MA5032 ANALISIS REAL

Transkripsi

1 (Semester I Tahun ) Dosen FMIPA - ITB hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011

2

3 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni N := {1, 2, 3,... }. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni Z := {0, ±1, ±2, ±3,... }. (Tanda... di sini menyatakan dan seterusnya, yang mengasumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)

4 Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkan dengan Q, yakni Q := { p q : p Z, q N, dan FPB(p, q) = 1}. (Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari p dan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)

5 Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan dalam bentuk desimal. Sebagai contoh, 1 = = = = e = π =

6 Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang berhenti, seperti 1 2 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang berulang, seperti 1 3 = Bilangan rasional senantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhenti atau berulang.

7 Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh, 2 yang memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan merupakan bilangan irasional

8 Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut sebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R. Dalam hal ini, kita mempunyai N Z Q R. Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifat bilangan real secara lebih mendalam.

9 Soal Latihan Daftar Isi 1 Nyatakan 1 12 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk desimalnya berhenti atau berulang? 2 Nyatakan sebagai bentuk pecahan. 3 Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi persamaan x 2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktian tak langsung.)

10 Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkait dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni: A1. x + y = y + x untuk setiap x, y R. A2. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y, z R. A3. Terdapat 0 R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiap x R. A4. Untuk setiap x R terdapat x R sedemikian sehingga x + ( x) = 0. A5. xy = yx untuk setiap x, y R. A6. (xy)z = x(yz) untuk setiap x, y, z R. A7. Terdapat 1 R, 1 0, sedemikian sehingga x 1 = x untuk setiap x R. A8. Untuk setiap x R, x 0, terdapat x 1 R sedemikian sehingga x(x 1 ) = 1. A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x, y, z R.

11 Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dan secara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungan dengan itu tidak benar bahwa 1 0 =. Walaupun kelak lambang (baca: tak hingga atau tak terhingga) akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.

12 Teorema 1 (Hukum Pencoretan) Misalkan x, y, dan z adalah bilangan real sembarang. (a) Jika x + z = y + z, maka x = y. (b) Jika xz = yz dan z 0, maka x = y.

13 Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z. Tambahkan kedua ruas dengan z, sehingga kita dapatkan (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z). Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita peroleh x + 0 = y + 0, dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita sampai pada kesimpulan bahwa x = y. (b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.

14 Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan Teorema 1 bagian (b). 2 Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa 1 a.0 = 0. 2 ( 1)a = a. 3 ( a) = a. 4 ( 1)( 1) = 1. 3 Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0.

15 Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R dengan operasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan, yakni terdapat himpunan bagian P R yang bersifat: B1. Jika x, y P, maka x + y P. B2. Jika x, y P, maka xy P. B3. Jika x P, maka x / P. B4. Jika x R, maka: atau x P, atau x = 0, atau x P. Bilangan x P disebut sebagai bilangan positif.

16 Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y x P; dan x y (y x) apabila x < y atau x = y. Notasi x < y (y > x) dibaca x lebih kecil daripada y ( y lebih besar daripada x ). Sementara itu, x y (y x) dibaca x lebih kecil daripada atau sama dengan y ( y lebih besar daripada atau sama dengan x. Catat bahwa x > 0 berarti x P, yakni x merupakan bilangan positif. Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c, notasi a < b < c berarti a < b dan b < c. Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 1 2 < 1.

17 Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilangan real a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antara tiga kemungkinan tersebut yang benar yaitu: atau a > b, atau a = b, atau a < b. Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.

18 Teorema 2 Daftar Isi. (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c. (ii) Jika a > b dan c R, maka a + c > b + c. (iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc. Bukti. (i) Misal a > b dan b > c. Maka, a b P dan b c P. Menurut sifat B1, a c = (a b) + (b c) P. Jadi a > c. Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.

19 Contoh 3 Daftar Isi Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 0. Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0. Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan 1, kita peroleh 0 < 1 atau 1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)], kita peroleh 1 = ( 1)( 1) > 0, bertentangan dengan pengandaian semula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itu mestilah 1 > 0.

20 Contoh 4 Daftar Isi Misalkan diketahui a < b + ɛ untuk setiap ɛ > 0. Maka dapat disimpulkan bahwa a b. (Andaikan a > b. Maka, untuk ɛ = a + ( b) := a b, berlaku a < b + (a b) = a, sesuatu yang mustahil.)

21 Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii). 2 Buktikan jika a > 0, maka 1 a > 0. (Di sini 1 a menyatakan kebalikan dari a.) 3 Buktikan jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d. 4 Buktikan jika a < b dan A, B > 0, maka a A < a+b A+B < b B. 5 Diketahui x, y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jika x 2 < y 2. 6 Buktikan jika b ɛ < a < b + ɛ untuk setiap ɛ > 0, maka a = b.

22 Untuk n N, kita tuliskan x n = x x x (n kali). Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahas pada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikan y 0, terdapat sebuah bilangan x 0 (tunggal) sedemikian sehingga y = x n.

23 Untuk y 0, nilai x 0 yang memenuhi persamaan y = x n disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan x = y 1/n. Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi y = y 1/2. Catat bahwa dalam hal ini senantiasa berlaku y 0. Jika y > 0, maka tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya sama dengan y, yaitu y yang bernilai positif dan y yang bernilai negatif. Notasi ± y berarti y atau y.

24 Jika r = m n definisikan adalah suatu bilangan rasional positif dan y 0, kita y r := (y 1/n ) m. Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka r merupakan bilangan rasional positif dan karenanya y r terdefinisi. Khususnya, jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai y r := 1 y r. Kita juga mendefinisikan y 0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0, maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasan berikutnya.)

25 Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x 2 = y mempunyai dua buah solusi, yaitu x = ± y. Persamaan x 2 = y di sini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam x) adalah dengan a 0. ax 2 + bx + c = 0,

26 Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar real jika b 2 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jika b 2 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jika b 2 4ac > 0. Dalam hal b 2 4ac 0, akar persamaan kuadrat di atas diberikan oleh rumus x = b ± b 2 4ac. 2a

27 Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaan y = ax 2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-x pada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telah mengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaan padanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atas jika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.

28 Soal Latihan 1 Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 merupakan bilangan rasional (dengan, tentu saja, a 0). Buktikan jika α = r + s 2 merupakan akar persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r s 2 juga merupakan akar. 2 Misalkan n N dan a 1,..., a n dan b 1,..., b n adalah bilangan real. Buktikan bahwa (a 1 b a n b n ) 2 (a a 2 n)(b b 2 n). (Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaan Cauchy-Schwarz.)

29 Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x, ditulis x, didefinisikan sebagai { x, jika x 0, x = x, jika x < 0. Sebagai contoh, 2 = 2, 0 = 0, dan 5 = ( 5) = 5. Jelas bahwa x 0 untuk setiap x. Perhatikan pula bahwa x 2 = x 2, dan karenanya x 2 = x untuk setiap x.

30 Teorema 5 Daftar Isi Untuk setiap bilangan real x berlaku x x x.

31 Teorema 6 Daftar Isi Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku ab = a b.

32 Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga) Untuk setiap a, b R berlaku a + b a + b.

33 Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b R berlaku a + b 2 = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a a b + b 2 = ( a + b ) 2. Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh a + b a + b, sebagaimana kita harapkan.

34 Soal Latihan 1 Buktikan Teorema 5. 2 Buktikan Teorema 6. 3 Buktikan bahwa a < b jika dan hanya jika b < a < b. 4 Buktikan bahwa untuk setiap a, b R berlaku a b a b dan juga a b a b. 5 Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka x y < b a. Berikan interpretasi geometrisnya.