PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS SKRIPSI AMALIA

Transkripsi

1 PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS SKRIPSI AMALIA 58 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 9 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

2 PERANAN PERSYARATAN KARUSH-KUHN-TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS SKRIPSI Dauka utuk elegkap tugas da eeuh syarat ecapa gelar Saraa Sas AMALIA 58 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 9 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

3 PERSETUJUAN Judul : PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN QQQQQQQQQQQQQQQQQ.gTUCKER DALAM MENYELESAIKAN QQQQQQQQQQQQQQQQQ.PEMROGRAMAN KUADRATIK Katagor : SKRIPSI Naa : AMALIA Noor Iduk Mahasswa : 58 Progra Stud : PROGRAM (S) MATEMATIKA Departee : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqalam (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkutara Kos Pebbg : Dluluska d Meda, Deseber 9 Pebbg Pebbg Drs. H. Halud Paata Drs. Marwa Harahap, M.Eg NIP NIP Dketahu/Dsetuu oleh Departee Mateatka FMIPA USU Ketua, Dr. Sab Suwlo, M.Sc NIP Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

4 PERNYATAAN PERANAN PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DALAM MENYELESAIAN PEMROGRAMAN KUADRATIS SKRIPSI Saya egaku bahwa skrps adalah hasl karya saya sedr, kecual beberapa kutpa da rgkasa yag asg-asg dsebutka suberya. Meda, Deseber 9 AMALIA 58 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

5 v PENGHARGAAN Pu da syukur peuls ucapka kehadrat Allah SWT karea atas berkah da rahat- Nya kepada peuls hgga dapat eyelesaka skrps. Pada kesepata peuls egucapka bayak tera kash kepada :. Bapak Drs. Marwa Harahap, M.Eg da Bapak Drs. H. Halud Paata, selaku pebbg pada peyelesaa skrps yag telah eberka bbga, pegaraha serta peerksaa terhadap skrps sehgga dapat selesa dega bak.. Bapak Dr. Sab Suwlo, M.Sc da Drs. Hery Ra Stepu, M.S, selaku Ketua da Sekretars Jurusa Mateatka, Fakultas Mateatka da Ilu Pegetahua Ala, Uverstas Suatera Utara.. Bapak Prof. DR. Eddy Marlato, M.Sc, selaku Deka Fakultas Mateatka da Ilu Pegetahua Ala Uverstas Suatera Utara, seluruh Staf Pegaar urusa Mateatka yag telah eddk peuls selaa egkut perkulaha.. Ayahada da Ibuda tercta, abag da kakak, serta seluruh keluarga yag telah eberka seagat da dukuga yag tak terla hargaya. 5. Reka-reka ahasswa Mateatka stabuk 5, khususya Dep, Feby, Nea, Ra, Sudar, Yu, Adka, Radh, Satr, da ash bayak lag yag tdak ugk dsebutka satu persatu, tera kash atas batuaya. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

6 v ABSTRAK Salah satu betuk khusus dar perasalaha perograa oler adalah asalah perograa kuadratk. Daa perograa kuadratk elk fugs tuua yag berbetuk kuadratk da fugs kedala berbetuk ler. Dala peelta dracag sebuah peyelesaa perasalaha perograa kuadratk dega egguaka persyarata Karush Khu Tucker. Syarat yag harus dpeuh utuk optu adalah bahwa turua parsal pertaa dar fugs tuua terhadap seua varabel da pegal lagrage berla ol. ( λ ( ) ) g Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

7 v ABSTRACT Oe partcular for of olear prograg s a quadratc prograg proble. Ths quadratc prograg where the obectve fucto whch has a quadratc for ad the costrat fucto s a lear. I ths research we proposed a quadratc prograg proble solvg usg Karush Khu Tucker requreets. The codto that ust be et for the optu s that the frst partal dervatve of the obectve fucto of all varables ad Lagrage ultpler s zero. ( λ ( ) ). g Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

8 v DAFTAR ISI Halaa Persetuua Peryataa Peghargaa Abstrak Abstract Daftar Is Daftar Tabel Daftar Gabar v v v v v Bab Pedahulua. Latar Belakag. Peruusa Masalah. Taua Pustaka. Tuua Peelta 5.5 Kotrbus Peelta 6.6 Metode Peelta 6 Bab Ladasa Teor. Perograa Noler 7.. Perograa Noler Tak Berkedala 7.. Perograa Noler Berkedala 8. Perasalaha Perograa Kuadrats.. Pelha Portofolo dega Sekurtas Beresko.. Masalah Trasportas dega Dsko Volue pada Baya Pegra Barag. Kovekstas Fugs 6.6. Fugs Koveks atau Kokaf Satu Varabel 7.6. Fugs Koveks da Kokaf utuk Beberapa Varabel 7. Matrks Hessa 9.5 Matrks Defte Postf.6 Persyarata Karush Khu Tucker.7 Masalah Kopleetartas 7 Bab Pebahasa. Perograa Kuadrats Tak Berkedala 9. Perograa Kuadrats Berkedala odfkas spleks. Perograa Kuadrats Karush Kuh Tucker 7 Bab Peutup. Kespula. Sara Daftar Pustaka Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

9 v DAFTAR TABEL Halaa Table. U Kovekstas utuk Fugs Dua Varabel 9 Tabel. Tabel Spleks teras,,, da 9 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

10 DAFTAR GAMBAR Halaa Gabar. Betu Hpua Koveks da buka Koveks 6 + Gabar. Plot dar f (, ) Gabar. Grafk dar ( ) f 9 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

11 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Pesatya perkebaga lu pegetahua da tekolog ebuat ateatka ead sagat petg artya. Oleh karea tu dapat dkataka bahwa perkebaga lu pegetahua da tekolog tersebut tdak lepas dar peraa ateatka. Hapr dapat dpastka bahwa setap baga dar lu da tekolog bak dala usur kaa uu lu ur aupu terapaya eerluka peraa ateatka sebaga lu batuya. Salah satu baga dar ateatka terapa adalah progra lear (lear prograg) yag erupaka suatu odel dar peelta operasoal (operato research) yag dguaka utuk eecahka asalah optas. Dala asalah optas kta dta utuk eetuka la optu (la aksu atau la u) dar suatu fugs ateatk. Nau dala peograa ler seua fugs yag terlbat (fugs tuua da fugs kedala) adalah ler. Meskpu pada dasarya daplkaska pada bayak asalah prakts, asus serg kal tdak sesua. Pada keyataaya, bayak ahl ekoo eeuka draat oleartas yag erupaka suatu atura da buka erupaka suatu perkecuala dala berbaga asalah. Oleh sebab tu, serg kal eag perlu utuk segera egarahka pada asalah perograa oler, sehgga kta efokuska perhata pada area yag petg. Terdapat bayak es asalah perograa oler, tergatug pada karakterstk fugs tuua da fugs kedala. Salah satuya adalah peograa kuadrats yag erupaka betuk khusus dar perograa oler. Daa asalah perograa kuadarats elk kedala ler, tetap fugs tuua Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

12 berbetuk kuadrats. Oleh karea tu, satu-satuya perbedaa atara perograa dega perograa ler terletak d fugs tuuaya yag elbatka pagkat dua dar varabel atau perkala dar dua varabel. Beberapa etode telah dkebagka utuk eyelesaka kasus perograa kuadrats dega asus tabaha fugs tuua erupaka fugs kokaf. Salah satu etode utuk eyelesaka asalah perograa kuadrats adalah dega persyarata Karush-Kuh-Tucker. Metode sagat efektf utuk perasalaha optas oler dega kedala pertdaksaaa.. Peruusa Masalah Dega pedekata persyarata Karush-Kuh-Tucker dapat dperoleh optas dar perograa kuadrats. Dala hal kods yag perlu dperhatka adalah egkut syarat cukup agar edapatka la-la varabel yag optal utuk ecapa hasl yag dgka.. Taua Pustaka. Perograa Kuadrats Perograa kuadrats adalah asalah optas daa eaksuka atau euka fugs tuua yag berbetuk kuadrats dega fugs kedalaya berbetuk persaaa atau pertdaksaaa ler. Betuk fugs kuadrats dega varabel (,..., ) f ( ) c + qk k k adalah :, Dega egguaka otas atrks aka persaaa datas dapat dsederhaaka ead Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

13 f T ( ) c + Q Dega kedala A b da Daa: Q A c b R atrks setrs () yag dkeal uga dega atrks Hessa R atrks kedala R vektor kolo dar varabel keputusa R vector bars dar fugs tuua R vector kolo dar kedala baga kaa T trasposs atrks Adaya faktor pada fugs tuua erupaka kostata q (elee dar Q ) daa q q. Maka setelah elakuka perkala atrks da vektor aka fugs tuuaya dyataka dala q, dala peulaha gada c (elee c) da utuk tap suku dega sehgga - q erupaka koefse dar. Ketka aka ( q + q ), sehgga q adalah koefse total utuk perkala da. Ketka fugs obektf f () adalah cebug sepura (kokaf) utuk seua daerah layak dperoleh ttk yag erupaka u lokal da uga global. Maka dala kods sepert ea bahwa Q adalah defte postf.. Kods Karush-Kuh-Tucker Pada tahu 95 Kuh Tucker egeukaka suatu tekk optsas yag dapat dguaka utuk pecara ttk optu dar suatu fugs yag berkedala. Metode Karush Kuh Tucker dapat dperguaka utuk ecar solus yag optu dar suatu fugs tapa eadag sfat dar fugs tersebut apakah ler atau oler. Jad etode Kuh Tucker bersfat tekk yag uu dala Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

14 pecara ttk optu dar setap fugs. Metode Karush Kuh Tucker dapat dguaka utuk eecahka persoala bak yag oler aupu yag ler. Jka kta eghadap asalah optas dala betuk : Maksuka / uka : f ( X ) Dega kedala : ( X ) / Z dega t X,,..., } { g dega,,,, X (ulah kedala lebh kecl dar varabel) Pertaa tulska kebal persyarata-persyarata yag tak egatve sepert,,...,, sehgga hpua kedalaya adalah + persyarata ketdaksaaa yag asg-asg dega tada lebh kecl dar pada atau saa dega. Keuda tabahka varabel-varabel kurag, +,..., + + berturutturut pada ruas kr dar kedala-kedala tad, yag dega deka erubah taptap ketdaksaaa ead suatu kesaaa. Varabel-varabel kedur (slack varables) yag dtabahka ds berbetuk suku-suku kuadrat utuk ea bahwa ereka tak egatf. Keuda betuk fugs Lagrage : + [ + ] λ[ + ] L f ( X ) λ g ( X ) + + Utuk persaaa λ,...,, λ λ + adalah pegal-pegal Lagrage. Terakhr selesaka sste L (,,..., + ) L λ (,,..., + ) λ (,,..., + ) Persaaa-persaaa datas ebetuk persyarata Karush-Kuh-Tucker utuk aksas ataupu as progra ler da oler. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

15 5. Kods Optal dala Perograa Kuadrats Prosedur egguaka Kods Karush-Kuh-Tucker utuk eecahka suatu asalah optas dala perograa kuadrats dega kedala berupa suatu pertdaksaaa, secara essesal elbatka lagkah-lagkah yag saa sepert halya dala egguaka teorea Lagrage utuk eecahka asalah optas dega kedala berupa persaaa, yatu pertaa betuklah suatu Lagragea L.[] Jad dala hal dbetuk suatu fugs L T (, y) Q + c + y ( A b) Daa y adalah bars vektor des. Maka kods Karush-Kuh-Tucker utuk lokal u eeuh L T,,,..., c + Q + ya L y,,,..., A b L,,,..., ( ) y g,,,..., T T T ( c + Q + A y) y ( A b),,,..., y,,,..., y Daa y R surplus varabel oegatf v R slack varabel oegatf.. Tuua Peelta Adapu tuua peulsa adalah eguraka cara da persyarata Karush- Kuh-Tucker utuk edapatka la optu (la aksu atau la u) dar perograa kuadrats. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

16 6.5 Kotrbus Peelta Sela utuk tabaha lteratur da pegetahua pebaca egea etode yag dapat dguaka dala eetuka la optu dar peograa kuadrats, dala bdag ekoo peelta uga berafaat utuk ebatu eforulaska perograa kuadrats dala pelha portofolo da sekurtasya yag beresko..6 Metode Peelta Metode peelta dala tulsa adalah :. Mebuat forulas odel perograa kuadrats dala betuk persyarata Karush-Kuh-Tucker. Fugs tuua yag telah dodfkas ead L ( ) f ( X ) + g ( X ), λ λ ; harus sesua pada ttk tersebut. Meghtug ttk-ttk krts da egu la utuk fugs obektf pada setap ttk-ttk krts tersebut yag ebuat la fugs obektf ead optu.. Mecar seua solus (,λ) dala hpua persaaa berkut L Daa L λ (, λ) (, λ) ;,,..., ; λ L λ (, λ) ;,,..., l λ 5. Dperoleh ttk-ttk krts yag erupaka solus optal dar perograa kuadrats. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

17 7 BAB LANDASAN TEORI. Perograa Noler Perograa oler erupaka perograa dega fugs tuuaya saa atau bersaa dega fugs kedala berbetuk oler yatu pagkat dar varabelya lebh dar satu. Salah satu betuk uu asalah perograa oler adalah utuk eetuka (,,..., ) Maksuka / Muka : f ( ) sehgga ecapa tuua utuk: g da Dega kedala : ( ) Dega f ( ) da ( ) keputusa. g erupaka fugs yag dketahu dega varabel Terdapat bayak es asalah perograa oler dala berbaga betuk. Hal tergatug pada karakterstk fugs tuua da kedalaya. Perograa oler dapat epuya kedala ataupu tdak epuya kedala... Perograa Noler Tak Berkedala Perograa oler tak berkedala erupaka asalah optas yag tdak elk batasa-batasa, sehgga utuk (,..., ) tuua adalah Maksuka / Muka : f ( ), epuya fugs Syarat perlu da cukup agar suatu peyelesaa * erupaka peyelesaa optal saat f() erupaka fugs yag dapat dturuka adalah Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

18 8 f Pada *, utuk,,..., Daa f ( ) erupaka fugs kokaf, kods uga ecukup, sehgga ecar solus utuk * tereduks ead peyelesaa dar sste persaaa yag dperoleh dega turua parsal saa dega ol. Ketka varabel elk kedala oegatvtas atau, kods yag dperluka da ugk cukup aka berubah ead f pada pada * *,, ka ka * * > Utuk setap. Setelah ttk krts yag eeuh kods dketahu, asg-asg ttk dgologka sebaga aksu atau u lokal ka fugs tersebut bersfat koveks ataupu kokaf dsektar ttk tersebut. Maksu da u global aka dteuka dega ebadgka u lokal da aksu lokal da keuda egu la dar fugs tersebut dega sebaga varabel edekat atau +. Jka fugs dketahu koveks aupu kokaf, aka ttk krtsya pastlah erupaka u global aupu kasu globalya... Perograa Noler Berkedala Perograa oler berkedala erupaka asalah optas yag elk batasa-batasa, sehgga utuk (,..., ),, aka betuk stadard utuk progra-progra tak ler yag egadug haya kedala-kedala kesaaa (equalty) adalah Maksuka / Muka : f ( ) Dega kedala : g ( ) g ( ) Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

19 9 Ds (ulah kedala lebh kecl darpada varabel), ka terad bahwa >, aka basaya tdak dapat dselesaka. Pada progra as dapat dubah ke dala betuk progra aksas dega egalka fugs obektf -. Suatu etode yag dapat dpaka utuk eyelesaka asalah optas adalah etode pegal Lagrage. Metode pegal Lagrage dplh karea prsp keraya sederhaa da udah degert. Metode dula dega pebetuka fugs Lagraga yag ddefska sebaga: L ( X, λ ) f ( X ) + λ g ( X ) Teorea: Syarat perlu bag sebuah fugs f(x) dega kedala g (X), dega,,..., agar epuya u relatf pada ttk X* adalah dervas parsal pertaa dar fugs Lagrageya yag ddefska sebaga L L(,...,, λ, λ,..., λ ) terhadap setap argueya epuya la ol., Teorea: Syarat harus bag sebuah fugs f(x) agar epuya u (atau au) relatf pada ttk X* adalah ka fugs kuadrat, Q, yag ddefska sebaga Q L devaluas pada X X* harus deft postf (atau egatf) utuk setap la dx yag eeuh seua kedala. Syarat perlu agar Q L ead deft postf (atau egatf) utuk setap varas la dx adalah setap akar dar poloal, z, yag ddapat dar detera persaaa d bawah harus postf (atau egatf). Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

20 ( L z) L L g g g M M L ( L z) L g g g M M L L O L g g g M K K K K K K K K L L M ( L z) g g g M g g g M M g g g M M K K K K K K K K g g M g M * L( X,λ) Dega L da g g * ( X ) Pegal Lagrage epuya art secara fsk yag eark. Msalka terdapat perasalaha optas dega satu kedala sebaga berkut: Maksuka / Muka : f ( ) Dega kedala : g ( ) b Fugs Lagrage-ya adalah L ( X, λ) f ( X ) + λ( b g( X )) Syarat perlu utuk peyelesaa datas adalah : L utuk,,..., da L λ Persaaa datas eghaslka : f g λ utuk,,..., ( X ) b g atau b g Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

21 Maka : f g λ utuk,,..., f g atau λ atau atau f λ g f g λ df dg Meghaslka hasl yag fal yatu : df λdb atau df λ * db Dar Persaaa dapat dtark kespula bahwa: pada peyelesaa optu, perubaha fugs tuua f, berbadg lurus dega perubaha kedala b dega faktor sebesar pegal Lagrage λ. Betuk stadard dar progra-progra tak ler yag egadug haya kedala-kedala ketdaksaaa adalah : Maksuka / Muka : f ( ) Dega kedala : ( ) g utuk,,..., Kuc dar peagaa perasalaha d atas adalah erubah kedala pertdaksaaa ead persaaa dega eabah varabel slack. Masalah perograa dtada dega adaya kedala-kedala yag saa sepeuhya dega perograa ler. Seua fugs kedala g ( ) adalah ler, tetap fugs tuua f ( ) berbetuk oler. Masalah dpertbagka secara sederhaa dega haya elk satu fugs oler yag dperhtugka, bersaa dega daerah layak dar perograa ler. Seulah algorta khusus yag ddasar atas perluasa etode spleks telah dkebagka utuk eperhtugka fugs tuua yag oler. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

22 . Perasalaha Perograa Kuadrats Masalah perograa kuadrats elk fugs tuua yag berbetuk kuadrats yag elbatka da ( ) da elk kedala berbetuk ler. Perograa kuadrats sagat petg karea dapat dterapka pada berbaga asalah yag ada. Beberapa cotoh kasus yag erupaka asalah dar perograa kuadrats adalah :.. Pelha Portofolo dega Sekurtas Beresko Saat para aer professoal dar portofolo besar basa egguaka odel koputer berbass perograa oler utuk eadu pekeraa ereka. Oleh karea tu verstor harus eperhatka bak ekspetas pedapata aupu resko vestas, perograa oler dguaka utuk eetuka portofolo yag pada asus tertetu dapat eghaslka kesebaga optal atara kedua factor tersebut. Pedekata sebaga besar erupaka hasl rset yag dlakuka oleh Harry Markowtz da Wlla Sharpe, peeag hadah obel tahu 99 dala bdag ekoo karea hasl rsetya tersebut. Model perograa oler utuk asalah dapat druuska sebaga berkut. Msalka terdapat ses saha/sekurtas yag sedag dpertbagka utuk asuk dala portofolo, da varabel keputusa (,,..., ) dar saha yag asuk dala portofolo. μ da adalah share σ adalah (estas) rata-rata da varas asg-asg utuk pedapata setap share dar saha, dega sebaga ukura resko dar saha. Utuk,,..., ( ) σ, adalah σ kovaras dar pedapata setap share atara saha da saha. Oleh karea tu sult egestas seluruh la σ, lagsug dar R ( ) da varas ( ) R σ da σ. Keuda, la ekspetas V dar total pedapata keseluruha portofolo adalah ( ) μ Da V ( ) σ Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

23 Dega V ( ) egukur resko yag terasosas dega portofolo. Salah satu cara utuk epertbagka kesebaga atara dua faktor adalah dega egguaka V ( ) sebaga fugs tuua utuk dalka da egguaka kedala yag eastka R ( ) tdak lebh kecl dar ekspetas pedapata u yag dapat dtera. Model perograa oler yag legkap adalah Muka V ( ) σ Dega kedala μ p L B utuk,,..., dega L adalah ekspetas pedapata u yag dapat dtera, P adalah harga tap share dar saha da B adalah ulah uag yag daggarka utuk portofolo. Utuk elh la L yag sesua agar tercapa kesebaga terbaok atara R ( ) da ( ) V relatf sult. Jad darpada berhet dega satu plha la L, pedekata perograa oler paraetrc basa dguaka utuk ebagktka solus optal sebaga fugs L pada ksara la L yag lebar. Lagkah selautya adalah egevaluas R ( ) da ( ) V utuk solus optal tersebut da elh solus yag eberka kesebaga atara dua la tu. Prosedur serg dsebut pebagkta solus pada batas efse dar grafk dua des ttk-ttk R( ), V ( )} utuk la yag layak. Alasaya adalah ttk { ( ), V ( )} { R yag optal utuk (pada beberapa la L ) past terletak pada batas daerah layak setap la optal dsebut efse karea tdak ada solus layak la yag sekuragkuragya elk satu la ukura yag saa R atau V da lebh bak pada ukura yag la (la V yag lebh kecl atau la R yag lebh besar). Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

24 .. Masalah Trasportas dega Dsko Volue pada Baya Pegra Barag Jes aplkas dar asalah trasportas dega volue pada baya pegra barag adalah eetuka recaa yag optal utuk egrka barag dar berbaga suber ke berbaga tepat tuua pegra, dega kedala suber da pertaa, dega tuua utuk ealka total baya pegra. Kta asuska baya pegra per ut dar suber tertetu ke tuua pegra adalah tetap, tapa eperhatka ulah pegra. Pada keyataaya, baya ugk tdak tetap. Dsko volue kadag terseda utuk pegra dala ulah yag besar sehgga baya argal pegra satu atau lebh ut ugk aka egkut pola bla ulah pegra besar aka baya argal uga aka seak besar begtu uga sebalkya. Dega deka haslya adalah baya yag terad dar pegra ut dberka dala betuk fugs oler C ( ), yag erupaka fugs pooga ler saa dega baya argal.. kosekuesya, ka setap kobas dar suber da tuua elk fugs baya pegra yag saa aka baya pegra ut dar suber (,,..., ) ke tuua (,,..., ) dyataka dega fus oler C ) sehgga keseluruha fugs tuua dalka adalah f ( ( ) C ( ) Meskpu dega fus tuua yag oler, kedala dar perasalaha adalah kedala ler khusus yag sesua dega odel perasalaha traportas. Dar cotoh-cotoh kasus datas aka dapat kta tulska betuk stadard dar perograa kuadrats yatu Muka : f ( ) c + q Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

25 5 Dega egguaka otas atrks aka persaaa datas dapat dsederhaaka ead T Muka : f ( ) c + Q Dega kedala: A b da Daa: Q A c b R atrks setrs () yag dkeal uga dega atrks Hessa R atrks kedala R vektor kolo dar varabel keputusa R vector bars dar fugs tuua R vector kolo dar kedala baga kaa T trasposs atrks Adaya faktor pada fugs tuua erupaka kostata q (elee dar Q ) daa q q. Maka setelah elakuka perkala atrks da vektor aka fugs tuuaya dyataka dala q, dala peulaha gada c (elee c) da utuk tap suku dega sehgga - q erupaka koefse dar. Ketka aka ( q + q ), sehgga q adalah koefse total utuk perkala da. Beberapa algorta telah dkebagka utuk khasus perograa kuadrats dega fus tuua erupaka fugs kokaf. Satu cara utuk ebuktka bahwa fugs tuua erupaka fugs kokaf adalah dega ebuktka kods yag sepada dega T Q. Utuk seua yatu Q erupaka atrks defte postf. Peyelesaa dar asalah perograa kuadrats dapat dlakuka dega pedekata kods persyarata Karush Kuh Tucker keuda dyataka ulag dala betuk yag rp dega progra ler, sehgga eperudah ecar solus optalya. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

26 6. Kovekstas Fugs Kosep kovekstas serg dguaka dala bdag peelta operasaal, terutaa dala ruag lgkup perograa oler. Kosep fugs koveks berhubuga lagsug dega hpua koveks. Jad, ka f (,..., ), adalah fugs koveks aka kupula ttk-ttk yag terletak datas atau pada grafk ( ), ebetuk hpua koveks. Hal yag saa, kupula ttk yag f,..., terletak d bawah atau pada grafk fugs kokaf adalah hpua koveks. Hpua koveks epuya sfat petg yatu utuk beberapa hpua koveks, kupula ttk yag berada dala seua hpua (rsa dar hpua koveks) uga erupaka hpua koveks. Dega deka, kupula ttk yag terletak d atas atau pada fugs koveks da d bawah atau pada fugs kokaf adalah erupaka hpua koveks uga. Jad, hpua koveks dapat dlhat secara tutf sebaga kupula ttk dega batas atas fugs koveks da batas bawah fugs kokaf. Sebuah hpua vektor berdes- adalah koveks ka utuk dua vektor yag terasuk dala hpua berlaku bahwa peggal gars (le seget) atara kedua vektor uga terasuk dala hpua. C C Q P S Peggal gars atara P da Q R Gabar. Betuk Hpua Koveks da Buka Koveks Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

27 7.. Fugs Koveks atau Kokaf Satu Varabel Defs : Fugs satu varabel f ( ) dsebut fugs koveks ka setap pasaga la, katakalah da ( < ), f [ + ( λ) ] λf ( ) + ( λ) f ( ) λ utuk seua la λ yag eeuh < λ <. Fugs tersebut erupaka fugs koveks ketat ka dapat dgat < da erupaka fugs kokaf (fugs kokaf ketat) ka peryataa dgat dega (atau dega > ). f ( ) bersfat koveks ka utuk setap pasag ttk pada grafk f ( ), sege gars yag eghubugka kedua ttk terletak pada ataupu datas grafk f ( ) da begtu uga sebalkya utuk fugs kokaf. Tepatya ka eelk turua kedua, aka f ( ) bersfat koveks ka da haya ka f ( ) / d > la yag ugk. d utuk setap U kovekstas utuk fugs satu varabel : Pertbagka fugs satu varabel f ( ) yag eelk turua kedua utuk setap la yag ugk. Dega deka, fugs f ( ) dapat bersfat: d f ( ). Koveks ka da haya ka d. Koveks ketat ka da haya ka. Kokaf ka da haya ka d f d. Kokaf ketat ka da haya ka ( ) d f d utuk setap la yag ugk. ( ) > utuk setap la yag ugk. utuk setap la yag ugk. d f d ( ) < utuk setap la yag ugk... Fugs Koveks da Kokaf utuk Beberapa Varabel Kosep fugs koveks da kokaf dar satu varabel dapat dgeeralsaska utuk fugs dega lebh dar satu varabel. Dega deka, saat f ( ) dgatka dega fugs f (,..., ), defs ash dterapka apabla dgatka oleh (,,..., ). Hal yag saa, peafsra geoetr yag berhubuga uga berlaku Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

28 8 setelah geeralsas kosep ttk da sege gars. Jad, saa dega la (, y) tertetu dtafsrka sebaga sebuah ttk dala ruag dua des. Setap keugka la dar (,..., ) des (ruag Euclde)., dapat dartka sebaga ttk dala ruag Msalaka +, ttk pada grafk f (,,..., ) ead la yag ugk dar ttk [,,...,, f (,,..., )]. Keuda, (,,...,, + ) dkataka terletak d atas, tepat, atau d bawah grafk f (,..., ) la +, tergatug pada yag lebh besar, saa dega atau lebh kecl darpada f (,..., ),. Defs : Sege gars yag eghubugka kedua ttk (,,..., ) da (,,..., ) erupaka peulaha ttk-ttk (,..., ) λ λ λ λ λ λ, [ + ( ), + ( ),..., + ( ) ] dega λ. Jad sege gars dala ruag lagsug dar sege gars dala ruag dua des. des erupaka geeralsas Defs : ( ) f,...,, erupaka fugs koveks ka utuk setap pasag ttk pada grafk ( ) f,...,,, sege gars yag eghubugka kedua ttk tersebut seluruhya terletak d atas atau tepat pada grafk fugs f (,..., ),. Fugs tersebut erupaka fugs koveks ketat ka sege gars tersebut seluruhya terletak datas grafk kecual pada kedua ttk akhrya. Begtu uga sebalkya utuk fugs kokaf da fugs kokaf ketat. Turua parsal kedua dapat dguaka utuk egu fugs bayak varabel koveks atau tdak, eskpu dega cara yag lebh kopleks. Msalya, ka terdapat dua varabel da seua turua parsal ada d seua tepat, u kovekstas ela tga kuattas eeuh pertdaksaaa yag sesua utuk seua la ( ), yag ugk sepert yag dtuukka pada tabel berkut : Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

29 9 Tabel. U Kovekstas utuk Fugs Dua Varabel Kuattas Koveks Koveks Ketat Kokaf Kakaf Ketat ), ( ), ( ), ( d d f d d f d d f d ), ( d f d ), ( d f d > > > > < < ( ) f,...,, adalah koveks ka da haya ka atrks Hessa ya postf defte utuk seua la ( ),...,, yag ugk. U kovekstas selalu dperluka sebaga sfat uu fugs. Aka tetap, beberapa fugs okoveks eeuh syarat kovekstas pada terval tertetu dar varabel. Dega deka, petg utuk ebcaraka fugs yag ead koveks pada daerah tertetu.. Matrks Hessa Matrk Hessa adalah atrk yag setap eleeya dbetuk dar turua parsal kedua dar suatu fugs. Mlsalka f() fugs dega varabel yag elk turua parsal kedua da turua-turuaya kotu, Matrks Hessa dar f() dtuls H adalah f f f f f f f f f H L L O L L L L Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

30 Matrk Hessa dapat dguaka utuk elakuka u turuaa kedua fugs lebh dar satu varabel, yatu utuk egdetfkas optu relatf dar la fugs tersebut. Peggologa ttk stasoer fugs dua varabel dega egguaka Matrks Hessa salka f() F(,...,) adalah fugs berla real daa seua turua parsalya kotu. Msalka adalah ttk stasoer dar F da kta defska H H( ) dega persaaa H F y ( ) daa H (t) adalah Hessa dar F pada Ttk stasoer dapat dgologka sebaga berkut :. adalah suatu u relatf dar F ka H ( ) defte postf. adalah suatu aksu relatf dar F ka H ( ) defte egatf. adalah suatu ttk pelaa dar F ka H ( ) defte Teorea. : Msalka la ege dar atrks H adalah λ, λ, λ,, λ yag ddefska oleh λi H dega I adalah atrks dettas ukura. Maka : () H adalah defte egatf ka da haya ka la ege dar atrks H yatu λ, λ, λ,, λ keseuaya bertada egatf. () H adalah defte postf ka da haya ka la ege dar atrks H yatu λ, λ, λ,, λ keseuaya bertada postf. () H adalah Se defte egatf ka da haya ka la ege dar atrks H yatu λ,,,,, (v) H adalah Se defte postf ka da haya ka la ege dar atrks H yatu λ,,,,, Cotoh : f (, ) Ttk-ttk ekstre harus eeuh syarat: Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

31 f f ( + ) ( + 8) Persaaa d atas dpeuh oleh ttk-ttk (, ); (, 8/); ( /, ); da ( /, 8/) Utuk egetahu ttk yag aa yag au da yag aa yag u, harus dseldk atrk Hessaya. Dervas kedua dar f adalah: f +, 6 f 6 Jad atrk Hessaya ead , H sehgga [ ] f da 6 + H 6 + da H Nla atrk Hessa utuk asg-asg ttk ekstre dsaka d bawah. (, ) Matrks H H H Sfat H Sfat (, ) f (, ) 8 (,) 8, 8, 8, Defte postf Mu 6 + Tak tetu Ttk belok Tak tetu Ttk belok + Defte egatf Maksu Gabar. Plot dar f (, ) Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

32 .5 Matrks Defte Postf Betuk kuadrat pada ( ),...,, adalah ekspres yag dapat kta tuls sebaga [ ] A M..,...,,. Dega A adalah atrks setrk. Jad salka X M aka betuk dapat dtuls sebaga AX X t Defs Betuk kuadrat AX X t dsebut defte postf ka AX X t > utuk seua, sedagka atrks setrk A kta sebut atrks deft postf ka AX X t adalah betuk kuadrat deft postf. Cotoh : Dpuya atrks setrk berkut : a Utuk egka apakah atrks A bersfat defte postf, aka: [ ] AX X t [ ] + + ) ( ) ( ) ( Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

33 ( ) + ( + ) ( + + ) + ( ) Dar s dapat dspulka bahwa atrk A bersfat deft postf karea eeuh: + ( ) + ( ) + kecual ka > Sebalkya atrk A da betuk kuadrat X t AX dsebut :. Defte egatf ka X t AX <, utuk seua.. Sedefte postf ka X t AX, utuk seua.. Sedefte egatf ka X t AX, utuk seua.. Idefte bla tdak terasuk gologa datas. Hpua syarat perlu da syarat cukup utuk betuk-betuk deft postf da egatf. yatu :. Syarat perlu da syarat cukup utuk betuk defte postf. Suatu hpua syarat perlu da syarat cukup betuk postf adalah h h h h >, h h >, h h h >,..., A > h h h h h X t AX sebaga defte Jka or dar A adalah postf, aka X t AX adalah defte postf. Da X t AX haya defte postf, ka or-or postf.. Syarat perlu da syarat cukup utuk betuk defte egatf Suatu hpua syarat perlu da syarat cukup betuk egatf atau setaraya utuk X t AX X t (A) X sebaga defte postf adalah h h h h <, h h >, h h h <,..., ( ) A > h h h h h Daa a adalah elee-elee dar A (buka A) ead defte Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

34 .6 Persyarata Karush Khu Tucker Pada tahu 95 Kuh Tucker egeukaka suatu tekk optsas yag dapat dguaka utuk pecara ttk optu dar suatu fugs yag berkedala. Metode Karush Kuh Tucker dapat dperguaka utuk ecar solus yag optu dar suatu fugs tapa eadag sfat dar fugs tersebut apakah ler atau oler. Jad etode Kuh Tucker bersfat tekk yag uu dala pecara ttk optu dar setap fugs. Metode Karush Kuh Tucker dapat dguaka utuk eecahka persoala bak yag oler aupu yag ler. Jka kta eghadap asalah optas dala betuk : Maksuka / uka : f ( X ) Dega kedala : ( ) / Z dega t X,,..., } { g X dega,,,, X (ulah kedala lebh kecl dar varabel) Pertaa tulska kebal persyarata-persyarata yag tak egatve sepert,,...,, sehgga hpua kedalaya adalah + persyarata ketdaksaaa yag asg-asg dega tada lebh kecl dar pada atau saa dega. Keuda tabahka varabel-varabel kurag, +,..., + + berturutturut pada ruas kr dar kedala-kedala tad, yag dega deka erubah taptap ketdaksaaa ead suatu kesaaa. Varabel-varabel kedur (slack varables) yag dtabahka ds berbetuk suku-suku kuadrat utuk ea bahwa ereka tak egatf. Keuda betuk fugs Lagrage : + [ + ] λ[ + ] L f ( X ) λ g ( X ) + + Utuk λ, λ,..., λ + adalah pegal-pegal Lagrage. Terakhr selesaka sste persaaa Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

35 5 L (,,..., + ) L λ (,,..., + ) λ (,,..., + ) Utuk fugs koveks, syarat perlu da cukup utuk ecapa ttk u dapat dcar egguaka syarat Karush Kuh Tucker. Tetap utuk fugs okovek, syarat Karush Kuh Tucker erupaka syarat perlu saa, tetap belu cukup utuk ecapa optal. Jad utuk asalah es koveks, syarat Karush Kuh Tucker ead syarat perlu da cukup utuk sebuah u/aksu global. Teorea (Frederck S. Hller da Gerald J. Lebera, 99) Msalka f(,y) erupaka fugs varabel. f(,y) erupaka fugs koveks ka da haya ka dpeuh ketga syarat berkut : () d f (, d ) d. f (, d ) d f (, d d ) d f (, ) () d d f (, ) () d Teorea (Frederck S. Hller da Gerald J. Lebera, 99) Suatu fugs varabel f(,y) erupaka fugs kokaf ka tdak eeuh palg tdak satu dar ketga syarat pada teorea, atau dega kata la f(,y) erupaka fugs koveks. Teorea (Frederck S. Hller da Gerald J. Lebera, 99) Utuk perasalaha dega asus f() kokaf da g() koveks, aka syarat perlu da cukup keoptalaya berdasarka teorea berkut. Msalka f ), g ( ), g ( ),..., g ( ) erupaka fugs-fugs yag dapat dturuka aka ( Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

36 6 *,,..., ) erupaka peyelesaa optal utuk asalah progra oler ( apabla terdapat seulah λ utuk f g () + λ,,..., () λ,,..., g () g,,..., (v) λ,,...,,,..., sehgga seua syarat terpeuh : Syarat Karush Kuh Tucker utuk progra oler berkedala : Teorea Dasuska f ), g ( ), g ( ),..., g ( ) erupka fugs yag dapat dturuka ( * aka,,..., ) ead solus optal utuk perasalaha perograa ( oler haya ka terdapat seulah blaga syarat kods Karush Kuh Tucker berkut terpeuh : f g * () λ pada utuk,,..., μ, μ,..., μ sehgga seua () f g λ pada * utuk,,..., () g ( * ) b utuk,,..., λ utuk,,..., (v) [ g ( ) ] * b (v) * utuk,,..., (v) λ utuk,,..., Dapat dlhat dark kods () da (v) eerluka hasl perkala dua kuattas saa deg ol. Oleh karea tu, tap kods eyataka bahwa setdakya salah satu dar kuattas tu harus saa dega ol. Akbatya, kods (v) dapat dgabug dega kods () utuk eyataka ereka dala betuk la sebaga berkut.: g ( * ) b (atau ka μ ) utuk,,..., Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

37 7 Deka pula kods () dapat dgabug dega kods () ead : f g λ (atau ka * ) utuk,,..., Ketka (tdak ada kedala yag berbetuk fugs), ulaha berbla da fugs gabuga (,) ead kods yag ada. Oleh karea tu, utuk >, tap suku dala ulaha egubah kods utuk dega easukka pegaruh dar kedala berbetuk fugs yag bersagkuta. Dala kods datas, μ setara dega varabel dual dala perograaa ler da elk terpretas ekoo yag uga dapat dperbadgka. Aka tetap, μ uga ada dala peurua ateatka sepert dala faktor pegal Lagrage. Pada kods () da (v) haya elakuka peegasa kelayaka dar solus. Kods yag laya eghlagka sebaga besar solus layak laya ead kaddat yag ugk utuk ead solus optal. Corollary Dasuska bahwa ( ) f erupaka fugs kokaf da ), g ( ),..., g ( ) g( erupaka fugs koveks (salaka saa asalah erupaka asalah perograa koveks), dega seua fugs eeuh kods basa. Lalu * * * * (,,..., ) adalah solus optal ka da haya ka seua kods teorea terpeuh..7 Masalah Kopleetartas Saat kta berhadapa dega perograa kuadrats, aka kta harus egetahu terlebh dahulu bagaaa eyelesaka perasalaha perograa oler tertetu dapat dreduks ead eecahka asalah kopleetartas. Dega varabel w,...,, w wp da z, z,..., z p eeuka solus layak utuk kedala w F(z) w z, asalah kopleetartas bertuua Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

38 8 Yag uga eeuh kedala kopleetartas w T z Ds, w da z adalah vektor kolo. F adalah fugs berla vektor yag dketahu, da T eadaka traspose atrks. Masalah tdak elk fugs tuua, sehgga secara teks bukalah ur asalah perograa oler. Hal dsebut asalah kopleetartas karea hubuga kopleeterya. w atau z (atau kedua-duaya) utuk,,..., p Suatu kasus khusus yag petg yatu asalh kopleetartas ler dega F ( z) q + Mz Dega q erupaka vektor kolo yag dketahu da M adalah atrks pp yag dketahu. Algorta yag efse telah dkebagka utuk peecaha asalah dega asus tertetu tetag sfat atrks M. satu es algorta egguaka peutara (pvotg) dar satu solus BF (Basc Feasble) kesolus BF selautya, sepert etode spleks dala perograa ler. Masalah kopleetartas elk aplkas dala teor peraa, asalah kesebaga ekoo, da asalah kesebaga tekk sebaga tabaha sebaga aplkas dar perograa oler. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

39 9 BAB PEMBAHASAN Dala asalah optas terdapat dua betuk optas yatu, optas fugs tak bersyarat da optas fugs bersyarat. Kta sudah egeal beberapa cara utuk eyelesaka betuk yag pertaa sepert u turua pertaa, u turua kedua, utuk fugs satu varabel, serta u parsal kedua utuk fugs dua varabel, seuaya telah duraka pada bab sebeluya. Sedagka utuk es yag kedua erupaka es yag palg bayak kta upa dala kehdupa yata. Bayak aplkas dar peodela ateatka dala optas fugs yag esyaratka beberapa kods atau syarat utuk dperoleh suatu solus optal. Syarat yag egoptuka fugs tuua. Persoala dega odel tersebut daaka optas bersyarat. Betuk uu dar optas fugs dega kedala adalah tetuka la dar varabel keputusa (la ekstr) (,..., ) fugs dar perasalaha:, yag eaksuka (euka) Maksuka / uka : Z f ( X ) Dega kedala : g ( X )( / ) b g ( X )( / ) b dega,,,, X (,, ) b Daa f(x) erupaka fugs tuua (obectve fucto), da ( ) erupaka fugs kedala. g. Perograa Kuadrats Tak Berkedala Cotoh : Maksalka f ( ) Dega kedala Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

40 - ^ - * y 5 5 f adalah f kokaf da pada Jad, adalah optal. Maksu global karea ( ) Gabar. Cotoh yag egabarka solus optal dapat terletak pada ttk dega la turua egatf, buka ol, karea ttk tersebut terletak pada batas kedala oegatvtas. Solus optal utuk suatu asalah dega satu varabel terletak pada eskpu turuaya berla egatf. Oleh karea tu setap perasalaha yag elk fugs kokaf utuk daksalka pada kedala oegatvtas, epuya turua yag kurag dar satu atau saa dega ol utuk adalah kods yag dperluka da cukup utuk ead optal.. Perograa Kuadrats Berkedala Modfkas Spleks Cotoh : Maksalka : f (, ) Dega kedala : + Peyelesaa : Dala kasus dperoleh c [ 5 ] Q 8 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

41 A [ ] b [ ] Catat bahwa : T Q [ ] 8 [ ( ) ( + ) 8 ] + 8 q + q q q Megalka dega T Q + egghaslka Yag erupaka baga oler dar fugs tuua utuk cotoh. Oleh karea q da q 8 eggabarka bahwa q erupaka koefse dar dala fugs tuua. Fakta bahwa q q eggabarka bahwa bak q aupu q adalah koefse total utuk perkala da. Kods KKT utuk Perograa Kuadrats Utuk kokrtya, kta ula dega ebetuk kods Karush Kuh Tucker adalah sebaga berkut :. ( ). 5 + μ. ( ). 5 + μ ) (. ( ). + 8 μ. ( ). + 8 μ ) (. +. μ + ) ( 5., 6. μ Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

42 Utuk ula eyataka ulag kods d dala betuk yag lebh tepat, kta edahka kostata dala kods ( ), ( ), da ke ss sebelah kaa da lalu eabahka slack varabel oegatf yag dlabagka dega y, v utuk egubah pertdaksaaa ead persaaa. y,. ( ). + μ + y 5. ( ). 8 μ + y. + + v Perhatka bahwa kods ( ) sekarag dapat dyataka ulag secara sederhaa, yatu eerluka syarat atau y, yatu ( ). y Dega cara yag saa, kods ( ) da dapat dgatka dega ( ). y. μ v Utuk setap dar tga pasag varabel. ),. ), μ, ) dua varabel ( y ( y ( v tersebut dsebut varabel kopleeter,karea haya satu dar dua varabel yag dapat berla sela ol. Betuk baru kods ( ), ( ),da dapat dgabug ead satu kedala yatu : y + y + μ v Yag dsebut kedala kopleetartas. Setelah egalka dega - persaaa utuk kods ( ) da ( ) utuk edapat ruas kaa oegatf, kta sekarag elk betuk yag dgka utuk keseleruha kods sepert yag dtuukka sebaga berkut. + μ y μ y v,, μ, y, y, v y + y + μ v Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

43 Betuk cukup bak karea, kecual utuk kedala kopleetartas, kods adalah kedala perograa ler. Utuk setap asalah perograa kuadrats, kods Karush Kuh Tuckerya dapat dreduks ead betuk dega haya egadug kedala perograa ler dtabah satu kedala kopletartas. Dala otas atrks dapat dtulska betuk uuya adalah T Q + A u y A + v b, u, y, v T T y + u v c T Dega eleet vektor u adalah u dar baga sebeluya da eleeelee vektor kolo y da v adalah slack varabel. Oleh karea fugs tuua asalah asl dasuska kokaf da fugs kedalaya ler sehgga koveks aka corollary teorea pada kods Karush Kuh Tucker dapat dguaka. Oleh karea tu, optal ka da haya ka y, u dav elk la sehgga seua epat vektor eeuh kods d atas. Masalah asl tereduks ead asalah utuk ecar solus layak utuk kedala. Metode Modfkas Spleks Metode odfkas spleks eafaatka kata kuc bahwa, dega perkecuala pada kedala kopleeter betuk kods Karush Kuh Tucker yag telah dperoleh tdak lebh darpada kedala perogra ler. Lebh auh lag, kedala kopleeter eyataka secara sederhaa da tdak lagsug bahwa tdak ugk bag pasaga varabel kopleeter utuk keduaya ead varabel bass (satu-satuya varabel >) saat solus BF ead pertbaga. Oleh karea tu, asalah ead asalah pecara solus BF awal pada tap asalah perograa ler yag eelk kedala, dega kedala tabaha atas dettas dar varabel bass. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

44 T Pada kasus sederhaa pecara BF awal relatf lagsug dega c < da b, varabel bass awal erupaka elee y da v (dega egalka kupula persaaa pertaa dega -), sehgga solus yag dgka adalah, u, T y c, v b. Kalau tdak, kta perlu eau lebal asalah dega easukka varabel artfcal utuk setap persaaa dega c > (tabahka varabel tersebut pada ruas kr) atau b < (kurabgruas kr dega varabel tersebut lalu kalka kedua ruas dega -) utuk egguaka varabel artfcal ( z, z da seterusya) sebaga varabel bass awal utuk asalah yag dtau ulag tersebut. (Perhatka bahwa plha varabel bass asal eeuh kedala kopleeter, karea baga varabel obass, da u secara otoats) Selautya utuk ecar solus BF utuk asalah kuadrats datas salya dega egguaka etode spleks (dega satu odfkas) pada asalah perograa ler berkut Malka Z z Pada kedala-kedala perograa ler yag dperoleh dar kods Karush Kuh Tucker, tetap dega elbatka varabel artfcal. Satu odfkas dala etode spleks adalah dega perubaha pada prosedur elh varabel bass yag aka asuk. Atura Masuk-Terbatas : ketka kta elh varabel bass yag asuk, aga kut sertaka varabel obass yag eelk varabel kopleeter berupa varabel bass; plha harus dabl dar varabel obass la sesua dega crtera basa utuk etode spleks. Atura eaga kedala kopleeter terpeuh dsepaag algorta. * * * * * Ketka solus optal, u, y, v, z,,..., z. yag dharapka utuk asalah asl perograa kuadrats. * erupaka solus optal Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

45 5 Dar cotoh d atas aka dketahu f, ) adalah fugs kokaf dega atrks ( Q adalah defte postf, aka algorta dapat dterapka. Ttk awal 8 utuk eyelesaka perasalaha adalah kods Karush Kuh Tucker yag telah dperoleh sebeluya. Setelah easukka varabel artfcal yag dperluka, asalah perograa ler yag harus dselesaka dega etode odfkas spleks adalah Malka : Z z + z Dega kedala : + μ y + z μ y + z + + v,, μ, y, y, v, z, z Kedala kopleeter tabaha adalah y + y + μ v Kedala kopleeter tabaha tdak terasuk secara eksplst dala asalah, karea algorta aka eaksaka kedala secara otoats dega adaya tura asuk-terbatas. Khususya, utuk setap dar tga pasag varabel kopleeter. ),. ), μ, ) kapa pu ka salah satu dar dua varabel ( y ( y ( v ead varabel bass, varabel yag la tdak dapat dkutsertaka ead calo utuk varabel bass yag asuk. Varabel yag tdak ol erupaka varabel bass. Oleh karea varabel bass awal utuk asalah z, z, v eberka solus BF awal yag eeuh kedala kopleeter, aka tdak ugk kedala dlaggar oleh solus BF yag berkutya. Tabel berkut euukka hasl dar peerapa etode odfkas spleks pada asalah perograa kuadrats d atas. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

46 6 Iteras Varabel Bass μ y y v z z Ruas Kaa z z v Z Iteras Varabel Bass μ y y v z z z - - v Z Ruas Kaa - Iteras Varabel Bass μ y y v z z z Z Ruas Kaa Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

47 7 Iteras Varabel Bass μ y y v z z 5 u Ruas Kaa 9 Z Hasl solus optal dar perasalaha kuadrats d atas adalah, 9, u, dega ssa varabel yag ada berla ol. Solus optal eeuh kods Karush Kuh Tucker utuk asalah asal ketka dtuls dega betuk yag ada. Oleh karea tu, solus optal utuk perograa kuadrats adalah yag terasuk haya varabel da yatu da 9 dperoleh la fugs aksuya adalah. Dega deka f, ) 5() + (9) + ()(9) - () - (9) ( Perograa Kuadrats Karush Kuh Tucker Sebaga lustras tetag pegguaka kods Karush Kuh Tucker dala perograa kuadrats d atas dapat uga d selesaka sebaga berkut : Maksalka : f (, ) Dega kedala : + Agar dapat egguaka persyarata Karush Kuh Tucker, aka persoala d atas druuska kebal sebaga berkut : Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

48 8 Maksalka : f (, ) Dega kedala : g ( ) + ( ) g ( ) Terlhat bahwa kedala dala asalah perograa oler perlu dubah dala betuk g ( ) < agar dapat egguaka persyarata Karush Kuh Tucker dala eecahka asalah. Jad seua kedala harus dbuat saa ead g ( ). Selautya ruuska kebal fugs tuua yag erupakaka fugs tuua yag dodfkas agar dapat dpecahka dega kods Karush Kuh Tucker. Fugs-fugs tuua dodfkas ead : ( ) + F f λ atau g F λ ( + ) + λ ( ) + λ( ) Kods pertaa yag dperluka adalah ebuat fugs tuua yag dodfkas ead stasoer elalu turua pertaa terhadap setap varabel berkut: F F λ λ λ λ Serta kedala sebaga berkut : F g λ F g λ ( ) + ) ( F g( ) λ 5 Juga perlu ebuat kods sebaga berkut : λ ( g ), λ ( g ), λ g( ) Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

49 9 Dar persaaa-persaaa d atas aka dketahu varabel da tdak ugk saa dega ol. Maka agar kods λ ( g ) da λ g( ) terpeuh haruslah λ. Karea g ( ) da uga λ karea g ( ). Keuda agar kedala ketga dapat dpecahka serta kods λ g ) ( terpeuh, aka perlu dbuat λ, aka g ( ). Jka g ( ) berart dperoleh g ( ) + 5 berkut :. Dega deka kta peroleh sste baru sebaga. + + λ λ +. + (dega λ λ ) Lagkah selautya adalah eecahka sste persaaa,, da d atas dega tekk alabar utuk edapatka la, da λ. Persaaa da + λ -5 + λ 8 + λ λ Persaaa Persaaa da + + λ λ λ 5 λ 5 + Persaaa 5 Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

50 Dar persaaa da 5 d atas dperoleh la adalah (5 + ) Dar persaaa dega esubttuska la dperoleh la λ adalah λ 5 - λ 5 (9) λ - Dega esubttuska la ke persaaa aka dperoleh la adalah + + (9) Dega deka berdasarka persyarata Karush Kuh Tucker dperoleh solus,, λ, λ, λ ) (,9,,,) ( Karea λ utuk,, < aka sesua dega syarat cukup dar persyarata Karush Kuh Tucker, dapat dspulka bahwa solus yag dperoleh adalah solus yag aksu dega la da 9 fugs aksuya adalah. Dega deka dperoleh la f ( + +, ) 5 5() + (9) + ()(9) () (9) Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

51 BAB KESIMPULAN DAN SARAN. Kespula Dar pebahasa sebeluya dala eyelesaka asalah perograa kuadratk dega persyarata Karush Kuh Tucker, dapat dspulka bahwa : a. Utuk eyelesaka asalah perograa kuadratk dega kedala dapat dlakuka dega etode odfkas spleks ataupu dega persyarata lagsug dar persyarata Karush Kuh Tucker. b. Syarat cukup yag harus dpeuh dala persyarata Karush Kuh Tucker adalah egkut salah satu sfat yatu utuk asalah aksas la λ da utuk asalah as λ. c. Dala cotoh kasus d atas erupaka kasus aksas oleh karea tu la λ harus. Dala cotoh kta peroleh λ. Hal sesua dega λ sehgga persyarata Karush Kuh Tucker dapat dterapka. d. Solus optu yag dperoleh dala egguaka odfkas spleks da uga persyarata Karush Kuh Tucker adalah saa saa yatu varabel da varable 9. e. Kelebha persyarata Karush Kuh Tucker dbadgka dega etode odfkas spleks adalah dega egguaka persyarata Karush Kuh Tucker kta dapat lagsug eeuka ttk-ttk ekstr yag erupaka solus dar asalah yag ada da pegkualfkasa kedala dpeuh. Dega deka prosedur berhasl dguaka. f. Perograa kuadratk dega persyarata Karush Kuh Tucker dapat dterapka dala berbaga bdag ekoo sepert dala pelha portofolo/bursa saha. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

52 . Sara a. Peelta yag dlakuka haya sebatas varabel, aka lebh bak apabla uga ebahas egea beberapa varabel. b. Dala egguaka persyarata Karush Kuh Tucker perlu dperhatka ttk-ttk ekstrya karea dslah dperoleh la utuk solus optal yag erupaka varael pegabla keputusa. c. Aplkas yag dracag ash sagat aual, aka lebh bak ka kta egguaka sofware sehgga lebh eudahka utuk eperoleh hasl yag optal. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

53 DAFTAR PUSTAKA. Bradley, Stephe P Appled Metheatcal Prograg. Graduate aaaaaaaaaschool of Busess Adstrato, Harvard Uversty.. Broso, Rchard Ph.D Theory ad Proble of Operatos Research. aaaaaaaaausa : McGrow-Hll,lc.. De Klerk, E, D.V. Pasechk. 5. Joural : a Ler Prograg of the Stadard aaaaaaaaaquadratc Optzato Proble. Tlburg Uversty.. Fletcher, R Practcal Methods of Optzato. Departeet of Scotlad : aaaaaaaamatheatc Uversty of Udee. 5. Gass, Saul I. 8. Ler Prograg ethods ad applcatos. Marylad : bcollege of Busess ad Maageet. 6. Guawa, Ga.. Joural : Faktor Pegal Kuh Tucker dala Teor aaaaaaaaoptas. Badug : Uverstas Isla Badug. 7. Gaess, F. 99. Joural : Quadratc Prograg Probles ad Ler aaaaaaa.copleetary Probles. Vol.65, No. 8. Hller, Frederck S & Lebera, Gerald J. 5. Itroducto to Operatos aaaaaaaaresearch. USA : McGrow-Hll Copaes,lc. 9. Jese, Paul A ad Joatha F.Bard. Joural : Operato Research Models ad aaaaaaaamethods. www. e. uteas. Edu /~ ese / ORMM / suppleets/ S aaaasaaaquadratc.pdf. Dakses : 5 Oktober 9..aLukato, Ir.Doko M.sc.,Ph.D.. Pegatar Optas Noler. aaaaaaaayogyakarta: Uverstas Gaah Mada.. Mou, M. 98. Matheatcal Prograg Theory ag Algorths. Pars : aaaaaaaabordas Duot Gouther-Vllars.. Nased, B.D da Awar. A Progra Ler da Varasya. Jakarta : aaaaaaaagraeda.. Overto, L Joural : Ler Prograg. Aerca : Draf for aaaaaaaaecyclopeda Aercaa.. Peter, Carboetto. 7. Joural : Ituto Behd Pral-Dual For Lear ad aaaaaaaaquadratc Prograg. Coloba: Departet of Coputer Scece, aaaaaaaauversty of Brtsh Coloba. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.

54 5. Rao, S.S Optzato. Deptt.of Machacal Egg. USA : Sa Dego aaaaaaa.state Uversty. 6. Rard, Roald L Optzato Operatos Research. New Jersey : aaaa. Pratce Hall.Iteratoal, Ic,. 7. Sauders, Mchael A ad Joh A Tol. Joural : Stable Reducto to KKT aaaaaaaasyste Barrer Methods for Ler ad Quadratc Prograg. aaaaaaaawww.staford.edu/group/sol/papers/kkt.pdf.. Dakses : 6 Oktober aaaaaaaa9. 8. Uta, Ngaka Putu Satra. 5. Joural : Aplkas etode Eteded Quadratc sssssssssiteror Pot, Bal : Uverstas Udayaa. 9. Vaderbe, Robert J.. Lear Prograg: Foudato ad Eteso. aaaaaaaaprceto : Departeet of Operatos Research ad Facal aaaaaaaaegeerg Prceto Uversty.. Weger, P, Joural : a Quadratc Prograg Forulato of the Portfolo aaaaselecto.model. aaaa6.pdf. Dakses : Oktober 9. Aala : Peraa Persyarata Karush-Kuh-Tucker Dala Meyelesaka Perograa Kuadrats,.