ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP S K R I P S I

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP S K R I P S I Untuk memenuhi sebagian pesyaatan mencapai deajat sajana (S - 1) HERDIANA F1A PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016 i

2 ii

3 KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala ahmat, taufik, kaunia dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi ini dengan judul ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP seta salawat dan salam penulis hatukan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluaga, sahabat dan paa pengikutnya. Penulis menyadai bahwa dalam penulisan skipsi ini tidak dapat teselesaikan tanpa bimbingan dan aahan dai Bapak D. Gusti Nguah Adhi Wibawa, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengaahkan penulis sejak dai peencanaan hingga teselesaikannya skipsi ini seta membeikan doongan dan motivasi kepada penulis. Oleh kaena itu penulis mengucapkan banyak teima kasih. Ucapan teima kasih juga disampaikan kepada yang tesayang Ayahanda La Hamili dan Ibunda Wa Hamida yang telah membesakan dan membimbing seta membei dukungan dan doa yang tulus ikhlas seta kasih sayangnya kepada penulis dalam menyelesaikan studi hingga skipsi ini selesai, saudaa-saudaaku Heman Sugianto, Hesiban, Hasna wati, Helin, kakak ipaku Gebi,dan keponakanku: Aqiilah Ishmah Fauziyyah yang tiada hentinya membeikan motivasi, dukungan, doa, dan semangat. iii

4 Suatu hal yang tidak telupakan atas doongan dan bimbingannya, seta aahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kianya penulis menyampaikan ucapan teima kasih dan penghagaan kepada semua pihak khususnya: 1. Rekto Univesitas Halu Oleo Kendai, Bapak Pof. D. I. H. Usman Rianse, M.S. 2. Dekan F-MIPA Univesitas Halu Oleo, Bapak D. Muh. Zamun F., S.Si., M.Si. 3. Ketua Juusan Matematika dan seketais juusan F-MIPA Univesitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. 4. Kepala Laboatoium Matematika F-MIPA Univesitas Halu Oleo, Ibu Noma Muchta, S.Si., M.Si. 5. Kepala Pepustakaan F-MIPA Univesitas Halu Oleo, Ibu Da. Hj. Indawati, M.Si. 6. D.e.nat Wayan Somayasa, S.Si. M.Si. selaku penasehat akademik yang telah membeikan pengaahan dan bimbingan dalam mempogamkan mata kuliah. 7. La Gubu, S.Si., M.Si., D.e.nat Wayan Somayasa, S.Si. M.Si., dan Agusawati S.Si,.M.Si. selaku dewan penguji. 8. Bapak dan Ibu Dosen Juusan Matematika seta seluuh staf lingkungan F-MIPA UHO. 9. Sahabat-sahabat Chingu dan sahabat sepejuanganku yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skipsi ini: (Desi Astuty, Eka Fitiah iv

5 Maladewi, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Nani, Nu Yassin, Hesty Yuspita, Kadek Ayu Puspita Sai, Nu Sadijah, Ece Almunjiat, Damina) tiada henti membei semangat dan doa kepada penulis. 10. Rekan sepejuangan Matematika Angkatan 2012: Dkk (Betin, Ella, Obil, Astid, Igo, Dani, Windi, Fuad, Sandi), Ld. Haja, Muliawati, Ratni, Suiana, Sawiati S.Mat., Rosni S.Mat., Risma, Yuliana, Safia, Vida, Ila, Hanisa, Gede, Rajab, Ayu Ningsih, Risma dan seluuh mahasiswa seangkatan 012 kelas A dan B yang telah membeikan semangat kebesamaan yang tidak telupakan selama menyelesaikan studi. 11. Keluagaku: Bibi Abe, Bibi Hauna, Om Mandeno, Bibi Naba,Bibi Ifa, Om Mbali, Om Dai, Bibi Malimu, Nenek Wa Kambeso, Nenek Wa Unte, Kakek La Te, Dan Sepupu-Sepupuku :Andi Rahman, Rita Punama Sai, Nunia, Abu Baka, Hei Setiawan, Daman Wahid, Endang Satia Ningsih, Neni Salcia Ningsih, Rahmat Doni, Haiono, Novi, Muliadin, Uma, Hamundu, Nila, Hei Setiawan dan masih banyak lagi, teimah kasih atas doa, dukungan dan motivasi yang telah di beikan. 12. Teman-teman anak BTN astata: Puianto, Upo, Sahul, Tago, Didin, Miat, Via, Dan Hasa. 13. Teman-teman KKNku: Julianty (Komunikasi FISIP 12), Kak gunawan (Tehnik Elekto 11), Abdullah Rahman (Administasi FISIP 12), Destifa Hidayahni (PGSD 12), dan Andi Annisa Rusli (Agobisnis Peikanan 12). 14. Guu dan ekan alumni SMA NEG. 1 KABANGKA: Pak Mustai, Pak Kaiawan, Pak Hasini, Pak Rudi, Ibu Sumiati, Ibu Safaia, Ibu Dama, Ibu v

6 Sumani, dan guu-guu lain yang tidak bisa saya sebutkan satu pesatu, seta teman-teman IPA I dan IPA II: Eceng, Mina, Via, Multi, Eva, Linda, inci, selvi, Rina, Nelfi, Epi, Wiwin, Hea,Santi, Ossyn, Rita, jeli, Ama, Bele, Tago, Ipul, Rahman, yamin, Ending, Suhadin, dan masih banyak lagi yang tidak dapat disebutkan satu pesatu. 15. Guu-guu SD 4 Kabangka, Guu-guu SMPN 2 Kabawo dan ekan alumni. 16. Teman-teman, kakak-kakak, dan adik-adik di loong Kandeli: Adan, Aji, Julius, Suku, Samsi, Juma, Taco, Dalin, ucung, Tamin, Hei, Jufi, Andi, paman, ali, Igo, Rafah, Tia, La Fauju, Ganu, bidan Dewi, bidan Haly, Yani, Sai, Fatma, Sukma, Daman, Kismon, Dadang, Endang, Salcia, Osi, Rosma, Muni, ono, Novi, doni, jeli,tati, finci, nila,ulfa, fiti, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu pesatu. 17. Sahabatku Uik Boiz yang telah menjadi penyemangat buat penulis. Selanjutnya penulis menyadai bahwa penulisan skipsi ini masih jauh dai kesempunaan. Sehingga dengan senang hati dan segala keendahan hati penulis meneima segala saan yang sifatnya membangun demi penyempunaannya. Akhi kata penulis behaap semoga skipsi ini dapat bemanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Kendai, 13 Apil 2016 Penulis vi

7 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... i ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN... xi ABSTRAK... xii ABSTRACT... xiii BAB I PENDAHULAN 1.1 Lata Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasa Peluang Vaiable Acak Analisis daya tahan hidup Fungsi tahan hidup Fungsi kegagalan Data Tesenso Statistik Teuut Distibusi Weibull Metode Maksimun Likelihood Metode Newton-Raphson vii

8 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Jenis dan Sumbe Data Posedu Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Menentukkan fungsi kepadatan peluang besama pada Data Tesenso Tipe II Penaksian Paamete menggukan metode Kemungkinan Maksimun Contoh Peneapan BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Saan DAFTAR PUSTAKA Lampian viii

9 DAFTAR GAMBAR Halaman Gamba 1 Kuva fungsi kepadatan peluang... 9 Gamba 2 Kuva fungsi kepadatan peluang dai distibusi Weibull...18 Gamba 3 Ilustasi Data Tesenso Tipe II...26 Gamba 4 Kuva fungsi kepadatan peluang dai data lampu I...39 Gamba 5 Kuva fungsi daya tahan data lampu I...40 Gamba 6 Kuva fungsi kegagalan dai data lampu I...40 Gamba 7 Kuva fungsi kepadatan peluang dai data lampu II...42 Gamba 8 Kuva fungsi daya tahan data lampu II...43 Gamba 9 Kuva fungsi kegagalan dai data Lampu I...43 ix

10 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Data Waktu Hidup Lampu (lampu 1 dan lampu 2)...34 Tabel 4.2 Poses Pehitungan Untuk Data Waktu Hidup Tesenso Tipe II Lampu Jenis 1 Dan Lampu Jenis x

11 DAFTAR LAMPIRAN Lampian 1. Data bangkitan untuk lampu 1 dengan ballast jenis angkaian flyback infete Lampian 2. Data bangkitan untuk lampu 2 dengan ballast jenis angkaian voltage souce esonant Lampian 3. Output Hasil Analisis Suvival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu Lampian 4. Output Hasil Analisis Suvival Menggunakan Minitab 14 untuk lampu xi

12 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II YANG BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA ANALISIS DATA UJI HIDUP Oleh: HERDIANA F1A ABSTRAK Penelitian ini membahas tentang Estimasi Paamete Untuk Data Tesenso Tipe II Pada Analisis Data Uji Hidup Yang Bedistibusi Weibull, dimana uji hidup suatu obyek penelitian adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup atau keandalan, yang menghasilkan data waktu hidup (suvival). Data tesenso tipe II meupakan data yang didapatkan dai penelitian waktu hidup dai sejumlah n penelitian akan tetapi kaena ketebatasan waktu dan biaya, hanya diambil sejumlah acak dai n dengan < n dimana tedapat sejumlah n data tesenso atau masih betahan hidup. Dai estimasi paamete data tesenso tipe II bedistibusi Weibull, dipeoleh nilai duga μ dan nilai duga β yang kemudian digunakan untuk mencai nilai fungsi daya tahan (suvival), laju keusakan (fungsi hazad). Pada hasil dan pembahasan menggunakan data bangkitan dai contoh pemilihan lampu TL 75 watt jenis 1 dan jenis 2 dengan t = 0, 250,500 dan 700 (jam), di peoleh nilai duga μ = x dan nilai duga β = untuk lampu jenis I. Nilai duga μ = x 10 9 dan nilai duga β = untuk lampu jenis 2. Kata Kunci: Estimasi paamete, data tesenso tipe II, distibusi Weibull. xii

13 ESTIMATION PARAMETERS FOR DATA TYPE II CENSORED WEIBULL DISTRIBUTION TEST DATA ANALYSIS ON LIFE By: HERDIANA F1A ABSTRACT This study discusses the estimation paametes fo data type II censoed weibull distibution test data analysis on life, whee life test on object of eseach is inquiy about of the suvival o eliability,which geneated time data (suvival).type II censoed data is the data obtained fom the study the life time of a numbe n of eseach, but then because of limitation time and cost, only take a numbe andom fom n with < n whee have a nambe n data censoed o live defendable. The estimation paametes fo data type II censoed weibull distibution, obtained value estimate μ and value estimate β which is then used to find the value of the suvival function and hazad function.in the esults and discussion of examples using the data geneation lamp selection TL 75 watt type 1 and type 2 with t = 0, 250, 500, 700 (o clock)),obtained value estimaate μ = x and value estimate β = fo lamp type 1. value estimate μ = x10 9 and value estimate β = fo lamp type 2. Key wods: Estimation Paametes, The data type II Censoed, Weibull Distibution. xiii

14 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Lata Belakang Statistika meupakan salah satu bidang ilmu yang sudah bekembang begitu jauh dengan adanya penemuan bebagai alat analisis untuk bebagai kepeluan infeensi, estimasi, pengujian dan metode peamalan. Uji hidup adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada keadaan opeasional tetentu. Ruang lingkup penggunaan uji hidup diantaanya adalah dalam bidang teknik, biologi, ekayasa dan kedoktean. Bebagai penelitian di bidang Biologi, Fisika, Petanian dan Kedoktean tesebut biasanya akan menghasilkan data yang behubungan dengan waktu hidup dai suatu individu. Data waktu hidup meupakan vaiabel acak non negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tesebut disebut analisis tahan hidup (Suvival). Analisis tahan hidup (suvival) mencakup bebagai teknik statistik yang beguna untuk menganalisis bebagai macam vaiabel acak. Vaiabel acak pada analisis tahan hidup (suvival) beupa waktu tahan hidup (suvival time) atau waktu kegagalan (failue time) (Collet, 1997). Data waktu hidup yang dipeoleh dai pecobaan uji hidup dapat bebentuk data lengkap, data tesenso tipe I, dan data tesenso tipe II. Data tesebut lengkap jika data diamati secaa utuh. Data dikatakan tesenso tipe I jika data uji hidup dihasilkan setelah pecobaan bejalan selama waktu yang ditentukan, sedangkan data dikatakan tesenso tipe II jika obsevasi diakhii setelah sejumlah kematian 1

15 atau kegagalan tetentu telah tejadi (Lawless, 1982: 43). Data tesenso tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya tedapat buah pengamatan tekecil dalam sampel acak yang beukuan n dengan 1 n. Ekspeimen menggunakan penyensoan tipe II lebih seing digunakan, misalnya dalam uji hidup dai total obsevasi sebanyak n, tetapi uji akan behenti pada waktu obsevasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke- untuk 1 n. Fungsi distibusi tahan hidup yang didasakan pada pengetahuan atau asumsi tetentu tentang distibusi populasinya temasuk dalam fungsi paametik. Bebeapa distibusi yang dapat digunakan untuk menggambakan waktu hidup antaa lain Distibusi Eksponensial, Distibusi Weibull, Distibusi Gamma, Distibusi Rayleigh, dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Diantaa bebeapa distibusi yang ada, dalam skipsi ini hanya mengkaji fungsi suvival Bedistibusi Weibull atau data waktu hidup yang di asumsikan dengan menggunakan distibusi Weibull. Misalnya dalam bidang kesehatan untuk meneliti tahan hidup pasien yang teseang penyakit konis, atau di bidang industi juga untuk meneliti tahan hidup komponen dai suatu poduk. Untuk mengetahui apakah distibusi dai data dalam fungsi tahan hidup yang diasumsikan telah menggambakan keadaan yang sesungguhnya, dipelukan suatu analisis tehadap data waktu hidup. Langkah untuk menganalisis tehadap fungsi distibusi dai data waktu hidup adalah dengan mengestimasi haga paamete distibusinya.oleh kaena itu penulis 2

16 mengangkat judul tentang Estimasi Paamete untuk Data Tesenso Tipe II yang Bedistibusi Weibull pada Analisis Data Uji Hidup 1.2 Rumusan Masalah Bedasakan uaian dai lata belakang, ada bebeapa pemasalahn yang akan di bahas diantaanya : a. Bagaimana model fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II yang bedistibusi Weibull? b. Bagaimana estimasi paamete model fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II dai model distibusi Weibull? c. Bagaiman peneapan model fungsi daya tahan untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi Weibull? 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin di capai dalam penelitian ini adalah sebagai beikut : a. Untuk mengetahui model fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II yang bedistibusi Weibull. b. Dapat menentukan estimato paamete fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II dai model distibusi Weibull. c. Menjelaskan peneapan model daya tahan untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi Weibull. 1.3 Manfaat Penelitian a. Secaa teoitis akan membeikan tambahan wawasan tehadap ilmu statistika teutama tentang fungsi tahan hidup untuk data waktu hidup yang bedistibusi Weibull. 3

17 b. Kaena besifat aplikatif maka dapat diteapkan pada ilmu lain di lua statistika misalnya ilmu biologi, kedoktean dan teknik. 4

18 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasa Peluang Pada dasanya statistika bekaitan dengan penyajian dan penafsian hasil yang bekemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian yang diancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah. Paa statistisi beuusan dengan pencacahan atau pengukuan kaakteistik suatu objek kajian yang hasilnya bebentuk bilangan. Pekejaan sepeti ini biasa disebut pecobaan acak (Abadyo dan Hendo pemadi, 2005). Himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada suatu pecobaan acak disebut uang sampel yang dinotasikan dengan S ( Bain, L.J, 1992: 2). Tiap tiap hasil yang mungkin dalam uang sampel disebut unsu atau anggota uang sampel tesebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel. Misalnya Pada pecobaan melempa dua mata uang, dipeoleh S = AA, AG, GA, GG dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lempaan petama, dan muncul angka pada lempaan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada lempaan petama, dan muncul gamba pada lempaan kedua; GA adalah kejadian muncul gamba pada lempaan petama, dan muncul angka pada lempaan kedua; GG adalah kejadian muncul gamba pada lempaan petama, dan muncul gamba pada lempaan kedua. Titik sampelnya adalah AA, AG, GA, dan GG. Kejadian atau peistiwa adalah himpunan bagian dai uang sampel ((Bain, L.J, 1992:4). Misalnya Suatu pecobaan yang dilakukan dengan melantunkan 5

19 sebuah dadu, maka uang sampelnya: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Misalkan A menyatakan suatu kejadian bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian A = 2, 4, 6, sehingga A meupakan himpunan bagian uang sampel S, atau dinotasikan sebagai A S. Ruang nol atau uang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian uang sampel yang tidak mengandung unsu atau anggota. Kejadian sepeti ini dinyatakan dengan lambang (Walpole, 1995). Menuut Bain dan Engelhadt (1992), untuk sebuah pecobaan, S meupakan uang sampel dan A, A 1, A 2, meepesentasikan kejadian-kejadian yang mungkin. Himpunan fungsi yang menghubungkan nilai P(A) dengan setiap kejadian A disebut himpunan fungsi peluang, dan P(A) meupakan peluang dai A, jika memenuhi keadaan sebagai beikut: 1. 0 P A untuk setiap A 2. P S = 1 3. P A i = P(A i ) dan jika A 1, A 2, meupakan kejadian-kejadian yang saling asing. 2.2 Vaiable Acak Vaiabel acak X meupakan fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada uang sampel S dengan suatu bilangan eal x, sedemikian sehingga X e = x dengan e S dan x R (Bain dan Engelhadt, 1992). Ada dua macam vaiabel acak, yaitu vaiabel acak disket dan vaiabel acak kontinu. Jika semua himpunan nilai yang mungkin dai suatu vaiabel acak X meupakan himpunan tebilang (countable set), yaitu 6

20 x 1, x 2,, x n atau {x 1, x 2, }, maka X disebut vaiabel acak disket. Sedangkan Jika himpunan semua nilai yang mungkin dai suatu vaiabel acak X meupakan selang bilangan eal, maka X disebut vaiabel acak kontinu. Misalkan A uang dai vaiabel acak diskit X dan A tebilang. Fungsi f dai A ke dalam R yang memenuhi: a. f(x) 0 untuk setiap x di A b. f x = 1 x di A dinamakan fungsi kepadatan peluang (fdp) dai vaiabel acak diskit X, Jika vaiabel acak diskit X dengan fdp f(x), maka peluang suatu kejadian A dibeikan oleh : P A = x di A f(x) (Djauhai, 1990:41). Fungsi distibusi kumulatif F(x) dai vaiabel acak diskit X didefinisikan untuk sembaang bilangan eal x oleh : F x = P(X x) (1) (Bain, L.J, 1992:53). Misalkan A uang vaiabel acak kontinu X. Fungsi f dai A ke dalam R yang memenuhi: 1. f x 0, untuk semua x di A x 2. f x dx = 1 7

21 dinamakan fungsi kepadatan peluang (fdp) dai vaiabel acak kontinu X. Jika vaiabel acak kontinu X memiliki fdp f(x), maka peluang suatu kejadian atau peistiwa A, dibeikan oleh : P A = f x dx, dengan x di A (2) (Djauhai, 1990:43). Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai vaiabel acak X disebut fungsi kepadatn peluang (fdp kontinu), sehingga fungsi distibusi kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai F x = x f t dt (3) (Bain, L.J, 1992:64). 2.3 Analisis Daya Tahan Hidup (Suvival) Analisis tahan adalah suatu metode yang behubungan dengan waktu, mulai dai time oigin atau stat point sampai dengan tejadinya suatu kejadian khusus atau end point. Data yang dipeoleh di bidang kesehatan meupakan pengamatan tehadap pasien yang diamati dan dicatat waktu tejadinya kegagalan dai setiap individu (Collet, 1994). Analisis tahan hidup (suvival analysis) atau analisis kelangsungan hidup betujuan untuk menduga pobabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peistiwa-peistiwa lainnya sampai pada peiode waktu tetentu. Pebedaan antaa analisis tahan hidup dengan analisis statistik lainnya adalah adanya data tesenso. data dikatakan tesenso jika pengamatan waktu tahan hidup hanya sebagian, tidak sampai waktu kejadian. 8

22 Analisis tahan hidup digunakan untuk menganalisis data yang betujuan untuk mengetahui hasil dai vaiabel yang mempengauhi suatu awal kejadian sampai akhi kejadian, contohnya waktu yang dicatat dalam hai, minggu, bulan, atau tahun. Untuk kejadian awal contohnya awal pasien tejangkit penyakit dan untuk kejadian akhi contohnya kematian pasien dan kesembuhan pasien (Kleinbaum & Klein, 2011: 4). Menuut Lawless (1982) Fungsi kepadatan peluang pada analisis tahan hidup adalah peluang suatu individu mati atau gagal dalam inteval waktu t sampai t + t, dengan waktu T meupakan vaiabel acak. Fungsi densitas peluang dai T dapat dinyatakan sebagai f(t), f t = lim t 0 Yang mempunyai sifat sebagai beikut : a. f t 0, t 0 b. f t dt = 1 0 P(t T< t+ t ) t (4) Fungsi f disebut fungsi kepadatan peluang bagi vaiabel acak kontinu T bila luas daeah di bawah kuva dan di atas sumbu t sama dengan 1, dan bila luas daeah di bawah kuva antaa t = a dan t = b menyatakan peluang T teletak antaa a dan b (Walpole, 1995), sebagaimana diilustasikan dalam gamba beikut : Gamba 1. kuva fungsi kepadatan peluang 9

23 2.3.1 Fungsi Daya Tahan Menuut Lawless (1982) fungsi daya tahan (Suvival) adalah peluang suatu individu yang masih dapat betahan hidup sampai dengan waktu t(t > 0). Jika T meupakan vaiabel acak dai waktu hidup suatu individu dalam inteval[0, )), maka fungsi distibusi kumulatif F(t) untuk distibusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(t) dinyatakan sebagai beikut : F t = P T t Atau t F t = f x dx, untuk t > 0 0 Oleh kaena itu dipeoleh fungsi tahan hidup (Suvival) yang didefinisikan dengan S t = P T t = 1 P T t = 1 F (t) (5) Dalam bebeapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dai komponen-komponen industi, S(t) ditentukan sebagai fungsi tahan hidup (Suviva)l. Jadi hubungan fungsi kepadatan peluang dengan fungsi tahan hidup (Suvival) adalah f t = lim t 0 P t T < t + t t = lim t 0 F t+ t F t t = F (t) (6) 10

24 Pesamaan (5) di tuunkan tehadap t sehingga di peoleh : ds(t) dt = d 1 dt lim t 0 F t + t F t t S t = 0 F t F t = S t F t = S t F t = S (t) Jadi hubungan fungsi kepadatan peluang dan fungsi tahan hidup adalah f t = S (t) (7) Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) meupakan fungsi monoton tuun yang mempunyai sifat : a. S 0 = 1, atinya peluang suatu individu betahan hidup lebih lama dai waktu nol adalah 1. b. S = 0, atinya peluang suatu individu betahan hidup pada waktu yang tak tehingga adalah Fungsi Kegagalan (Hazad) Fungsi kegagalan menyatakan peluang kegagalan suatu individu pada waktu t, sedangkan Menuut Lawless (1982) fungsi kegagalan adalah peluang suatu individu mati dalam inteval waktu t sampai t + Δt, jika diketahui individu tesebut masih dapat betahan hidup sampai dengan waktu t, Fungsi kegagalan dai waktu tahan hidup T dinotasikan dengan: t = lim t 0 P(t T<t+ t T t) t (8) jika f t adalah fungsi kepadatan peluang pada waktu t, maka dipeoleh: 11

25 t = lim t 0 = lim t 0 = lim t 0 P(t T < t + t T t) t P t T < t + t T t P T t. t P t T < t + t P T t. t 1 F t + t F(t) = lim. t 0 t 1 F(t) = lim t 0 = F (t) S(t) F t + t F t t 1. S t Jadi fungsi densitas peluang pada waktu t adalah t = f(t) S(t) (9) Dai pesamaan (7) dan (9) dipeoleh h(t) sebagai beikut : t = S t S t = S t. d ln S t ds t ds t = dt. d ln S t ds t d ln S(t) t = dt (10) dai pesamaan (10) di peoleh: 0 t (x t ) dx = d ln S x dx dx 0 12

26 t x dx = 0 t d ln S x dx dx 0 Kaena S(0) = 1, maka dipeoleh t x dx = ln S(x) t 0 t 0 x dx = ln S t 0 S t = exp[ (x) dx] Dai uaian di atas dipeoleh hubungan antaa f(t), S(t) dan h(t) sebagai beikut : a. f t = S (t) (11) b. t = f(t) S(t) t c. S t = exp[ (x) dx]. 0 dai pesamaan (9) dan pesamaan (11) di peoleh : maka : t = f t S t 0 f(t) t = t exp[ (x) dx] f t = t exp[ (x t 0 ) dx] (12) t 0 13

27 2.4 Data Tesenso Dalam pengumpulan data seing tejadi individu yang diamati tesenso. Masalah pengumpulan data ini meupakan suatu hal yang membedakan antaa uji hidup dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tesenso adalah data yang dipeoleh sebelum semua data teamati waktu hidupnya, sementaa waktu pengamatan telah beakhi, atau oleh sebab lain. Sementaa data tidak tesenso adalah waktu tahan hidup yang dicatat dai individu yang mati selama waktu pecobaan, yaitu waktu dai awal hingga mengalami kematian. Data yang mengalami penyensoan hanya memuat sebagian infomasi mengenai vaiabel acak yang dipehatikan, namun bepengauh tehadap pengetian-pengetian dan pehitungan statistik. Penyensoan dilakukan untuk mempependek waktu pecobaan kaena dalam menguku waktu kegagalan atau kematian individu kadang-kadang dipelukan waktu yang lama dan biaya yang besa. Menuut Lee dan Wang (2003), ada tiga tipe penyensoan yang seing digunakan dalam pengamatan uji hidup yaitu sebagai beikut: a. Senso Tipe I, meupakan tipe penyensoan dimana pecobaan akan dihentikan setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhii semua n individu yang masuk pada waktu yang sama. Beakhinya waktu uji T menjelaskan waktu senso uji. Dengan kata lain, jika tedapat individu yang hilang secaa tiba-tiba maka waktu daya tahan (suvival) pengamatan tesenso sama dengan lama waktu pengamatan 14

28 b. Senso Tipe II, meupakan tipe penyensoan dimana sampel ke- meupakan obsevasi tekecil dalam sampel acak beukuan n 1 n. Dai total sampel beukuan n, pengamatan akan dihentikan ketika dipeoleh sebanyak individu yang mengalami kegagalan, dimana < n. sehingga dapat menghemat waktu dan biaya. Dalam penyensoan ini, ditentukan telebih dahulu sebelum data dikumpulkan. c. senso tipe III meupakan individu atau unit uji masuk ke dalam pecobaan pada waktu yang belainan selama peiode waktu tetentu. Bebeapa unit uji mungkin gagal/mati sebelum pengamatan beakhi sehingga waktu tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji kelua sebelum pengamatan beakhi, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu teakhi pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu teakhi sebelum hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dai mulai masuk pengamatan sampai waktu pengamatan beakhi. Lawless (1982) menyatakan bahwa data tesenso tipe II meupakan data kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete motality data) yaitu data waktu kematian atau kegagalan dai obsevasi tekecil dalam sampel acak yang beukuan n dengan 1 n. Dalam pengamatan menunjukkan penyensoan tipe II lebih seing digunakan sebagai contoh dalam uji hidup dai total obsevasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan behenti pada waktu obsevasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-. Oleh kaena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan biaya, kaena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoan tehadap kegagalan dai obsevasi. Data tesenso tipe II 15

29 dipeoleh dai penyelidikan tehadap n obsevasi, sehingga penyensoan behenti sampai obsevasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke. Oleh kaena itu dalam penyensoan tipe II umumnya data tedii dai waktu hidup tekecil t 1 t 2 t dai sampel acak beukuan n. Bila t 1, t 2,, t i.i.d dan bedistibusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(t) dan fungsi daya tahan S(t) maka fungsi kepadatan peluang (fdp) besama dai t 1, t 2,, t adalah g t 1, t 2,, t = n! n! [ f(t i)] [1 F(t )] n = n! n! f(t 1 ) f t S(t ) n (13) 2.5 Statistik Teuut Misalkan himpunan vaiabel acak X 1, X 2,, X n meupakan sampel acak yang beukuan n dai suatu populasi dengan fungsi kepadatan f(x) maka fungsi kepadatan peluang besama dai vaiabel acak independennya adalah sebagai beikut (Bain dan Engelhadt, 1992): f x 1, x 2,, x n = f x 1, f x 2,, f(x n ) Jika sampel acak yang beukuan n tesebut diuutkan dalam suatu uutan naik maka disebut statistik teuut atau ode statistik dai X 1, X 2,, X n dan dinyatakan dengan X 1:n, X 2:n,, X n :n atau Y 1, Y 2,, Y n dengan X i:n = Y i, i = 1, 2,, n. Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak yang beukuan n dai fungsi densitas peluang f(x), dimana untuk f x kontinu dan f x > 0, a < x < b, 16

30 maka fungsi densitas peluang dai statistik teuut ke k, Y k untuk k = 1,2,, n 1 adalah g k y k = n i=k n k n k d((f(y k)) k (1 F y k ) n k ) dy = n i=k n k + 1 k + 1 k(f y k )k 1 (1 F y k ) n k f y k n i=k n k + 1 k + 1 n k (F(y k ) k (1 F(y k )) n k 1 f(y k ) = n! k! n k 1! [F(y k )] k 1 [1 F(y k )] n k f(y k ) Maka fungsi kepadatan peluang untuk statistik teuut Y k, untuk k = 1,2,, n 1 adala g k y k = n! k 1! n k! [F y k ]k 1 1 F y k n k f y k, jika a < y k < b (14) 2.6 Distibusi Weibull Distibusi Weibull dikembangkan oleh W. Weibull pada awal tahun Distibusi Weibull meupakan salah satu jenis distibusi kontinu yang seing digunakan, khususnya dalam bidang keandalan dan statistik kaena kemampuannya untuk mendekati bebagai jenis sebaan data. Distibusi Weibull seing digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dai banyak sistem fisik. Paamete dalam distibusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan betambah tehadap waktu, bekuan tehadap waktu atau tetap konstan tehadap waktu. Menuut Lawless(1982), distibusi Weibull meupakan distibusi yang menggambakan kejadian ekstim sepeti waktu hidup dai makhluk hidup. Distibusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distibusi waktu hidup. 17

31 Misalkan vaiabel acak kontinu T bedistibusi Weibull, dengan paamete μ dan paamete shape β, jika mempunyai fungsi kepadatan peluang: f t = μβt β 1 e μ tβ, t > 0; μ > 0; dan β > 0 (15) (Depatment of Mathematics and Statistics, Lahijan Banch Islamic Azad Univesity, Lahijan, Ian) Pesamaan (15) di katakana fungsi kepadatan peluang jika : 1. f t 0, t R 2. f t dt = 1 0 Untuk selanjutnya di notasikan sebagai T~WEI(μ, β). Nilai paamete shape yaitu β menyatakan suatu bentuk yang bemacam-macam dai kuva fungsi densitas yaitu naik, tuun, atau mendata, sehingga kondisi ini sangat cocok digunakan untuk bebagai model data suvival. Gamba 2. Kuva fungsi kepadatan peluang dai distibusi Weibull Gafik distibusi Weibull (gamba 2) untuk α = 1,jika β = 1 maka distibusi Weibull menjadi distibusi eksponensial, seta jika β > 1 maka kuvanya miip lonceng dan menyeupai kuva nomal tetapi agak miing. Semakin besa nilai β puncak dai kuva fungsi densitas peluangnya semakin uncing dan bentuknya semakin simetis, sedangkan semakin besa nilai α maka model kuvanya semakin tuun dan leba. 18

32 2.7 Metode Kemungkinan Maksimun Metode kemungkinan maksimum adalah salah satu metode yang paling seing digunakan untuk mencai nilai estimasi dai suatu paamete. Fungsi kepadatan besama (joint density function) dai n vaiabel acak X1, X2,..., Xn pada x1, x2,..., xn adalah f(x1, x2,..., xn; θ) disebut sebagai fungsi kemungkinan. Untuk x 1, x 2,, x n yang tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dai θ dan seing di notasikan sebagai L θ. jika X 1, X 2,, X n menyatakan sampel acak dengan fungsi peluang f(x; θ) maka : L θ = f x 1 ; θ f x n ; θ = n f(x i ; θ) (16) Misalkan L θ = f x 1 ; θ f x n ; θ, θ ε Ω adalah fungsi kepadatan besama dai X 1, X 2,, X n. Untuk sekumpulan pengamatan yang di beikan (x 1, x 2,, x n ), suatu nilai θ dalam Ω sedemikian hingga L θ maksimun, di sebut estimasi kemungkinan maksimun (MLE) dai θ. Nilai θ adalah nilai θ yang memenuhi: f(x 1, x 2,, x n ; θ) = max θεω f(x 1, x 2,, x n ; θ) Apabila Ω adalah inteval tebuka, dan jika L θ adalah diffeensiabel dan di asumsikan maksimun pada Ω maka MLE adalah solusi dai pesamaan : d dθ L θ = 0 Hal yang pelu dipehatikan, jika tenyata tedapat lebih dai satu solusi untuk pesamaan d dθ L θ = 0, maka haus dilakukan pehitungan tehadap masing-masing solusi untuk mempeoleh solusi yang memaksimumkan 19

33 L θ. Hal ini dilakukan dengan mencai nilai tuunan kedua dai L θ bila nilainya negatif maka solusi tesebut adalah solusi yang maksimum. Definisi tentang fungsi kemungkinan dan estimasi kemungkinan maksimum dapat diteapkan dalam paamete-paamete tak diketahui yang lebih dai satu. Bila θ adalah paamete, katakan = θ 1, θ 2,, θ k, maka estimasi kemungkinan maksimumnya akan beupa pesamaan simultan dengan penuunan pasial tiap-tiap paametenya. Ln θ θ 1, θ 2,, θ k = 0, untuk j = 1,2,, k (17) j Pesamaan di atas disebut pesamaan kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Equations). Nilai θ 1, θ 2,, θ k meupakan estimasi bila pesamaan kemungkinan maksimumnya membeikan nilai maksimum tehadap L(θ 1, θ 2,, θ k ). 2.8 Metode Newton-Raphson Apabila langkah menaksi paamete menggunakan metode metode kemungkinan maksimun menghasilkan fungsi log-likelihood yang non-linie maka penyelesaian fungsi tesebut di lanjutkan dengan menggunakan metode iteasi Newton-Rhapson. Fungsi log-likelihood dengan paamete x dapat diselesaikan sehingga dipeoleh taksian x dengan menggunakan metode Newton Rhapson. Rumus penaksi paamete x pada iteasi n = (0,1,2,, n) adalah sebagai beikut: x n+1 = x n f(x n ) f (x n ) (18) 20

34 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian Penelitian ini di lakukan pada bulan Desembe 2015 hingga bulan Febuai tahun 2016 yang betempat di Laboatoium komputasi Matematika Univesitas Halu Oleo. 3.2 Jenis Dan Sumbe Data Data yang digunakan pada skipsi ini didapatkan dai metode simulasi pembangkitan data dengan bantuan softwae Minitab 14, dimana dibangkitkan 2 data bedistibusi Weibull yang masing- masing bejumlah 18 data. Data bangkitan yang telah didapatkan dibeikan infomasi beupa vaiabel acak data tesenso tipe II dengan = 18 dai n = 40, yang misalnya penelitian waktu hidup 2 jenis yaitu lampu jenis 1 dan lampu jenis 2. Pada skipsi ini akan dicai estimasi paamete data tesenso tipe 2 yang bedistibusi Weibull yaitu μ dan β menggunakan metode kemungkinan maksimun. Setelah diketahui paametenya, kemudian menghitung fungsi daya tahan (Suvival) dan laju keusakan (fungsi hazad). Data diolah dan dianalisis menggunakan softwae Excel 2007 dan softwae minitab Posedu Penelitian 1. Menentukan model fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi Weibull! 2. Penaksian paamete dengan menggunakan metode Kemungkinan maksimun! 21

35 3. Contoh peneapan model daya tahan hidup untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi Weibull dai pembangkitan data sebanyak n, dengan caa : 1. Membuat model tesenso tipe II 2. Menentukkan nilai paamete μ, β dan nilai banyaknya kegagalan 3. Membangkitkan data sebanyak n 22

36 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Fungsi Kepadatan Peluang Besama Untuk Data Tesenso Tipe II Yang Bedistibusi Weibull Menuut Lawless(1982), distibusi Weibull meupakan distibusi yang menggambakan kejadian ekstim sepeti waktu hidup dai makhluk hidup. Distibusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distibusi waktu hidup. Misalkan vaiabel acak kontinu T bedistibusi Weibull, dengan paamete μ dan β, dengan fungsi kepadatan yaitu f t = μβt β 1 e μ tβ, t > 0; μ, β > 0. (19) Dan Fungsi distibusi kumulatifnya di defenisikan sebagai beikut : t F t = f x dx 0 t F t = μβx β 1 e μx β dx 0 misal u = μx β du = μβx β 1 dy du dy = μβx β 1 t F t = μβx β 1 du μβx β 1 0 t = e u du 0 23

37 = e u t 0 = e μ x β t 0 F t = e μtβ ( e μ 0t ) F t = e μ tβ + 1 Jadi fungsi kumulatifnya adalah F t = 1 e μ tβ (20) Fungsi tahan hidup dai T~Weibull(μ, β) didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat betahan hidup sampai waktu t, (bedasakan pesamaan 5) yaitu S t = 1 F t μ tβ = 1 1 e = e μtβ Jadi fungsi tahan hidupnya adalah S t = e μt β (21) Fungsi kegagalan (t) (bedasakan pesamaan 9) menyatakan peluang suatu komponen mengalami kegagalan pada waktu t. t = jadi fungsi kegagalannya yaitu: f t S t = μβ t β 1 μ tβ e e μ tβ t = μ β t β 1 (22) 24

38 Dalam data tesenso tipe II, tedapat pengamatan dai n sampel yang diamati, dan ekspeimen akan dihentikan setelah kegagalan ke- yang tejadi sebelum waktu t i. Data tedii dai tahan hidup tekecil T (1) T (2) T 3 T () dai sampel acak yang tedii dai n tahan hidup T 1, T 2, T 3,, T sepeti di ilustassikan pada gamba beikut : T (1) T (2) T () T (+1) T (+2) T (n) 0 Data tesenso Gamba 3. Ilustasi Data Tesenso Tipe II Misalkan T meupakan vaiabel acak dai n individu yang diamati, f(t 1 ) meupakan fungsi kepadatan peluang dai vaiabel acak individu ke-1, f(t 2 ) meupakan fungsi kepadatan peluang dai vaiabel acak individu ke-2, dan seteusnya hingga f(t ) untuk vaiabel acak individu ke-. Individu yang gagal, yaitu individu ke-1 sampai individu ke- masingmasing sebanyak satu komponen. Sedangkan individu yang masih betahan melebihi kegagalan dai individu ke dituliskan dengan T +1, T +2, T +3,, T sebanyak n. SampeL acak beukuan n dengan kegagalan ini mengikuti distibusi multinomial, sehingga tedapat n! n! uutan yang mungkin tejadi dai n pengamatan. 25

39 Fungsi kepadatan peluang besama dai T 1, T 2, T 3,, T dai data yang diamati dapat ditulis sebagai beikut: g(t 1, t 2,, t ) = n! n! f t 1 f t 2 f(t ) P T +1 t P(T n t ) = n! n! f(t i ) 1 P T +1 < t (1 P T n < t ) = n! n! f(t i ) 1 F t (1 F t ) = n! n! f(t i ) 1 F(t ) n g(t 1, t 2,, t ) = n! n! f(t i ) S(t ) n (23) Fungsi densitas peluang besama data tesenso tipe II dai t 1, t 2,, t untuk < n adalah g(t 1, t 2,, t ) = n! n! f(t i ) S(t ) n kaena di ketahui bahwa f t i = μβt β 1 μ tβ i e dan S t = e μ t β, maka fungsi likelihoodnya adalah sebagai beikut g(t 1, t 2,, t ) = n! n! f t i S t n = n! n! μβt i β 1 e μ t i β e μ t β n 26

40 = n! n! (μβ) t i β 1 e μ t i β e μ t β n g(t 1, t 2,, t ) = n! n! μβ) β 1 t i e μ t i β e μt β n (24) 4.2 Penaksian Paamete Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimun Fungsi likelihood dai distibusi Weibull untuk data tesenso tipe II memiliki bentuk : L L μ, β = n! n! (μβ) β 1 t i e μ t i β e μ t β n (25) Metode kemungkinan maksimun menggunakan nilai dalam uang paamete Ω yang besesuaian dengan nilai kemungkinan maksimun dai data pengamatan sebagai estimasi dai paamete yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya L L μ, β menunjukkan fungsi kepadatan peluang besama dai sampel acak. Jika Ω uang paamete yang meupakan inteval tebuka dan L L μ, β meupakan fungsi yang dapat dituunkan seta diasumsikan maksimum pada Ω, maka pesamaan kemungkinan maksimunnya adalah L L μ,β μ = 0 dan L L μ,β β = 0 (26) Jika penyelesaian dai pesamaan (26) ada, maka nilai maksimum dai L L μ, β dapat tepenuhi. Tetapi jika penyelesaian dai pesamaan (26) sulit untuk diselesaikan maka fungsi L L μ, β dapat ditansfomasi ke logaitma natualnya. Aga fungsi benilai maksimun, maka nilai paametenya haus memiliki pesamaan: 27

41 ln L L μ, β μ = 0 dan ln L L μ, β β = 0 Sehingga di peoleh fungsi log-likelihood dai distibusi Weibull sebagai beikut: ln L L μ, β = ln n! ln n! + ln μ + ln β + ln t i β 1 + ln e μt i β + ln e μt β ln L L μ, β = ln n! ln n! + ln μ + ln β + (β 1) ln t i μ t i n μt β ) β n (27) Untuk mempeoleh estimasi μ dan β, pesamaan (26) dituunkan pasial masing-masing tehadap μ maupun β dan disama dengankan 0 dengan tujuan memaksimumkan fungsi likelihood. Penduga untuk μ dan β diuaikan sebagai beikut: Penaksi Untuk μ Penduga paamete μ dai distibusi Weibull dapat dipeoleh dai memaksimumkan logaitma natual fungsi kemungkinan dai distibusi Weibull yaitu dengan tuunan petama μ dai logaitma natual fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai beikut: ln L L μ,β μ = 0 (28) Pesamaan (26) di subtitusikan ke pesamaan (27), sehingga di peoleh : ln L L μ, β μ = α ln n! ln n! + ln μ + ln β + β 1 ln t i μ t i β n μt β ) = 0 μ t β i n t β = 0 (29) μ = t β i + n t β 28

42 μ = β t i + n t β Jadi dipeoleh penduga paamete μ adalah sebagai beikut : μ = (30) β β t i + n t Untuk melihat apakah μ = β β t i + n t meupakan titik maksimun dai μ maka di buktikan tuunan ke dua dai μ kuang dai nol yaitu : 2 ln L L μ,β 2 μ < 0 (31) Pesamaan (28) di subtitusikan ke pesamaan (30),sehingga di peoleh : 2 ln L L μ, β 2 μ = μ 2 < 0 = 2 2 μ μ t β i n t β < 0 Kaena tuunan kedua μ dai logaitma natual fungsi kemungkinan kuang dai nol, maka tebukti bahwa μ = β β t i + n t penduga yang maksimun pada μ Penaksi untuk β Penduga paamete β dai distibusi Weibull dapat dipeoleh dai memaksimumkan logaitma natual fungsi kemungkinan dai distibusi Weibull yaitu dengan tuunan petama β dai logaitma natual fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai beikut: 29

43 ln L L μ,β β = 0 (32) Pesamaan (26) di subtitusikan ke pesamaan (31), sehingga di peoleh : ln L L μ, β β = β ln n! ln n! + ln μ β + ln β + (β 1) lnt i μ t i n μt β ) = 0 Kaena untuk menuunkan pesamaan di atas tidak mudah maka digunakan pemisalan sebagai beikut : u = t i β ln u = ln t i β v = t β ln v = ln t β ln u = β ln t i 1 u du = ln t i dβ du dβ = t i β ln t i ln v = β ln t 1 v dv = ln t dβ dv dβ = t β ln t Sehingga di peoleh : + lnt β i μ t β β i (ln t i ) (n )μt (ln t ) = 0 (33) Subtitusi pesamaan (29) ke pesamaan (32), sehingga di peoleh : β ln t i t β β i (ln t i ) (n ) t (ln t ) = 0 (34) t β i + n t β t β i n t β Pesamaan (33) adalah pesamaan non linea, sehingga nilai dugaan bagi β di peoleh melalui pendekatan Metode iteasi Newton-Raphson dengan menganggap bahwa : f β = ln L L μ, β β = 0 30

44 Adapun langkah-langkah metode Newton- Raphson untuk mencai dugaan paamete adalah sebagai beikut : 1. Menentukkan nilai awal β 0 2. Menentukkan pesamaan f β f β = ln t i t β i (ln t i ) (n ) t (ln t ) (35) β t β β i + n t t β β i n t β dan tuunan petama dai f β adalah f β = df(β) dβ f β = d dβ β ln t i n t i β + n t β t i β n t β t β t i β (ln t i ) (ln t ) f β = d dβ β ln t i t i β + n t β t β i (ln t i ) + ( n t β (ln t ) pemisalan: Kaena untuk menuunkan pesamaan di atas tidak mudah maka digunakan 1. d dβ β = β 2 2. d dβ t β i + n t β t β i (ln t i ) + ( n t β (ln t ) Missal u = t β i + n t β du dβ = ( t β β i + n t ) 2 t i β (ln t i ) + ( n t β (ln t ) Dan 31

45 v = t β i (ln t i ) + ( n t β (ln t ) Misalkan : u = t i β ln u = ln t i β v = t β ln v = ln t β ln u = β ln t i 1 u du = ln t i dβ du dβ = t i β ln t i ln v = β ln t 1 v dv = ln t dβ dv dβ = t β ln t Maka : Jadi d dβ t β i + n t β dv dβ = t i β (ln t i ) 2 + ( n t β (ln t ) 2 t β i (ln t i ) + ( n t β (ln t ) = u v + v u = t β i + n t β 2 t i β (ln t i ) + ( n t β (ln t ) t β i (ln t i ) + β n t ln t + t β i (ln t i ) 2 + ( n t β (ln t ) 2 Misalkan di ketahui : S 1,f = ln t i, t β i + n t β (36) S 2,f = t β i, S 3,f = t β i (ln t i ), S 4,f = t β i (ln t i ) 2, S 2,s = (n )t β, S 3,s = n t β ln t S 4,s = n t β ln t 2 Sehingga di peoleh pesamaan (29) sebagai beikut μ = S 1,f + S 2,f 32

46 Dan dipeoleh pesamaan (35) sebagai beikut: d dβ (S S 2,f +S 3,f + S 3,s ) = S 2,s (S 2,f +S 2,s ) 2 3,f + S 2 3,s + (S (S 2,f +S 2,s ) 4,f + S 4,s ) Jadi di peoleh : f β = β 2 (S 2,f + S 2,s ) 2 S 3,f + S 2 3,s + (S 2,f + S 2,s ) S 4,f + S 4,s f β = + S β 2 (S 2,f +S 2,s ) 2 3,f + S 2 3,s S (S 2,f +S 2,s ) 4,f + S 4,s (37) 3. Masukkan pesamaan (34) dan pesamaan (36) kedalam umus newton- Raphson sebagai beikut : x n+1 = x n f(x n ) f (x n ) Dan di peoleh nilai dugaan paamete bagi β sebagai beikut : β n+1 = β n f β n f β n + S 1,f S β β n+1 = β n n S 2,f + S 3,f + S 3,s 2,s 2 β + (S 2,f + S 2,s ) 2 S 3,f + S 2 3,s (S 2,f + S 2,s ) S 4,f + S 4,s n + S 1,f β β n+1 = β n n S 2,f + S S 3,f + S 3,s 2,s ( 2 β (S 2,f + S 2,s ) 2 S 3,f + S 2 3,s + (S 2,f + S 2,s ) S 4,f + S 4,s n β n+1 = β n + + S β 1,f n S 2,f + S S 3,f + S 3,s 2,s ( 2 β (S 2,f + S 2,s ) 2 S 3,f + S 2 3,s + (S 2,f + S 2,s ) S 4,f + S 4,s n (38) 33

47 4.3 Contoh Peneapan Beikut ini adalah misalnya data contoh pemilihan lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 masing-masing tedapat 18 data dai 40 lampu dengan jenis yang bebeda. Data beasal dai hasil metode simulasi pembangkitan data dengan bantuan softwae Minitab 14 yang bedistibusi Weibull. Tabel 4.1 data waktu hidup lampu Lampu jenis 1 Waktu hidup (jam) Lampu jenis II Waktu hidup (jam) Dai 40 pengamatan yang ada, hanya diambil 18 hasil pengamatan petama. Banyaknya pengamatan yang diambil telah ditentukan sebelum penelitian dilakukan. Pada data ini hanya di ambil 18 pengamatan pada masingmasing lampu, sehingga tedapat 22 pengamatan yang tesenso pada setiap jenis lampu. Akan dicai nilai dai penduga kemungkinan maksimun untuk μ dan, dan menghitung peluang hidup lampu selama 0, 250, 500 dan 700 jam bedasakan fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan. Untuk mempemudah pehitungan dalam mencai nilai estimasi kemungkinan maksimun, dapat menggunakan softwae Minitab. Dalam skipsi ini 34

48 menggunakan softwae Minitab 14. Dalam softwae ini, fungsi kepadatan peluang yang digunakan adalah f t = β α β (t)β 1 exp t α β (39) Dengan : β = sape paamete α = scale paamete Fungsi densitas peluang pada pesamaan (39) meupakan meupakan hasil tansfomasi dai kepadatan peluang dai : f t = μβt β 1 e μ tβ, dimana μ = α β A. Lampu 1 Dai hasil output softwae Minitab 14 (lampian 3), dipeoleh nilai shape paamete dai data adalah dan nilai dai scale paamete adalah , sehingga dipeoleh : μ = μ = μ = x Beikut ini adalah bentuk fungsi kepadatan peluang dai data lampu I, sedangkan bentuk kuvanya ditunjukkan pada gamba 4. f t i = μβt i β 1 e μ t i β f t i = x t 1 i e x t i (40) 35

49 Gamba 4. Kuva fungsi kepadatan peluang dai data lampu I Bentuk fungsi daya tahan ditunjukkan pada pesamaan (41) dan kuva fungsi daya tahan dai data pada gamba 5. S t i = e μ t i β S t i = e x t i (41) Gamba 5. Kuva fungsi daya tahan dai data lampu I Bentuk fungsi kegagalan ditunjukkan pada pesamaan (42) dan kuva fungsi kegagalan dai data pada gamba 6. 36

50 t i = μβt i β 1 t i = x t i (42) Gamba 6. Kuva fungsi kegagalan dai data Lampu I Jika fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan telah didapatkan, maka dapat dihitung peluang hidup lampu (lampu 1) selama 0, 250, 500 dan 700 jam sebagai beikut : t i = 0 S 0 = e x t i S 0 = e x s 0 = 1 Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 0 adalah 1 dan fungsi kegagalannya adalah 0 = x = 0 37

51 t i = 250 S 250 = e x t i S 250 = e x s 250 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 250 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 250 = x t i = = S 500 = e x t i S 500 = e x s 500 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 500 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 500 = x t i = = S 700 = e x t i S 700 = e x s 700 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 700 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 700 = x =

52 B. Lampu 2 Dai hasil output softwae Minitab 14 (lampian 4), dipeoleh nilai shape paamete dai data adalah dan nilai dai scale paamete adalah , sehingga dipeoleh : μ = α β μ = μ = μ = x 10 9 Beikut ini adalah bentuk fungsi kepadatan peluang dai data lampu I, sedangkan bentuk kuvanya ditunjukkan pada gamba 4. f t i = μβt i β 1 e μ t i β f t i = x t i e x 10 9 t i Gamba 7. Kuva fungsi kepadatan peluang dai data lampu 2 Bentuk fungsi daya tahan ditunjukkan pada pesamaan (43) dan kuva fungsi daya tahan dai data pada gamba 8. 39

53 S t i = e μ t i β S t i = e x 10 9 t i (43) Gamba 8. Kuva fungsi daya tahan dai data lampu 2 Bentuk fungsi kegagalan ditunjukkan pada pesamaan (44) dan kuva fungsi kegagalan dai data pada gamba 9. t i = μβt i β 1 t i = x t i (44) Gamba 9 Kuva fungsi kegagalan dai data Lampu 2 40

54 Jika fungsi daya tahan dan fungsi kegagalan telah didapatkan, maka dapat dihitung peluang hidup lampu (lampu 2) selama 0, 250, 500 dan 700 jam sebagai beikut : t i = 0 S 0 = e x 10 9 t i S 0 = e x s 0 = 1 Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 0 adalah 1 dan fungsi kegagalannya adalah 0 = x = 0 t i = 250 S 250 = e x 10 9 t i S 250 = e x s 250 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 250 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 250 = x t i = = S 500 = e x 10 9 t i

55 S 500 = e x 10 9 (500) s 500 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 500 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 500 = x t i = = S 700 = e x 10 9 t i S 700 = e x 10 9 (500) s 700 = Jadi fungsi daya tahan lampu pada saat t i = 700 adalah dan fungsi kegagalannya adalah 700 = x =

56 Dai poses pehitungan data waktu hidup tesenso tipe II lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 tesebut dipeoleh, Jenis (α, β) t i S(t i ) (t i ) lampu (jam) Lampu I x 10 11, Lampu x 10 9, Tabel 4.2 Pehitungan Untuk Data Waktu Hidup Tesenso Tipe II Lampu Jenis 1 dan Lampu Jenis 2 Dai data hasil pehitungan waktu hidup lampu jenis 1 dan lampu jenis 2 pada tabel (4.2), dipilih lampu jenis 1 kaena lampu jenis 1 memiliki fungsi daya tahan (S(t)) dan dan fungsi kegagalan (h(t)) lebih baik di banding lampu jenis 2. Dan Pada data hasil pehitungan dapat dilihat bahwa semakin besa atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka peluang hidup lampu semakin kecil (mendekati nol) sedangkan Pada laju keusakan h(t) semakin besa atau semakin lama waktu hidup lampu maka laju keusakannya semakin besa. 43

57 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dai pembahasan, dipeoleh bebeapa kesimpulan mengenai data tahan hidup tesenso tipe II yang bedistibusi Weibull, yaitu sebagai beikut: a. Model fungsi kepadatan peluang besama untuk data tesenso tipe II bedasakan model distibusi Weibull adalah g(t 1, t 2,, t ) = n! n! f t i S t n Model fungsi kepadatan peluang besama ini dipeoleh dengan mencai fungsi kemungkinan maksimun dai data tesenso tipe II yang bedistibusi Weibull. Fungsi likelihood untuk data tesenso tipe II tesebut adalah L L μ, β = n! n! (μβ) i =1 t i β 1 e μ t i β e μ t β n b. Menentukan nilai estimasi kemungkinan maksimun untuk μ dan β yaitu μ dan β. Dai fungsi kemungkinan untuk data tesenso tipe II, dapat dipeoleh estimasi kemungkinan maksimun untuk μ dan β yaitu μ = β t i + n t β dan 44

58 β n+1 = β n + + S 1,f β n S 2,f + S S 3,f + S 3,s 2,s ( β 2 (S 2,f + S 2,s ) 2 S 3,f + S 2 3,s + (S 2,f + S 2,s ) S 4,f + S 4,s c. Hasil pengolahan dai data tesenso tipe II dipeoleh untuk lampu 1 nilai estimasi untuk μ = x 10 11, dan estimasi untuk β = sedangkan untuk lampu 2 nilai estimasi untuk μ = x 10 9 dan estimasi untuk β = Pada data hasil pehitungan dapat dilihat bahwa semakin besa atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka peluang hidup lampu semakin kecil (mendekati nol) sedangkan pada laju keusakan h(t) semakin besa atau semakin lama waktu uji hidup lampu maka laju keusakannya semakin besa. 5.2 Saan Skipsi ini membahas tentang model waktu hidup dengan menentukan estimasi kemungkinan maksimun untuk μ dan β yang meupakan paametepaamete dai distibusi Weibull. Dalam penulisan ini hanya membahas model waktu hidup untuk data tesenso tipe II. Oleh kaena itu disaankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai model tahan hidup dengan menggunakan distibusi Weibull untuk data tesenso tipe I dan untuk data tesenso tipe III dan juga untuk distibusi-distibusi lain pada data bekelompok. 45