilang

Transkripsi

1 SEMNAR NASONAL MAEMAKA DAN PENDDKAN MAEMAKA UNY 05-3 Estmator mputas Regres Utuk Megestmas Model Regres Semparametrk Dega Respo Hlag Nur Salam Matematka, FMPA Uverstas Lambug Magkurat. Abstrak Paper aka membahas estmas model regres semparametrk dega respo hlag megguaka estmator mputas regres.suatu kelas estmator ddefska yag memuat semua estmator termasuk uga estmator mutas regres. Estmator mputas regres merupaka estmator yag ormal asmtotk da mempuya varas asmtotk. Estmator mecapa batas efses semparametrk dalam kasus ormal (Gaussa) homoskedastk.dtuuka pula bahwa metode ackkfe dapat dguaka utuk megestmas varas asmtotk secara kosste. Berdasarka keadaa-keadaa d atas aka destmas mea Y, sebut. Estmator mputas regres aka dguaka utuk megestmas mea Y yatu merupaka estmator yag megestmas mea Y berupa estmas ttk da terval kepercayaa dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal. Suatu stud smulas uga dhadrka utuk memperoleh hasl estmas mea Y berupa la ttk da la batas terval kepercayaa dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal dar model regres semparametrk. Kata kuc: Bobot, mputas semparametrk da semparametrk. A. Latar Belakag. PENDAHULUAN Dalam bayak bdag lmah, suatu tugas dasar adalah mela pegaruh smulta beberapa faktor (kovarat) terhadap suatu kuattas kepetga (varabel respo). Model-model regres memberka suatu keragka kuat yag bak da teor-teor feres parametrk, oparametrk da semparametrk yag berhubuga dtetapka dega bak pula. Namu demka, dalam praktek, serg tdak semua respo bsa terseda karea berbaga alasa sepert ketdakga beberapa ut yag dsampel utuk meyedaka formas yag dgka, kehlaga formas yag dsebabka faktor-faktor yag luar kotrol, kegagala pada phak vestgator utuk meghmpu formas yag bear da seterusya. Dalam kasus sepert, prosedur-prosedur feres tdak dapat dterapka secara lagsug. Msalka X adalah suatu vektor dmes-d dar faktor-faktor da msalka Y adalah suatu varabel respo yag dpegaruh oleh X. Dalam praktekya, serg dperoleh suatu sampel radom data yag tdak legkap sepert: (X, Y, ), =,,.... dega semua X terobservas da = 0 ka Y hlag da kalau tdak =. Dalam paper peuls tertark utuk megestmas mea Y, katakalah. Suatu metode lazm utuk meaga data yag hlag dalam suatu data set besar adalah megmputas (yak memasukka) suatu la layak utuk setap datum yag hlag da kemuda megaalss hasl tu seolah-olah mereka legkap. Estmator mputas regres aka dguaka utuk megestmas mea Y yatu berupa estmas ttk da estmas terval kepercayaa dega beberapa respo hlag. Adapu beberapa metode mputas yag basa dguaka utuk la-la respo yag hlag melput atara la mputas regres lear (Healy da Westmacott, 956), mputas regres kerel (Cheg 994), mputas raso (Raso 996). Suatu komprom atural atara model lear da model oparametrk peuh adalah memberka beberapa predktor utuk dmodelka secara lear (parametrk) da selaya dmodelka secara oparametrk. merupaka motvas bag peuls utuk meetuka suatu model yatu model regres semparametrk. Model regres semparametrk (model lear parsal) megasumska bahwa data {(X,, Y ) : =,,...,} mempuya betuk : Y = X + g( ) + () 403

2 SBN dega Y varabel-varabel respo skalar, X adalah vektor-vektor kovarat radom d-varabel..d, adalah vektor-vektor kovarat radom d*-varabel..d, adalah fugs yag tdak dketahu atau dega kata la lc (smooth) yatu : = kotu mutlak pada [0,], = 0,,,,p-, g (P) yag dsebut ruag Sobolev order p dega L[0,] adalah hmpua semua fugs yag kuadratya tertegral pada terval [0,].Sedagka = (,,..., p ) adalah suatu vektor dar parameter yag tdak dketahu da adalah kesalaha-kesalaha model dega mea 0 da varas tetap (pola homoskedaststas). B. aua Pustaka Sebelum membahas kosep estmas da asmtotk ormal terlebh dahulu dbcaraka beberapa pegerta da sfat-sfat dasar yag merupaka kosep awal yag harus dpaham agar mudah megkut pembahasa yag dbcaraka. Defs. terval Kepercayaa (Ba, J.L & Egelhardt, M, 99) Suatu terval (l( dsebut suatu terval kepercayaa utuk ka : dega. Nla observas da adalah batas bawah da batas atas terval tersebut. Defs. Estmas (Ba, J.L & Egelhardt, M, 99) Suatu statstk, = l(x, X,,X ) yag dguaka utuk megestmas la dsebut estmator dar da suatu la observas dar suatu statstk, l(x, X,,X ) dsebut hasl estmas. Defs.3 Koverge dalam Probabltas (Casela & Berger, 990) Barsa varabel radom X, X, X 3,... koverge dalam probabltas ke suatu varabel radom X ka utuk setap > 0, lm PX - X 0 atau lm PX - X atau bsa uga dtuls X P X. Defs.4 Koverge dalam Dstrbus (Casella & Berger, 990) Barsa varabel radom X, X, X 3,... koverge dalam dstrbus ke suatu varabel radom X, ka lm Fx(x) Fx (x) pada setap ttk X, dmaa F d x (x) kotu atau bsa dtuls X X.. MEODE PENELAN Adapu prosedur-prosedur yag dlakuka dalam peelta adalah sebaga berkut :. Meelaska regres parametrk da estmas regres parametrk.. Meelaska regres oparametrk da estmas regres oparametrk. 3. Megkostruks model regres semparametrk (model lear parsal) da uga model regres semparametrk dega data hlag. 4. Meetuka metode estmas model regres semparametrk yag tepat da dalam paper megguaka metode least square yag selautya dperoleh estmator mputas regres yatu da dega megguaka metode pedekata ormal, estmator mputas regres dguaka utuk megkostruks estmas terval kepercayaa dar. 5. Meelaska prosedur ke 4 d atas secara bertahap da rc. 6. Meelaska hasl estmas dalam suatu stud smulas. 7. Megambl kesmpula dar hasl pembahasa da stud smulas. 404

3 SEMNAR NASONAL MAEMAKA DAN PENDDKAN MAEMAKA UNY 05. HASL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ddefska estmator θˆ, sfat-sfat asmtotk serta sfat efsesya yag aka dbahas dalam paper. A.. Estmas erlebh dahulu ddeskrpska bagamaa megestmas fugs regres.melalu pramultplkas () dega dkator observas dperoleh : Y = X + g ( ) +, da dega megambl ekspektas bersyarat yag dberka, ddapat: E δ Y t E[δ X t]β E δ tg(t) dar hal d atas dperoleh : dega : Sehgga dhaslka: g(t) = g (t) g (t), () g (t) = E X t da g (t) = E Y t E t E t. [Y - g ( )] = [X - g ( )] +, (3) yag megsyaratka bahwa suatu estmator dapat ddasarka pada suatu regres kuadrat terkecl dega megguaka = observas da estmas g (.), =,. Adaka K(.) adalah suatu fugs kerel da adaka h adalah suatu sekues badwdth yag cederug ke 0 bla, da ddefska bobot-bobot : W (t) = K t - / h kemuda g (t) = W (t) X da K t - / h g (t) W (t) Y adalah estmator-estmator kosste dar g (t) da g (t), secara berturut-turut. = Dar (3), estmator kemuda ddefska sebaga estmator yag memeuh : β m δ Y - g ( ) X - g ( ) β. Dar (4), dapat dperoleh bahwa estmator dberka oleh : βˆ = X - g ( ) X - g ( ) δ X - g ( ) Y - g ( ) berdasarka pada trple yag dobservas (X,,Y ) utuk tu {: =}. Persamaa () megsyaratka bahwa suatu estmator g(t) dapat ddefska sebaga : ĝ (t) g (t)- g (t)βˆ dega meggat, g (t) da g (t) dalam () dega βˆ, g (t) da g (t). D dalam membahas megea estmas, dtetuka kelas umum estmator-estmator yatu : θˆ Y P *(X, ) - P *(X, ) X βˆ ĝ ( ) dega P *(x,t) adalah suatu sekues kuattas dega lmt-lmt probabltas P*(x,t). Dalam paper dtekaka pada kasus khusus yatu bla P *(x,t) =, utuk kasus dperoleh estmator yatu : (4) 405

4 SBN θˆ δ Y (- δ ) (X βˆ ĝ ( )). Estmator dsebut sebaga estmator mputas regres yag dtuls sebaga. B. Asmtotk Normal Selautyadberka beberapa sfat estmator (t) P p( t), σ (x, t) P(x, t) θˆ p(δ X x, t), da estmator varas kossteya.adaka m(x, t) x β g(t) E[(Y X β g()) X = x, = t]. Kemuda ddefska u(x,t) = x-g (t), = E [P(X,) u (X,) u (X,) ]. g r (.) meuukka kompoe ke-r dega g (.). Dberka. adalah orm Eucldea dar θˆ. Adapau asums-asums yag dperluka utuk asmtotk ormal dar yatu :. Sup t E X t.. Fugs destas, katakalah r(t), ada da memeuh 0 f r(t) sup r(t). t[0,] t[0,] 3. Sup x,t E[Y X = x, = t]. 4. g(.), g r (.) da g (.) memeuh syarat Lpschtz order. 5. (a) P (t) memlk dervatf-dervatf parsal terbatas hgga order hampr past (almost surely). (b) f x,t P(x,t) > = E[P(X,) u(x,) u(x,) ] adalah suatu matrk deft postf. 7. (a). Ada kostata M > 0, M > 0 da P > 0 sedemka rupa sehgga : u K(u) M u M (b) K(.) adalah suatu fugs kerel order. (c) K(.) mempuya dervatf-dervatf parsal terbatas hgga order hampr past (almost surely). 8. (a) Fugs kerel W(.) adalah suatu fugs kerel terbatas dega dukuga (support) terbatas da varas terbatas. (b) W(.) adalah suatu kerel order k (> d+).. eorema 3. Berdasaka semua asums tersebut kecual utuk 7 (c) dperoleh : ˆ d N(0, V) dega : V = E [( 0 (X )+ (X,)) P(X,) σ (X,)] + Var[(X,)] dega 0 (x,t) = /P (t) da (x,t) = E[u (X,) ] - u(x,t) bla P *(x,t) {,, } da 0 (x,t) = /P(x,t) da (x,t) = 0 bla P *(x,t) dambl sebaga Pˆ (x,t). Utuk medefska suatu estmator kosste dar V, mugk lebh dahulu ddefska estmatorestmator dar P(x,t), P (t), (x,t) da g (t) oleh metode regres kerel da kemuda medefska suatu estmator kosste dar V dega suatu metode plug. Namu demka, metode mugk tdak megestmas V dega bak bla dmes x tgg. bsa dhdar karea bak P(x,t) da (x,t) haya masuk dalam pemblag da bsa dgat dega resdu-resdu kuadrat atau fugs dkator bla tepat. Suatu alteratf adalah estmator varas ackkfe. Adaka θˆ ( ) mead θˆ ddasarka pada {(Y,,X, )} utuk =,,...,. Adaka adalah la-la pseudo ackkfe.yak J = ( ) θˆ ( -), =,,,. Maka estmator varas ackkfe bsa ddefska sebaga : θˆ - dega J J. Vˆ (J - J ) da 406

5 SEMNAR NASONAL MAEMAKA DAN PENDDKAN MAEMAKA UNY 05 eorema 3. Berdasarka asums-asums dar eorema 3., dperoleh Vˆ p V. Berdasarka eorema 3. da 3., dapat dperoleh bahwa estmas terval kepercayaa berdasarka pedekata ormal dega level kepercayaa -α utuk adalah α α dega u- kuatl dstrbus ormal stadar. / C. Efses Pada baga aka dbadgka sfat efses atara estmator yag megguaka model regres semparametrk dega estmator yag tdak megguaka model regres semparametrk atau oparametrk. Secara spesfk dtetuka suatu kelas estmator oparametrk yatu: Y θ Mˆ (X, ) P *(X, ) P *(X, ) dega Mˆ (X, ) adalah estmator kerel regres oparametrk regres dar Y pada (X,). Kelas memasukka estmator mputas regres kerel ketka P *(X, ) =. Jka dberka suatu varas * asmtotk lazm yatu V adalah : V * U R U R (X,). P(X,) V * = U R E Var m(x,) merupaka batas efses semparametrk dar kelas estmator kerel regres oparametrk utuk kasus dega m(x,t) adalah tak terbatas (urestrcted). Oleh kareaya estmator mputas oparametrk merupaka estmator efse secara asmtotk dalam model oparametrk lebh umum d atas. eorema 3.3 Adaka bahwa homoscedastc secara kodsoal dega (x, t) dega adalah suatu kostata, maka V* V* UR. Kesamaa haya berlaku bla (/P(X,)-/P ()) = a(x-g ()) + b. meuukka bahwa estmator adalah lebh efse secara asmtotk darpada estmator oparametrk utuk kasus khusus homoscedastcty. Sela tu berlaku pula dalam kasus bahwa V* adalah V terkecl dalam kelas ˆ. eorema 3.4 Bla adalah Gaussa..d, V* adalah batas efse semparametrk maka V * * V UR. memperlhatka bahwa estmator adalah efse secara asmtotk utuk khusus adalah Gaussa..d da mempuya varas lebh redah darpada aggota laya dar kelas estmator θˆ ataupu kelas estmator θ. D. Stud Smulas D dalam baga, aka dbahas suatu smulas utuk megestmas mea Y yatu. Hasl estmas berupa suatu la da la batas terval kepercayaa dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal dar model regres semparametrk dega megguaka pemrograma S- Plus. Smulas megguaka suatu model regres semparametrk : dega,, da Berdasarka pada suatu smulas utuk megestmas la ttk da la batas terval kepercayaa dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal dega level kepercayaa -α = 0.95 utuk ukura sampel yag berbeda yatu = 50, = 00 da = 50, dperoleh hasl-hasl sepert dalam tabel. berkut : 407

6 SBN ABEL.. NLA ESMAS DAN NLA BAAS NERVAL KEPERCAYAAN DAR DENGAN BEBERAPA RESPON HLANG MENGGUNAKAN MEODE PENDEKAAN NORMAL DAN UKURAN SAMPEL N DENGAN LEVEL KEPERCAYAAN Ukura Sampel Nla ratarata Y Batas Bawah terval Kepercayaa Batas Atas terval Kepercayaa Cakupa terval Kepercayaa = = = Dar tabel. d atas dapat dperoleh bahwa utuk setap yag berbeda, model regres semparametrk dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal dapat megestmas la-la ttk da la-la terval yag sedkt berbeda tetap utuk estmas terval mempuya cakupa terval kepercayaa cederug semak kecl utuk yag semak besar. Adapu la hasl estmas ttk utuk setap yag berbeda = 50, = 00 da = 50 secara berturut-turut adalah = , = da = Nla hasl estmas terval kepercayaa model regres semparametrk dega respo hlag megguaka metode pedekata ormal dega level kepercayaa -α = 0.95 utuk da dega ukura sampel berbeda yatu = 50, = 00 da = 50 secara berturut-turut adalah, da V. SMPULAN DAN SARAN A. Kesmpula Kesmpula yag dperoleh berdasarka hasl pembahasa da hasl smulas adalah sebaga berkut :. Hasl estmas terval kepercayaa model regres semparametrk dega respo hlag megguaka metode pedekata ormal dega level kepercayaa -α utuk adalah α α dega u- kuatl dstrbus ormal stadar. /. Nla hasl estmas ttk model regres semparametrk dega beberapa respo hlag megguaka metode pedekata ormal dega level kepercayaa -α = 0.95 utuk mempuya la yag sedkt berbeda yatu = 50, = 00 da = 50 secara berturut-turut adalah = , = da = Nla hasl estmas terval kepercayaa model regres semparametrk dega respo hlag megguaka metode pedekata ormal dega level kepercayaa -α = 0.95 utuk yag sedkt berbeda tetap mempuya cakupa terval terval cederug semak kecl utuk yag semak besar. Adapu utuk ukura sampel berbeda yatu = 50, = 00 da = 50 la hasl estmas terval kepercayaa secara berturut-turut adalah, da B. Sara Peelta megguaka salah satu dar estmator dalam kelas estmator θˆ oleh karea tu dapat dlakuka peelta la atau lauta dega estmator la sepert estmator rata-rata margal ( ) da estmator bobot skor kecederuga ( ) ataupu tetag perbadga ketga estmator tersebut. DAFAR PUSAKA [] Ba, J.L., & Egelhardt, M. 99. troducto to probablty ad Mathematcal statstcs, Duxbury Press. [] Casella, G., & Berger,L.R. 00. Statstcal ferece, Duxbury, homso Learg. [3] Cheg, P.E Noparametrc estmato of mea fuctoals wth data mssg at radom, J. Amer. Statst. Assoc., 89, [4] Draper, R.N., & Smth, H, 998. Appled Regresso Aalyss, Joh Wley & Sos, NC. [5] Hardle, W., Lag, H. & Gao, J Partally Lear Models, Physca-Verlag, Hedelberg. [6] Hardle, W Smoothg echques wth mplemetato S, Sprger-Verlag, New York, Berl, Hedelberg, Lodo, Pars, okyo, Hog Kog, Barceloa. [7] Wag. Q., Lto,O, & Hardle,W Semparametrc Regresso Aalyss Uder mputato for Mssg Respose Data, Susory Cetre, Susory ad oyota terasoal Cetres for Ecoomcs ad related dscples Lodo School of Ecoomcs ad Poltcal Scece Houghto Street. 408