10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

Transkripsi

1 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x) f(c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal. Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog. Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah puncak di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah lembah di atas titik c. 76

2 Pengantar Analisis Real 77 Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f. Contoh 1. Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai { x + 2, x < 1, f(x) = x, x 1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di 1, namun f( 1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R. Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0. Bukti. Menurut definisi turunan, f(x) f(c) x c f (c) untuk x c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(c) > 0 (1) x c untuk x (c δ, c + δ), x c. Sekarang misalkan x (c, c + δ) sembarang. Maka, x c > 0 dan (1) memberikan f(x) f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x (c δ, c) sembarang. Maka, x c < 0 dan (1) memberikan f(x) f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c. Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Soal Latihan 1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada ( 2, 2).

3 78 Hendra Gunawan 2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut Titik Stasioner Titik c dengan f (c) = 0 disebut titik stasioner f. Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f(x) = x 3, maka f (x) = 3x 2, sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f. (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f, yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f.) Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x 2 sin 1 x untuk x 0 dan f(0) = 0 mempunyai turunan f (0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi. Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x 3 Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c 1 [a, b] dan juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c 2 [a, b].

4 Pengantar Analisis Real 79 Misalkan c 1 dan c 2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f (c) = 0 untuk setiap c (a, b). Jika c 1 bukan titik ujung [a, b], maka c 1 (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c 1. Menurut Teorema 2, f (c 1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c 2 bukan titik ujung [a, b]. Soal Latihan 1. Diketahui f(x) = x x, x R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak ada c (a, b) dengan f (c) = Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka untuk suatu c (a, b). f (c) = f(b) f(a) b a Catatan. Nilai f(b) f(a) b a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f(x) hx dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni h = f(b) f(a). b a

5 80 Hendra Gunawan Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Namun sehingga teorema pun terbukti. F (c) = f (c) h = 0, Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah y = f(c) + (x c)f (c). Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x c)f (c) merupakan hampiran yang baik untuk f(x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini? Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n 1) di c. Maka polinom P (x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! (x c)n 1 f (n 1) (c) mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1,..., n 1, yang sama dengan turunan ke-k dari f. Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untuk x di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut. Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x I, berlaku f(x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! dengan E n = 1 n! (x c)n f (n) (ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c. Proof. Untuk t di antara x dan c, definisikan F (t) = f(x) f(t) (x t)f (t) (x c)n 1 f (n 1) (c) + E n (x t)n 1 f (n 1) (t). Perhatikan bahwa Sekarang definisikan F (t) = G(t) = F (t) (x t)n 1 f (n) (t). ( x t ) nf (c). x c

6 Pengantar Analisis Real 81 Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga 0 = G (ξ) = F (ξ) + n(x ξ)n 1 (x ξ)n 1 (x c) n F (c) = f (n) n(x ξ)n 1 (ξ) + (x c) n F (c). Dari sini kita peroleh dan teorema pun terbukti. F (c) = (x c)n f (n) (ξ) n! Soal Latihan 1. Diketahui f(x) = x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c (0, 4) sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut. 2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f konstan pada [a, b]. 3. Misalkan f : R R mempunyai turunan di setiap titik dan f (x) = x 2 untuk setiap x R. Buktikan bahwa f(x) = 1 3 x3 + C, dengan C suatu konstanta. 4. Diketahui f : R R memenuhi ketaksamaan f(x) f(y) C x y p, x, y R, untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan. 5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka f f(c + h) 2f(c) + f(c h) (c) = lim h 0 h 2. Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada. 6. Misalkan c R dan n N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor bahwa (1 + c) n = 1 + nc + (Petunjuk. Tinjau f(x) = x n.) n(n 1) c c n. 2!