BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
|
|
- Erlin Chandra
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2 KATA PENGANTAR ب س م االله الر ح م ن الر ح ي م Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-nya yang begitu melimpah. Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam. Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Sistem Bilangan Real, Limit Barisan dan Limit Fungsi. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Analisis Real 1 bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Metro, September 2015 Penyusun 2
3 DEFINISI BAB I SISTEM BILANGAN REAL Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari A x A ke A. Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real. Yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.) Teorema 1.1 Sifat Aljabar dari Pada himpunan bilangan real R terdapat dua operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Dua operasi biner tersebut mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (A1) (a+b) + c = a + (b+c), (sifat assosiatif dari penjumlahan) (A2) (eksistensi elemen nol) (A3) ( ) (Eksistensi elemen negatif) (A4) (M1) ( ) ( ) (M2) (Sifat komutatif dari penjumlahan) (Sifat asosiatif dari perkalian) (Eksistensi elemen satuan) (M3) (Eksistensi invers) (M4) (Sifat komutatif dari perkalian) 3
4 (D) ( ) ( ) ( ) (Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) Kesembilan teorema diatas dikenal dengan Aksioma Lapangan (Field) Teorema 1.2 (a) Jika maka BUKTI: z + a = a, dengan menambahkan a pada kedua ruas, diperoleh: (z+a) + (-a) = a + (-a) Pada ruas kanan: (z+a) + (-a) = z + (a+(-a)) = z + 0 = z Pada ruas kiri: (a) + (-a) = 0 Jadi dapat disimpulkan bahwa z = 0 (b) Jika BUKTI: Diketahui Terdapat = 1 Kedua ruas dikalikan dengan, sehingga diperoleh: ( ) Ruas kanan: ( ) ( ) Ruas kiri: = 1 Sehingga dapat disimpulkan bahwa 4
5 Teorema 1.3 (a) Jika, dengan menambahkan pada kedua ruas diperoleh: ( ) ( ) ( ) Pada ruas kiri: ( ) ( ) ( ) Pada ruas kanan: ( ) Jadi dapat disimpulkan bahwa (b) Jika Diketahui, Berdasarkan sifat M4, Jika kedua ruas dikalikan, maka diperoleh: ( ) Ruas kanan : ( ) ( ) Ruas kiri : ( ) Sehingga dapat disimpulkan bahwa: 5
6 Teorema 1.4 Misalkan diberikan sebarang, maka: (a) Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal ( ) Misalkan ( ), maka (( ) ) ( ( )) Mengakibatkan bahwa ( ) merupakan penyelesaian dari persamaan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal. Misalkan adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut, maka dan jika pada kedua ruas ditambahkan a, Maka diperoleh: ( ) ( ) ( ) Ruas kiri: ( ) ( ) ( ) Jadi dapat disimpulkan bahwa = ( ) Teorema 1.5 Jika, maka : (a) (c) ( ) (b) ( ) (d) ( )( ) (a) Dari sifat M2, selanjutnya dengan menambahkan pada diperoleh: ( ) Dari teorema, maka dapat dilihat bahwa 6
7 Maka (b) ( ) Dengan menerapkan sifat M3 dan M4, diperoleh: ( ) ( ) ( ) Dari teorema ( ) ( ) (c) ( ) Dengan menerapkan sifat A4, sehingga disimpulkan: Dan menggunakan teorema : Sehingga disimpulkan bahwa: ( ) (d) ( ) ( ) Dengan menggunakan teorema: ( ) Kemudian subtitusi, maka diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema 1.6 Misalkan 7
8 (a) Jika., maka ada. Andaikan = 0 dan kedua ruas dikalikan dengan, maka diperoleh: ( ) 1 = 0 Kontradiksi, sehingga pengandaian = 0 salah. Haruslah 0 Selanjutnya karena ( ) maka berdasarkan teorema: Maka Maka dapat disimpulkan bahwa 8
9 SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL Teorema 2.1 Sifat-Sifat Urutan dari Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut: (a) Jika (b) Jika (c) Jika yang disebut himpunan, maka tepat saru dari di bawah ini akan dipenuhi: sifat (c) disebut Sifat Trichotomy. P Definisi 2.2 (i) Jika bilangan real positif dan ditulis > 0. (ii) Jika * + bilangan non negatif dan ditulis 0. (iii) Jika bilangan real negatif dan ditulis < 0. (iv) Jika * + bilangan non positif dan ditulis 0. Definisi 2.3 Misalkan (a) Jika, maka ditulis atau (b) Jika * +, maka ditulis atau Selanjutnya notasi mempunyai arti dan. Dengan cara yang sama, jika Teorema 2.4 Misalkan (a) Jika, maka ditulis (b) Dipenuhi tepat satu dari: 9
10 (c) Jika (a) Jika, maka ditulis Jika berarti, sheingga dengan aksioma: Jika, diperoleh: ( ) ( ). Jadi (b) Dipenuhi tepat satu dari: Dengan sifat Trichotomy, dipenuhi tepat satu dari: ( ) P (c) Jika Andaikan, maka 0, sehingga dari (b) diperoleh atau P. Dengan kata lain,. Hal ini kontradiksi dengan hipotesis. Maka pengandaian salah. haruslah Teorema 2.5 (a) Jika (b) 1 (c) Jika, maka (a) Dengan sifat Trichotomy, jika maka atau Jika, maka dengan aksioma diperoleh = Dengan cara yang sama, jika, maka ( )( ), Maka ( )( ) =(-1).(-1) = (-1).(-1). = Sehingga disimpulkan: jika 10
11 (b) 1 Karena (c) Jika, maka Dibuktikan dengan induksi matematika : (i) untuk n = 1, benar 1 > 0 (ii) untuk n = k, maka k > 0. Akan dibuktikan untuk n = k + 1 karena dan, maka sehingga dengan aksioma:, maka terbukti bahwa k + 1 > 0 dari (i) dan (ii) terbukti bahwa: Teorema 2.6 Misalkan (a) Jika, maka (b) Jika dan, maka (c) Jika dan maka Jika dan maka (d) Jika Jika maka maka (a) Jika, maka Jika, berarti, sehingga (a + c) (b + c) =. Jadi (a + c) > (b + c) (b) Jika dan, maka dan berarti dan, sehingga dengan sifat: Jika maka, diperoleh: 11
12 (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) Jadi (c) Jika dan maka Jika dan maka Jika dan, berarti dan, sehingga dengan sifat: Jika maka, diperoleh: ( ). jadi Jika, berarti, sehingga ( ) ( ). Jadi Contoh: 1. Jika Bukti! (i) Andaikan dan maka = = Sehingga. Kontradiksi dengan. maka haruslah (ii), maka = = 0. 0 = 0, maka = = 0. 0 = 0 Sehingga Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa: Jika 2. Jika 12
13 Dan telah diketahui bahwa: Maka disimpulkan bahwa : Teorema 2.7 Jika a, b a < b, maka ( ) Karena a < b, maka dengan teorema: jika a > b, maka a + c > b + c Sehingga diperoleh : 2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b Jadi 2a < a + b < 2b Dengan teorema: 1 > 0, diperoleh : 2 > 0,dan > 0 sehingga dapat disimpulkan: a = (2a) < (a + b) < (2b) = b Jadi a < (a + b) < b Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat diambil kesimpulan bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga bilangan real. Teorema 2.8 Teorema ini sebagai akibat dari teorema 2.2.7, yaitu: Jika b dan b > 0, maka ( ) Subtitusikan a = 0 pada teorema : ( ) 13
14 Maka diperoleh ( ) Teorema 2.9 Jika dan Andaikan a > 0, maka dari teorema a. Jika dipilih =, maka 0 < < a. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa Jadi haruslah a = 0.,. Teorema 2.10 Jika dan Andaikan b < a. Misalkan (a b), maka > 0. Sehingga diperoleh b < a - Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa. Jadi haruslah Teorema 2.11 Jika ab > 0, maka dipenuhi salah satu: (a) a > 0 dan b > 0 (b) a < 0 dan b < 0 Karena ab > 0, maka dan b. Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0. Jika a > 0, maka berdasarkan teorema, sehingga: 14
15 b = 1b = ( )a.b= ( )( ) Dengan cara yang sama, jika a < 0, maka sehingga b = ( )( ) Contoh: 1. Buktikan bahwa 0 < a < b, maka ( ) BUKTI: Diketahui bahwa 0 < a < b ( ) ( ) 2. Buktikan bahwa ( ( )) ( ) BUKTI: ( ) = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 15
16 NILAI MUTLAK DEFINISI Untuk a harga mutlak dari a, dinotasikan dengan didefinisikan sebagai : a; a = -a; a < 0 Sebagai contoh, = 3 dan = 2. Dari definisi ini disimpulkan bahwa, a. Teorema 3.1 (i) jika dan hanya jika a = 0 (ii) a (iii) a, b (iv) jika c 0, maka jika dan hanya jika c a c (v) - a a BUKTI: (i) Dari definisi, jika a = 0 maka Sebaliknya, jika a 0, maka a 0, sehingga 0. jadi, jika, maka a = 0. (ii) Jika a = 0, maka 0 =. Jika a > 0, maka a < 0 sehingga = a = -(-a) =. Jika a < 0 maka a > 0 sehingga = -a =. (iii) Jika salah satu dari a, b bernilai nol, maka baik maupun sama-sama bernilai nol. Jika a > 0 dan b > 0, maka = ab =. Jika a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 sehingga = -ab = a(-b) =. 16
17 Untuk dua kasus yang lain dapat dikerjakan dengan cara yang sama. (iv) Jika maka diperoleh a c dan a c. Hasil ini memberikan a c dan c a sehingga -c a. Sebaliknya, jika -c a c, maka a c dan a c, yang berarti c. (v) Subtitusikan c = ke dalam (iv) Teorema 3.2 Ketaksamaan Segitiga: Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku : Dari teorema: - a dan - b. Jika dijumlahkan: -( + ) a + b Dengan teorema: jika dan hanya jika c a c maka disimpulkan bahwa: Teorema 3.3 Teorema ini muncul sebagai akibat dari adanya teorema 2, yaitu: Jika a dan b sebarang bilangan real, maka: (i) Contoh: Fungsi f didefinisikan dengan f(x) = ( ) ( ) untuk 1 Tentukan konstanta M sehingga ( ) M, 1. Jawab: Perhatikan terpisah pembilang dan penyebut dari: ( ) = 17
18 Dengan ketaksamaan segittiga diperoleh: = 22 Karena 3, 1. dipihak lain: = 2 Karena 1. Jadi, untuk x. Sehingga untuk 1 berlaku: ( ) = 22. = 11. Jadi dipilih M = 11 DEFINISI Misalkan a dan Persekitaran a didefinisikan sebagai himpunan (a) = { }. Untuk a pernyataan bahwa (a) ekuivalen dengan pernyataan: - < x a < < x < a + Teorema 3.4 Misalkan a Jika x anggota dari persekitaran (a), maka x = a. Jika x memenuhi, maka menurut teorema: jika a dan 0 maka a = 0 Sehingga diperoleh: yaitu x = a. Contoh: 1. Misalkan a Tunjukkan bahwa Jawab: Dari definisi (i) a, a 18
19 = ( ) = (ii) -a, a ( ) = Dari (i) dan (ii) maka 2. Misalkan a Tunjukkan bahwa Jawab: Telah ditunjukkan bahwa Pilih a =, maka diperoleh: Jadi ( ) = ( ) = 19
20 SIFAT KELENGKAPAN DAN ARCHIMIDES DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari. a) Bilangan dikatakan batas atas dari himpunan S jika berlaku untuk setiap. b) Bilangan dikatakan batas bawah dari himpunan S jika berlaku untuk setiap. DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari. a) Jika S terbatas di atas, maka batas atas u adalah supremum (batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil dari u yang merupakan batas atas dari S. b) Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum (batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih besar dari v yang merupakan batas bawah dari S. Teorema 4.1 Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong, jika dan hanya jika memenuhi : a) untuk setiap. b) Jika, maka terdapat sehingga. Bukti : a) Dari definisi u merupakan batas atas dari himpunan S jika : untuk setiap Diketahui u merupakan supremum (batas atas terkecil) dari himpunan S, maka dari definisi batas atas berlaku untuk setiap 20
21 u adalah supremum dari himpunan S berarti tak ada bilangan yang lebih kecil u yang merupakan batas atas dari S., berarti karena u adalah sup S., berarti terdapat sehingga. Jadi, jika maka terdapat sehingga. Teorema 4.2 a) Batas atas u dari himpunan tak kosong, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. b) Batas bawah l dari himpunan tak kosong, merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. a) Misalkan u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika dan kita ambil, untuk setiap terdapat sehingga. Jadi v bukan batas atas dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih kecil dari u, maka. Sebaliknya, misalnya dan. Karena, maka bukan batas atas dari S. Akibatnya beberapa haruslah lebih besar daripada, yaitu. b) Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika dan kita ambil, untuk setiap terdapat sehingga. Jadi v bukan batas bawah dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih besar dari l, maka. Sebaliknya, misalnya dan. Karena, maka bukan batas bawah dari S. 21
22 Akibatnya beberapa haruslah lebih kecil daripada, yaitu. Teorema 4.3 (Sifat supremum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas atas pasti mempunyai supremum di dalam R. Bukti : Misalkan S himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah. Himpunan * + terbatas di atas, dan dari sifat supremum diperoleh bahwa ada. Akibatnya. Teorema 4.4 (Sifat infimum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas bawah pasti mempunyai infimum di dalam R. Bukti : Sifat analog dari infimum juga dapat dideduksi dari sifat supremum di atas. Teorema 4.5 (Sifat Archimides) Jika maka x Bukti : Andaikan x tidak benar, yaitu x. Oleh karena itu, x adalah batas atas dari N sehingga dengan sifat supremum maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u didalam R. karena u 1 < u, maka dengan teorema: 22
23 batas atas u dari himpunan tak kosong, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. maka terdapat N sehingga u 1 < m. Tetapi akibatnya u < m + 1. Karena m + 1 N, maka kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah adalah batas atas dari N. Contoh: 1. Jika dan { } Buktikan bahwa : Jawab : Akan dibuktikan bahwa : i) Misalkan, maka Sehingga au batas bawah dari as, akibatnya : ii) Misalkan v, maka Sehingga batas bawah dari S, akibatnya : Dari i dan ii, maka terbukti bahwa 23
24 Latihan 1 1. Teorema 1.4 bagian b! 2. Teorema 1.6 bagian b! 3. Teorema 1.6 bagian c! 4. Teorema bagian d! 5. Buktikan: jika, maka 6. Jika a dan b =! 7. Jika dan { } Buktikan bahwa : 8. Misalkan S = { ; n N}. Buktikan bahwa: inf S = 0! 24
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciOleh: Naning Sutriningsih
Oleh: Naning Sutriningsih SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 0 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Allah Rabbul Alamin, atas
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinci1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3
Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Pendahuluan
Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciPengantar : Induksi Matematika
Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciPENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI
PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciSTRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A -ALJABAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 63 67 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A -ALJABAR ROZA ARDILLA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
dan Lattice Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Himpunan terurut Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan S dan memenuhi ketiga sifat berikut ini: Refleksif (untuk sebarang a S, berlaku (a, a) R);
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciKONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT
KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperinciPembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
Pembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan Mujib Nashikha 1, Suryoto, S.Si, M.Si 2, Farikhin, M.Si, Ph.D 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H.
Lebih terperinciKAJIAN OPERASI ARITMETIKA INTERVAL DAN SIFAT-SIFATNYA
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 19 28. KAJIAN OPERASI ARITMETIKA INTERVAL DAN SIFAT-SIFATNYA Analia Wenda, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti INTISARI
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinci