SIMULASI GRANULAR DYNAMICS DIMENSI DUA PARTIKEL DENGAN UKURAN BERVARIASI

Transkripsi

1 rosdng Semnar Nasonal enelan, enddkan dan enerapan MIA, Fakulas MIA, Unversas Neger Yogyakara, 14 Me 2011 SIMULASI GRANULAR DYNAMIS DIMENSI DUA ARTIKEL DENGAN UKURAN BERVARIASI Moh. Hasan Jurusan Maemaka FMIA Unversas Jember Absrak enelan n berujuan unuk mengkaj aspek dnamk dan sak dar proses deposs parkel dengan ukuran bervaras. Smulas dlakukan dengan menerapkan model Granular Dynamcs yang berupa persamaan dferensal order dua sebaga represenas gaya umbukan secara smulan anara suau parkel dengan parkel-perkel dsekellngnya. ersamaan ersebu dselesakan secara numerk dengan menggunakan meode Gear redcor-orrecor (G) orde empa. Hasl penelan menunjukkan bahwa berbeda dengan proses deposs parkel dengan ukuran sama (monodsperse maerals), dnamka proses deposs parkel dengan ukuran bervaras (polydsperse maerals) dak ddomnas oleh surface avalanche maupun nernal landslde. Kajan mengena aspek sak menunjukkan bahwa srukur dar gundukan (ple) dak berbenuk close packed dan benuk jarngan gaya dak eraur. Kaa kunc: Granular dynamcs, deposs parkel, Meode redcor-orrecor ENDAHULUAN Dalam kehdupan sehar-har banyak djumpa akfas yang melbakan parkel/maeral buran (granular maerals), msal penmbunan (deposs) pasr. ada proses ersebu, serng dengan berjalannya waku, parkel dapa bergerak seelah u berhen (sabl) sebaga akba adanya gaya (gaya gesekan). arkel pada poss sabl dapa bergerak lag (dnamk) seelah mendapakan gaya umbukan dengan parkel lan. Tumbukan anar parkel dan gaya yang bekerja dlusraskan pada Gambar 1. (a) Gambar 1. Tumbukan parkel (a) dan gaya yang bekerja (b) (b) Gambar 1a menglusraskan kejadan umbukan anara parkel 1, 2, dan 3, yang dam daas permukaan, dengan parkel 4, yang djauhkan secara smers. Gambar 1b menjelaskan secara skemak umbukan yang erjad anara parkel 1 dan 4, dan anara parkel 1 dengan permukaan lana. Dar Gambar 1b dapa dlha bahwa gaya umbukan erdr aas gaya normal dan gaya gesekan (angensal). Fokus kajan umunya darahkan pada gaya gesekan. Hal n dapa dmaklum karena anangan yang menark adalah memecahkan permasalahan kedakjelasan gaya gesekan (gaya oulomb) pada fase sak. Dss lan, pada smulas dnamk kejelasan gaya gesekan n mulak dperlukan. M-267

2 Moh. Hasan / Smulas GranularDynamcs Hasan dan van Opheusden (2007) mengajukan model gaya umbukan yang mengakomodaskan fenomena sck-slp. Model ersebu elah berhasl mendeskrpskan fenomena mulple ransson kelakuan parkel pada proses deposs parkel, yakn dar dnamk ke sak dan dar sak ke dnamk. Mrp dengan yang dkembangkan oleh Maus e al (2000), dalam fase sak dgunakan sprng bayangan, namun pada model n mengkuserakan fakor redaman. Selanjunya, pemberlakuan fase sak dak ddasarkan pada erjadnya umbukan, melankan pada krera ambang baas (dsebu krera ε ) sebaga berku: () keka harga mulak dar kecepaan relaf pada arah angensal kurang dar ε, fase sak berlaku (Gambar 2). Jka sebalknya, derapkan fase dnamk. Keka gaya sprng melebh baasan gaya oulomb, sprng dlepaskan dan fase dnamk berlaku. Selama dalam fase sak, gaya gesekan dberkan oleh sprng dengan redaman, sedangkan pada fase dnamk, gaya gesekan proporsonal erhadap gaya normal. v Fase dnamk v = ε Fase sak = 0 Gambar 2. Ilusras ranss gerak (fase dnamk ke fase sak) Model gaya gesekan ersebu drumuskan dalam benuk ( kδ + γ v ), f = vˆ µ d f n, v v ε (fase sak), (1) > ε (fase dnamk) dengan γ, µ s, dan µ d masng-masng merupakan koefsen redaman, koefsen gesekan sas dan koefsen gesekan dnams, k menyaakan konsana sprng, dan δ = 0 v ( τ) dτ merepresenaskan oal smpangan pada arah gaya gesekan (angensal) yang dbangun selama kurun waku 0. Dalam hal n, 0 menyaakan waku mula berlakunya fase sak. Kemungknan erjadnya oslas dalam fase sak dhndar dengan menerapkan redaman krs,.e., γ = 2 (mk ). ada permulaan fase dnamk kecepaan parkel relaf kecl. Unuk menghndar ssem masuk kembal ke fase sak, gaya gesekan drancang berlawanan dengan kecepaan keka mengaplkaskan ε. Selama kecepaan erus menngka fase dnamk eap dperahankan. ada ranss dar fase sak ke dnamk, sprng bayangan dadakan seluruhnya, sehngga semua nformas enang arah dan besaran pada sprng erhapus dar memor. Kesederhanaan model n adalah bahwa selan ε dpenuh, ssem hanya menerapkan gaya M-268

3 rosdng Semnar Nasonal enelan, enddkan dan enerapan MIA, Fakulas MIA, Unversas Neger Yogyakara, 14 Me 2011 gesekan dnamk yang bebas dar fakor kecepaan. Model yang juga bebas dar kecepaan dgunakan oleh Baxer e al (1997) dan Zhou e al (2001), eap keduanya menerapkan sprng bayangan secara berbeda dengan persamaan (1). Model pada persamaan (1) elah dgunakan unuk menymulaskan proses deposs kon berbenuk lngkaran dengan ukuran seragam (monodsperse maerals). Salah sau conoh hasl smulas penmbunan parkel pada dmens dua dsajkan dalam Gambar 3. ada smulas ersebu sekelompok parkel (3 kelompok) dber warna yang berbeda. Dar Gambar 3 erlha bahwa benuk gundukannya mendeka benuk segga, dengan parkel yang djauhkan belakangan dapa menduduk poss palng bawah dengan mendesak parkel yang djauhkan sebelumnya menjauh kesampng. Gambar 3. Hasl smulas dua dmens ada ssem yang menggunakan kon dengan ukuran sama, seap parkel memlk jar-jar yang sama. Akbanya, penenuan krera erjadnya umbukan juga sama, yakn apabla jarak anara pusa parkel dan j (d j ) kurang dar dameer, σ (d j < σ). Dsampng u, suau parkel kemungknan dapa berumbukan sebanyak-banyaknya dengan 6 buah dan 12 buah parkel masng-masng unuk dmens dua dan dmens ga, yakn keka srukur parkel dalam konds close packed, seper erlha pada beberapa bagan Gambar 3. Kenyaaannya, dalam proses deposs, ukuran parkel yang dgunakan bervaras, sehngga krera erjadnya umbukan juga bervaras. Konsekuensnya, Kalkulas penenuan gaya umbukan juga semakn panjang karena krera umbukan ersebu harus dhung pada seap ndvdu parkel. Demkan juga dengan jumlah parkel yang mungkn akan berumbukan bsa lebh dar 6 buah unuk ssem dmens dua. Namun unuk mendapakan hasl yang lebh realsk, kajan erhadap ssem yang ukuran parkelnya bervaras menjad penng. Berdasarkan uraan daas, permasalahan dalam penelan n adalah bagamanakah kelakuan dnamk, benuk/srukur gundukan (ple), dan jarngan gaya (force nework) pada deposs parkel dengan ukuran bervaras?. Informas enang hal-hal ersebu sanga berguna unuk mendeskrpskan aspek dnamk, bak pada sekala makro (msal longsoran dan paahan selama proses pembenukan gundukan) maupun pada sekala mkro (msal reposs parkel). Hasl kajan n juga berguna unuk mendeskrpskan aspek sak yang anara lan mencakup srukur ssem, sudu kemrngan (angle of repose), dan jarngan gaya (force nework). METODE ENELITIAN enelan n merupakan kelanjuan dar penelan yang haslnya elah dpublkaskan sebelumnya (Hasan dan van Opheusden (2007). Dengan demkan model Granular Dynamcs yang dgunakan adalah sama, yakn seper yang drumuskan dalam persamaan (1). rosedur unuk solus numerk juga sama, yakn menggunakan meode G orde 4. Meode ersebu erdr aas ga ahapan: predks, evaluas, dan koreks. Andakan r, v, a, b, dan c masng-masng merepresenaskan poss parkel dan urunan perama, kedua, kega, dan keempa. Kalkulas M-269

4 Moh. Hasan / Smulas GranularDynamcs yang harus dlaksanakan pada masng-masng ahap djelaskan secara rnc berku n. Tahap redks Mempredks poss parkel dan urunan-urunannya pada waku + menggunakan Dere Taylor orde 4 yang ddasarkan pada poss parkel dan urunan-urunannya pada waku. Langkah n menghaslkan: r + ) = r ( ) + a v ( ) + a a ( ) + a b ( ) + a c ( ), (2a) ( ( ) = v ( ) + a1a ( ) + a2b ( ) a3c ( ) ( ) = a ( ) + a1b ( ) a2c ( ) ( ) = b ( ) a1c ( ) v + +, (2b) a + +, (2c) b + +, (2d) c ( + ) = c ( ), (2e) dengan a 1 =, a 2 = a 1 /2, a 3 = a 2 /3, dan a 4 = a 3 /4. Tahap Evaluas Mengevaluas gaya pada seap parkel pada waku + menggunakan nla hasl predks. Hal n akan memberkan besaran percepaan erkoreks a ( + ) yang selanjunya akan dbandngkan dengan percepaan hasl predks unuk menenukan besarnya kesalahan pada ahap predks, yakn: a ( + ) = a ( + ) a ( + ). (3) Tahap Koreks Hasl kalkulas pada persamaan (3) dgunakan unuk mengoreks hasl predks unuk mendapakan nla poss dan urunan-urunannya (persamaan (2a-d)) yang lebh bak. Rumusan unuk menenukan nla erkoreks dar beberapa besaran dmaksud dberkan oleh: r + ) = r ( + ) + a a ( + ), (4a) ( r ( ) = v ( + ) + av ( ) = b ( + ) + ab ( ) = c ( + ) + ac v + a ( + ), (4b) b + a ( + ), (4c) c + a ( + ), (4d) dengan a r = (19/90)a 2, a v = (3/4)a 2 /a 1, a b = (1/2)a 2 /a 3, dan a c = (1/12)a 2 /a 4. Meskpun model dan prosedur numerk sama dengan kasus monodsperse maerals, namun penyelesaan kasus polydsperse maerals, mash memerlukan modfkas erhadap sofware (program dalam Bahasa Forran). Modfkas dmaksud anara lan erka dengan rumusan krera umbukan anar parkel dan penerapannya dlaksanakan pada seap eras. Modfkas juga perlu dlaksanakan dalam updang array dafar eangga (neghbourls) dar seap parkel. Seelah modfkas sofware, dlaksanakan smulas erhadap model dengan menvaraskan karakersk parkel, anara lan fakor kelenngan dan kekasaran permukaan parkel. HASIL ENELITIAN DAN EMBAHASAN a. Modfskas Sofware Berbeda dengan model MD yang serng menggunakan perodc boundary condon (B) dalam mempredkskan rayekor parkel, model GD menggunakan real boundary condon. Dsampng u, model GD memperhungkan gravas bum sebaga salah sau gaya yang bekerja pada parkel, sehngga dalam GD gaya yang bekerja pada parkel erdr aas gaya gravas bum M-270

5 rosdng Semnar Nasonal enelan, enddkan dan enerapan MIA, Fakulas MIA, Unversas Neger Yogyakara, 14 Me 2011 dan gaya umbukan. Keka parkel berumbukan dengan parkel j, maka gaya umbukan yang bekerja pada kedua parkel ersebu (Gambar 1b) mencakup gaya normal dan gaya angensal (gesekan). Gaya normal pada parkel dberkan oleh: f = kδ γ v, (5) dengan nj δ n j dan n nj n nj v nj masng-masng menoaskan kompres dan kecepaan relaf normal erhadap permukaan erjadnya umbukan, k n dan γ n menyaakan konana kekenyalan maeral dan dampng. Sedangkan rumusan model gaya gesekan dberkan dalam persamaan (1). Dengan demkan gaya yang bekerja pada parkel dberkan oleh: f = mg + ( f nj + fj ), (6) konak dengan f = oal gaya parkel, m = massa parkel, dan g = gaya gravas. Toal gaya umbukan ersebu merupakan resulan dar seluruh kemungknan konak anara parkel dengan parkel lanya. ersamaan (6) dapa dulskan dalam benuk 1 & x = g + ( f nj + fj ). (7) m konak ersamaan (7) merupakan persamaan dferensal basa order 2. Namun karena unsur kedua pada ruas kanan merupakan akumulas dar gaya umbukan, maka cukup sul mendapakan solus analknya, sehngga solus secara numerk merupakan alernaf solus ersebu. Ingreden uama dar meode G orde 4 adalah resulan gaya yang bekerja pada seap parkel yang mencakup gaya gravas dan gaya umbukan. enenuan gaya umbukan memlk pors erbesar dar keseluruhan kalkulas karena pada seap eras dperlukan denfkas erhadap semua kemungknan erjadnya umbukan anara sau parkel dengan dengan parkel-parkel lannya. Andakan suau ssem memlk sebanyak n parkel, maka erdapa sebanyak (n-1) parkel yang harus d cek apakah parkel-parkel ersebu akan berumbukan dengan parkel. Dengan demkan pada seap eras harus dlakukan (n-1) 2 kal pengecekan/pencaran, sehngga unuk sebanyak k eras, perhungan gaya dlakukan sebanyak k(n-1) 2. b. Smulas dan Analss ada kasus monodsperse elah dunjukkan bahwa sofware yang dhaslkan cukup vald unuk mengaproksmas solus proses deposs kon dan/aau bola. Dengan demkan hasl modfkas sofware ersebu unuk kasus polydsperse juga dyakn cukup vald sebaga aproksmas solusnya, unuk selanjunya dgunakan menymulaskan proses deposs unuk kasus polydsperse parkel. Smulas dlaksanakan dengan memvaraskan karakersk parkel dan meda yang mencakup kekenyalan dan kekasaran permukaan. Sedangkan parameer yang dak berubah adalah massa m = 0.05 kg, konana sprng k n = k = 10 5 kg/s, ambang baas kecepaan pada fase sak ε = 10-3 m/s, dan skala waku = 10-5 s. Dalam smulas n, proses deposs parkel dlaksanakan dengan menjauhkan parkel sau persau dar suau kenggan erenu, h. Dengan demkan, besaran yang dak nol dar konfguras awal ssem hanyalah kecepaan awal, v 0, yang nlanya denukan secara random. Secara umum, kajan erhadap smulas proses deposs maeral dfokuskan pada dua subsans kajan, yakn aspek dnamk (dnamka proses deposs) dan aspek sak (srukur parkel seelah ssem dalam keadaan sabl). Unuk mendapakan hasl pengukuran yang relable, unuk suau ssem, pengulangan erhadap perlakuan dlaksanakan sebanyak lma kal. engulangan ersebu dlakukan dengan memvaraskan kecepaan awal melalu varas seed dalam membangun blangan random. Analss hasl smulas dsajkan secara sngka sebaga berku. M-271

6 Moh. Hasan / Smulas GranularDynamcs Aspek Dnamk Observas erhadap smulas proses deposs 600 monodsperse parkel dan polydsperse parkel (ukuran parkel yang dgunakan dbangun secara random dengan ukuran dameer, erendah adalah 0,02 m dan erngg 0,05 m) yang djauhkan pada suau hamparan dmens dua menunjukkan bahwa adanya perbedaan kelakuan dnamk anara kedua ssem ersebu. ada ssem polydsperse, jarang erjad surface avalanche maupun nernal landslde. Hal n dsebabkan karena parkel dengan ukuran yang lebh kecl cenderung masuk ke bawah melalu celah danara parkel yang berukuran lebh besar. Akbanya, pada bagan engah gundukan ddomnas oleh parkel-parkel berukuran kecl, dan parkel yang berukuran besar erdesak ke bagan/lapsan luar, sehngga gundukan yang dbangun oleh ssem polydsperse umumnya lebh pendek dbandngkan dengan ssem monodsperse seper dunjukkan dalam Gambar 4. Aspek Sak (a) Gambar 4. Hasl smulas 600 parkel pada ssem monodsperse (a) dan polydsperse (b) enerapan model gaya umbukan persamaan (7) unuk menymulaskan proses deposs dak selamanya menghaslkan gundukan. Karakersk parkel yang dgunakan menjad fakor yang cukup sgnfkan dalam menenukan hasl smulas; unuk parkel yang ngka kekasaran permukaannya kecl, parkel mudah sldng dan ersebar pada hamparan sehngga gundukan seper pada Gambar 4 dak dapa erbenuk. Terbenuknya gundukan dmungknkan jka koefsen gesekan lebh dar Dar Gambar 4 erlha bahwa gundukan yang dhaslkan oleh ssem monodsperse dan ssem polydsperse berbeda; angle of repose pada ssem yang perama (Gambar 4a) lebh besar dbandngkan dengan ssem yang kedua (Gambar 4b). Srukur gundukan yang dhaslkan juga berbeda; pada ssem monodsperse, srukur gundukannya cukup eraur mendeka close packed srucure, sedangkan pada ssem polydsperse, srukurnya dak eraur dan banyak rongga ddalamnya. Ssem yang seper n jusru banyak djumpa dalam kehdupan sehar-har, msal srukur anah. Secara nuf, dar gundukan-gundukan ersebu dapa dduga bahwa parkel-parkel yang berada dbawah menanggung beban yang jauh lebh bera dbandngkan dengan parkel yang ada d bagan aas. Analss erhadap gaya normal masng-masng ndvdu parkel menghaslkan suau jarngan gaya (force nework). Gambar 5 merupakan force nework dar gundukan yang dhaslkan pada ssem monodsperse dan polydsperse yang dsajkan pada Gambar 4; Gambar 5a dan 5b masng-masng bersesuaan dengan Gambar 4a dan 4b. Dar Gambar 5a erlha bahwa force nework unuk ssem monodsperse membenuk pola yang eraur, yakn ddomnas oleh bangun jajaran genjang (damond), sedangkan force nework unuk ssem polydsperse dak membenuk mempunya keerauran pola. Tebal gars pada force nework ersebu mengndkaskan besarnya gaya. Dar Gambar 5 ersebu erlha bahwa pada bagan bawah ddomnas oleh gars ebal, M-272 (b)

7 rosdng Semnar Nasonal enelan, enddkan dan enerapan MIA, Fakulas MIA, Unversas Neger Yogyakara, 14 Me 2011 (a) Gambar 5. Force nework pada ssem monodsperse (a) dan polydsperse (b) (b) sebalknya pada bagan aas ddomnas oleh gars ps. Dengan kaa lan, gambar ersebu memberkan nformas bahwa nus yang menyaakan bahwa parkel bagan bawah menanggung beban yang besar adalah benar. KESIMULAN DAN SARAN Berdasarkan hasl smulas yang elah dbahas sebelumnya dapa dsmpulkan sebaga berku: 1. selama proses deposs berlangsung, mekansme dnamka pembenukan gundukan pada ssem monodsperse ddomnas oleh survace avalanche, sedangkan pada ssem polydsperse, selan surface avalanche, pembenukan gundukan juga denukan oleh nernal arrangemen dar parkel yang berukuran relaf kecl; 2. ssem monodsperse menghaslkan gundukan dengan angle of repose lebh besar dbandngkan dengan ssem polydsperse; 3. pada ssem monodsperse srukur parkelnya mendeka close packed srucure sehngga pola force nework-nya ddomnas oleh bangun jajaran genjang, sedangkan pada ssem polydsperse srukur parkelnya dak eraur (banyak rongga ddalamnya) sehngga pola force nework-nya dak eraur. Hasl penelan n elah dapa menjelaskan kelakuan dnamk selama deposs parkel berlangsung dan srukur gundukan (mencakup angle of repose dan force nework) yang erbenuk seelah proses deposs selesa. Hasl smulas juga elah dapa menunjukkan adanya perbedaan kelakuan dnamk dan srukur gundukan anara ssem monodsperse dan polydsperse parkel. Namun demkan, model gaya yang dgunakan mash belum mengakomodas gaya roas, sehngga mash perlu dkembangkan model Ganular Dynamcs yang lebh realsk. DAFTAR USTAKA Baxer, J., Tuzun, U., Burnell, J. & Heyes, D.M., Granular dynamcs smulaons of wodmensonal heap formaon, hys. Rev. E 55. Hasan, M. & van Opheusden, 2007, A model for Sac and dynamc phenomena n deposon process, Journal of he Indonesan Mahemacal Socey, 2. Maus, H.G., Ludng, S. & Herrmann, H.J., Dscree elemen smulaons of dense packng and heaps made of sphercal and non-sphercal parcles, owder Technology Zhou, Y.., Xu, B.H. dan Yu, A.B., Numercal nvesgaon of he angle of repose of monoszed spheres, hys. Rev. E 64. M-273

8 Moh. Hasan / Smulas GranularDynamcs M-274