MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER

Transkripsi

1 Prosiding eminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-in : ; e-in : MODUL FAKTO DAI MODUL ENDOMOFIMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATA GAUIAN INTEGE Linda Octavia oelistyoningsih Jurusan Matematika, Universitas Jenderal oedirman octasoelis251092@gmail.com Ari Wardayani Jurusan Matematika, Universitas Jenderal oedirman uroto Jurusan Matematika, Universitas Jenderal oedirman ABTACT. This paper discusses about quotient modules of endomorfism module on Integers over Gaussian Integer. We determine a submodules of the module, then formed the set of cosets. The results obtained is the set of cosets are equipped with addition and scalar multiplication operation is a quotient module over Gaussian Integer. Keywords: Gaussian Integer, endomorfism, quotient modules. ABTAK. Paper ini membahas tentang modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer. Dengan menentukan suatu submodul dari modul tersebut, selanjutnya dibentuk himpunan koset-kosetnya. Hasil yang diperoleh adalah himpunan koset-koset tersebut dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar merupakan modul faktor atas Gaussian Integer. Kata Kunci: Gaussian Integer, endomorfisma, modul faktor 1. PENDAHULUAN Himpunan merupakan konsep dasar pada bidang kajian matematika. atu atau beberapa himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner atau lebih yang memenuhi sifat-sifat tertentu akan membentuk sistem matematika. istem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dan satu operasi biner yang memenuhi sifat assosiatif, mempunyai elemen identitas, dan setiap elemennya mempunyai invers disebut dengan grup (Gallian, 2010). istem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan dan perkalian yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan ring (Fraleigh, 2003). Apabila dalam suatu ring memiliki elemen

2 Modul Faktor dari Modul omorfisma 62 satuan serta bersifat komutatif terhadap perkaliannya, maka ring tersebut dinamakan ring komutatif dengan elemen satuan. Adapun sistem matematika yang terdiri dari beberapa himpunan dan beberapa operasi biner diantaranya adalah modul atas ring. Modul atas ring dapat dikatakan sebagai generalisasi dari ruang vektor atas suatu lapangan. uatu himpunan tak kosong M disebut modul atas ring, jika M adalah grup Abel terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi aksiomaaksioma modul terhadap operasi perkalian skalarnya (Adkins danweintraub, 1992). uatu pemetaan dari modul M ke modul N yang mengawetkan operasi pada modul M ke modul N dinamakan homomorfisma modul dari M ke N (Hartley dan Hawkes, 1994). Pada tahun 2008, Aditya telah mengkaji sifat-sifat homomorfisma modul. Pada penelitian tersebut dijelaskan bahwa himpunan dari homomorfismahomomorfisma modul atas ring dari M ke N dapat dibentuk menjadi suatu himpunan yang disebut Hom (M,N). Pada tahun 2010, Khoerudin telah mengkaji tentang modul 2 atas Gaussian Integer. Pada paper ini dikaji mengenai modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer. 2. METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut a. Mendefinisikan operasi pada Gaussian Integer sedemikian sehingga Gaussian Integer dengan operasi yang didefinisikan merupakan ring dengan elemen satuan. b. Mendefinisikan operasi perkalian skalar antara Gaussian Integer dengan yang tertutup di sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma pada modul. c. Mendefinisikan himpunan semua endomorfisma pada modul atas Gaussian Integer, yang selanjutnya dinotasikan dengan [ ]

3 63 L. O. oelistyoningsih d.k.k. d. Mendefinisikan operasi perkalian skalar antara Gaussian Integer dengan [ ]( ) yang tertutup di [ ]( ) sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma pada modul. e. Mencari submodul dari modul [ ] atas Gaussian Integer. f. Membentuk modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer. 3. HAIL DAN PEMBAHAAN Bagian ini merupakan bagian utama dari paper ini dan dijelaskan mengenai ring Gaussian Integer, modul atas Gaussian Integer, modul Integer. [ ]( ) atas Gaussian Integer,dan modul faktor atas Gaussian 3.1 ing Gaussian Integer Gaussian Integer merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Langkah awal yang dilakukan adalah mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada Gaussian Integer. Gaussian Integer merupakan himpunan i={ } elanjutnya, pada Gaussian Integer didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian, yaitu untuk setiap a bi c di a c b d i a bi c di ac bd ad bci a bi, c di i. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa operasi-operasi tersebut well-defined di i. Ambil sembarang a 1 +b 1 i, a 2 +b 2 i, c 1 +d 1 i, c 2 +d 2 i i dengan a1 bi 1 a2 b2i dan c1 d1i c2 d2i, untuk setiap a1, a2, c1, c2, b1, b2, d1, d2. Karena a1 bi 1 a2 b2i dan a3 b3i a4 b4i maka a1 a2, c1 c2, b b, 1 2 dan d d. Dengan demikian, berlaku 1 2

4 Modul Faktor dari Modul omorfisma 64 a1 bi 1 c1 d1i a1 c1 b1 d1 i a c b d i a b ic d i dan a1 bi 1 c1 d1i a1c 1 b1d 1 a1d 1 b1c 1i a c b d b c a d i a b i c d i Hal ini berarti operasi dan well-defined i. Lemma 3.1 i, merupakan grup Abel. Lemma 3.2 i, merupakan semigrup komutatif dengan elemen satuan. Lemma 3.3 Untuk setiap k1, k2, k3 i i. k k k k k k k ii. k k k k k k k berlaku Berdasarkan uraian Lemma 3.1, Lemma 3.2, dan Lemma 3.3 diperoleh sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan disertai dua buah operasi biner. Teorema 3.4 i,, merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. 3.2 Modul [ ]( ) Atas Gaussian Integer i Himpunan bilangan bulat merupakan modul atas Gaussian Integer i. Pertama, ditunjukkan bahwa grup Abel terhadap operasi penjumlahan tersebut yang disajikan pada Lemma berikut. Lemma 3.5, merupakan grup Abel. Teorema 3.6 Himpunan merupakan modul atas Gaussian Integer i.

5 65 L. O. oelistyoningsih d.k.k. ebelum membahas pembentukan modul atas Gaussian Integer i yang dibentuk dari himpunan himpunan Hom, [ ]( )terlebih dahulu akan dibahas mengenai M N yang merupakan bentuk umum dari himpunan [ ]( ). Himpunan homomorfisma-homomorfisma modul dari modul M ke modul N atas ring dinotasikan dengan Hom, ditulis dengan M N, atau secara matematis, : homomorfisma modul atas Hom M N f M N f. ementaraitu, himpunan homomorfisma-homomorfisma modul dari modul M ke dirinya sendiri atas ring dinotasikan dengan M, atau secara matematis ditulis dengan M f : M M f homomorfisma modul atas. Untuk selanjutnya pada penelitian ini, modul M yang digunakan adalah dan ring yang digunakan adalah Gaussian Integer penelitian ini hanya membahas i. Dengan kata lain, pada [ ] dan secara matematis ditulis dengan [ ]( )= f : f homomorfisma modul atas i. Untuk menunjukkan bahwa [ ], merupakan modul atas Gaussian Integer i perkalian skalar antara, terlebih dahulu didefinisikan operasi penjumlahan dan operasi i dengan [ ]( ) yang tertutup di [ ]( ) seperti berikut. f gx f x g x ( (a+bi) f )(x) = (a+bi) [ f(x) ] untuk setiap f, g [ ]( ), a bi i dan x. Operasi penjumlahan dan perkalian tersebut well-defined di [ ]( ) elanjutnya, Lemma berikut menjelaskan tentang struktur yang terbentuk dari [ ]( ), terhadap operasi penjumlahan.

6 Modul Faktor dari Modul omorfisma 66 Lemma 3.7 [ ]( ) disertai operasi penjumlahan merupakan grup Abel. Teorema 3.8 Himpunan i. [ ], merupakan modul atas Gaussian Integer 3.3 Modul Faktor Atas Gaussian Integer ebelum membentuk modul faktor i atas Gaussian Integer i, terlebih dahulu akan dibentuk submodul dari modul [ ]( )atas Gaussian Integer i. Pada penelitian ini, untuk membentuk modul faktor,diambil himpunan bagian g g x 2 ax, a. i elanjutnya, diperoleh bahwa himpunan dengan operasi yang sama di [ ], merupakan submodul dari modul [ ], atas Gaussian Integer. etelah membentuk submodul dibahas mengenai pembentukan himpunan atas Gaussian Integer, selanjutnya i. Karena [ ], merupakan grup Abel terhadap operasi penjumlahannya dan merupakan subgrup dari [ ], maka subgrup normal dari grup [ ],. Lebih lanjut, karena [ ], merupakan grup Abel terhadap operasi penjumlahan maka himpunan koset-koset yang terbentuk dari dalam [ ], adalah sebagai berikut. [ ] ={ [ ] }, yang elemennya merupakan koset-koset dari dalam diperoleh i [ ]. elanjutnya, merupakan suatu modul atas Gaussian Integer dengan definisi operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut. f g f g dan k ( f+ )= ( k f )+,

7 67 L. O. oelistyoningsih d.k.k. untuk setiap ( f + ), ( g+ ) i dan skalar yang didefinisikan well-defined. dan Lemma berikut menjelaskan struktur yang terbentuk dari terhadap operasi penjumlahan. k a bi i. Operasi i Lemma 3.9 Himpunan merupakan grup Abel. i disertai dengan operasi pejumlahan Teorema berikut merupakan hasil utama dari paper ini mengenai pembentukan modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussia Integer. Teorema 3.10 Himpunan i. i Bukti. Berdasarkan Lemma 3.9 telah dibuktikan bahwa merupakan modul atas Gaussian Integer i terhadap operasi penjumlahan merupakan grup Abel. elanjutnya, akan ditunjukkan i Untuk setiap k2 a2 b2i, berlaku merupakan modul atas Gaussian Integer f, g i a. ( k 1 k 2 ) (f + ) = [ (k 1 k 2 ) f ]+ = [ (k 1 f +k 2 f ]+ dan k1, k2 = [ (k 1 f) + ]+[ (k 2 f )+] k f k f 1 2 i. i dengan k a b i, 1 1 1

8 Modul Faktor dari Modul omorfisma 68 k f g k f g b. 1 1 = (k 1 ( f+g )) + = (k 1 f + k 1 g ) + = [ (k 1 f) + ]+ [(k 1 g ) + ] k f k g. 1 1 c. ( k 1 k 2 ) ( f + ) = ( (k 1 k 2 ) f ) + = ( k 1 ( k 2 f ) )+ = k 1 (( k 2 f ) + ) = k 1 ( k 2 (f + )) d. 1 [i] ( f + ) = (1 z[i] f ) + = f + Karena semua aksioma pada modul terpenuhi maka terbukti merupakan modul atas Gaussian Integer i. i 4. KEIMPULAN DAN AAN Modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer yang dinotasikan dengan [ ] merupakan modul yang dibentuk dari ring Gaussian Integer i yang komutatif dengan elemen satuan dan himpunan semua homomorfisma pada modul atas Gaussian Integer. Dengan mengambil submodul { [ ] } dapat dibentuk modul faktor i atas Gaussian Integer. Dari hasil penelitian yang diperoleh, dapat dijadikan sebagai acuan teori untuk penelitian selanjutnya yang terkait dengan sifat-sifat yang terdapat pada modul faktor i atas Gaussian Integer.

9 69 L. O. oelistyoningsih d.k.k. DAFTA PUTAKA Aditya, A., ifat-sifat Homomorfisma Modul. kripsi. Fakultas ains dan Teknik, Universitas Jenderal oedirman, Purwokerto, Adkins, W.A. dan Weintraub,.H., Algebra: An Approach via Module Theory. New York. pringer-velberg, Fraleigh, J.B., A First Course in Abstract Algebra, 7 nd Edition, New York: Addison-Wesley Publising Company, Gallian, J.A., Contemporary Abstract Algebra, 7 nd Edition, Massachussets: D.C. Heath and Company, Inc., Hartley, B. dan Hawkes, T.O., ing, Modules, and Linier Algebra, Chapman and Hall, London, Khoerudin, M., Pembentukan Modul 2 atas Gaussian Integer, kripsi. Fakultas ains dan Teknik, Universitas Jenderal oedirman, Purwokerto, 2010.