MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

Transkripsi

1 MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan

2 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval buka I = (a,b) := {x : a < x < b}, a dan b bukan anggota I tetapi merupakan titik limit dari I. Sementara itu interval tutup [a,b] := {x : a x b} memuat semua titik limitnya. Secara umum, kapankah suatu himpunan memuat semua titik limitnya? Apa yang dimaksud dengan titik limit dari suatu himpunan? (c) Hendra Gunawan (2015) 2

3 Himpunan Buka Def. Himpunan bilangan real A dikatakan buka apabila untuk setiap x ϵ A terdapat interval buka I A yang memuat x. Interval I yang memuat x secara umum bergantung pada x. Ia bisa sangat kecil! Contoh himpunan buka adalah interval buka (a,b). Dalam hal ini, I = (a,b) memuat setiap titik di dalamnya. Namun, interval [a,b) bukan himpunan buka, karena tidak ada interval buka I [a,b), sekecil apapun, yang memuat a. (c) Hendra Gunawan (2015) 3

4 Contoh (lagi) A = (0,1) (1,2) merupakan himpunan buka. Himpunan kosong merupakan himpunan buka. R merupakan himpunan buka. Q bukan merupakan himpunan buka. [Dalam setiap interval buka, terdapat bilangan irasional selain bilangan rasional.] (c) Hendra Gunawan (2015) 4

5 Teorema. Irisan dua himpunan buka juga merupakan himpunan buka. Bukti. Misalkan A dan B buka, dan x ϵ A B. Karena x ϵ A, terdapat I 1 = (a 1,b 1 ) A yang memuat x. Karena x ϵ B juga, terdapat I 2 = (a 2,b 2 ) B yang memuat x. Nah, sekarang I = I 1 I 2 A B merupakan interval buka yang memuat x. [QED] Akibat. Irisan sejumlah terhingga himpunan buka juga merupakan himpunan buka. (c) Hendra Gunawan (2015) 5

6 Serius. Apa yang diperoleh bila kita mengiriskan sejumlah tak terhingga himpunan buka? Sebagai contoh, I k := (-1/k,1/k) merupakan himpunan buka untuk setiap bilangan asli k. Apa yang diperoleh bila kita iriskan semua I k? Untuk menjawab pertanyaan ini, tentukan himpunan Ik dan periksa apakah ia buka. k = 1 (c) Hendra Gunawan (2015) 6

7 Teorema. Gabungan sejumlah (berapapun) himpunan buka merupakan himpunan buka. Bukti. Latihan Teorema. Setiap himpunan buka merupakan gabungan sejumlah terhitung interval buka yang saling lepas. Bukti. Misalkan A buka. Maka, setiap x ϵ A termuat dalam interval buka I x A. Jadi A = I. x x A (c) Hendra Gunawan (2015) 7

8 Selanjutnya, gabungan beberapa I x membentuk sebuah interval buka, sehingga A merupakan gabungan sejumlah interval buka yang saling lepas. Sekarang tinggal menghitung berapa banyak interval buka tersebut. Tetapi ini mudah. Karena setiap interval buka memuat bilangan rasional, dan dua interval buka yang saling lepas pasti memuat bilangan rasional yang berbeda, maka banyak interval buka yang saling lepas tersebut mestilah terhitung. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 8

9 Catatan Konsep himpunan buka terkait erat dengan konsep lingkungan dari suatu titik, yg kelak juga diperlukan ketika kita membahas ruang metrik. Persisnya, suatu lingkungan dari suatu titik x didefinisikan sebagai sembarang himpunan buka yang memuat x. Sebagai contoh, barisan (x k ) konvergen ke x apabila ekor barisan (x k ) termuat dalam setiap lingkungan-1/n dari x. (c) Hendra Gunawan (2015) 9

10 Titik Limit (dari Himpunan) Bila interval buka (a,b) merupakan contoh himpunan buka, interval tutup [a,b] merupakan contoh himpunan tutup. Secara intuitif, himpunan tutup adalah himpunan yang memuat semua titik limitnya. Definisi. Misalkan A adalah suatu himpunan bilangan real. Bilangan real x disebut titik limit dari A apabila setiap lingkungan dari x memuat tak terhingga banyaknya anggota A. Catatan. Definisi ini berbeda dgn definisi titik limit dari barisan. (c) Hendra Gunawan (2015) 10

11 Setara dengan definisi tadi, x merupakan titik limit dari A apabila untuk setiap bilangan asli n terdapat y n ϵ A dengan 0 < y n x < 1/n, yakni x dapat dihampiri oleh anggota A selain x, sedekat-dekatnya. Ini berarti bahwa x merupakan titik limit A apabila terdapat barisan (y k ) di A, dengan y k x untuk setiap k, sedemikian sehingga lim y k = x. Jika x termuat dalam suatu interval (buka ataupun tutup) yang termuat di A, maka x merupakan titik limit A. Khususnya, jika I adalah interval, maka setiap titik di I merupakan titik limit dari I. Tetapi tidak semua titik limit dari I harus merupakan anggota I. (c) Hendra Gunawan (2015) 11

12 Contoh (selain interval) 1. Himpunan A = {1, ½, 1/3, ¼, } hanya mempunyai satu titik limit, yaitu Himpunan terhingga tidak mempunyai titik limit. 3. Himpunan semua bilangan bulat Z tidak mempunyai titik limit. 4. Setiap bilangan real merupakan titik limit dari Q. (c) Hendra Gunawan (2015) 12

13 Catatan Titik limit dari himpunan berbeda dengan titik limit dari barisan. Sebagai contoh, barisan 1, -1, 1, -1, 1, -1, mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1. Sebagai himpunan, {1, -1} tidak mempunyai titik limit, karena di sekitar 1 ataupun -1 tidak ada anggota yang lain. (c) Hendra Gunawan (2015) 13

14 Himpunan Tutup Definisi. Himpunan bilangan real A dikatakan tutup apabila A memuat semua titik limitnya. Catatan. Kita tidak mempersyaratkan semua titik di A menjadi titik limit dari A. Sebagai contoh, N merupakan himpunan tutup. (N tidak mempunyai titik limit; jadi N memuat semua titik limitnya.) Himpunan yang semua anggotanya merupakan titik limit disebut himpunan sempurna. Sebagai contoh, [a,b] merupakan himpunan sempurna. (c) Hendra Gunawan (2015) 14

15 Contoh (lagi) 1. Himpunan terhingga merupakan himpunan tutup. 2. Himpunan {1, ½, 1/3, ¼, } bukan himpunan tutup karena tidak memuat titik limitnya, yaitu Interval (a,b) bukan himpunan tutup, tetapi R = (-, ) merupakan himpunan tutup. 4. Himpunan kosong merupakan himpunan tutup. (c) Hendra Gunawan (2015) 15

16 Teorema. Himpunan A tutup jika dan hanya jika komplemennya buka. Bukti. Kita akan menggunakan fakta bahwa x ϵ A bukan titik limit dari A jika dan hanya jika x termuat dalam suatu interval buka yang termuat dalam A. Misalkan A tutup. Ambil x ϵ A. Maka, x bukan titik limit dari A, karena A memuat semua titik limitnya. Akibatnya, x termuat dalam suatu interval buka yang termuat dalam A. Ini membuktikan bahwa A buka. (c) Hendra Gunawan (2015) 16

17 Sebaliknya, jika A buka, maka setiap titik di A bukan titik limit dari A. Jadi semua titik limit dari A mestilah termuat dalam A. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa A tutup. [QED] Catatan. Teorema tadi tidak menyatakan bahwa himpunan yang tidak tutup mestilah buka. Suatu himpunan bisa tidak tutup dan tidak buka sekaligus. Sila cari contohnya! [Sebelumnya kita telah mempunyai contoh himpunan yang buka dan tutup sekaligus.] (c) Hendra Gunawan (2015) 17

18 Teorema. Gabungan dua himpunan tutup juga merupakan himpunan tutup. Bukti. Misalkan A dan B tutup, dan x adalah titik limit dari A B. Maka, terdapat suatu barisan (y k ) di A B yang konvergen ke x, dengan y k x untuk setiap k. Salah satu di antara A dan B mestilah memuat tak terhingga suku y k. Jadi x merupakan titik limit dari salah satu himpunan tersebut, dan karenanya x merupakan anggota himpunan tersebut. Akibatnya, x ϵ A B. [QED] Akibat. Gabungan sejumlah terhingga himpunan tutup juga merupakan himpunan tutup. (c) Hendra Gunawan (2015) 18

19 Teorema. Irisan sejumlah (berapapun) himpunan tutup juga merupakan himpunan tutup. Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan meninjau komplemennya. Komplemen dari irisan sejumlah himpunan tutup sama dengan gabungan dari sejumlah (sama banyaknya) komplemennya, yang merupakan himpunan buka. [QED] Catatan. Teorema sebelumnya dapat pula dibuktikan melalui komplemennya. (c) Hendra Gunawan (2015) 19

20 Himpunan Cantor Mulai dengan interval tutup [0,1], buang interval (1/3,2/3), sehingga tersisa [0,1/3] [2/3,1]. 0 1/3 2/3 1 Ulangi langkah serupa pada interval [0,1/3] dan [2/3, 1], dan seterusnya ulangi langkah serupa pada interval-interval yang dihasilkan pada setiap langkah. Himpunan yang tersisa dikenal sbg himpunan Cantor, yang merupakan himpunan sempurna! (c) Hendra Gunawan (2015) 20

21 Latihan 1. Diketahui himpunan A buka. Buktikan jika sejumlah terhingga anggota A dikeluarkan dari A, maka himpunan sisanya tetap buka. 2. Misalkan (x k ) adalah suatu barisan dan A = {x k : k ϵ N}. Buktikan bahwa titik limit dari A merupakan titik limit dari barisan (x k ). 3. Buktikan bahwa setiap himpunan tak terhingga mempunyai himpunan bagian terhitung yang padat. 4. Berikan contoh sebuah himpunan A yang tidak tutup tetapi setiap anggota A merupakan titik limit dari A. (c) Hendra Gunawan (2015) 21