Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79"

Transkripsi

1 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

2 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

3 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

4 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

5 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

6 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

7 Limit Calculus is the study of limits Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

8 Limit Calculus is the study of limits Apa itu limit? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

9 Limit Calculus is the study of limits Apa itu limit? Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai permasalahan mengenai limit. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

10 Limit Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabila diberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauh pegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w dan mengukur regangannya s untuk setiap w. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

11 Limit Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabila diberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauh pegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w dan mengukur regangannya s untuk setiap w. Apabila regangannya mendekati suatu nilai L maka dikatakan bahwa Limit dari s yang diakibatkan oleh w menuju 10 adalah L. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

12 Limit Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbeda dengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limit dinotasikan dengan lim f(x) = L artinya jika x mendekati c maka f(x) dekat dengan L. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

13 Limit Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbeda dengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limit dinotasikan dengan lim f(x) = L artinya jika x mendekati c maka f(x) dekat dengan L. Example Tentukan nilai dari lim x 1 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

14 Limit Pada gambar terlihat bahwa f(x) = x mendekati 2 untuk x yang mendekati 1 dari kedua arah. Akibatnya dapat dikatakan bahwa lim x 1 x = 2. Kemudian perhitungan pada tabel juga memperlihatkan hal yang sama Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

15 Limit Sepihak Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi + x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

16 Limit Sepihak Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi + x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c. Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

17 Limit Sepihak Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi + x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c. Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c. Definisi (Informal) Mengatakan lim f(x) = L jika dan hanya jika lim f(x) = L = lim f(x) + Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

18 Limit Sepihak Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi + x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebut limit kanan f di c. Mengatakan lim f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kiri f di c. Definisi (Informal) Mengatakan lim f(x) = L jika dan hanya jika lim f(x) = L = lim f(x) + Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jika lim f(x) L lim f(x) maka lim f(x) L. Hal ini sama saja + dengan mengatakan bahwa lim f(x) tidak ada. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

19 Limit pehatikan gambar berikut x 1 lim = tidak ada x 1 x 1 perhitungan menunjukkan hal yang sama Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

20 Limit Hitunglah nilai limit berikut (Jika ada) : x a. lim 2 4 x x 2 x 2 f. lim 4 18x x 3 (x 3) 2 x b. lim 3 4x 2 +x+6 x+1 g. lim x 1 c. lim x t d. lim t 7 x 2 t 2 x+t (t 7)3 e. lim t 7 + t 7 (3u+4)(2u 2) 3 u 1 (u 1) 2 (2+h) h. lim 2 4 h 0 h t 2 +4t 21 (x+h) t+7 i. lim 2 x 2 h 0 h (t+4)(t 2) 4 j. lim t 2 (3t 6) 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

21 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

22 Definisi Informal Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

23 Definisi Informal Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x c. Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

24 Definisi Informal Mengulang definisi diatas : Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x c. Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x c. Mengatakan lim f(x) = L artinya f dapat dibuat sembarang dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

25 Jarak antara dua bilangan riil Jarak antara dua bilangan riil x dan y diukur dari nilai mutlak selisihnya atau j(x, y) = x y j(4, 3) = 4 3 = 1 = 1 j(5, 7) = 5 7 = 2 = 2 j(0, x) = 0 x = x = x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

26 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

27 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1 Kita menginginkan j(f(x), 1) = 3x 3 = 3(x 1) = 3 x 1 = 3 x 1 < 0.1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

28 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1 Kita menginginkan j(f(x), 1) = 3x 3 = 3(x 1) = 3 x 1 = 3 x 1 < 0.1 ini bisa dicapai bila j(x, 1) = x 1 < Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

29 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = x 2 ke 1 tak lebih dari 0.1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

30 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = x 2 ke 1 tak lebih dari 0.1 Kita menginginkan j(f(x), 1) = x 2 1 = (x + 1)(x 1) = x + 1 x 1 = x + 1 x 1 < 0.1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

31 Ilustrasi Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarak f(x) = x 2 ke 1 tak lebih dari 0.1 Kita menginginkan j(f(x), 1) = x 2 1 = (x + 1)(x 1) = x + 1 x 1 = x + 1 x 1 < 0.1 ini bisa dicapai bila 0.1 tapi x+1 bukan bilangan. j(x, 1) = x 1 < 0.1 x+1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

32 Gambar menyarankan 0.96 < x < Jadi kita dapat memilih 0 < x 1 < 0.04 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

33 Gambar menunjukkan bahwa 0.96 < x < 1.05 x 3 5x < = 0.04 dan = Pilih δ = Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

34 Definisi Formal Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L R. Fungsi f(x) mempunyai limit L di x = a ditulis lim x a f(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga jika x a dan j(x, a) < δ, maka j(f(x), L) < ε atau 0 < x a < δ f(x) L < ε Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

35 Definisi Formal Limit Fungsi Definisi Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L R. Fungsi f(x) mempunyai limit L di x = a ditulis lim x a f(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x a < δ f(x) L < ε Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

36 Definisi Formal Limit Fungsi Definisi Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L R. Fungsi f(x) mempunyai limit L di x = a ditulis lim x a f(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x a < δ f(x) L < ε Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilangan riil x sehingga x adalah nomor KTP nya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

37 Definisi Formal Limit Fungsi Definisi Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidak terdefinisi di a. Misalkan L R. Fungsi f(x) mempunyai limit L di x = a ditulis lim x a f(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x a < δ f(x) L < ε Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilangan riil x sehingga x adalah nomor KTP nya. Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiap bilangan riil x bukan nomor KTP nya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

38 Definisi Formal Limit Definisi (negasi limit) Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidak terdefinisi di a. Jika terdapat ε > 0 dimana untuk tiap δ > 0 tidak benar bahwa 0 < x a < δ f(x) L < ε Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

39 Contoh fungsi tidak mempunyai limit Misalkan x 1, x < 0 f(x) = 0, x = 0 x + 1, x > 0 Fungsi ini mempunyai limit di tiap x R kecuali di x = 0. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

40 Contoh fungsi tidak mempunyai limit Misalkan x 1, x < 0 f(x) = 0, x = 0 x + 1, x > 0 Fungsi ini mempunyai limit di tiap x R kecuali di x = 0. pilih ε = 1 2. Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga 0 < x 0 < δ memberikan f(x) L < 1 2 apapun plilihan L. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

41 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

42 Sifat-sifat Limit Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x 2 ) dan memakan waktu Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

43 Sifat-sifat Limit Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x 2 ) dan memakan waktu Strategi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

44 Sifat-sifat Limit Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x 2 ) dan memakan waktu Strategi Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

45 Sifat-sifat Limit Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x 2 ) dan memakan waktu Strategi Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

46 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

47 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

48 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

49 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim kf(x) = k lim f(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

50 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim lim kf(x) = k lim f(x) (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

51 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim lim lim kf(x) = k lim f(x) (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

52 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim lim lim kf(x) = k lim f(x) (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) f(x) lim g(x) = lim f(x) lim g(x), lim g(x) 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

53 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim lim lim kf(x) = k lim f(x) (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) f(x) lim g(x) = lim f(x) lim g(x), lim g(x) 0 lim (f(x))n = (lim f(x)) n Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

54 Sifat-sifat Limit Teorema (Teorema limit utama) Misalkan n anggota bilangan Asli, c R, k konstanta, dan f, g mempunyai limit di c. Maka lim k = k lim x = c lim lim lim kf(x) = k lim f(x) (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) f(x).g(x) = lim f(x). lim g(x) f(x) lim g(x) = lim f(x) lim g(x), lim g(x) 0 lim (f(x))n = (lim f(x)) n n f(x) = n lim lim f(x), syarat lim f(x) > 0 jika n genap. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

55 Teorema akibat Butir 2 dan 7 memberikan Akibat Jika n N, maka lim x n = c n Bersama butir 3 diperoleh Akibat Jika n N, maka lim kx n = kc n Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

56 Menggunakan Teorema Limit Contoh: Tentukan lim x 1 5x 2 4. Tentukan lim x 4 x 2 7x+10 x 2 10x+24 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

57 More examples Tentukan lim x 4 f(x) jika f(x) = { 8 2x, x < 4 x 4, x > 4 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

58 More examples Tentukan lim x 4 f(x) jika f(x) = { 8 2x, x < 4 x 4, x > 4 Tinjau f(x) = 8 2x untuk x < 4, maka lim x 4 8 2x = 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

59 More examples Tentukan lim x 4 f(x) jika f(x) = { 8 2x, x < 4 x 4, x > 4 Tinjau f(x) = 8 2x untuk x < 4, maka lim 8 2x = 0 x 4 Kemudian tinjau f(x) = 4 x untuk x > 4, maka lim 4 x = 0 x 4 + Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

60 More examples Tentukan lim x 4 f(x) jika f(x) = { 8 2x, x < 4 x 4, x > 4 Tinjau f(x) = 8 2x untuk x < 4, maka lim 8 2x = 0 x 4 Kemudian tinjau f(x) = 4 x untuk x > 4, maka lim 4 x = 0 x 4 + Karena lim f(x) = 0 = lim f(x) akibatnya x 4 + x 4 lim f(x) = 0 x 4 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

61 Teorema Teorema Misalkan c (a, b). Jika lim f(x) ada untuk tiap x (a, b), x c, berlaku f(x) = g(x), maka Contoh: Tentukan lim x 1 x 1 x 1 Solusi: Karena x 1 x 1 = ( x 1)( x+1) x 1 = x + 1 maka lim x 1 x 1 x 1 = lim x + 1 = 2 x 1 lim f(x) = lim g(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

62 Teorema Apit (Sandwich Theorem) Teorema (Teorema Apit) Misalkan c (a, b), kemudian f,g, dan h fungsi-fungsi sehingga g(x) f(x) h(x) untuk tiap x (a, b),c x. Jika lim f(x) = L = lim h(x) maka lim f(x) = L. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

63 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

64 Limit Fungsi Trigonometri Teorema 1 lim t c sin t = sin c 2 lim t c cos t = cos c 3 lim t c tan t = tan c 4 lim t c cot t = cot c 5 lim t c sec t = sec c 6 lim t c csc t = csc c Proof. bukti 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

65 Limit Fungsi Trigonometri Proof. Akan ditunjukkan bahwa lim t c sin t = sin c Misalkan t > 0, karena radius r = 1, ÂP = t. sin t = BP < AP < ÂP = t. Maka 0 < sin t < t. Dengan cara serupa jika t < 0 maka 0 > sin t > t. Akibatnya dengan teorema Apit lim t 0 sin t = 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

66 Limit Fungsi Trigonometri lim t 0 Akibatnya jika h = t c maka cos t = lim 1 sin 2 t = lim 1 0 = 1 t 0 t 0 lim sin t t c = lim sin(h + c) h 0 = lim(sin h cos c + cos h sin c) h 0 = cos c lim sin h + sin c lim cos h h 0 h 0 = cos c.0 + sin c.1 = sin c Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

67 Limit Fungsi Trigonometri Teorema sin t lim t 0 lim t 0 t = 1 1 cos t t = 0 Contoh: Tentukan nilai limit berrikut sin 3x a. lim x 0 x 1 cos t b. lim t 0 t sin 4x c. lim x 0 tan x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

68 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

69 Limit at Infinity Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep tak berhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

70 Limit at Infinity Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep tak berhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga Ini adalah grafik y = x x 2 +1 nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju ) adalah menuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju ) adalah menuju 1. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

71 Notasi Notasi f(x) di tak berhingga adalah lim x x x = 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

72 Notasi Notasi f(x) di tak berhingga adalah lim x x x = 1 Notasi f(x) di negatif tak berhingga adalah lim x x x = 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

73 Limit at infinity Definisi 1 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang [a, ) untuk suatu a R. Dikatakan lim f(x) = L, L R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat M sehingga x x > M f(x) L < ε. 2 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang (, a] untuk suatu a R. Dikatakan lim f(x) = L, L R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat x M sehingga x < M f(x) L < ε Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

74 Limit at Infinity Teorema 1 lim x x = 0 Proof. Misal diberikan ε > 0 sembarang. Pilih M = 1 ε. Akibatnya jika x > 1 ε maka 1 x < ε atau 1 x 0 < ε Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

75 Example Misalkan y = f(x) = 5x2 +8x 3 3x 2 +2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

76 Example Misalkan y = f(x) = 5x2 +8x 3 3x x lim 2 +8x 3 = 5 x 3x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

77 Example Misalkan y = f(x) = 5x2 +8x 3 3x x lim 2 +8x 3 = 5 x 3x x lim 2 +8x 3 = 5 x 3x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

78 Asimptot Horizontal Definisi Garis y = L disebut asimptot horizontal dari f(x) jika lim f(x) = L, atau lim f(x) = L x x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

79 Infinity of Limit Ini adalah jenis limit kedua yang menggambarka nilai f(x) disekitar x = c melambung tak terbatas Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

80 Limit Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

81 Infinity of Limit Definisi 1 Fungsi f(x) dikatakan menuju tak berhingga jika x mendekati c, ditulis lim f(x) = jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga 0 < x c < δ f(x) > B Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

82 Infinity of Limit Definisi 1 Fungsi f(x) dikatakan menuju tak berhingga jika x mendekati c, ditulis lim f(x) = jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga 0 < x c < δ f(x) > B 2 Fungsi f(x) dikatakan menuju negatif tak berhingga jika x mendekati c, ditulis lim f(x) = jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga 0 < x c < δ f(x) < B Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

83 Infinity of Limit Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

84 Asimptot vertikal Definisi Garis x = c disebut asimptot vertikal dari f(x) jika lim f(x) = ± atau lim Contoh: Tentukan asimptot vertikal dari f(x) = f(x) = ± + x 3 x 2 +2x 15 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

85 contoh x 3 f(x) = dengan asimptot vertikal garis x = 5 dan asimptot x 2 +2x 15 horizontal garis y = 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

86 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

87 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

88 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

89 Asimptot Miring Definisi Garis y = ax + b disebut asimptot miring dari f(x) jika lim f(x) (ax + b) = 0 atau lim x f(x) (ax + b) = 0 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

90 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

91 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

92 Kekontinuan fungsi Perhatikan gambar berikut Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

93 Kekontinuan fungsi Definisi Misalkan f(x) terdefinisi pada interval buka I dan c I. Fungsi f disebut kontinu di titik c jika f(c) = lim f(x) f(c) = lim f(x) = lim f(x) + Artinya agar kontinu di x = c, fungsi f(x) harus memenuhi ketiga syarat berikut: lim f(x) ada f(x) ada (f(x) terdefinisi di x = c) lim f(x) = f(c) Grafik fungsi kontinu dapat digambar tanpa mengangkat pena. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

94 Tak Kontinu Terhapuskan (Removable Continuity) Definisi Diberikan fungsi f(x) yang tak kontinu di x = c. Kekontinuan f di c disebut terhapuskan bila f(c) dapat diubah sehingga f(x) menjadi kontinu di x = c. Contoh: { x 2 4 Misalkan f(x) = x 2, x 2 5, x = 2 Periksa kekontinuan f di titik x = 2? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

95 Kekontinuan sepihak Definisi Fungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f(c) = lim f(x) Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f(c) = lim + f(x) Definisi (Kekontinuan pada interval) Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu di setiap titik pada (a, b) Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinu pada (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

96 Sifat-sifat Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R. Fungsi rasional ( p(x) q(x), dengan p(x) dan q(x) polinom) kontinu pada seluruh daerah definisinya. Fungsi f(x) = x kontinu pada seluruh daerah definisinya. Fungsi f(x) = n x dengan n N kontinu pada seluruh daerah definisinya. Bila f, dan g kontinu di titik c dan k R maka: kf, f + g, f g, fg, f g dengan g(c) 0, f n, dan n f kontinu di c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

97 Contoh soal 1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut: Daerah definisinya [ 2, 4] f( 2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1 f kontinu di seluruh D f kecuali di x = 2, x = 0 dan x = 3. f(x) = 2, lim f(x) = 2, dan lim f(x) = 1. + lim x 1 x 0 x 3 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

98 Contoh soal 1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut: Daerah definisinya [ 2, 4] f( 2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1 f kontinu di seluruh D f kecuali di x = 2, x = 0 dan x = 3. f(x) = 2, lim f(x) = 2, dan lim f(x) = 1. + lim x 1 x 0 2 Tentukan a dan b agar f(x) = kontinu di R. x 3 1, x 0 ax + b, 0 < x < 1 1, x 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

99 Teorema nilai antara (TNA) Definition Misalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f(a) dan f(b) maka terdapat c [a, b] sehingga f(c) = w. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

100 TNA tak berlaku Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

101 TNA tak berlaku Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]? Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f(a) dan f(b) sehingga tidak ada c [a, b] dengan f(c) = d Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

102 Soal 1 Tunjukkan p(x) = x 3 + 3x 2 mempunyai akar real diantara 0 dan 1. 2 Tunjukkan p(x) = x 5 + 4x 3 7x + 14 mempunyai paling sedikit satu akar real. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

103 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

104 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

105 Garis singgung? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

106 Pendekatan dinamis Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

107 Gradien y = x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

108 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

109 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

110 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

111 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

112 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

113 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

114 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

115 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

116 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

117 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric Function Limit at Infinity and Infinite Limit Continuity of Functions 2 Turunan Dua masalah satu tema 3 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

118 Referensi E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum Institut Teknologi Bandung

MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum Institut Teknologi Bandung MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum 2013-2018 Institut Teknologi Bandung Buku Teks : CALCULUS, Varberg, Purcell, Rigdon, 9 th ed. Copyright 2013 - WD - Prodi Matematika FMIPA ITB - Slide 0-1 Untuk dipakai di

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh

tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 18 September 2013

Hendra Gunawan. 18 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 18 September 2013 Review: Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada [a,b],, f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar

Lebih terperinci

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak.

Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak. Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits Definisi 4.1 Notasi lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) membesar tanpa batas jika nilai x semakin dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. lim f(x) = lim f(x)

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah

Lebih terperinci

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 11 September 2013

Hendra Gunawan. 11 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 01/014 11 September 01 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Buktikan bahwa ( 5) 1. (sdh dibahas). Buktikan bahwa. 4. Buktikan kik bh bahwa 4. bh bahas sekarang

Lebih terperinci

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah

Lebih terperinci

: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR

Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika FUNGSI FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Memproses Bilangan Sebuah fungsi adalah

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]

METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2 a home base to eellene Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 0 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - a home base to eellene TIU : Mahasiswa dapat memahami it ungsi TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan it ungsi

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci