SYARAT PERLU DAN CUKUP SOLVABILITAS MASALAH DEKOPLING SEGITIGA BLOK

Transkripsi

1 SYARAT PERLU DAN CUKUP SOLVABILITAS MASALAH DEKOPLING SEGITIGA BLOK NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR SOLVABILITY OF THE BLOCK TRIANGULAR DECOUPLING PROBLEM PENGANTAR Caturyat 1 dan Sr Wahyun Program Stud Matemata Program Pascasarjana Unverstas Gadjah mada ABSTRACT In ths research we study the bloc trangular decouplng problem wth state feedbac for lnear systems defned over a prncpal deal doman, as a generalzaton of lnear systems over feld of real number. Especally, n ths paper, we study the necessary and suffcent condtons for ts solvablty are obtaned. Key words : lnear system over rngs, bloc trangular decouplng, feedbac reachablty submodule. Dberan sstem (A,B,C) atas daerah deal utama (d..u), dengan A nxn, B nxm, dan C lxn berturut-turut dsebut matrs sstem, matrs masuan (nput), dan matrs eluaran (output). Selanjutnya ddefnsan := n, U:= m dan Y:= l yang masng-masng merupaan -modul bebas. Sstem (A,B,C) untu sstem watu dsrt ddefnsan sebaga berut: x(t 1) Ax(t) Bu(t), (1.1) y(t) Cx(t) dengan x(t), u(t)u, dan y(t)y berturut-turut dsebut vetor eadaan (state vector), vetor masuan (nput vector) dan vetor eluaran (output vector), t=0,1,,. Ja u= u(t) t0 barsan masuan dan syarat awal x(0)=x 0, maa solus sstem (1.1) pada watu t dnyataan x(t;x 0,u). Untu ejadan husus C=0, sstem (A,B,C) dsngat dengan notas (A,B). Submodul tercapa (reachable sumodule) untu sstem (A,B), dlambangan A ImB : ImB A ImB Submodul setap x A ImB, ddefnsan sebaga : n1 A ImB, dengan ImB adalah mage dar B. A ImB dsebut sebaga submodul tercapa berdasaran fata bahwa untu A ImB terdapat watu T0 dan masuan u sehngga x(t;0,u)= x (Hautus,198). Selanjutnya pasangan (A,B) dataan tercapa ja memenuh esamaan A ImB =. 1 Jurusan Penddan Matemata FMIPA Unverstas Neger Yogyaarta Jurusan Matemata FMIPA Unverstas Gadjah Mada Yogyaarta 1

2 sebaga berut: Pandang sstem (1.1), dan msalan matrs eluaran C dparts menjad blo C = C C C dengan C l xn dan l 1 +l ++l = l, maa sstem (A,B,C) menjad (A,B, menghaslan sstem berut: 1, x(t 1) Ax(t) Bu(t) y (t) Cx(t) ( 1,,, ). { C } 1 ), dan Ja pada sstem tersebut dterapan suatu feedbac berbentu u(t) = Fx(t) + G v (t), 1 (1.) dengan F mxn, G mxm, dan v (t) masuan-masuan baru, maa sstem loop tertutup menjad (A+BF,B[G 1,G,,G ],{ C } 1 ) yatu, x(t 1) y (t) (A BF)x(t) C x(t) 1 ( 1,,, ). BG v (t) Submodul etercapaan tpe feedbac S yang dbangun oleh masuan v adalah S = A BF Im(BG ). Dalam pendeatan geometr, masalah deoplng segtga blo untu sstem lnear atas lapangan blangan real mula-mula dpelajar oleh Wonham d (1970), hususnya telah dseld syarat perlu dan cuup agar sstem terselesaan (solvable). Karena sstem atas rng merupaan generalsas dar sstem atas lapangan, maa dpandang perlu untu membahas masalah deoplng segtga blo untu sstem lnear atas rng. Hal n sudah dpelajar oleh Sontag (1976), Conte d (198), dan Datta d (1984). Sstem lnear atas rng sepert tu menar untu dpelajar arena antara lan bsa dgunaan untu mambahas masalah-masalah sstem lnear dengan parameter. Inaba d (1988) telah mempelajar decouplng dan pole assgnablty untu sstem lnear atas d..u, dan secara essensal haslnya mash mrp dengan hasl pada sstem lnear atas lapangan blangan real yang demuaan oleh Wonham (1979). Dalam paper n, aan duraan masalah deoplng segtga blo dengan feedbac untu sstem lnear atas d..u. Karena jumlah dua submodul etercapaan tpe feedbac belum tentu submodul etercapaan tpe feedbac juga, maa tda terjamn esstens submodul etercapaan tpe feedbac terbesar d dalam submodul yang dberan. Sehngga perlu dtunjuan syarat perlu agar submodul etercapaan tpe feedbac terbesar d dalam submodul yang

3 3 dberan ada. Sebelumnya dtunjuan dulu esstens submodul (A,B)-nvaran terbesar dalam suatu submodul yang dberan, serta dbahas pula mengena submodul etercapaan dan submodul etercapaan tpe feedbac. Selanjutnya sebaga nt dalam paper n, dbcaraan syarat perlu dan cuup masalah deoplng segtga blo atas d..u supaya mempunya penyelesaan, dengan pengamblan suatu asums esstens submodul etercapaan tpe feedbac terbesar d dalam submodul yang dberan. KONSEP DASAR Berut n duraan onsep dasar yang sebagan besar dutp dar Adns (199) ecual bla dsebut husus. Msalan a0 merupaan elemen dalam rng R. Ja ada b0 dalam rng R dengan ab=0, maa a dsebut pembag nol dalam R. Defns.1. Rng R dsebut daerah ntegral (d.) ja R merupaan rng omutatf dengan elemen satuan dan tda mempunya pembag nol. Daerah ntegral R yang setap dealnya dapat dbangun oleh satu elemen dsebut daerah deal utama (d..u). Defns.. Dberan grup (M,+) dan R suatu rng omutatf dengan elemen satuan. Grup M dsebut modul atas rng R atau M=R-modul ja terdapat fungs. : RxMM yang memenuh asoma-asoma: 1. (m+n) = m+n,. (+)m = m+m, 3. ()m = (m), dan 4. 1m = m. untu setap,m dan m,nm. Elemen dalam R dsebut salar. Dberan M adalah R-modul dan NM. Hmpunan N dsebut R-submodul dar M ja N terhadap operas pergandaan salar yang sama dengan M juga R-modul. Defns.3. Dberan M adalah R-modul. a) Hmpunan {m 1,m,,m n }M dataan humpunan pembangun dar M ja untu setap mm dan ada 1,,, n R berlau m= 1 m 1 + m ++ n m n. b) Hmpunan {m 1,m,,m n }M dataan bebas lnear ja untu setap 1,,, n R ja 1 m 1 + m ++ n m n =0 maa 1 = = = n =0. c) Hmpunan bagan SM dataan bass dar M ja S bebas lnear dan merupaan hmpunan pembangun untu M. d) Modul M atas R dataan R-modul bebas ja M mempunya bass. Ja M adalah R-modul bebas atas rng omutatf R, maa ran(m) menotasan banyanya elemen dalam suatu pembangun.

4 Adns (199) juga mendefnsan mengena drect summand dan drect sum, annhlator dar untu mendefnsan elemen tors, modul bebas tors dan modul tors. Teorema yang dgunaan dantaranya yang menyataan tentang R-modul bebas dan R- submodul bebas. Secara rnc bsa dlhat dalam Adns (199). Defns.4. (Conte dan Perdon, 198) Dberan R d., T dan S submodul-submodul dalam R-modul, dengan T S. a) Cl S (T):={x SaxT untu suatu ar a0} dsebut Closure dar T dalam S. b) T dsebut submodul tertutup dalam S ja memenuh Cl S (T)= T. Proposs.5. (Conte dan Perdon, 198) Dberan M dan N modul-modul atas R dengan NM. a) (M/N) t = 0 ja dan hanya ja N tertutup d dalam M. b) Submodul M tertutup ja dan hanya ja M merupaan drect summand dar. Cohn (1965) mendefnsan tentang nfmum dan supremum dar B yatu sebarang hmpunan bagan dar hmpunan terurut A, dtuls Inf B dan Sup B. Teorema.6. (Teorema Cayley hamlton) (Brewer, 1986) Ja R lapangan dan A matrs beruuran nxn atas R maa A memenuh persamaan araterstnya yatu A n +a n1 A n1 ++a 1 A+a 0 I=0 dengan 0 merupaan matrs nol. Berut n dberan dasar-dasar Pendeatan Geometr untu Sstem Lnear (1.1). Defns.7. (Hautus, 198) Dberan Ssubmodul dalam -modul. () Sdataan submodul (A,B)-nvaran ja A S S+ImB. () Sdataan submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac ja terdapat F mxn memenuh (A+BF) S S. 4 yang Dengan deman ja F(S;A,B) hmpunan semua matrs F mxn yang memenuh sfat (A+BF) S Sdan F(S;A,B), maa S submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac. Defns.8. (Wonham, 1979) Dberan Ssubmodul dalam -modul. () Sdataan submodul etercapaan untu sstem (A,B) ja untu setap Sterdapat watu T0 dan barsan masuan u= u(t) sehngga x(t;0,u) berada dalam Suntu t=0,1,, dan x(t;0,u)= x. () Sdataan submodul etercapaan tpe feedbac untu sstem (A,B) ja terdapat F mxn dan G mxm sehngga S= A BF Im(BG). t0 x SUBMODUL (A,B)-INVARIAN TERBESAR Pada bagan n aan dpaparan esstens submodul (A,B)-nvaran terbesar dalam suatu submodul yang dberan. Sebelumnya aan duraan sfat-sfat berut n.

5 5 Sfat 3.1. Dberan Ssubmodul. () Ja Ssubmodul (A,B)-nvaran tpe feedbac, maa closure dar Sdalam juga submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac. () Ja Sadalah submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac maa Sadalah submodul (A,B)-nvaran. () Ja S 1 dan S adalah submodul-submodul (A,B)-nvaran maa S 1 +S juga submodul (A,B)-nvaran. Sfat 3.1.() tda berlau untu submodul (A,B)-nvaran artnya ja Ssubmodul (A,B)-nvaran maa Cl (S) belum tentu merupaan submodul (A,B)-nvaran. D dalam sstem lnear atas lapangan berlau hubungan S submodul (A,B)-nvaran ja dan hanya ja S submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac (Hautus, 198). Dalam sstem lnear atas rng hanya berlau ja S submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac maa S submodul (A,B)-nvaran. Selanjutnya d dalam sstem lnear atas blangan real, Wonham (1979), telah menunjuan adanya subruang supremum dalam eluarga subruang-subruang dalam, ddefnsan dengan V *. Ternyata hal tersebut berlau juga untu sstem lnear atas rng, yatu ja Ssubmodul dalam tertentu, (S;A,B) menotasan subelas dar semua submodul (A,B)-nvaran dalam Syatu ( S;A,B):= { V V(;A,B)& V S}, maa (S;A,B) mempunya supremum V *, dtuls V * :=sup( S;A,B). Dar uraan d atas dapat dsmpulan teorema sebaga berut: Teorema 3.. (Wonham, 1979) Dberan A nxn dan B nxm. Untu setap submodul S terdapat dengan tunggal submodul (A,B)-nvaran supremum V *, yatu V * :=sup ( S;A,B). Sehngga Teorema 3.. menjamn adanya submodul supremum dalam asus submodul (A,B)-nvaran. Dalam hal submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac, sfat 3.1.() belum tentu berlau, yatu jumlahan dua submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac, belum tentu submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac. Sehngga dalam hal n tda ada jamnan esstens submodul supremum. EKSISTENSI SUBMODUL KETERCAPAIAN TIPE FEEDBACK TERBESAR Suatu submodul etercapaan tpe feedbac Suntu sstem (A,B) adalah submodul tercapa untu sstem baru (A+BF,BG) dengan menerapan feedbac berbentu u(t)=fx(t)+gv(t) e (1.1), dmana v adalah suatu masuan baru. Sehngga dapat dsmpulan ja suatu submodul dar adalah submodul etercapaan tpe feedbac, maa a merupaan submodul etercapaan. Tetap submodul etercapaan

6 tda perlu submodul etercapaan tpe feedbac, walaupun d dalam sstem lnear atas lapangan blangan real R dua pernyataan tersebut equvalen. Lemma 3.3. Dberan Ssubmodul. () Ssubmodul etercapaan tpe feedbac untu sstem (A,B) ja dan hanya ja terdapat F mxn sehngga S= A BF ImBS. () Ja Sadalah submodul etercapaan tpe feedbac untu sstem (A,B), maa S= A BF ImBS untu semua FF(S;A,B). Dar Lemma 3.3.() dsmpulan, ja Sadalah submodul etercapaan tpe feedbac, maa Sadalah submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac dan hmpunan F(S;A,B) tda osong. Selanjutnya suatu submodul etercapaan tpe feedbac tda perlu tertutup dalam, dan closure dar submodul etercapaan tpe feedbac tda selalu submodul etercapaan tpe feedbac. Untu sstem atas lapangan blangan real R, jumlahan dua subruang etercapaan tpe feedbac juga subruang etercapaan tpe feedbac. Tetap untu sstem atas d..u tda berlau deman. Sehngga tda ada jamnan esstens submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam submodul yang dberan. Teorema berut n aan menunjuan jumlahan dua submodul etercapaan tpe feedbac merupaan submodul etercapaan. Teorema 3.4. Dberan S 1 dan S adalah submodul etercapaan tpe feedbac maa S 1 +S submodul etercapaan (tda selalu tpe feedba). Menurut Teorema 3.4, tda terjamn adanya submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam submodul yang dberan. Berut n aan dtunjuan adanya submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam submodul yang dberan, yang aan duraan dalam Teorema 3.6 dan Abat 3.7. Sebelumnya aan duraan dulu Algortma Submodul Ketercapaan sebaga berut. Algortma 3.5. (Ito dan Inaba, 1997) Algortma Submodul Ketercapaan Dberan R submodul, ddefnsan barsan (T () ) adalah barsan submodul-submodul untu sstem (A,B) sebaga berut: T T 0 ( R) : 0, ( R) : R (AT 1 ( R) ImB) ( 1,, ). 6 (3.1) Barsan (T () ) tda turun, yatu arena adalah d..u terdapat blangan bulat q0 sedeman hngga T (R)=T +1 (R) untu q. Ddefnsan hmpunan P(R):=T q (R). Proposs berut aan menunjuan adanya submodul etercapaan tpe feedbac terbesar d dalam submodul yang dberan.

7 7 Proposs 3.6. Dberan Sadalah submodul dar dan V * submodul (A,B)-nvaran terbesar termuat dalam S. Ja P(V * ) adalah submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac, maa P(V * ) adalah submodul etercapaan tpe feedbac terbesar untu (A,B) termuat dalam S, dan dberan sebaga P(V * )= A BF ImB V *, dmana F adalah elemen sebarang dalam F(P(V * );A,B). Abat 3.7. Msalan S adalah submodul dan V * adalah submodul (A,B)-nvaran terbesar d dalam S. Ja V * tertutup dalam, maa P(V * ) adalah submodul etercapaan tpe feedbac terbesar untu (A,B) d dalam S, dan P(V * )= A BF ImB V *, dengan F F(P(V * );A,B). Lebh lanjut, F(V * ;A,B)F(P(V * );A,B) dpenuh. SYARAT PERLU DAN CUKUP MASALAH DEKOPLING SEGITIGA BLOK MEMPUNYAI PENYELESAIAN Masalah deoplng segtga blo untu sstem (1.) dapat dsajan berut. Masalah 4.1. Masalah deoplng segtga blo untu sstem (A,B, { C } 1 ) atas adalah untu menentuan, ja mungn, hmpunan submodul etercapaan tpe feedbac {S 1, S,, S } untu (A,B) yang memenuh 1 F ( S, (4.1) ;A, B) S, (4.) S + KerC =, =1,,,. (4.3) Dalam hal n hmpunan {S 1,S,,S } dnamaan penyelesaan masalah. Untu sstem atas lapangan blangan real R, masalah n pertama al dpelajar oleh Wonham d (1970) yang telah menunjuan S + KerC = (=1,,,), (4.4) merupaan syarat perlu dan cuup supaya masalah n mempunya penyelesaan, dengan S adalah subruang etercapaan tpe feedbac terbesar yang termuat dalam, =1,,,, dan { S 1, S,, S } merupaan penyelesaan. Untu menyeld Masalah 4.1 dengan pendeatan geometr, dasumsan adanya submodul etercapaan tpe feedbac terbesar, dan dengan asums tersebut dseld apaah (4.4) memenuh syarat perlu dan cuup sehngga Masalah 4.1 mempunya penyelesaan. Asums 4.. Untu sstem (A,B, etercapaan tpe feedbac terbesar { C } 1 ) atas d..u, dasumsan adanya submodul S untu (A,B) yang termuat dalam, =1,,,.

8 Dar Abat 3.7, Asums 4. aan dpenuh ja setap 8 V yatu submodul (A,B)- nvaran terbesar yang termuat dalam tertutup dalam, sedangan dar Proposs 3.6, Asums 4. aan dpenuh ja setap submodul P( V ) adalah (A,B)-nvaran tpe feedbac; sehngga ja Asums 4. dpenuh maa dapat dsmpulan bahwa S = P( V ), dan S, S,, S memenuh 1 S S 1 S 1. (4.5) Sebelum membutan teorema utama, aan dtunjuan terlebh dulu lemma berut. Lemma 4.3. Ja S adalah submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac, maa F(S;A,B) F(Cl (S);A,B). But: Ambl sebarang F F(S;A,B), maa menurut Defns.7, untu setap ss berlau (A+BF)s S. (4.6) Menurut Defns.4, untu setap xcl (S) terdapat 0 sehngga (4.7) xs. Dar (4.6) dan (4.7), untu setap xcl (S) berlau (A+BF)x = (A+BF)(x) S, yang berart (A+BF)xCl (S). Jad (A+BF)Cl (S)Cl (S), yatu FF(Cl (S);A,B). Searang sap dbutan teorema utama berut: Teorema 4.4. Ja sstem (A,B, { C } 1 ) yang memenuh Asums 4., maa Masalah 4.1 mempunya penyelesaan,.e. terdapat hmpunan submodul etercapaan tpe feedbac {S 1, S,, S } untu (A,B) yang memenuh (4.1), (4.) dan (4.3) ja dan hanya ja Dsn { S 1, S,, S } adalah penyelesaan Masalah 4.1. But: S + KerC =, =1,,,. (4.8) () Msalan Masalah 4.1 mempunya penyelesaan, maa terdapat hmpunan submodul etercapaan tpe feedbac {S 1, S,, S } untu (A,B) yang memenuh (4.1), (4.) dan (4.3). Aan dtunjuan persamaan (4.8) berlau. Karena S submodul etercapaan tpe feedbac untu (A,B) terbesar yang termuat dalam, maa dar (4.) dperoleh S S, =1,,,. Karena tu dar (4.3) berlau Jad = S + KerC S + KerC, =1,,,. S + KerC =, =1,,,, yatu persamaan (4.8) berlau.

9 9 () Ja persamaan (4.8) berlau; dar defns S dan persamaan (4.8) dperoleh hmpunan { S 1, S,, S } memenuh (4.) dan (4.3), dengan S berperan sebaga S. Tnggal dtunjuan { S 1, S,, S } memenuh (4.1), yatu merupaan penyelesaan Masalah 4.1. Untu menunjuan { S 1, S,, S } memenuh (4.1); pertama dar persamaan (4.5), Asums 4., Sfat 3.1.() dan Proposs.5, dapat dplh submodulsubmodul bebas N 0,N 1,,N yang memenuh Sehngga dperoleh N Cl N 0 ( S ) N : Cl Cl ( S ). ( S ) Cl ( S 1 ) ( 1,,, 1) (4.9) =N 0 N 1 N. (4.10) Karena setap N merupaan modul bebas, maa terdapat bass {x 1,x,,x r }, dengan r ran N. Selanjutnya ddefnsan matrs T nxr dan T nxn dengan T := [x 1,x,,x r ] (=0,1,,), T := [T 0,T 1,,T ]. Dar (4.10) dperoleh T nvertbel atas. Dar Asums 4. setap etercapaan tpe feedbac untu (A,B), menurut Lemma 3.3 maa S adalah submodul S adalah submodul (A,B)-nvaran tpe feedbac dan memenuh F( S ;A,B). Sehngga dapat dplh suatu F F( S ;A,B) dan defnsan F mxn sebaga berut F:=[0 mxr,f 1 T 1,F T,,F T ]T -1, 0 dlam F F ( S 1 ; A, B), yatu { S 1, S,, S } memenuh (4.1). Untu membutan lam, dperenalan submodul etercapaan tpe feedbac untu (A,B) sebaga berut * S := A BF ImB S (=1,,,), (4.11) dan pertama aan dtunjuan bahwa S (=1,,,). (4.1) Untu membutan pernyataan (4.1), perlu dcatat bahwa 0 pada N F = F pada N dan dengan Lemma 4.3 dperoleh Dar (4.9), (4.13), dan (4.14) dperoleh 0, (4.13) ( 1,,, ) F F(Cl ( S );A,B). (4.14) (A+BF)Cl ( S ) = (A+BF )Cl ( S ) Cl ( S ), (4.15)

10 yang menunjuan FF(Cl ( S );A,B). Selanjutnya, untu suatu j (j) berlau j FF(Cl ( S );A,B), atau euvalen Kemudan dar (4.9), (4.13), (4.14), dan (4.15) berabat (A+BF)Cl ( S j ) Cl ( S j ). (4.16) 10 (A BF)Cl ( S j-1 ) (A BF)( N (A BF Cl Cl ( S ( S j1 j-1 j-1 ). j1 ) N ) Cl Cl j1 (A BF)Cl j ( S ) j ( S ) j ( S ) (4.17) Karena tu (4.17), (4.15) dan (4.16) menghaslan Dengan memperhatan (A+BF)Cl ( S ) Cl ( S ) (=1,,,). S dan tertutup pada, dperoleh (A+BF) j-1 S (A+BF) j-1 Cl ( S ) Cl ( ) =, (j=1,,,n; =1,,,), yang dengan (4.11) maa (4.1) dpenuh. Selanjutnya aan dtunjuan S = S (=1,,,). Karena S adalah submodul etercapaan tpe feedbac termuat dalam dan S adalah submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam maa berlau Untu menunjuan berlau Maa, S S (=1,,,). (4.18) S S, dtentuan (1) dan andaan untu suatu j(1jn-1) (A+BF ) j-1 (ImB S ) S. (4.19) (A+BF ) j (ImB S ) (A+BF ) S = [A+BF+B(F F)] S (A+BF) S + B(F F) S. (4.0) Untu sebarang x S berlau B(F F)xImB, dan dengan memperhatan F F( S ;A,B) dan (4.19), maa B(F F)x = (A+BF )x(a+bf)x S + S = S, (4.1) yatu B(F F) S ImB S. Sehngga dar (4.0) dan (4.11) dperoleh (A+BF ) j (ImB S ) (A+BF) S + ImB S S. Karena dengan (4.11), maa persamaan (4.19) dpenuh untu j=1, dan abatnya (4.19) benar untu semua j=1,,,n. Menggunaan Lemma 3.3, dperoleh

11 11 S = j1 * A BF ImB S = ( A BF ) (ImB S ) S (=1,,,), * dan dengan (4.18) dperoleh S = S (=1,,,). (4.) Persamaan (4.11) dan (4.) memberan S = A BF * ImB S (=1,,,), yang mengabatan F 1 KESIMPULAN ; A, B) F ( S. Dsmpulan { S 1, S,, S } memenuh (4.1). Syarat perlu dan cuup agar masalah deoplng segtga blo untu sstem lnear atas d..u (Masalah 4.1) mempunya penyelesaan merupaan generalsas syarat perlu dan cuup untu masalah deoplng segtga blo untu sstem lnear atas lapangan blangan real. Tetap arena dalam sstem lnear atas d..u tda ada jamnan esstens submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam submodul yang dberan, maa perlu dberan suatu asums mengena esstens submodul etercapaan tpe feedbac terbesar dalam submodul yang dberan. DAFTAR PUSTAKA Adns, W.A., and Wentraub, S.H., 199, "Algebra : An Approach Va Module Theory", Sprnger-Verlag, New Yor. Brewer, J.W., Bunce, J.W., and Van Vlec, F.S., 1986, "Lnear Systems Over Commutatve Rngs", Marcel Deer, New Yor. Cohn, P.M., 1965, "Unversal Algebra", Harper & Row, Publshers, New Yor. Conte, G. and Perdon, A.M., 198, "Systems over a prncpal deal doman. a polynomal model approach", SIAM J. Control Optm. 0, Datta, K.B., and Hautus, M.L.J., 1984, "Decouplng of multvarable control systems over unque factorzaton domans", SIAM J. Control Optm., Hautus, M.L.J., 198, "Controlled Invarance n Systems over Rngs", Lecture Notes n Control and Informaton Scences 39, Sprnger-Verlag, New Yor, Inaba, H., Ito, N., and Munaa, T., 1988, "Decouplng and pole assgnment for lnear systems defned over prncpal deal domans", Lnear Crcuts, Systems and Sgnal Processng: Theory and Applcaton, C.I. Byrnes, C.F. Martn, and R.E. Saes, eds., North-Holland, Amsterdam, Ito. N and Inaba. H., 1997, "Bloc Trangular Decouplng for Lnear Systems over Prncpal Ideal Domans", Sam J. Control Optm. 35(3), Sontag, E.D., 1976, "Lnear systems over commutatve rngs", a survey, Rcerche d Automatca. 7, Wonham, W.M., 1979, "Lnear Multvarable Control : A Geometrc Approach", Sprnger-Verlag, New Yor. Wonham, W.M. and Morse, A.S., 1970, "Decouplng and Pole Assnment n Lnear Multvarable Systems: A Geometrc Approach", SIAM J. Control. 8, 1-18.