II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam"

Transkripsi

1 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan. Suatu himpunan dapat diberikan suatu operasi biner yaitu suatu operasi yang bersifat well defined dan tertutup. Berikut adalah definisi dari operasi biner Sebuah operasi biner pada sebuah himpunan G adalah sebuah fungsi G G G (x, y) dalam G memetakan pasangan berurut (x, y) elemen di G. Agar lebih umum, dapat dituliskan x y menggantikan (x, y). Berikut adalah komposisi fungsi (f, g) g f, pada perkalian, penjumlahan, dan pengurangan berturutturut yaitu (x, y) xy, (x, y) x + y, (x, y) x y. Contoh komposisi dan pengurangan menunjukkan pasangan berurut untuk x y dan y x mungkin berbeda. Untuk setiap fungsi, sebuah operasi harus memiliki nilai yang tunggal yaitu jika x = x dan y = y maka x y = x y (Joseph, 2003).

2 5 Sebagai contoh jika a, b Z maka a + b Z. Jadi a b = a + b adalah operasi biner dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Kemudian didefinisikan suatu himpunan yang diberikan suatu operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma yaitu Grup. Diberikan himpunan G dan operasi biner. G disebut grup yang dinotasikan dengan (G, ) jika memenuhi aksioma berikut : (i) (ii) (a b) c = a (b c), untuk setiap a, b, c G ( bersifat assosiatif); Terdapat elemen e di G, yang disebut identitas di G, sedemikian sehingga a e = e a = a, untuk setiap a G; (iii) Untuk setiap a G terdapat a 1 G, sedemikian sehingga a a 1 = a 1 a = e, elemen a 1 disebut invers dari a (Dummit and Foote, 2004). 1. M n (R) adalah suatu himpunan matriks berukuran nxn yang semua entrientrinya adalah bilangan real. M n (R) merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dengan 0 n adalah elemen identitas di M n (R) dan untuk matriks A M n (R) maka A M n (R) adalah invers dari A. 2. M n (R) = {(a ij ) nxn a ij R, det(a ij ) 0} membentuk grup terhadap operasi perkalian matriks. 3. Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi Z n yang didefinisikan sebagai himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

3 6 Sebagai informasi Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan peneliti awal dalam bidang teori grup. Pada bagian pertama telah dijelaskan mengenai teori grup, selanjutnya pada bagian kedua akan dijelaskan mengenai teori ring. 2.2 Ring Teori ring merupakan kajian lanjutan dari teori grup. Grup hanya diberikan satu operasi biner sedangkan pada ring diberikan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Kedua operasi tersebut sering dilambangkan dengan operasi penjumlahan (+) dan pergandaan ( ). Perlu ditekankan di sini bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan dalam ring berbeda dengan operasi penjumlahan dan pergandaan dalam bilangan real. Ring R sering ditulis dengan ( R, +, ). Beberapa ilmuan yang turut dalam mengembangkan teori ring yaitu William Rowan Hamilton, Emmy Noether, W. Schmeidler. Berikut adalah definisi dari ring. Ring R adalah himpunan dengan dua operasi biner + dan (Penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma berikut: i) (R, ) adalah grup abel, ii) (a b) c = a (b c) untuk setiap a, b, c R, (a + b) c = (a c) + (b c) dan a (b + c) = (a b) + (a c) untuk setiap a, b, c R (Dummit and Foote, 2004).

4 7 1. Z, Q, R dan C merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan. 2. Dapat dibuktikan bahwa himpunan A yang terdiri dari 2 elemen yaitu {0, a} dengan operasi yang didefinisikan dengan = a + a = a = a + 0 = a 0.0 = 0. a = a. 0 = 0 a. a = a merupakan ring. Sebagai contoh nyata Z 2 = {0,1} dengan operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 2 merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut. 3. Misal X suatu himpunan dan P(X) = { A A X }. Didefinisikan operasi dan pada P(X) dengan ketentuan sebagai berikut: (i). A B = (A B) (B A), dan (ii).a B = {x X x A dan x B}. P(X) terhadap kedua operasi tersebut merupakan ring. Pada suatu ring terdapat elemen yang mempunyai sifat-sifat tertentu. Berikut adalah definisi dari beberapa elemen berdasarkan sifatnya. Elemen x R dikatakan elemen nilpotent jika x m = 0 untuk beberapa m Z +. (Lam, 1991).

5 8 Misalkan M 2 (R) adalah suatu himpunan matriks berukuran 2 2 yang semua entrinya adalah bilangan real. Salah satu contoh elemen nilpoten dari M 2 (R) yaitu ( ). Elemen a R dikatakan elemen idempoten jika a 2 = a (Lam, 1991). Z 2 memiliki elemen idempoten 0 dan 1. Dalam teori grup dikenal grup normal dan analog dengan grup normal, dalam teori ring didefinisikan ideal dalam suatu ring. Ideal pertama kali diusulkan oleh Richard Dedekind pada tahun Ideal lebih khusus dari subring. Ideal memenuhi aksioma subring dan dilengkapi dengan beberapa aksioma. Berikut adalah definisi dari ideal. Misalkan I adalah himpunan bagian (subset) dari ring R, dan pertimbangkan tiga sifat berikut: 1. I adalah subgrup dari (R, +), 2. Jika a I dan r R maka ar I, ekuivalen dengan Ir I untuk setiap r R, 3. Jika a I dan r R maka ra I, ekuivalen dengan ri I untuk setiap r R. Jika (1) dan (2) dipenuhi, maka I adalah ideal kiri dari R. Jika (1) dan (3) dipenuhi, maka I adalah ideal kanan dari R. Jika ketiga sifat tersebut dipenuhi,

6 9 maka I adalah ideal dari R, I ideal sejati jika I R, I ideal nontrivial jika terdapat ideal selain R dan {0} (Ash,2000). Untuk semua ideal I di R, dapat dibentuk ring kuosen R = R/I, a R maka a + I R/I. Ideal P di ring R dikatakan ideal prima jika P R dan untuk semua ideal A, B R dan A, B P mengakibatkan A P atau B P. Ideal I R dikatakan ideal maksimal dari R jika tidak terdapat ideal dari R diantara I dan R (Lam, 1991). 1. nz merupakan ideal dari Z. Untuk n = 2 diperoleh 2Z = 2(, 2, 1,0,1,2,3, ) = 2, dengan 2 = {2k k Z}. 2. Diketahui Z 6 merupakan ring komutatif dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 6. Dibentuk 2 = { a. 2 a Z6 } = { 0, 2, 4} dan berdasarkan definisi tersebut di atas 2 merupakan ideal dalam Z 6. Ideal-ideal lain dalam Z 6 adalah 1 = 3 = 5 = Z 6 dan ideal yang dibentuk oleh 3 yaitu 3 = { 0, 3 }. Dalam teori ring, ring faktor juga dikenal sebagai ring kuosen yang mirip dengan grup faktor dari teori grup dan ruang hasil bagi dalam aljabar linear. Suatu ideal I dari R dapat dibentuk suatu ring R/I atau R modulo I dengan definisi sebagai berikut:

7 10 Diketahui A ring dan I sebarang ideal dalam A. Sistem aljabar A/I didefinisikan sebagai berikut : (i) (ii) A I = {a + I a A} Operasi penjumlahan dalam A I didefinisikan sebagai (a + I) + (b + I) = (a + b) + I dan operasi pergandaan dalam A I didefinisikan sebagai (a + I)(b + I) = (ab) + I (Dummit and Foote, 2004). 1. M = {( a 0 0 b ) a, b R} merupakan ideal dari M 2(R). 2. Himpunan Z 10 = { 0, 1, 2,, 9} merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 10. Ideal-ideal dalam Z 10 adalah 0 = { 0 } 1 = 3 = 7 = 9 = Z 10, 2 = 4 = 6 = 8 = { 0, 2, 4, 6, 8 } dan 5 = { 0, 5 }. Ideal I = 2 merupakan ideal maksimal sehingga terbentuk ring kuosen Z 10 /I = { I, 1 + I }. Jika diambil ideal J = 5 maka ring kuosen yang terbentuk adalah Z10/J = { J, 1 + J, 2 + J, 3 + J, 4 + J }. Sedangkan irisan dari semua ideal kiri maksimal dari ring R disebut Radical Jacobson atau dinotasikan dengan rad R. Jika R 0, menurut lemma Zorn ideal

8 11 kiri maksimal selalu ada. Jika R = 0 maka tidak terdapat ideal kiri maksimal (ekuivalen dengan radikal adalah irisan dari semua ideal kanan maksimal dari R. Jika R 0, menurut lemma Zorn ideal kanan maksimal selalu ada. Jika R = 0 maka tidak terdapat ideal kanan maksimal). Pada kasus ini, kita definisikan radical jacobson sama dengan nol (Lam, 1991). 1. Ideal maksimal di Z adalah pz untuk p adalah bilangan prima. Rad(Z) yaitu {0}. 2. Suatu ring faktor Z/12Z memiliki ideal maksimal 2Z/12Z dan 3Z/12Z. Jadi rad(r) = 6Z/12Z. Pada bab selanjutnya akan digunakan lemma Zorn untuk membuktikan bahwa setiap ring tak nol memiliki suatu ideal maksimal. Berikut adalah lemma Zorn: Lemma 2. 1 (Lemma Zorn) Misalkan S adalah himpunan berurut parsial. Jika setiap himpunan bagian berurut total dari S mempunyai sebuah batas atas, maka S memuat sebuah elemen maksimal (Lam, 1991). Untuk mengetahui teorema ini, kita membutuhkan untuk mengetahui empat bentuk,yaitu himpunan berurut parsial (partially ordered set), himpunan berurut total (totally ordered subset), batas atas (upper bound), dan elemen maksimal

9 12 (maximal element). Sebuah himpunan berurut parsial pada himpunan S adalah relasi biner pada S, dinotasikan yang memenuhi sifat berikut: i) Untuk semua s S, s s, ii) iii) Jika s s dan s s maka s = s, Jika s s dan s s" maka s = s". Dengan menetapkan order parsial (partial ordering) pada S, ekuivalen dengan menunjukkan S sebagai himpunan berurut parsial. Itu penting untuk diperhatikan bahwa tidak dapat mengasumsikan semua pasangan dari elemen di S yang komparabel dibawah. Jika semua pasangan elemen komparabel (yaitu untuk setiap s dan s dalam S memenuhi salah satu s s atau s s) maka kita dapat mengatakan S adalah order total (totally ordered) yang respek dengan. 1. Z, R, Q adalah order total yang respek dengan, dan semuanya tidak mempunyai elemen maksimal. 2. Dalam himpunan dari himpunan bagian pada grup G, digambarkan himpunan bagian atau subgroup H dan K yang memenuhi H K jika K H. Ini adalah order parsial dari subgrup G. Dalam matematika, elemen yang memiliki invers terhadap perkalian disebut dengan elemen invertibel atau elemen unit. Ring ( R, +, ) dengan elemen satuan

10 13 1. u R dinamakan unit apabila terdapat v R sehingga uv = vu = 1. Dengan kata lain, u dinamakan unit apabila u 1 (Dummit and Foote, 2004). 1. Hanya 1 dan 1 anggota dalam Z yang merupakan unit karena 1. ( 1) = 1 dan 1.1 = 1. Dengan kata lain 1 dan 1 mempunyai invers yaitu dirinya sendiri. 2. Dalam ring ( Z 8, +, ) berlaku 1.1 = 1, 3.3 = 1 dan 5.5 = 1. Jadi 1,3 dan 5 merupakan unit di Z 8. Pada grup, tidak semua grup elemen tak nolnya merupakan unit. Salah satunya adalah Z n untuk n bukan bilangan prima. Sedangkan ring dapat dibentuk menjadi suatu grup dengan semua elemen ring R adalah unit. Berikut didefinisikan suatu himpunan dengan operasi biner yang semua elemennya adalah unit, dan himpunan tersebut merupakan sebuah grup terhadap operasi. R adalah sebuah ring. U(R) adalah grup dari semua elemen ring R yang merupakan unit, didefinisikan sebagai berikut U(R) = {x xy = 1; y R} (Lam, 1991). Ring Z 6 = {0,1,2,3,4,5}. Diperoleh 1.1 = 1 dan 5.5 = 1 maka 1 dan 5 adalah unit di Z 6. Jadi U(Z 6 ) = {1,5}.

11 14 Ring juga dapat dibentuk menjadi ring opposite. Opposite dari suatu ring itu sendiri adalah ring lain yang elemennya sama dengan operasi penjumlahan, tetapi dalam operasi perkalian dilakukan dengan urutan terbalik. Berikut adalah definisi dari ring opposite. R adalah sebuah ring. R op adalah ring opposite dari ring R. R op mengandung semua elemen dengan bentuk a op yang berkorespondensi satu-satu dengan elemen a R. Dengan operasi perkaliannya didefinisikan dengan a op. b op = (ba) op dengan a, b R (Lam, 1991). R adalah ring divisi, maka R op = R. Bukti. Akan dibuktikan dengan kontradiksi pemetaan. Didefinisikan sebuah fungsi Op R R dengan a a 1 sehingga a op = a 1 Jelas pemetaan ini bijektif. Ambil sebarang a, b R, sehingga (ab) op = (ab) 1 = b 1. a 1 = b op. a op Terbukti bahwa R op = R. Seperti halnya grup, Ring R juga dapat dibentuk Dedekind Berhingga yaitu himpunan dengan jumlah elemennya terbatas. Berikut adalah definisi dari Dedekind berhingga. Ring R dikatakan Dedekind berhingga jika ab = 1 maka ba = 1. Jadi ada ring dengan elemen invertibel kanan yang mengakibatkan invertibel kiri. R merupakan

12 15 Dedekind berhingga jika a R mempunyai invers kiri maka a u(r) (Tam, 1991). Ring R dikatakan revesibel jika a, b R, ab = 0 maka ba = 0. Ring R yang revesibel adalah Dedekind-berhingga. Bukti. Andaikan bahwa ab = 1 dengan a, b R. Maka (ba 1)b = b(ab) b = 0 jadi (ba 1)b = 0. b 2 a = b ab 2 a = ab = 1. ba = (ab 2 a)ba = (ab 2 )(ab)a = ab 2 a = 1. Jadi R terbukti Dedekind berhingga. Jelas R Dedekind berhingga karena jika ab = 0 maka (ba) 2 = b(ab)a = 0 sehingga ba = 0. Selanjutnya ring dengan setiap elemen tak nol yang merupakan unit disebut ring divisi. Pada ring komutatif, ring divisi adalah lapangan. Berikut adalah definisi dari ring divisi. R adalah ring divisi jika untuk setiap a R\(0) mempunyai invers atau R ring divisi jika R 0 dan U(R) = R\{0} (Lam, 1991). 1. Z p dengan p bilangan prima adalah ring divisi.

13 16 2. M n (R) = {(a ij ) nxn a ij R, det(a ij ) 0} merupakan ring divisi. 2.3 Modul Pada bagian ini akan dibahas mengenai modul atas ring R. Berikut diberikan definisinya. Diberikan ring R dengan elemen satuan dan M grup Abel, dengan operasi pergandaan skalar R M M M disebut modul atas ring R jika M merupakan modul kiri dan kanan. (i) M disebut modul kiri atas ring R, jika untuk setiap m, n M dan a, b R memenuhi aksioma berikut ini : a) a(m + n) = am + an; b) (a + b)m = am + bm; c) (ab)m = a(bm); d) 1m = m. (ii) M disebut modul kanan atas ring R, jika untuk setiap m, n M dan a, b R memenuhi aksioma berikut ini : a) (m + n)a = ma + na; b) m(a + b) = ma + mb; c) m(ab) = (ma)b; d) m1 = m (Adkinds and Weintraub, 1992).

14 17 1. Diberikan ring R dan grup Abel R n sebagai berikut R n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1, x 2,, x n R} Akan ditunjukkan bahwa R n merupakan modul atas ring R terhadap operasi pergandaan skalar. Untuk memperlihatkan bahwa R n merupakan modul atas ring R haruslah R n merupakan modul kiri dan modul kanan. 1. Akan ditunjukkan R n merupakan modul kiri atas ring R. Didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut : R R n R n dengan a (x 1, x 2,, x n ) = (a x 1, a x 2,, a x n ), untuk setiap a R, (x 1, x 2,, x n ) R n. i. Diberikan sebarang a R, x, y R n dengan x = (x 1, x 2,, x n ) dan y = (y 1, y 2,, y n ), maka diperoleh a(x + y ) = a ((x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n )) = a (x 1 +y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) = (a(x 1 + y 1 ), a(x 2 + y 2 ),, a(x n + y n )) = ((ax 1 + ay 1 ), (ax 2 + ay 2 ),, (ax n + ay n )) = (ax 1, ax 2,, ax n ) + (ay 1, ay 2,, ay n ) = a(x 1, x 2,, x n ) + a(y 1, y 2,, y n ) = ax + ay Jadi a(x + y ) = ax + ay, untuk setiap a R, x, y R n. ii. Diberikan sebarang a 1, a 2 R, x R n

15 18 dengan x = (x 1, x 2,, x n ), maka diperoleh (a 1 + a 2 )( x ) = (a 1 + a 2 )(x 1, x 2,, x n ) = ((a 1 + a 2 )x 1, (a 1 + a 2 )x 2,, (a 1 + a 2 )x n ) = (a 1 x 1 + a 2 x 1, a 1 x 2 + a 2 x 2,, a 1 x n + a 2 x n ) = (a 1 x 1, a 1 x 2,, a 1 x n ) + (a 2 x 1, a 2 x 2,, a 2 x n ) = a 1 (x 1, x 2,, x n ) + a 2 (x 1, x 2,, x n ) = a 1 (x ) + a 2 (x ) Jadi (a 1 + a 2 )( x ) = a 1 (x ) + a 2 (x ), untuk setiap a 1, a 2 R, x R n. iii. Diberikan sebarang a 1, a 2 R, x R n dengan x = (x 1, x 2,, x n ), maka diperoleh (a 1 a 2 )(x ) = (a 1 a 2 )(x 1, x 2,, x n ) = (a 1 a 2 )(x 1, x 2,, x n ) = ((a 1 a 2 )x 1, (a 1 a 2 )x 2,, (a 1 a 2 )x n ) = (a 1 a 2 x 1, a 1 a 2 x 2,, a 1 a 2 x n ) = a 1 (a 2 x 1, a 2 x 2,, a 2 x n ) = (a 1 )(a 2 x ) Jadi (a 1 a 2 )(x ) = (a 1 )(a 2 x ), untuk setiap a 1, a 2 R, x R n. iv. Diberikan sebarang x R n dengan x = (x 1, x 2,, x n ), maka diperoleh 1(x ) = 1(x 1, x 2,, x n ) = (1x 1, 1x 2,,1x n ) = (x 1, x 2,, x n )

16 19 = x Jadi 1(x ) = x, untuk setiap x R n. Dari i iv, terbukti bahwa R n merupakan modul kiri atas ring R. Seperti halnya grup yang mempunyai grup bagian (subgroup) dan ring yang mempunyai ring bagian (subring), demikian juga modul mempunyai modul bagian (submodule). Berikut adalah definisi dari modul sederhana (simple) yang berkaitan dengan modul bagiaannya. Misalkan R ring, dan M adalah R-modul kiri. M dikatakan R-modul simpel atau sederhana jika M 0, dan M tidak mempunyai R-submodul selain 0 dan M. (Lam, 1991). Contoh: Misalkan R adalah ring divisi maka R adalah modul sederhana atas dirinya sendiri.

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif); II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015 Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam pengelompokan aljabar ring, lapangan merupakan kejadian sangat khusus dari ring karena tidak hanya memiliki invers penjumlahan tetapi juga invers perkalian

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat

Lebih terperinci

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field. STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan

Lebih terperinci

Teorema Jacobson Density

Teorema Jacobson Density Teorema Jacobson Density Budi Santoso 1, Fitriani 2, Ahmad Faisol 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 1,2,3 E-mail: budi.klik@gmail.com Abstrak. Misalkan adalah ring (tidak harus

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi

BAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar

Lebih terperinci

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

Antonius C. Prihandoko

Antonius C. Prihandoko Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat

Lebih terperinci

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + 5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga

Lebih terperinci

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal. Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL

DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL SKRIPSI Oleh : ANI NURHAYATI J2A 006 001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2010

Lebih terperinci

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com 2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut

Lebih terperinci

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih

Lebih terperinci

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1 Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan

Lebih terperinci

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya

Lebih terperinci

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:

Lebih terperinci

SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP

SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP

HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,

Lebih terperinci

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY

Lebih terperinci

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)

Lebih terperinci

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan 1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

BAB III PERLUASAN INTEGRAL

BAB III PERLUASAN INTEGRAL BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan

Lebih terperinci

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks

Lebih terperinci

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia

Lebih terperinci

NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275

NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275 NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto 1, Bambang Irawanto 2, Nikken Prima Puspita 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 5275 1 suryoto_math@undip.ac.id

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)

STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani

Lebih terperinci

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Lebih terperinci

BAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0

BAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0 BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen

Lebih terperinci

GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI

GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI MICHELLE PURWAGANI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 i GRUP NON-ABELIAN YANG

Lebih terperinci

IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye

IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi

Lebih terperinci

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Ring polinomial adalah himpunan semua fungsi dari himpunan semua bilangan bulat nonnegatif ke ring R dengan elemen identitas dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan

Lebih terperinci

PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT

PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT SKRIPSI Untuk memenuhi sebagai persyaratan Mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan Oleh : Moch. Widiono 09610030

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: GRUP

STRUKTUR ALJABAR: GRUP STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan

Lebih terperinci

Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd

Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

MODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman

MODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-issn : 2550-0384; e-issn : 2550-0392 MODUL ATAS RING MATRIKS Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman arindiadwikurnia@gmail.com Ari

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang

BAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup

Lebih terperinci

LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND

LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND Nomor DIPA : DIPA BLU: DIPA-025.04.2.423812/2016 Tanggal : 7 Desember 2017 Satker : (423812)

Lebih terperinci

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang

Lebih terperinci

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Penelitian ini membahas ideal near-ring yang

Lebih terperinci

RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA

RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com

Lebih terperinci

RING STABIL BERHINGGA

RING STABIL BERHINGGA RING STABIL BERHINGGA Samsul Arifin Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Surya, Tangerang Email: samsul.arifin@stkipsurya.ac.id ABSTRACT Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik ring

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. R S = { r s. untuk S subset multiplikatif dari R yang tidak memuat pembagi nol dan didefinisikan

BAB I PENDAHULUAN. R S = { r s. untuk S subset multiplikatif dari R yang tidak memuat pembagi nol dan didefinisikan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Topik "Hubungan Modul Dedekind Dengan Modul π Melalui Modul Invertibel dan Modul Padat" merupakan kajian atas 2(dua) jenis submodul yang muncul dari ide yang

Lebih terperinci

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Teorema 4.1 Jika R adalah daerah ideal utama yang

Lebih terperinci