ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL PENULARAN TUBERKULOSIS Dengan Kasus Resistensi Obat

Transkripsi

1 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 215 T 19 ANALSS KESTABLAN PADA MODEL PENULARAN TUBERKULOSS Dengan Kau Reiteni Obat Melia Juuan Matematika FMPA, Univeita lam Daul Ulum meliamathugm@yahooom Abtak Kau eiteni obat pada model penulaan tubekuloi diebabkan kuangnya kepatuhan dalam menjalani pogam hemopophylaxi dan teapi pengobatan ehingga ada kemungkinan munulnya tain yang eiten tehadap obat anti tubekuloi Pada model ini, tain dibagi menjadi dua jeni, yakni dug-enitive tain yang diebut TB biaa (tain 1) dan dug-eitant tain yang diebut ebagai TB eiten (tain 2) Dai hail analia dipeoleh tiga titik ekuilibium yakni atu titik ekuilibium beba penyakit dan dua titik ekuilibium endemik Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ekiteni dan ketabilan titik ekuilibium dipengauhi oleh bilangan epoduki daa Simulai numeik nilai paamete tetentu dibeikan untuk mengilutaikan ketabilan titik ekuilibium Kata kuni: eiteni obat, bilangan epoduki daa, titik ekuilibium, ketabilan PENDAHULUAN Tubekuloi (TB) hingga kini maih menjadi maalah keehatan utama di dunia [1] Tubekuloi meupakan penyakit infeki tebea nomo dua penyumbang angka motalita dewaa di eluuh dunia yang menyebabkan ekita 1,7 juta kematian [3] Tubekuloi adalah alah atu penyakit menula langung yang diebabkan oleh baktei Myobateium tubeuloi (MTb) Penulaan tejadi kaena adanya kontak yang telalu lama paien TB yang menyebakan baktei melalui udaa nfeki TB dibedakan menjadi dua maam, yaitu TB laten dan TB aktif Penegahan TB yakni melakukan peilaku hidup beih dan ehat Selain itu, yang paling penting dilakukan adalah menelan Obat Anti Tubekuloi (OAT) euai doi yang tepat eaa lengkap dan teatu Jika tidak teatu, maka baktei akan menjadi kebal tehadap OAT dan memungkinkan untuk bemutai ke bentuk eitan tehadap obat atau dikenal kau Multi Dug Reitane Tubeuloi (TB-MDR) dan Exteme Dug Reitane Tubeuloi (TB-XDR) [4,5] Oleh kaena itu, dalam penelitian ini akan dibaha model matematika penulaan tubekuloi adanya kau eiteni obat, menganalii dan mengintepetaikan hail yang dipeoleh Tujuan penelitian adalah mempelajai model matematika penulaan TB, menentukan dan menganalii ketabilan titik ekuilibium, dan imulai numeik Dengan adanya penelitian ini, dihaapkan mayaakat bia mengetahui dinamika penulaan TB Penelitian ini dimulai melakukan tudi liteatu Selanjutnya dibuat aumi-aumi dan mendefiniikan paamate-paamete bedaakan fakta yang ada eta digambakan dalam uatu diagam tanfe, kemudian dibentuk model matematika [2] Selanjutnya, ditentukan titik ekuilibium menggunakan definii titik ekuilibium Untuk menentukan ekiteninya, akan didefiniikan uatu ambang bata paamete, yang dikenal ebagai bilangan epoduki daa Ketabilan global dai titik ekuilibium uatu item akan digunakan konep Lyapunov-Laalle edangkan untuk menentukan ketabilan lokal digunakan aa metode lineaiai dan kiteia Routh-Huwitz untuk menentukan tanda bagian eal dai nilai eigen matik Jaobian [6-15] Langkah teakhi adalah menampilkan imulai numeik HASL DAN PEMBAHASAN A Model Matematika Pada bagian ini akan dibaha model penulaan TB kaena tejadi teatment failue akibat kuangnya kepatuhan dalam menjalani pogam hemopophylaxi dan teapi pengobatan ehingga memungkinkan tain eiten tehadap obat Pada kau ini, tain dibagi menjadi dua jeni, yakni dug-enitive tain 315

2 SBN (tain 1) dan dug-eitant tain (tain 2) Populai dibagi menjadi lima kela, yaitu kela individu yang entan S, teinfeki eaa laten tain 1 E dan tain 2 E, teinfeki dan menulakan tain 1 dan tain 2 Adapun aumi yang digunakan adalah kontanta menyatakan etiap ekutmen pada populai mauk ke kela S, tejadi kematian alami dan kematian yang diebabkan kaena penyakit d, d yang hanya tejadi pada kela dan Penulaan TB tejadi etelah adanya kontak antaa individu pada kela S individu pada kela dan maing-maing laju dan, eta hanya menulakan tain yang ama Adapun individu pada kela laten tidak mampu menulakan baktei dan akan tetap demikian elama hidup keuali tejadi eaktivai ndividu yang bau teinfeki dan mengalami pekembangan yang epat p, p langung mauk ke kela dan, edangkan ianya mauk ke E dan E Popoi dan 1 menyatakan popoi efektivita hemopophylaxi yang dibeikan 1 tehadap kela E dan E untuk menguangi eaktivai MTb, edangkan k dan 1 k menyatakan laju 1 pepindahan individu yang teinfeki eaa laten menjadi teinfeki dan menulakan Stain yang enitif dapat menjadi eiten kaena kegagalan pengobatan dan individu yang teinfeki tain 2 laju pengobatan yang lebih endah daipada laju pengobatan individu yang teinfeki tain 1 akan mauk ke kela Popoi dan menyatakan popoi pepindahan individu kela E yang bekembang dan tidak bekembang menjadi menyatakan laju pepindahan E, Pembeian teapi pengobatan yang efektif tehadap individu yang individu kela E menjadi teinfeki dan menulakan dapat mengakibatkan petumbuhan dan aktivai MTb menjadi tehambat, elanjutnya diaumikan mauk ke kela entan, 2 dan 2 menyatakan popoi teapi pengobatan yang dibeikan pada individu kela dan, dan menyatakan popoi pepindahan individu kela menjadi E dan Tidak tedapat individu yang embuh dai penyakit tubekuloi Beikut digambakan dalam bentuk diagam tanfe dan item peamaan difeenial: ds S S S dt de (1 p ) S A E dt 2 de (1 p ) S k E A E k (1) dt d p S k E B dt 1 d p S k E k E k B dt k1 k1 1 1 k2 (1 ) 1 k3 (1 )(1 ) 1 k4 1 2 k k k 1 A k k k A k B k k d B d GAMBAR 1 DAGRAM TRANSFER MODEL PENULARAN TUBERKULOSS DENGAN KASUS RESSTENS OBAT 316

3 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 215 Semua paamete teebut benilai poitif dan diaumikan memenuhi kondii awal yaitu S(), E (), E (), (), () Bata olui Sitem aat t menuju tak hingga: B Analii Matematika 5 y S, E, E,, R S E E Beikut akan dibaha mengenai ekiteni dan analii ketabilan titik ekuilibium Namun, telebih dahulu akan ditentukan bilangan epoduki daa untuk (1) bedaakan metode pada Diehe dan Watmough [7] Sitem (1) dapat ditulikan dalam bentuk x = F( x) V ( x) V ( x), x = E,E,,,S (1 p ) S (1 p ) S F= ps p S 2 A E k2e A E k4 2 V= k1e B k3e k6e k5 B S S S Oleh kaena itu, matik Jaobian dai F dan V di ekita titik X matik F V D F X D X, V J J (1 p) (1 p) F = p p 1 2 dan ebagai beikut: A 2 k A k k1 B k3 k6 k5 B V = Dengan demikian, nilai dai bilangan epoduki daa untuk (1) yaitu adiu pektal dai next 1 geneation matix, FV,yaitu R max R, R 1 p k1 p A 1 p k6 p A R R A B k12 A B k62 Beikut ini akan dibeikan teoema yang membaha tentang ekiteni titik ekuilibium untuk (1) Teoema 1 Dibeikan R max R, R 1 Jika 1 R, yaitu jika R 1 dan R 1 maka (1) mempunyai tepat atu titik ekuilibium beba penyakit X,,,, 2 Jika R 1, maka (1) mempunyai dua titik ekuilibium yaitu titik ekuilibium X,,,, titik ekuilibium endemik yang hanya tedii dai tain 2, X S,, E,, R 1 (1 p ) R 1 dan S E 2 R A R R dan R R maka (1) mempunyai dua titik ekuilibium yaitu titik ekuilibium 3 Jika 1 317

4 SBN X,,,, X S, E, E,, dan titik ekuilibium endemik yang kedua jeni tain ada, R 1 AV R R M R 1 (1 p ) 2 R R R, S R AV R R M E G AV M A A k2g, k (1 p ) 4 E 2 R A A A V A B k M (1 p ) 2 k2k6 k3a A k4k6 k5a 6 2 R R Selanjutnya, dibeikan teoema yang membaha tentang ketabilan global titik ekuilibium beba penyakit X Teoema 2 Jika R 1 dan R 1, maka titik ekuilibium beba penyakit X pada (1) tabil aimtotik global Bukti: Didefiniikan fungi Lyapunov Z : Z S, E, E,, k k k k A E k A E A A A Selanjutnya, untuk etiap didefiniikan: E S, E, E,, Z( S, E, E,, ) Kaena tebata, beati E juga tebata Dan didefiniikan: S1 S, E, E,, E Z( S, E, E,, ) Dengan demikian, Z( S, E, E,, ) jika dan hanya jika S, E, E,, dan Sehingga himpunan invaiant tebea yang temuat di S 1 hanya X Selanjutnya belaku E untuk uatu Bedaakan konep Lyapunov-Laalle, titik ekuilibium X tabil aimtotik global pada ni beati bahwa lama kelamaan penyakit akan hilang dalam populai Teoema 3 Jika R 1, R <R, b1, 1 dan, X S,, E,, pada (1) tabil aimtotik lokal Bukti: Matik Jaobian dai (1) di ekita titik Df X X adalah R R R (1 p) A 2 R (1 p) (1 p ) k2 A k4 2 R p k1 B R p p k3 k6 k5 B R maka titik ekuilibium endemik 318

5 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 215 Peamaan kaakteitik untuk matik Jaobian dai (1) diekita titik X adalah b1 b p R 1 b A B b A B k R R p p A B R R A B 1 2 R R R 1 1 p k6 p A 3 R Oleh kaena itu, titik ekuilibium X tabil aimtotik lokal jika R 1, R <R, b1, 1 dan ni beati bahwa untuk waktu yang lama, emua individu yang teinfeki menjadi eiten tehadap obat dan tentunya akan menjadi malaah utama pada keehatan mayaakat C Simulai Numeik Pada bagian ini dibeikan imulai numeik untuk mengilutaikan peilaku dinamik pada model penulaan tubekuloi menggunakan oftwae Maple Diaumikan lua wilayah yang diteliti adalah 3 km 2 Beikut dibeikan nilai-nilai paamete untuk (1): 2, = 8, = 75, = 14286, d = 15, d = 35, p = 15, p = 35, 1 = 7, 1 = 7, 2 = 65, 2 = 75, k 1 = 13, k 1 = 2, = 2, = 15, = 23, = 1, = 5, dipeoleh titik X ,,,, Jika nilai diganti untuk paamete p = 45, k 1 1 = 65, 2 = 56, maka dipeoleh titik ,,,, = 33, = 33, X dan titik X ,, ,, Ketabilan kedua titik ekuilibium teebut dapat dilihat pada Gamba 2 GAMBAR 2 DAGRAM TRAYEKTOR (1) UNTUK VARABEL S, E, E, DAN MASNG-MASNG DENGAN NLA AWAL TERTENTU DPEROLEH TTK EKULBRUM BEBAS PENYAKT X STABL ASMTOTK GLOBAL (KR) DAN TTK EKULBRUM ENDEMK YANG TERDR DAR STRAN RESSTEN X STABL ASMTOTK GLOBAL (KANAN) 319

6 SBN SMPULAN DAN SARAN Bedaakan hail analia, dipeoleh bahwa bilangan epoduki daa ebagai ambang bata paamete angat bepengauh tehadap dinamika penulaan tubekuloi Nilai bilangan epoduki daa dapat dituunkan alah atunya meningkatkan efektivita hemopophylaxi dan teapi pengobatan Hal yang paling penting untuk dilakukan oleh pendeita TB yaitu menelan Obat Anti Tubekuloi (OAT) euai doi yang tepat eaa lengkap dan teatu ehingga dapat menyebabkan Myobateium tubeuloi yang ada di dalam tubuh pendeita menjadi tidak aktif Oleh kaena itu, kemungkinan baktei untuk menjadi eiten tehadap obat dapat diegah dan tentunya menguangi angka pendeita TB-MDR Penuli menyadai bahwa penelitian ini maih banyak kekuangannya kaena bebagai ketebataan Oleh kaena itu, penelitian ini dapat dilanjutkan menyelidiki ketabilan global dai kedua titik ekuilibium endemik yang dipeoleh UCAPAN TERMA KASH Penuli menguapkan teima kaih kepada Pof D Widodo, MS, doen Matematika FMPA UGM, ata bimbingan, aan dan aahannya ehingga penuli dapat menyeleaikan penelitian ini dan bia mengikuti emina untuk dipublikaikan DAFTAR PUSTAKA [1] Aditama,TjA, Junal Tubekuloi ndoneia, Vol3, Nomo:2, Jakata Selatan: PPT, 26 [2] Bowong S, Jule JT, Claude JK, Stability Analyi of the Tanmiion Dynami of Tubeuloi Model, Wold Jounal of Modelling and Simulation, 211, 7 : 83-1 [3] Buhan, E, Tubekuloi Multi Dug Reitane (TB-MDR), Vol6, Nomo:12,Jakata:Depatemen Pulmonologi dan lmu Kedoktean Repiai Fakulta Kedoktean Univeita ndoneia,21 [4] Depke R, Pedoman Naional Penanggulangan Tubekuloi Edii 2, Jakata, 28 [5] Depke R, Buku Saku Kade Pogam Penanggulangan TB, Depatemen Keehatan, 29 [6] Diekmann, O, and Heetebeek, JAP, Mathematial Epidemiology og nfetiou Dieae: Model Building, Analyi and ntepetation, John Wiley and Son, Chihete, 2 [7] Diehe, P and Watmough, J, Repodution numbe and ub-thehold endemi equilibia fo ompatmental model of dieae tanmiion, Mathematihal Bioiene, 22, 18:29-48 [8] Hahn, Wolfgang, Stability of Motion, Spinge-Velag New Yok n, USA, 1967 [9] Khalil, HK, Nonlinea Sytem (Thid Edition), Pentie-Hall, n, New Jeey, 22 [1] Luenbege, David G, ntodution to Dynamial Sytem : Theoy, Model, and Appliation, John Wiley and Son, New Yok, USA, 1979 [11] Olde, GJ, Mathematial Sytem Theoy, Delfte Uitgeve Maathappij, CW Delft, Netheland, 1994 [12] Peko, S, Difeential Equation and Dynamial Sytem: 3d Edition, Text in Applied Mathemati Vol7, Spinge-Velag, New Yok, USA, 21 [13] Tu, Piee NV, Dynamial Sytem: An ntodution with Appliation in Eonomi and Biology, Spinge Velag, New Yok, USA, 1994 [14] Vehult, F, Nonlinea Diffeential Equation and Dynamial Sytem, Spinge-Velag, New Yok, USA, 199 [15] Wiggin, S, ntodution to Applied Nonlinea Dynamial Sytem and Chao, eond edition, Spinge-Velag New Yok n, New Yok, 23 32