BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi
|
|
- Widya Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A yang berbeda dengan c. Catatan : Titik c merupakan anggota dari A atau bukan, tetapi meskipun demikian itu tidak menentukan apakah c suatu titik cluster dari A atau bukan, karena secara khusus yang diperlukan adalah bahwa adanya titiktitik dalam V δ (c) A yang berbeda dengan c agar c menjadi titik Cluster dari A, dengan demikian c akan menjadi titik cluster dari A jika dan hanya jika V δ (c) A\{c}.... Teorema. Suatu bilangan c R merupakan titik cluster dari A R jika dan hanya jika terdapat barisan bilangan real (a n ) dalam A dengan a n c untuk semua n N sedemikian sehingga (a n ) = c. Bukti. Jika c merupakan titik cluster dari A, maka untuk setiap n N, lingkungan-(/n) dari c, V /n (c), memuat paling sedikit satu titik yang berbeda dengan c. Jika titik yang dimaksud adalah a n, maka a n A, a n c, dan (a n ) = c. Sebaliknya, jika terdapat suatu barisan (a n ) dalam A\{c} dengan (a n ) = c, maka untuk sebarang δ>0 terdapat bilangan asli K(δ) sedemikian sehingga jika n K(δ), maka a n V δ (c). Oleh karena itu lingkungan-δ dari c, V δ (c), memuat titik-titik a n, n K(δ), yang mana termuat dalam A dan berbeda dengan c. Contoh-contoh berikut ini menekankan bahwa suatu titik cluster dari suatu himpunan dapat masuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Bahkan lebih dari itu, suatu himpunan bisa mungkin tidak mempunyai titik cluster...3. Contoh-contoh. (a) Jika A = (0,), maka setiap titik dalam interval tutup [0,] merupakan titik cluster dari A. Perhatikan bahwa 0 dan adalah titik cluster dari A, meskipun titiktitik itu tidak termuat dalam A. Semua titik dalam A adalah titik cluster dari A (mengapa?) (b) Suatu himpunan berhingga tidak mempunyai titik cluster (mengapa?) (c) Himpunan tak berhingga N tidak mempunyai titik cluster. (d) Himpunan A 4 = {/n : n N} hanya mempunyai 0 sebagai titik clusternya. Tidak satu pun titik dalam A 4 yang merupakan titik cluster dari A 4. (e) Himpunan A 5 = I Q yaitu himpunan semua bilangan rasional dalam interval tutup I=[0,]. Ini menunjukkan bahwa setiap titik dalam I merupakan titik cluster dari A 5. Definisi Limit Sekarang kita kembali kepada pengertian it dari suatu fungsi pada titik cluster domainnya...4 Definisi. Misalkan A R, f : A R, dan c suatu titik cluster dari A. Kita katakan bahwa suatu bilangan real L merupakan it dari f pada c jika diberikan sebarang lingkungan-ε dari L, V ε (L),
2 terdapat lingkungan-δ dari c, V δ (c) sedemikian sehingga jika c sebarang titik dari V δ (c) A, maka f() termasuk dalam V ε (L). (Lihat Gambar..) y f ( Diberikan V ε (L) Lo ( Gambar.. Limit dari f pada c adalah L Jika L merupakan suatu it dari f pada c, maka kita juga mengatakan bahwa f konvergen ke L pada c. Sering dituliskan L = f atau L = f ( ) Kita juga mengatakan bahwa f() menuju L sebagaimana mendekat ke c, atau f() menuju L sebagaimana menuju ke c. Simbol F() L sebagaimana c juga dipergunakan untuk menyatakan fakta bahwa f mempunyai it L pada c. Jika f tidak mempunyai suatu it pada c, kita akan sering mengatakan bahwa f divergen pada c...5. Teorema. Jika f : A R dan c suatu titik cluster dari A, maka f hanya dapat mempunyai satu it pada c. Bukti. Andaikan kontradiksi, yaitu terdapat bilangan real L L yang memenuhi definisi..4. Kita pilih ε>0 sedemikain sehingga lingkungan-ε dari L daan L, yaitu V ε (L ) dan V ε (L ) saling lepas. Sebagai contoh, kita dapat mengambil sebarang ε yang lebih kecil dari ½ L L. Maka menurut definisi..4, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika sebarang titik dalam A V δ (c) dan c, maka f() termuat dalam V ε (L ). Secara serupa, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika sebarang titik dalam A V δ (c) dan c, maka f() termuat dalam V ε (L ). Sekarang ambil δ = inf{δ,δ }, dan misalkan V δ (c) lingkungan-δ dari c. Karena c titik cluster dari A, maka terdapat paling sedikit satu titik 0 c sedemikian sehingga 0 A V δ (c). Akibatnya, f( 0 ) mesti termasuk dalam V ε (L ) dan V ε (L ), yang mana kontradiksi dengan fakta bahwa kedua himpunan ini saling lepas. Jadi asumsi bahwa L L merupakan it-it f pada c menimbulkan kontradiksi. Kriteria ε-δ untuk Limit..6 Teorema. Misalkan f : A R dan c suatu titik cluster dari A, maka (i) f = L jika dan hanya jika ( o c Ada V δ (c) (
3 (ii) untuk sebarang ε > 0 terdapat suatu δ(ε) > 0 sedemikian sehingga jika A dan 0 < - c < δ(ε), maka f() - L < ε. Bukti. (i) (ii) Anggaplah bahwa f mempunyai it L pada c. Maka diberikan ε > 0 sebarang, terdapat δ = δ(ε) > 0 sedemikian sehingga untuk setiap dalam A yang merupakan unsur dalam lingkungan-δ dari c, V δ c), c, nilai f() termasuk dalam lingkungan-ε dari L, V ε (L). Akan tetapi, V δ (c) dan c jika dan hanya jika 0 < - c < δ. (Perhatikan bahwa 0 < - c adalah cara lain untuk menyatakan bahwa c). Juga, f() termasuk dalam V ε (L) jika dan hanya jika f() L < ε. Jadi jika A memenuhi 0 < - c < δ, maka f() memenuhi f() - L <ε. (ii) (i) Jika syarat yang dinyatakan dalam (ii) berlaku, maka kita ambil lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c - δ,c + δ) dan lingkungan-ε dari L, V ε (L) = (L - ε,l + ε). Maka syarat (ii) berakibat jika masuk dalam V δ (c), dimana A dan c, maka f() termasuk dalam V ε (L). Oleh karena itu, menurut definisi..4, f mempunyai it L pada c. Sekarang akan memberikan beberapa contoh untuk menunjukkan bagaimana Teorema..6. sering dipergunakan...7. Contoh-contoh. (a) b = b. Untuk menjadi lebih eksplisit, misalkan f() = b untuk semua R; kita claim bahwa = b. Memang, jika diberikan ε > 0, misalkan δ = ε. Maka jika 0 < - c < ε, kita mempunyai f() - b = b - b = 0 < δ =ε. Karena ε > 0 sebarang, kita simpulkan dari..6(ii) bahwa f = b. f (b). = c. c Misalkan g() = untuk semua R. Jika ε > 0 misalkan δ(ε) = ε. Maka jika 0 < - c < δ(ε), maka secara trivial kita mempunyai g() - c = - c < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka kita berkesimpulan bahwa (c). g = c. = c. Misalkan h() = untuk semua R. Kita ingin membuat selisih h() c = c lebih kecil dari suatu ε > 0 yang diberikan dengan pengambilan yang cukup dekat dengan c. Untuk itu, kita perhatikan bahwa c = ( c)( + c). Selain itu, jka - c <, maka c + dengan demikian + c + c c +. Oleh karena itu, jika - c <, kita mempunyai (*) c = c + c ( c + ) - c 3
4 Selain itu suku terakhir ini akan lebih kecil dari ε asalkan kita mengambil - c < ε/( c + ). Akibatnya, jika kita memilih δ(ε) = inf ε,, maka jika 0 < - c < δ(ε), pertama akan berlaku c + bahwa - c < dengan demikian (*) valid. Selanjutnya, karena - c < ε/( c + ) maka c < ε/( c + ) - c < ε. Karena kita mempunyai pilihan δ(ε) > 0 untuk sebarang pilihan dari ε > 0, maka dengan demikian kita telah menunjukkan bahwa h( ) = = c. (d) =, jika c > 0. c Misalkan ϕ() = / untuk > 0 dan misalkan c > 0. Untuk menunjukkan bahwa ϕ c = /c kita ingin membuat selisih ( ) ϕ = c lebih kecil dari ε > 0 yang diberikan dengan c pengambilan cukup dekat dengan c > 0. Pertama kita perhatikan bahwa = ( c ) c c = c c untuk > 0. Itu berguna untuk mendapatkan batas atas dari /(c) yang berlaku dalam suatu lingkungan c. Khususnya, jika - c < c, maka c < < 3 c (mengapa?), dengan demikian 0 < < c c untuk - c < c. Oleh karena itu, untuk nilai-nilai ini kita mempunyai (#) ( ) ϕ < c c c. Agar suku terakhir lebih kecil dar ε, maka cukup mengambil c < c ε. Akibatnya, jika kita memilih δ(ε) = inf{ c, c ε}, maka apabila 0 < - c < δ(ε), pertama yang berlaku bahwa - c < c dengan demikian (#) valid, dan olehnya itu, karena c < c ε maka berlaku ( ) ϕ = c < ε. Karena kita mempunyai pilihan δ(ε) > 0 untuk sebarang pilihan dari ε > 0, maka dengan c demikian kita telah menunjukkan bahwa ϕ( ) = = c. c (e). memberikan 3 4 = Misalkan ψ() = ( 3 4)/( + ) untuk R. Maka sedikit manipulasi secara aljabar 4
5 4 ψ ( ) = ( + ) = - 5 ( + ) Untuk mendapatkan suatu batas dari koefisien -, kita membatasi dengan syarat < < 3. Untuk dalam interval ini, kita mempunyai (3 ) + 6(3) + =75 dan 5( + ) 5( + ) = 0, dengan demikian ( ) ψ - = Sekarang diberikan ε > 0, kita pilih δ(ε) = inf, ε. Maka jika 0 < - < δ(ε), kita mempunyai 5 ψ() (4/5) (5/) - < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka contoh (e) terbukti. Kriteria Barisan Untuk Limit maka :..8. Teorema. (Kriteria Barisan) Misalkan f : A R dan c suatu titik cluster dari A; (i) f = L jika dan hanya jika (ii) untuk sebarang barisan ( n ) dalam A yang konvergen ke c sedemikian sehingga c untuk semua n N, barisan (f( n )) konvergen ke L. Bukti. (i) (ii). Anggaplah f mempunyai it L pada c, dan asumsikan ( n ) barisan dalam A dengan ( ) = c dan n c untuk semua n N. Kita mesti membuktikan bahwa barisan (f( n )) n konvergen ke L. Misalkan ε > 0 sebarang, maka dengan Kriteria ε-δ..6, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika memenuhi 0 < - c < δ, dimana A maka f() memenuhi f() - L < ε. Sekarang kita akan menggunakan definisi kekonvergenan barisan untuk δ yang diberikan untuk memperoleh bilangan asli K(δ) sedemikian sehingga jika n > K(δ) maka n c < δ. Akan tetapi untuk setiap n yang demikian kita mempunyai f( n ) - L < ε. Jadi, jika n > K(δ), maka f( n ) - L < ε. Oleh karena itu, barisan (f( n )) konvergen ke L. (ii) (i). [Pembuktian ini merupakan argumen kontrapositif.] Jika (i) tidak benar, maka terdapat suatu lingkungan-ε 0 dari L, ( L) Vε 0, sedemikian sehingga lingkunga-δ dari c apapun yang kita pilih, akan selalu terdapat paling kurang satu δ dalam A V δ (c) dengan δ c sedemikian sehingga f( δ ) ( L) Vε 0. Dari sini untuk setiap n N, lingkungan-(/n) dari c memuat suatu bilangan n sedemikian sehingga 0 < n - c < /n dan n A, tetapi sedemikian sehingga f( n ) - L ε 0 untuk semua n N. Kita menyimpulkan bahwa barisan ( n ) dalam A\{c} konvergen ke c, tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke L. Oleh karena itu kita telah menunjukkan bahwa jika (i) tidak benar, maka (ii) juga tidak benar. Kita simpulkan bahwa (ii) menyebabkan (i). 5
6 Kriteria Kedivergenan..9. Kriteria Divergensi. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. (a). Jika L R, maka f tidak mempunyai it L pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A dengan n c untuk semua n N sedemikian sehingga barisan ( n ) konvergen ke c tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke L. (b). Fungsi f tidak mempunyai it pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A dengan n c untuk semua n N sedemikian sehingga barisan ( n ) konvergen ke c tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen dalam R...0. Contoh-contoh. (a). ( / ) tidak ada dalam R. 0 Seperti Contoh dalam..7(d), misalkan ϕ() = / untuk > 0. Akan tetapi, disini kita menyelidiki pada c = 0. Argumen yang diberikan pada contoh..7(d) gagal berlaku jika c = 0 karena kita tidak akan memperoleh suatu batas sebagaimana dalam (#) pada contoh tersebut. Jika kita mengambil barisan ( n ) dengan n = /n untuk n N, maka ( n ) = 0, tetapi ϕ( n ) = //n = n. Seperti kita ketahui bahwa barisan (ϕ( n )) = (n) tidak konvergen dalam R, karena barisan ini tidak terbatas. Dari sini, dengan Teorema..9(b), ( / ) (b) sgn( ) tidak ada. 0 Misalkan fungsi signum didefinisikan dengan +, sgn() = 0,, untuk > 0 untuk = 0 untuk < 0 tidak ada dalam R. [Akan tetapi, lihat contoh.3.9(a).].( 0 ) - Gambar 4.. Fungsi Signum Perhatikan bahwa sgn() = / untuk 0. (Lihat Gambar..) Kita akan menunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai it pada = 0. Kita akan mengerjakan ini dengan menunjukkan bahwa terdapat barisan ( n ) sedemikian sehingga ( n ) = 0, tetapi sedemikian sehingga (sgn( n )) tidak konvergen. Misalkan n = (-) n /n untuk n N dengan demikian ( n ) = 0. Akan tetapi, karena sgn( n ) = (-) n untuk n N, maka (sgn( n )) tidak konvergen. Oleh karena itu (sgn( n )) tidak ada. 6
7 (c) sin(/) tidak ada dalam R. Misalkan g() = sin(/) untuk 0. (Lihat Gambar..3.) Kita akan menunjukkan bahwa g tidak mempunyai it pada c = 0, dengan memperlihatkan dua barisan ( n ) dan (y n ) dengan n 0 dan y n 0 untuk semua n N dan sedemikian sehingga ( n ) = 0 = (y n ), tetapi sedemikian sehingga (g( n )) (g(y n )). Mengingat Teorema..9, ini mengakibatkan mengapa.) g tidak ada. (Jelaskan Gambar. 3. Grafik f() = sin(/), 0 Kita mengingat kembali dari kalkulus bahwa sin t = 0 jika t = nπ untuk n Z, dan sin t = + jika t = ½π + πn untuk n Z. Sekarang misalkan n = untuk n N; maka ( nπ n ) = 0 dan g( n ) = 0 untuk semua n N, dengan demikian (g( n )) = 0. Di pihak lain, misalkan y n = (½π + πn) - untuk n N; maka (y n ) = 0 dan g(y n ) = sin(½π + πn) = untuk semua n N, dengan demikian (g(y n )) =. Kita simpulkan bahwa sin(/) tidak ada. Soal-soal Latihan. Tentukan suatu syarat pada - yang akan menjamin bahhwa : (a) - < ½, (b) - < /0 3 (c) (d) - < /n untuk suatu n N yang diberikan, 3 - < /n untuk suatu n N yang diberikan.. Misalkan c suatu titik cluster dari A R dan f : A R. Buktikan bahwa ( ) f = L jika dan hanya jika f ( ) L = Misalkan f : R R, dan c R. Tunjukkan bahwa f ( ) = L jika dan hanya jika f ( + c) = L. 7
8 4. Misalkan f : R R, I R suatu interval buka, dan c I. Jika f merupakan pembatasan dari f pada I, tunjukkan bahwa f mempunyai suatu it pada c jika dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c dan tunjukkan pula bahwa f = f. 5. Misalkan f : R R, J R suatu interval tutup, dan c J. Jika f merupakan pembatasan dari f pada I, tunjukkan bahwa jika f mempunyai suatu it pada c dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c. Tunjukkan bahwa tidak berlaku bahwa jika f mempunyai suatu it pada c dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c. 6. Misalkan I = (0,a), a > 0, dan misalkan g() = untuk I. Untuk sebarang,c dalam I, tunjukkan bahwa g() c a - c. Gunakan ketaksamaan ini untuk membuktikan bahwa = c untuk sebarang c I. 7. Misalkan I R suatu interval, f : I R, dan c I. Misalkan pula terdapat K dan L sedemikian sehingga f() - L K - c untuk I. Tunjukkan bahwa f = L. 8. Tunjukkan bahwa 3 = c 3 untuk sebarang c R. 9. Tunjukkan bahwa = c untuk sebatang c Gunakan formulasi ε-δ dan formulasi formulasi barisan dari pengertian it untuk memperlihatkan berikut : (a) = - ( > ), (b) = + ( > 0), (c) = 0 ( 0), (d) + = + ( > 0).. Tunjukkan bahwa it-it berikut ini tidak ada dalam R: (a) ( > 0), (b) ( > 0), (c). ( + sgn( ) ), (d) sin ( 0).. Misalkan fungsi f : R R mempunyai it L pada 0, dan misalkan pula a > 0. Jika g : R R didefinisikan oleh g() = f(a) untuk R, tunjukkan bahwa 3. Misalkan c titik cluster dari A R dan f : A R sedemikian sehingga ( f ( ) ) bahwa jika L =,0, maka f ( ) tidak mempunyai suatu it pada c. g = L. = L. Tunjukkan = 0. Tnjukkan dengan contoh bahwa jika L 0, maka f bisa mungkin 4. Misalkna f : R R didefinisikan oleh f() = jika rasional, dan f() = 0 jika irasional. Tunjukkan bahwa f mempunyai suatu it pada = 0. Gunakan argumen barisan untuk menunjukkan bahwa jika c 0, maka f tidak mempunyai it pada c... Teorema-teorema Limit 8
9 .. Definisi. Misalkan A R, f : R R, dan c R suatu titik cluster dari A. Kita mengatakan bahwa f terbatas pada suatu lingkungan dari c jika terdapat lingkungan-δ dari c, V δ (c) dan suatu konstanta M > 0 sedemikian sehingga f() M untuk semua A V δ (c)... Teorema Jika A R dan f : A R mempunyai suatu it pada c R, maka f terbatas pada suatu lingkungan dari c. Bukti. Jika L = f ( ), maka oleh Teorema..6, dengan ε =, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < - c < δ, maka f() - L < ; dari sini f() - L f() - L <. Oleh karena itu, jika A V δ (c), c, maka f() L +. Jika c A, kita pilih M = L +, sedangkan jika c A kita pilih M = sup{ f(c), L +}. Ini berarti bahwa jika c A V δ (c), maka f() M. Ini menunjukkan bahwa f terbatas pada V δ (c) suatu lingkungan-δ dari c...3 Definisi Misalkan A R dan misalkan pula f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R. Kita mendefinisikan jumlah f + g, selisih f g, dan hasil kali fg pada A ke R sebagai fungsifungsi yang diberikan oleh (f + g)() = f() + g(), (f - g)() = f() - g(), dan (fg)() = f()g(), untuk semua A. Selanjutnya, jika b R, kita definisikan kelipatan bf sebagai fungsi yang diberikan oleh (bf)() = bf() untuk semua A. Akhirnya, jika h() 0 untuk A, kita definisikan hasil bagi f/h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f h ( ) f = h ( ) ( ) untuk semua A...4 Teorema. Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi pada A ke R, dan c R titik cluster dari A. Selanjutnya, misalkan b R. (a) Jika f = L dan g = M, maka ( f + g) = L + M, ( f g) = L - M, ( fg) = LM, ( bf ) f L =. h H = bl. (b) Jika h : A R, h() 0 untuk semua A, dan jika h = H 0, maka 9
10 Bukti. Salah satu cara pembuktian dari teorema-teorema ini sangat serupa dengan pembuktian Teorema Secara alternatif, teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema 3..3 dan Teorema..8. Sebagai contoh, misalkan ( n ) sebarang barisan dalam A sedemikain sehingga n c untuk semua n N,dan c = ( n ). Menurut Teorema..8, bahwa Lim (f( n )) = L, (g( n )) = M. Di pihak lain, Definisi..3 mengakibatkan (fg)( n ) = f( n )g( n ) untuk semua n N. Oleh karena itu suatu aplikasi dari Teorema 3..3 menghasilkan Lim ((fg)( n )) = (f( n )g( n )) = ( f( n )) ( (g( n ))) = LM. Bagian lain dari teorema ini dibuktikan dengan cara yang serupa. Kita tinggalkan untuk dilakukan oleh pembaca. Catatan () Kita perhatikan bahwa, dalam bagian (b), asumsi tambahan dibuat bahwa H = ( ) ( ) h 0. f Jika asumsi ini tidak dipenuhi, maka tidak ada. Akan tetapi jika it ini ada, kita tidak dapat c h menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitungnya. () Misalkan A R, dan f, f,, f n fungsi-fungsi pada A ke R, dan c suatu titk cluster dari A. Jika L k = f k untuk k =,,, n, maka,menurut Teorema..4 dengan argumen induksi kita peroleh bahwa L + L + + L n = ( f + f + L + f ) dan L L L n = ( f f L f ) (3) Khususnya, kita deduksi dari () bahwa jika L = f n dan n N, maka L n = ( f ( ) ) n..5 Contoh-contoh (a) Beberapa it yang diperlihatkan dalam Pasal. dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema..4. Sebagai contoh, mengikuti hasil ini bahwa karena n = c, c maka (b) 4)) = 5(4) = 0. = c, dan jika c > 0, maka ( + )( 3 4) = 0 =. c Berdasarkan Teorema..4, kita peroleh bahwa ( + )( 3 4) = ( ( + ))( ( (c) =. + 5 Jika kita menggunakan Teorema..4(b), maka kita mempunyai 3 4 = + 3 ( 4) ( + ) Perhatikan bahwa karena it pada penyebut [yaitu ( + ) Teorema..4(b) dapat dipergunakan. = 4. 5 = 5] tidak sama dengan 0, maka 0
11 4 4 (d) = Jika kita misalkan f() = 4 dan h() = 3 6 untuk R, maka kita tidak dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk meneghitung (f()/h()) sebab H = h( ) = ( 3 6) ( )( + ) 3( ) = 3-6 = 3() 6 = 0. Akan tetapi, jika, maka berarti bahwa = ( + ). Oleh karena itu kita mempunyai = 3 ( + ) = = + = 4 3 ( + ) = 3 3 Perhatikan bahwa fungsi g() = ( 4)/(3 6) mempunyai it pada = meskipun tidak terdefinisi pada titik tersebut. (e) tidak ada dalam R. 0 Tentu saja = dan H = 0 menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitung = 0. Akan tetapi, karena H = 0, kita tidak dapat. Kenyataannya, seperti kita telah lihat 0 pada Contoh..0(a), fungsi ϕ() = / tidak mempunyai it pada = 0. Kesimpulan ini mengikuti juga Teorema.. karena fungsi ϕ() = / tidak terbatas pada lingkungan dari = 0. (Mengapa?) (f) Jika p fungsi polinimial, maka p( ) = p(c). Misalkan p fungsi polinimial pada R dengan demikian p() = a n n + a n- n- + + a + a 0 untuk semua R. Menurut Teorema..4 dan fakta bahwa p( ) k n n = [ a + a + + a + a ] n + ( a ) n + a0 Dari sini p( ) = p(c) untuk ssebarang fungsi polinomial p. 0 = c k, maka L = ( a ) + ( a ) + n n = a n c n + a n- c n- + + a c + a 0 = p(c). (g) Jika p dan q fungsi-fungsi polinomial pada R dan jika q(c) 0, maka ( ) n n ( c) ( c) p( ) p =. q q Karena q() suatu fungsi polinomial, berarti menurut sutu teorema dalam aljabar bahwa terdapat paling banyak sejumlah hingga bilangan real α, α,,α m [pembuat nol dari q()] sedemikain sehingga q(α j ) = 0 dan sedemikian sehingga jika {α, α,, α m } maka q() 0. Dari sini, jika
12 {α, α,, α m } kita dapat mendefinisikan r() = p q ( ) ( ) q(c) 0, dari berdasarkan bagian (f) bahwa q( ) c. Jika c bukan pembuat nol dari q(), maka = q(c). 0. Oleh karena itu kita dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk menyimpulkan bahwa p( ) p( ) p = =. q q ( ) q( ) ( c) ( c)..6 Teorema Misalkan A R. f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Jika a f() b untuk semua A, c, dan jika f ada, maka a f b. c c Bukti. Jika L = c f, maka menurut Teorema..8 bahwa jika ( n ) sebarang barisan bilangan real sedemikain sehingga c n A untuk semua n N dan jika barisan ( n ) konvergen ke c, maka barisan (f( n )) konvergen ke L. Karena a f( n ) b untuk semua n N, berarti menurut Teorema 3..6 bahwa a L b...7 Teorema Apit. Misalkan A R, f,g,h : A R, dan c R suatu titik cluster dari A. Jika f() g() h() untuk semua A, c, dan jika f = L = h, maka g = L. c c c..8 Contoh-contoh (a) 3/ = 0 ( > 0). Misalkan f() = 3/ untuk > 0. Karena ketaksamaan < / berlaku untuk 0 <, maka berarti bahwa < f() = 3/ untuk 0 <. Karena = 0 dan = 0, maka dengan menggunakan Teorema Apit..7 diperoleh 3/ = 0. (b) sin = 0. 0 Dapat dibuktikan dengan menggunakan pendekatan deret Taylor (akan dibahas pada lanjutan dari tulisan ini) bahwa - sin untuk semua 0. Karena ( ± ) Teorema Apit bahwa sin = 0. 0 (c) cos =. 0 0 = 0, maka menurut Dapat dibuktikan dengan menggunakan pendekatan deret Taylor (akan dibahas pada lanjutan dari tulisan ini) bahwa (*) - ½ cos untuk semua R. Karena ( ) =, maka menurut Teorema Apit bahwa cos =. 0
13 (d) cos = 0. 0 Kita tidak dapat menggunakan Teorema..4 (b) secara langsung untuk menghitung it ini. (Mengapa?) Akan tetapi, dari ketaksamaan (*) dalam bagian (c) bahwa -½ (cos )/ 0 untuk > 0 dan juga bahwa 0 (cos )/ ½ untuk < 0. Sekarang misalkan f() = - / untuk 0 dan f() = 0 untuk < 0, dan misalkan pula h() = 0 untuk 0 dan h() = -/ untuk < 0. Maka kita mempunyai f() (cos )/ h() untuk 0. Karena, mudah dilihat (Bagaimana?) bahwa f = h, maka menurut Teorema Apit bahwa cos = (e) sin =. 0 Sekali lagi, kita tidak dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitung it ini. Akan te-tapi, dapat dibuktikan (pada lanjutan diktat ini) bahwa sin untuk 0 dan bahwa sin untuk 0. Oleh karena itu berarti (Mengapa?) bahwa - 6 (sin )/ untuk semua 0. Tetapi karena ( ) Apit bahwa sin =. 0 (f) ( sin( / ) ) = = - 6 =, kita simpulkan dari Teorema Misalkan f() = sin (/) untuk 0. Karena sin z untuk semua z R, kita mempunyai ketaksamaan - f() = sin(/) untuk semua R, 0. Karena = 0, 0 maka dari Teorema Apit diperoleh bahwa f = Teorema Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Jika f > 0 [ atau, f < 0], maka terdapat suatu lingkungan dari c V δ (c) sedemikian sehingga f() > 0 [atau f() < 0] untuk semua A V δ (c), c. Bukti. Misalkan L = f and anggaplah L > 0. Kita ambil ε = ½L > 0 dalam Teorema..6(b), dan diperoleh suatu bilangan δ > 0 sedemikain sehingga jika 0 < - c < δ dan A, maka f() - L < ½L. Oleh karena itu (Mengapa?) berarti bbahwa jika A V δ (c), c, maka f()>½l>0. Jika L < 0, dapat digunakan argumen yang serupa. Latihan.. Gunakan Teorema..4 untuk menentukan it-it berikut : 3
14 (a) + ( + )( + 3) ( R), (b) ( > 0), (c) + + ( > 0), (d) 0 ( R) +. Tentukan it-it berikut dan nyatakan teorema-teorema mana yang digunakan dalam setiap kasus. (Anda bisa menggunakan latihan 4 di bawah.) (a) (c) + ( > 0), (b) + 3 ( + ) ( > 0), (d) 4 ( > 0), ( > 0) 3. Carilah dimana > Buktikan bahwa cos( / ) tidak ada, akan tetapi cos( / ) = Misalkan f,g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada A R ke R, dan misalkan c suatu titik cluster dari A. Anggaplah bahwa f terbatas pada suatu lingkungan dari c dan = 0. Buktikan bahwa fg = Gunakanlah formuasi ε-δ dari it fungsi untuk membuktikan pernyataan pertama dalam Teorema..4(a). g 7. Gunakanlah formulasi sekuensial untuk it fungsi untuk membuktikan Teorema..4(b). 8. Misalkan n N sedemikian sehingga n 3. Buktikan ketaksamaan n untuk < <. Selanjutnya, gunakan fakta bahwa = 0 untuk menunjukkan bahwa 0 n = Misalkan f,g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada A R ke R, dan misalkan c suatu titik cluster dari A. (a) Tunjukkan bahwa jika f dan ( f + g) ada, tunjukkanlah bahwa f ada. (b) Jika f dan fg ada, apakah juga g ada? 0. Berikan contoh fungsi-fungsi f dan g sedemikian sehingga f dan g tidak mempunyai it pada suatu titik c, tetapi sedemikian sehingga fungsi-fungsi f + g dan fg mempunyai it pada c.. Tentukan apakah it-it berikut ada dalam R. (a) sin( / ) ( 0), (b) sin( / ) (c) sgn sin( / ) ( 0), (d) sin( / ) ( 0), ( > 0). Misalkan f : R R sedemikian sehingga f( + y) = f() + f(y) untuk semua,y dalam R. Anggaplah f = L ada. Buktikan bahwa L = 0, dan selanjutnya buktikan bahwa f mempunyai suatu it pada setiap titik c R. [Petunjuk : Pertama-tama catat bahwa f() = f() + f() = f() untuk semua R. Juga perhatikan bahwa f() = f( c) + f(c) untuk semua,c dalam R.] 3. Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A. Jika f yang terdefinisi untuk A dengan f () = f(), buktikan bahwa ada, dan jika f menyatakan fungsi f = f. 4
15 4. Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A. Tambahan, anggaplah bahwa f() 0 untuk semua A, dan misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada A dengan f () = f ( ) untuk semua A. Jika f ada, buktikan bahwa f = f..3 Beberapa Perluasan dari Konsep Limit Limit-it Sepihak.3. Definisi. Misalkan A R dan f : A R (i) Jika c R suatu titik cluster dari A (c, ) = { A: > c}, maka kita mengatakan bahwa L R adalah suatu it-kanan dari f pada c dan dituliskan f = L jika diberikan sebarang ε > 0 + terdapat suatu δ = δ(ε)> 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() L < ε. (ii) Jika c R suatu titik cluster dari A (-,c) = { A : < c}, maka kita mengatakan bahwa L R adalah suatu it-kiri dari f pada c dan dituliskan f = L jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat suatu δ = δ(ε)> 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() - L < ε. Catatan: () Jika L suatu it kanan dari f pada c, kita kadang-kadang mengatakan bahwa L adalah f = L. Terminologi dan notasi yang serupa it dari kanan pada c. Kita menggunakan notasi ( ) digunakan juga untuk it-kiri. () Limit-it f dan f disebut it-it sepihak dari f pada c. Ini dimungkinkan kedua it sepihak dimaksud ada. Juga bisa mungkin salah satu saja yang ada. Serupa, seperti kasus pada fungsi f() = sgn () pada c = 0, it-it ini ada, meskipun berbeda. (3) Jika A suatu interval dengan titik ujung kiri c, maka jelas nampak bahwa f : A R mempunyai suatu it pada c jika dan hanya jika f mempunyai suatu it kanan pada c. Selain itu, dalam kasus ini it f dan it pihak kanan f sama. (Situasi serupa juga akan berlaku untuk it-kiri suatu interval dengan titik ujung kanan adalah c Teorema Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A (c, ). Maka pernyataan-pernyataan berikut ini eqivalen. (i) f = L R; + (ii) Untuk sebarang barisan ( n ) yang konvergen ke c sedemikian sehingga n A dan n > c untuk semua n N, barisan (f( n )) konvergen ke L R. Kita tinggalkan pembuktian Teorema ini (dan formulasi dan pembuktian dari teorema yang analog dengannya untuk it-kiri) untuk dilakukan oleh pembaca. A (-,c). Maka.3.3 Teorema. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik Cluster dari A (c, ) dan f = L R jika dan hanya jika f = L = f. + 5
16 .3.4 Contoh-contoh (a) Misalkan f() = sgn(). Kita telah lihat dari contoh..0(b) bahwa sgn tidak mempunyai it pada c = 0. Ini jelas bahwa sgn( ) = + dan bahwa sgn( ) + = -. Karena it-it satu pihak ini berbeda, maka mengikuti Teorema.3.3 bahwa sgn tidak mempunyai it pada 0. (b) Misalkan g() = e / untuk 0. (Lihat gambar.3.) Pertama kita tunjukkan bahwa g tidak mempunyai it kanan hingga pada c = 0 karena g tidak terbatas pada sebarang lingkungan kanan (0, ) dari 0. Kita akan menggunakan ketaksamaan (*) 0 < t < e t untuk t > 0 yang pada bagian ini tidak akan diberikan pembuktiannya. Berdasarkan (*), jika > 0 maka 0 < / < e /. GAMBAR.3. Grafik dari g() = e / ( 0) Dari sini, jika kita mengambil n = /n, maka g( n ) > n untuk semua n N. Oleh karena itu tidak ada dalam R. + e / Akan tetapi, e / = 0. Kita perhatikan bahwa, jika < 0 dan kita mengambil t = / dalam (*) kita peroleh 0 < -/ < e -/. Karena < 0, ini mengakibatkan 0 < e / < - untuk semua < 0. Mengikuti ketaksamaan ini diperoleh < e / bahwa e / = 0. (c) Misalkan h() = /(e / + ) untuk 0. (lihat gambar.3.). Kita telah melihat bagian (b) bahwa 0 < / < e / untuk > 0, dengan demikian 0 < < yang mengakibatkan bahwa e / + + e / + h = 0. Karena kita telah melihat dalam bagian (b) = 0, maka dari analog Teorema..4(b) untuk untuk it-kiri, kita peroleh 6
17 + = 0 / e / ( e + ) = Perhatikan bahwa untuk fungsi ini, it sepihak keduaduanya ada, akan tetapi tidak sama. = 0 + GAMBAR.3.. Grafik dari h() = /(e / +) ( 0) Limit-it Tak Hingga.3.5 Definisi. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. (i) Kita katakan bahwa f menuju ke apabila, dan ditulis f = jika untuk setiap α R terdapat δ = δ(α) > 0 sedemikain sehinggauntuk semua A dengan 0 < -c < δ, maka f()>α. (ii) Kita katakan bahwa f menuju ke apabila, dan ditulis f = jika untuk setiap β R terdapat δ = δ(β) > 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < - c < δ, maka f() < β..3.6 Contoh-contoh (a) ( / ) = Karena, jika α > 0 diberikan, misalkan δ = / α. Ini erarti bahwa jika 0 < <δ, maka < /α dengan demikian / > α. (b) Misalkan g() = / untuk 0. (Lihat Gambar.3.4) Fungsi g tidak menuju ke atau ke - sebagaimana. Karena, jika α > 0 maka g() < α untuk semua < 0, dengan demikian g tidak menuju ke apabila. Serupa juga, jika β < 0 maka g() > β untuk semua > 0, dengan demikian g tidak menuju ke - apabila. Hasil berikut analog dengan Teorema Apit..7. (Lihat juga Teorema 3.6.4)..3.7 Teorema Misalkan A R, f,g : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Anggaplah bahwa f() g() untuk semua A, c.. 7
18 (a) Jika f =, maka g =. (b) Jika =, maka f =. g Bukti. (a) Jika f = dan α R diberikan, maka terdapat δ(α) > 0 sedemikian sehingga jika 0 < - c < δ(α) dan A, maka f() > α. Akan tetapi, jika f() g() untuk semua A c, maka berarti jika 0 < - c < δ(α) dan A, maka g() > 0. Oleh karena itu g =. Pembuktian bagian (b) dilakukan dengan cara serupa. Fungsi g() = / dalam Contoh.3.6(b) menyarankan bahwa itu dapat berguna untuk memandang it-it sepihaknya. GAMBAR.3.3 Grafik dari f() = / ( 0).3.8 Definisi Misalkan A R dan f : A R. GAMBAR.3.4 Grafik dari g() = / ( 0) 8
19 (i) Jika c R suatu titik cluster dari A (c, ) ={ A: > 0}, maka kita mengatakan bahwa f menuju [atau - ] apabila +, dan ditulis + f = atau, + f =, jika untuk setiap α R terdapat δ=δ(α) sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() > α [atau, f() < α]. (ii) Jika c R suatu titik cluster dari A (-,c) ={ A: < 0}, maka kita mengatakan bahwa f menuju [atau - ] apabila -, dan ditulis f = atau, f =, jika untuk setiap α R terdapat δ=δ(α) sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() > α [atau, f() < α]..3.9 Contoh-contoh (a) Misalkan g() = / untuk 0. Kita telah mencatat dalam Contoh.3.6(b) bahwa g tidak ada. Akan tetapi suatu latihan yang mudah untuk menunjukkan bahwa 0 + ( / ) = / dan ( ) = (b) Telah diperoleh pada Contoh.3.4(b) bahwa fungsi g() = e / untuk 0 tidak terbatas pada sebarang interval (0,δ), δ > 0. Dari sini it-kanan dari e / apabila + tidak ada dalam pengertian Definisi.3.(I). Akan tetapi, karena / < e / melihat bahwa ( ) = + e / dalam pengertian dari Definisi.3.8. Limit-it pada Ketakhinggaan.3.0 Definisi Misalkan A R dan f : A R. untuk > 0, maka secara mudah kita (i) Anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Kita mengatakan bahwa L R merupakan it dari f apabila, dan ditulis f = L, jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat K=K(ε) > a sedemikian sehingga untuk sebarang > K, maka f() - L < ε. (ii) Anggaplah bahwa (-,b) A untuk suatu b R. Kita mengatakan bahwa L R merupakan it dari f apabila -, dan ditulis f = L, jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat K=K(ε) < b sedemikian sehingga untuk sebarang < K, maka f() - L < ε..3. Teorema Misalkan A R, f : A R, dan anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini eqivalen : (i) L = f ; (ii) Untuk sebarang barisan ( n ) dalam A (a, ) sedemikian sehingga ( n ) =, barisan (f( n )) konvergen ke L. 9
20 Kita tinggalkan bagi pembaca untuk membuktikan teorema ini dan untuk merumuskan serta membuktikan teorema serupa dengannya untuk it dimana Contoh-contoh (a) Misalkan g() = / untuk 0. Ini merupakan suatu latihan dasar untuk membuktikan bahwa ( / ) = 0 = ( / ) (Lihat Gambar.3.4) (b) Misalkan f() = / untuk 0. Pembaca dapat menunjukkan bahwa bahwa ( / ) = 0 = ( / ). (Lihat Gambar.3.3). Cara lain untuk menunjukkan ini adalah dengan menunjukkan bahwa jika maka 0 / /. Mengingat bagian (a), ini mengakibatkan ( / ).3.3 Definisi Misalkan A R dan f : A R. (i) Anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a A. Kita mengatakan bahwa f menuju ke [atau, - ] apabila, dan ditulis f = [ atau f = ], jika diberikan sebarang α R terdapat K = K(α) > a sedemikian sehingga untuk sebarang > K, maka f() > α [atau, f() < α]. (Lihat Gambar.3.5) (ii) Anggaplah bahwa (-,b) A untuk suatu b A. Kita mengatakan bahwa f menuju ke [atau, - ] apabila -, dan ditulis f = [ atau f = ], jika diberikan sebarang α R = 0. terdapat K = K(α) < b sedemikian sehingga untuk sebarang < K, maka f() > α [atau, f() < α].. y Κ(α) α GAMBAR.3.5 f = Teorema Misalkan A R, f : A R, dan anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen : (i) (ii) f = [atau, f = - ] Untuk sebarang barisan ( n ) dalam (a, ) sedemikian sehingga ( n ) =, maka (f( n )) = [atau (f( n )) = - ]. 0
21 .3.5 Teorema Misalkan A R, f,g : A R, dan anggaplah ahwa (a, ) A untuk suatu a R. Misalkan pula bahwa g()>0 untuk semua >a dan bahwa L 0. (i) Jika L > 0, maka f = jika dan hanya jika g =. ( ) ( ) f = L untuk suatu L R, g (ii) Jika L < 0, maka f = - jika dan hanya jika g = -. 0 < ½L < Bukti. (i) Karena L > 0, hipotesis mengakibatkan bahwa terdapat a > a sedemikian sehingga f g ( ) ( ) < 3 L untuk > a. Oleh karena itu kita mempunyai (½L)g() < f() < ( 3 L)g() untuk semua > a, dari sini dengan mudah kita peroleh kesimpulannya. Pembuktian bagian (ii) dikerjakan dengan cara serupa. Kita tinggalkan bagi pembaca untuk memformulasi hasil-hasil yang analogi dengan Teorema di atas, apabila Contoh-contoh (a) n = untuk n N. Misalkan g() = n untuk (0, ). Diberikan α R, misalkan K = sup{,α}. Maka untuk semua > K, kita mempunyai g() = n α. Karena α R sebarang, maka ini berarti g =. (b) n = untuk n N, n genap, dan n = - untuk n N, n ganjil. Kita akan mencoba kasus n ganjil, katakanlah n = k+ dengan k = 0,,. Diberikan α R, misalkan K = inf{α,-}. Untuk sebarang < K, maka karena ( ) k, kita mempunyai n = ( ) k < α. Karena α R sebarang, maka berarti n = -. (c) Misalkan p : R R fungsi polinomial p() = a n n + a n- n- + + a + a 0. Maka p =, jika a n > 0, dan p = - jika a n < 0. a n Misalkan g() = n dan gunakan Teorema.3.5. Karena + a 0, maka diperoleh n.3.5, p =. ( ) ( ) p g ( ) ( ) = a n + a n- + + p = a n. Karena g =, maka menurut Teorema g (d) Misalkan p fungsi polinomial dalam bagian (c). Maka p = [atau, - ] jika n genap [atau, ganjil] dan a n > 0. Kita tinggalkan detailnya untuk pemaca kerjakan. Latihan-latihan. Buktikan Teorema.3..
22 . Berikan contoh suatu fungsi yang mempunyai it-kanan, tetapi tidak mempunyai it-kiri pada suatu titik. 3. Misalkan f() = ½ untuk 0.. Tunjukkan bahwa f ( ) = f ( ) + = Misalkan c R dan f didefinisikan untuk (c, ) dan f() > 0 untuk semua (c, ). Tunjukkan bahwa f = jika dan hanya jika ( f ) = Hitunglah it-it berikut, atau tunjukkan bahwa it-it ini tidak ada. (a) + ( ), (b) ( ), (c) + + ( > 0), (d) + ( > 0), (e) + 0 ( > -), (f) + ( > 0), (g) 5 ( > 0), (h) ( > 0) Buktikan Teorema Misalkan f dan g masing-masing mempunyai it dalam R apabila dan f() g() untuk semua (α, ). Buktikan bahwa f g. 8. Misalkan f terdefinisi pada (0, ) ke R. Buktikan bahwa f ( ) = L jika dan hanya jika f ( ) 9. Tunjukkan bahwa jika f : (a, ) R sedemikian sehingga f ( ) = L dimana L R, maka f ( ) 0. Buktikan Teorema Lengkapkan bukti dari Teorema Misalkan f ( ) = L dimana L > 0, dan g( ) =. Tunjukkan bahwa f ( ) g( ) tunjukkan dengan contoh bahwa konklusi ini gagal. + = L. = 0. =. Jika L = 0, 3. Carilah fungsi-fungsi f dan g yang didefinisikan pada (0, ) sedemikain sehingga f = dan g =, akan tetapi ( f g) = 0. Dapatkan anda menemukan fungsi-fungsi demikian, dengan g() > 0 untuk semua (0, ), sedemikain sehingga f g = 0? 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada (a, ) dan juga f = L dan g =. Buktikan bahwa f o g = L.
23 . Fungsi-fungsi Kontinu BAB II FUNGSI KONTINU.. Definisi Misalkan A R, f : A R dan c A. Kita katakan bahwa f kontinu pada c jika, diberikan sebarang lingkungan V ε (f(c)) dari f(c) terdapat suatu lingkungan V δ (c) dari c sedemikain sehingga jika sebarang titik pada A V δ (c), maka f() termuat dalam V ε (f(c)). (Lihat Gambar..). GAMBAR.. Diberikan V ε(f(c)), lingkungan V δ(c) ditentukan Peringatan () Jika c A merupakan titik cluster dari A, maka pembandingan dari Definisi..4 dan.. menunjukkan bahwa f kontinu pada c jika dan hanya jika () f(c) = f. Jadi, jika c titik cluster dari A, maka agar () berlaku, tiga syarat harus dipenuhi: (i) f harus terdefinisi pada c (dengan demikian f(c) dapat dimengerti), (ii) it dari f harus ada dalam R (dengan demikian f dapat dimengerti), dan (iii) nilai-nilai dari f(c) dan f harus sama. () Jika c bukan titik cluster dari A, maka terdapat lingkungan V δ (c) dari c sedemikian sehingga A V δ (c) = {c}. Jadi kita menyimpulkan bahwa suatu fungsi f kontinu secara otomatis pada c A yang bukan titik cluster dari A. Titik-titik demikian ini sering disebut titik-titik terisolasi dari A; titik-titik ini kurang menarik untuk kita bahas, karena far from the action. Karena kekontinuan berlaku secara otomatis untuk titik-titik terisolasi ini, kita akan secara umum menguji kekontinuan hanya pada titik-titik cluster. Jadi kita akan memandang kondisi () sebagai karakteristik untuk kekontinuan pada c... Definisi Misalkan A R, f : A R. Jika B A, kita katakan bahwa f kontinu pada B jika f kontinu pada setiap titik dalam B. ekivalen...3 Teorema Misalkan A R, f : A R, dan c A. Maka kondisi-kondisi berikut (i) f kontinu pada c; yaitu, diberikan sebarang lingkungan V ε (f(c)) dari f(c) terdapat suatu lingkungan V δ (c) dari c sedemikain sehingga jika sebarang titik pada A V δ (c), maka f() termuat dalam V ε (f(c)) (ii) Diberikan sebarang ε > 0 terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan - c < δ, maka f() f(c) < ε. 3
24 (iii) Jika ( n ) sebarang barisan bilangan real sedemikian sehingga n A untuk semua n N dan ( n ) konvergen ke c, maka barisan (f( n )) konvergen ke f(c). Pembuktian teorema ini hanya memerlukan sedikit modifikasi pembuktian dari Teorema..6 dan..8. Kita tinggalkan detailnya sebagai suatu latihan penting bagi pembaca...4. Kriteria Diskontinu Misalkan A R, f : A R, dan c A. Maka f diskontinu pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A sedemikian sehingga ( n ) konvergen ke c, tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke f(c)...5 Contoh-contoh (a) f() = b kontinu pada R Telah diperlihatkan pada Contoh..7(a) bahwa jika c R, maka kita mempunyai Karena f(c) = b, maka f kontinu pada setiap titik c R. Jadi f kontinu pada R. (b) g() = kontinu pada R. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(b) bahwa jika c R, maka kita mempunyai f = b. g = c. Karena g(c) = c, maka g kontinu pada setiap titik c R. Jadi g kontinu pada R. (c) h() = kontinu pada R. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(c) bahwa jika c R, maka kita mempunyai h(c) = c, maka h kontinu pada setiap titik c R. Jadi h kontinu pada R. (d) ϕ() = / kontinu pada A = { R : > 0}. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(d) bahwa jika c A, maka kita mempunyai ϕ(c) = /c, maka ϕ kontinu pada setiap titik c A. Jadi ϕ kontinu pada A. (e) ϕ() = / tidak kontinu pada = 0 h = c. Karena ϕ = /c. Karena Memang, jika ϕ() = / untuk > 0, maka tidak terdefinisi pada = 0, dengan demikian tidak kontinu pada titik ini. Secara alternatif, telah diperlihatkan pada Contoh..0(a) bahwa ϕ tidak ada dalam R, dengan demikian ϕ tidak kontinu pada = 0. sgn (f) Fungsi sgn tidak kontinu pada = 0. Fungsi sgn telah didefinisikan pada contoh..0(b), dimana juga telah ditunjukkan bahwa ( ) terdefinisi. tidak ada dalam R. Oleh karena itu sgn tidak kontinu pada = 0 meskipun sgn 0 (g) Misalkan A = R dan f fungsi diskontinu Dirichlet yang didefinisikan oleh, f() = 0, jika rasional jika irrasional Kita claim bahwa f tidak kontinu pada sebarang titik pada R. (Fungsi ini diperkenalkan pada tahun 89 oleh Dirichlet) 4
25 Memang, jika c bilangan rasional, misalkan ( n ) suatu barisan bilangan irasional yang konvergen ke c. Karena f( n ) = 0 untuk semua n N, maka kita mempunyai (f( n )) = 0 sementara f(c) =. Oleh karena itu f tidak kontinu pada bilangan rasional c. Sebaliknya, jika b bilangan rasional, misalkan (y n ) suatu barisan bilangan irasional yang konvergen ke b. Karena f(y n ) = untuk semua n N, maka kita mempunyai (f(y n )) = sementara f(b) = 0. Oleh karena itu f tidak kontinu pada bilangan irasional b. Karena setiap bilangan real adalah bilangan rasional atau irasional, kita simpulkan bahwa f tidak kontinu pada setiap titik dalam R. (h) Misalkan A = { R : > 0}. Untuk sebarang bilangan irasional > 0 kita definisikan h() = 0. Untuk suatu bilangan rasional dalam A yang berbentuk m/n, dengan bilangan asli m,n tidak mempunyai faktor persektuan kecuali, kita definisikan h(m/n) = /n. (Lihat Gambar...) Kita claim bahwa h kontinu pada setiap bilangan irasional pada A, dan diskontinu pada setiap bilangan rasional dalam A. (Fungsi ini diperkenalkan pada tahun 875 oleh K.J. Thomae) Memang, jika a > 0 bilangan rasional, misalkan ( n ) suatu barisan bilangan irasional dalam A yang konvergen ke a. maka h( n ) = 0 sementara h(a) > 0. Dari sini h diskontinu pada a. Di pihak lain, jika b suatu bilangan irasional dan ε > 0, maka (dengan Sifat Arcimedean) terdapat bilangan asli n 0 sedemikian sehingga /n 0 < ε. Terdapat hanya sejumlah hingga bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari n 0 dalam interval (b, b + ). (Mengapa?) Dari sini δ > 0 dapat dipilih sekecil mungkin yang mana lingkungan (b - δ,b + δ) tidak memuat tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari n 0. Selanjutnya, bahwa untuk - b < δ, A, kita mempunyai h() h(b) = h() /n 0 < ε. Jadi h kontinu pada bilangan irasional b. Akibatnya, kita berkesimpulan bahwa fungsi Thomae h kontinu hanya pada titik-titik irasional dalam A. * * / * * /7 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * / 3/ GAMBAR.. Grafik Fungsi Thomae..6 Peringatan (a) Kadang-kadang suatu fungsi f : A R tidak kontinu pada suatu titik c, sebab tidak terdefinisi pada titik tersebut. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai suatu it L pada tiitik c dan jika kita definisikan F pada A {c} R dengan 5
26 L F( ) = f ( ) untuk untuk = c A maka F kontinu pada c. Untuk melihatnya, perlu mengecek bahwa (mengapa?), karena f = L F = L, tetapi ini berlaku (b) Jika fungsi g : A R tidak mempunyai suatu it pada c, maka tidak ada cara untuk memperoleh suatu fungsi G : A {c} R yang kontinu pada c dengan pendefinisian C G( ) = g( ) untuk untuk = c A Untuk melihatnya, amati bahwa jika sama dengan C. ada dan sama dengan C, maka g mesti ada juga dan G..7 Contoh-contoh (a) Fungsi g() = sin (/) untuk 0 (lihat Gambar..3) tidak mempunyai it pada = 0 (lihat contoh..0(c)). Jadi tidak terdapat nilai yang dapat kita berikan pada = 0. Untuk memperoleh suatu perluasan kontinu dari g pada = 0. (b) Misalkan f() = sin(/) untuk 0. (Lihat Gambar..3) Karena f tidak terdefinisi pada = 0, fungsi f tidak bisa kontinu pada titik ini. Akan tetapi, telah diperlihatkan pada Contoh..8(f) bahwa ( sin( ) ) definisikan F : R R dengan = 0. Oleh karena itu mengikuti Peringatan..6(a) bahwa jika kita 0 F ( ) = sin ( ) maka F kontinu pada = 0. untuk untuk = 0 0 Gambar..3 Grafik dari f() = sin(/) 0 6
27 Latihan-latihan. Buktikan Teorema..4.. Perlihatkan Kriteria Diskontinu Misalkan a < b < c. Misalkan pula bahwa f kontinu pada [a,b], g kontinu pada [b,c], dan f(b) = g(b). Definisikan h pada [a,c] dengan h() = f() untuk [a,b] dan h() = g() untuk (b,c]. Buktikan bahwa h kontinu pada [a,c]. 4. Jika R, kita definisikan adalah bilangan bulat terbesar n Z sedemikian sehingga n. (Jadi, sebagai contoh, 8,3 = 8, π = 3, -π = -4.) Fungsi a disebut fungsi bilangan bulat terbesar. Tentukan titik-titik dimana fungsi-fungsi berikut kontinu : (a). f() =, (b) g() =, (c). h() = sin, (d) k() = / ( 0). 5. Misalkan f terdefinisi untuk semua R,, dengan f() = ( + 6)/( ). Dapatkah f terdefinisi pada = dimana dengan ini menjadikan f kontinu pada titik ini? 6. Misalkan A R dan f : A R kontinu pada titik c A. Tunjukkan bahwa untuk sebarang ε > 0, terdapat lingkungan V δ (c) dari c sedemikian sehingga jika,y A V δ (c), maka f() f(y) < ε. 7. Misalkan f : R R kontinu pada c dan misalkan f(c) > 0. Tunjukkan bahwa terdapat V δ (c) suatu lingkungan dari c sedemikian sehingga untuk sebarang V δ (c) maka f() > Misalkan f : R R kontinu pada R dan misalkan S = { R : f() = 0} adalah himpunan nol dari f. Jika ( n ) S dan = ( n ), tunjukkan bahwa S. 9. Misalkan A B R, f : B R dan g pembatasan dari f pada A (yaitu, g() = f() untuk A). (a). Jika f kontinu pada c A, tunjukkan bahwa g kontinu pada c. (b). Tunjukkan dengan contoh bahwa jika g kontinu pada c, tidak perlu berlaku bahwa f kontinu pada c. 0. Tunjukkan bahwa fungsi nilai mutlak f() = kontinu pada setiap titik c R.. Misalkan K > 0 dan f : R memenuhi syarat f() f(y) K - y untuk semua,y R. Tunjukkan bahwa f kontinu pada setiap titik c R.. Misalkan bahwa f : R R kontinu pada R dan f(r) = 0 untuk setiap bilangan rasional r. Buktikan bahwa f() = 0 untuk semua R. 3. Definisikan g : R R dengan g() = untuk rasional, dan g() = + 3 untuk irasional. Tentukan semua titik dimana g kontinu. 4. Misalkan A = (0, ) dan k : A R didefinisikan sebagai berikut. Untuk A, rasional, kita definisikan k() = 0; untuk A rasional dan berbentuk = m/n dengan bilangan asli m, n tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali, kita definisikan k() = n. Buktikan bahwa k tidak terbatas pada setiap interval terbuka dalam A. Simpulkan bahwa k tidak kontinu pada sebarang titik dari A.. Kombinasi dari Fungsi-fungsi Kontinu.. Teorema Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R dan b R. Andaikan bahwa c A dan f dan g kontinu pada c. (a) Maka f + g, f g, fg, dan bf kontinu pada c. 7
28 (b) Jika h : A R kontinu pada c A dan jika h() 0 untuk semua A, maka fungsi f/h kontinu pada c. Bukti. (a). Jika c bukan suatu titik cluster dari A, maka konklusi berlaku secara otomatis. Dari sini, kita asumsikan bahwa c titik cluster dari A. Karena f dan g kontinu pada c, maka f(c) = f dan g(c) = g Oleh karena itu mengikuti Teorema..4(a) diperoleh (f + g)(c) = f(c) + g(c) = ( f + g) Dengan demikian f + g kontinu pada c. Pernyataan-pernyataan lain pada bagian (a) dibuktikan dengan cara serupa. f h bahwa ( c) b R. A. (b) Karena c A, maka h(c) 0. Tetapi karena h(c) = = f h ( c) ( c) = f h h f =. Oleh karena itu f/h kontinu pada c. h, berikut dari Teorema..4(b).. Teorema Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R dan (a) Maka f + g, f g, fg, dan bf kontinu pada A. (b) Jika h : A R kontinu pada A dan h() 0 untuk A, maka fungsi f/h kontinu pada..3 Komentar Untuk mendefinisikan fungsi hasil bagi, kadang-kadang lebih cocok memulainya sebagai berikut : Jika ϕ : R, misalkan A = { A : ϕ() 0}. Kita akan mendefinisikan fungsi hasil bagi f/ϕ pada himpunan A dengan f f ( ) (*) ( ) = ϕ untuk A. ϕ( ) Jika ϕ kontinu pada titik c A, maka jelas bahwa pembatasan ϕ dari ϕ pada A juga kontinu pada c. Oleh karena itu mengikuti Teorema..(b) dipergunkan untuk ϕ bahwa f/ϕ kontinu pada c A. Serupa juga jika f dan ϕ kontinu pada A, maka fungsi f/ϕ, didefinisikan pada A oleh (*), kontinu pada A...4 Contoh-contoh (a) Fungsi-fungsi polinomial. Jika p suatu fungsi polinimial, dengan demikian p() = a n n + a n- n- + + a + a 0 untuk semua R, maka mengikuti Contoh..5(f) bahwa p(c) = polinomial kontinu pada R. (b) Fungsi-fungsi rasional p untuk sebarang c R. Jadi fungsi Jika p dan q fungsi-fungsi polinomial pada R, maka terdapat paling banyak sejumlah hingga α,α,, α n akar-akar real dari q. Jika {α,α,, α n } maka q() 0 dengan demikian kita dapat p( ) mendefinisikan fungsi rasional r dengan r() = untuk {α,α,, α n }. q( ) Telah diperlihatkan dalam Contoh..5(g) bahwa jika q(c) 0, maka r(c) = p( c) q( c) = p( ) q( ) = r( ). Dengan kata lain, r kontinu pada c. Karena c sebarang bilangan real yang bukan 8
29 akar dari q, kita katakan bahwa suatu fungsi rasional yang kontinu pada setiap bilangan real dimana fungsi tersebut terdefinisi. (c) Kita akan menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R. Untuk mengerjakan ini kita akan menggunakan sifat-sifat dari fungsi sinus dan cosinus yang pada bagian ini tidak akan dibuktikan. Untuk semua,y,z R kita mempunyai sin z z, cos z, sin sin y = sin[½( y)]cos[½( + y)]. Dari sini, jika c R, maka kita mempunyai sin sin c (½ c )() = - c. Oleh karena itu sin kontinu pada c. Karena c R sebarang, maka ini berarti fungsi sin kontinu pada R. (d) Fungsi cosinus kontinu pada R. Untuk mengerjakan ini kita akan menggunakan sifat-sifat dari fungsi sinus dan cosinus yang pada bagian ini tidak akan dibuktikan. Untuk semua,y,z R kita mempunyai sin z z, sin z, cos cos y = sin[½( + y)]sin[½(y - )]. Dari sini, jika c R, maka kita mempunyai cos cos c ()(½ c ) = - c. Oleh karena itu cos kontinu pada c. Karena c R sebarang, maka ini berarti fungsi cos kontinu pada R. (Cara lain, kita dapat menggunakan hubungan cos = sin ( + π/).) (e) Fungsi-fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana fungsi-fungsi ini terdefinisi. Sebagai contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan cot = cos sin asalkan sin 0 (yaitu, asalkan nπ, n Z). Karena sin dan cos kontinu pada R, maka mengikuti Komentar..3 bahwa fungsi cot kontinu pada domainnya. Fungsi-fungsi trigonometri yang lain dilakukan dengan proses pengerjaan yang serupa. = f()...5 Teorema Misalkan A R, f : A R dan f didefinisikan untuk A dengan f () (a) Jika f kontinu pada suatu titik c A, maka f kontinu pada c. (b) Jika f kontinu pada A, maka f kontinu pada A. Bukti. Ini merupakan konsekuensi dari Latihan Teorema Misalkan A R, f : A R dan f() 0 untuk semua A. Kita misalkan f didefinisikan untuk A dengan f () = f (). (c) Jika f kontinu pada suatu titik c A, maka f kontinu pada c. (d) Jika f kontinu pada A, maka f kontinu pada A. Bukti. Ini merupakan konsekuensi dari Latihan..4. 9
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,
BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinci-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciBAB IV DERET FOURIER
BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinci5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil
Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciBAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciLIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2
Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinciDisampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika
PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciBAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciHimpunan dari Bilangan-Bilangan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari
LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinciJika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciCATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the
Lebih terperinci3. Kekonvergenan Deret Fourier
3. Kekonvergenan Deret Fourier Sekarang kita akan membahas kekonvergenan deret Fourier, khususnya kekonvergenan titik demi titik. Melalui Contoh 2 yang dibahas pada bab sebelumnya kita mengetahui bahwa
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciDERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA
Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2
a home base to eellene Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 0 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - a home base to eellene TIU : Mahasiswa dapat memahami it ungsi TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan it ungsi
Lebih terperinciBAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya
Lebih terperinciBAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional
BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciModul KALKULUS MULTIVARIABEL II
Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Oleh Ayundyah Kesumawati, S.Si., M.Si. (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 26 Daftar Isi Daftar Isi iv Daftar
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinci