BAB III. Monte Carlo dan metode least-square, maka pada bab ini diantaranya akan

Transkripsi

1 BAB III METODE LEAST-SQUARE MONTE CARLO Pada bab sebelumnya telah delaskan antara lan mengena smulas Monte Carlo dan metode least-square, maka pada bab n dantaranya akan dbahas penggunaan kedua metode tersebut ddalam metode LSM. Pada bab n, akan delaskan bagamana metode LSM dgunakan untuk mengaproksmas nla ops put Amerka. Metode n terdr dar tga tahap sekuensal, pertama adalah mensmulaskan lntasan dar harga saham, kemudan menghtung matrks payoff ops, dan yang terakhr adalah menentukan harga ops. Pada akhr bab n uga akan delaskan contoh sederhana penerapan metode LSM. Namun sebelum contoh penerapan akan dberkan skema sederhana metode LSM n. Lebh elasnya pada bab 3.1 akan dbahas mengena ekspektas bersyarat dan ruang Hlbert, bab 3. mengena smulas lntasan harga saham, bab 3.3 mengena perhtungan matrks payoff ops, bab 3.4 mengena perhtungan nla ops, bab 3.5 bers skema metode LSM dan bab 3.6 menelaskan contoh sederhana dar metode LSM. 3.1 Ekspektas Bersyarat dan Ruang Hlbert Dberkan sebuah ruang probabltas ( P ) ΩΦ,, m yang complete dan terbatas pada nterval waktu [0,T]. Ruang sampel Ω adalah hmpunan tak 43 Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

2 44 kosong dar semua kemungknan hasl yang dapat terad pada duna nyata atau dalam suatu ekspermen, dengan elemen Ω dlambangkan ω. Φ adalah σ-alabar dar subset Ω, yatu hmpunan dan semua subset dar Ω. Elemen dar Φ dsebut keadan. Probablty measure P m adalah fungs dar Φ ke blangan real antara 0 dan 1 yang menyatakan probabltas masng-masng keadan. Ruang probabltas merupakan ruang terukur dengan measure P m, yang memenuh aksoma probabltas, yatu 1. P m (J) 0, untuk setap J Φ. P m (Ω) = 1, dan 3. P m (J 1 J J n ) = n Pm( J). = 1 Ruang probabltas yang complete adalah setap subset C dar hmpunan null J 0 (P m (J 0 ) = 0) dengan J 0 Φ adalah terukur (Wkpeda, 008). Varabel random X adalah fungs terukur dar ruang sampel Ω ke ruang terukur lannya yang dsebut state space, X(ω) : Ω R. Shryaev (1994) menyatakan bahwa ka terdapat H yang merupakan ruang varabel random X dengan mean nol dan momen kedua yang terbatas pada ruang probabltas ( ΩΦ P ),, m, dengan nner product <X,Y> = E[X.Y], norm X = E X dan fungs arak (metrc) X Y, maka H adalah ruang Hlbert. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

3 45,, m = Ω, Φ, m adalah Pada ruang probabltas ( ΩΦ P ) dmsalkan L L ( P ) kelas dar varabel random X yang bernla real (Φ-measurable), sedemkan sehngga X terbatas, yatu E ( X) <. Ruang L dengan defns penumlahan dan perkalan skalar (skalar real) merupakan ruang vektor real. Untuk setap X, Y L, ddapat E( X ) <, Var( X ) E ( X ) E ( X ) = <, 1 1 dan E( XY ) E( X ) E( Y ) <, dengan ketdaksamaan terakhr berdasarkan ketdaksamaan Cauchy-Schwartz pada fungs yang square ntegrable x, y x, x. y, y. Sehngga Cov( X, Y ) = E( XY ) E( X ) E( Y ) ada dan terbatas. Dar struktur square ntegrable datas, dsmpulkan bahwa L dengan nner product X Y = E( XY) dan norm 1 1 X = X X = E( X ) uga merupakan ruang Hlbert. Selanutnya akan delaskan adanya (exstence) ekspektas bersyarat pada ruang L yang telah delaskan datas, ekspektas bersyarat tersebut akan dgunakan dalam metode LSM. Namun sebelum tu akan delaskan teorema proyeks pada ruang Hlbert. Teorema Proyeks Msalkan H adalah ruang Hlbert dan M subruang dar H, dan x sembarang vektor d H. Jka terdapat vektor m 0 M sedemkan sehngga x m0 x m untuk setap m M, maka m 0 unk. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

4 46 Konds perlu dan cukup bahwa m 0 M menad vektor unk yang memnmumkan x m untuk m M adalah x m0 M. Jka M complete (barsan Cauchy d M konvergen d M), maka vektor unk yang memnmumkan x dar x ke M. 1969). m untuk m M ada. m 0 dsebut uga proyeks ortogonal Penelasan dan bukt teorema datas dapat dlhat pada (Luenberger, Sekarang akan dbahas adanya ekspektas bersyarat pada ruang Hlbert yang telah delaskan Rogers (1997). Msalkan Σ adalah sub σ-alabar dar Φ, dan msalkan X menyatakan varabel random yang ntegrable pada ( ΩΦ P ). Rogers (1997) menyatakan adanya varabel random [ ],, m E X Σ, dsebut ekspektas bersyarat dar X dberkan Σ, yang memlk sfat-sfat berkut ) E[ X Σ] Σ-measurable dan ntegrable, ) = [ Σ] A XdP E X dp, untuk setap A Σ. A Selanutnya akan daplkaskan teorema proyeks untuk memastkan adanya ekspektas bersyarat untuk varabel-varabel random yang square,, m ntegrable. Dasumskan X square ntegrable, yatu X L ( ΩΦP ),, m msalkan L ( ΩΣP ) dan menyatakan ruang varabel-varabel random yang memenuh Σ-measurable dan square ntegrable. Sepert dtuls sebelumnya Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

5 47,, m (pada halaman 45), ruang varabel random L ( ΩΣP ),, m sehngga untuk Y 0 L ( ΩΣP ) L ( ΩΦ P ),, m adalah ruang Hlbert, merupakan subruang yang complete pada. Maka berdasarkan teorema proyeks, terdapat elemen Y 0 L ( ΩΣ,, P) sedemkan sehngga a) ( ) ( ) { ( )} X Y0 = E X Y0 = nf x Z : Z L Ω, Σ, Pm. b) = 0, 0 X Y Z untuk semua ( Ω, Σ, ) Z L P. Karena Y 0 L ( ΩΣ P ),, m, Y 0 adalah Σ-measurable dan square ntegrable, sehngga memenuh konds ) datas. Jka A Σ, maka Z = I (fungs ndkator A dar hmpunan A) adalah elemen dar L ( ΩΣP ) bahwa (( ) ),, m dan pon b) menyatakan. 0 = E X Y Z = ( X Y) dp = XdP YdP A A A Dengan meruuk ke ), maka Y 0 adalah E[ X Σ ]. Dengan kata lan, ekspektas bersyarat dar X dberkan Σ adalah proyeks ortogonal dar X pada L ( ΩΣ P ). Jad Y 0 = E[ X Σ] adalah anggota ruang L ( ΩΣP ),, m,, m yang merupakan ruang Hlbert. Karena ekspektas bersyarat merupakan anggota ruang Hlbert sehngga kta dapat menggunakan teor yang yang berlaku pada ruang Hlbert untuk menentukan aproksmas fungs ekspektas bersyarat yang nant delaskan kembal pada subbab 3.3. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

6 48 Pada skrps n ruang probabltas ( ΩΦP ),, m dapat delaskan sebaga berkut: Ω merupakan hmpunan semua kemungknan proses stokastk harga saham dan suku bunga yang terad antara waktu 0 dan T, Ω memlk elemen ω, yatu sampel lntasan harga saham dan suku bunga, Φ merupakan σ-alabar dar semua lntasan harga saham dan suku bunga subset dar Ω, dan P m merupakan probablty measure yang ddefnskan pada Φ. Sehngga fungs ekspektas bersyarat dnyatakan dengan E[ X Φ ]. X yang dmaksud adalah ekspektas besar payoff P yang ddapat ketka konds harga saham saat n S dan suku bunga saat n r elemen dar Φ, maka dapat uga dnyatakan dengan EP [ ( Sr, )]. 3. Smulas Lntasan Harga Saham Pada subbab n akan delaskan tahap pertama dalam metode LSM. Tahap pertama adalah mensmulaskan lntasan aset nduk dar ops put Amerka yatu harga saham. Setap ops memlk angka waktu dan umlah waktu eksekus yang berbeda. Msalkan suatu ops dapat deksekus pada harga E dengan aset nduk S yang memlk N buah kesempatan waktu eksekus dengan nterval waktu sebesar δt dan smulas akan dlakukan sebanyak M kal. Smulas dlakukan menggunakan persamaan (.0) yang telah dbahas d bab dua yatu Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

7 49 σ St ( + 1) = St ( ).exp r D dt σ dt 1 ρ ε3 ρε + +, = 0,1,..., N 1. Nla short rate r pada persamaan (.0) tdak lag nla yang konstan namun merupakan faktor stokastk pembentuk harga saham. Dengan demkan sebelum kta mensmulaskan lntasan harga saham terlebh dahulu kta smulaskan lntasan untuk short rate, yang sebelumnya telah dbahas pada bab II dengan menggunakan persamaan (.15) berkut adt adt adt 1 e rt ( + 1) = rt ( ). e + b( 1 e ) + ν. ε, = 0,1,..., N 1. a Sehngga persamaan (.0) menad σ St ( + 1) = St ( ).exp rt ( 1) D dt σ dt + 1 ρ ε3 ρε + +, = 0,1,..., N 1. (3.1) Harga saham dan short rate akan dsmulaskan sebanyak M kal, sehngga harga saham pada lntasan ke- dan d waktu eksekus ke-t dsebut S ( t ) dan short rate dsebut dengan r ( t ) dengan = 1,,, M dan = 1,,, N. Dar smulas (.15) kta akan dapatkan matrks short rate ukuran M x N, yatu Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

8 50 Waktu Eksekus Smulas t 1 t t N 1 r1( t 1) r1( t ) r ( ) 1 t N r( t 1) r( t ) r ( ) t N 3 r3( t 1) r3( t ) r ( ) 3 t N 4 r4( t 1) r4( t ) r ( ) 4 t N... M r ( ) M t 1 r ( ) M t rm( t N) Gambar 3.1. Matrks short rate Nla r ( t ) akan dgunakan untuk mendapatkan S ( t ) pada persamaan (3.1). Nla r ( t 1) ddapat dar persamaan (.15) dengan nla awal short rate rt ( 0 ) yang sama untuk masng-masng smulas. Hal n uga berlaku untuk harga saham pada (3.1), nla awal harga sahamst ( 0 ) sama untuk masng-masng smulas. Hasl smulas (3.1), yatu harga saham yang ddapat d tap waktu eksekus dsusun sedemkan sehngga kta mendapatkan matrks saham berukuran M x N berkut Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

9 51 Waktu Eksekus Smulas t 1 t t N 1 S1( t 1) S1( t ) S ( ) 1 t N S( t 1) S( t ) S ( ) t N 3 S3( t 1) S3( t ) S ( ) 3 t N 4 S4( t 1) S4( t ) S ( ) 4 t N.... M S ( ) M t1 S ( ) M t SM( t N) Gambar 3.. Matrks harga saham. Pada Gambar 3., masng-masng bars dsebut satu lntasan harga saham. Setelah membangktkan lntasan harga saham dan kta dapatkan matrks harga saham sepert Gambar 3., selanutnya akan dbahas bagamana menentukan matrks payoff dar matrks harga saham. 3.3 Menghtung matrks payoff Msalkan FS ( ( t )) menyatakan payoff ops yang ddapat ka pada waktu t ops deksekus pada lntasan, dmana = 1,,, M, dan = 1,,, N. Maka FS ( ( t )) = E S ( t ) dengan E adalah harga eksekus. FS ( ( t )) dsebut uga payoff segera. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

10 5 Msalkan P menyatakan matrks payoff yang berdmens M x N dengan elemen f,. Pada saat T (waktu atuh tempo ops), payoff pada masngmasng lntasan adalah nla maksmum dar nol dan nla ops yang sebenarnya pada waktu T, yatu ( ) fn, = max 0, F S ( T), 1 M. Untuk menentukan keputusan apakah kta harus mengeksekus segera atau menunda dan mengeksekus pada waktu mendatang, kta perlu membandngkan dua nla berkut, yatu nla payoff saat t (payoff segera FS ( ( t ))) dan nla ekspektas payoff dmasa mendatang yang bersyarat harga saham dan short rate saat t yang dnyatakan dengan E P S ( ), ( ) t r t. Untuk membandngkan dua nla tersebut, kta bekera mundur dmula dar waktu atuh tempo ops T ke waktu t dmana 0 < < N pada setap lntasan yang n the money. Dalam hal n hanya dgunakan lntasan yang n the money karena keputusan eksekus hanya relevan ketka ops dalam konds n the money (Longstaff dan Schwartz,001). Untuk sembarang waktu t, 0 < < N, ekspektas bersyarat payoff ops dmasa mendatang pada saat harga saham saat t sebesar S (t ) dan short rate saat t sebesar r (t ),yatue P S ( ), ( ) t r t, sepert yang telah delaskan pada subbab 3.1, E P S ( ), ( ) t r t merupakan anggota ruang Hlbert L, sehngga kta dapat mengaproksmas fungs tersebut menggunakan teor Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

11 53 yang berlaku pada ruang Hlbert. Msalkan E P S ( ), ( ) t r t berkatan dengan sebuah fungs yang tdak dketahu, kta sebut sebaga g(x). Teor dalam ruang Hlbert menyatakan bahwa sembarang fungs g(x) anggota ruang tersebut, dapat dnyatakan sebaga kombnas lnear terhtung dar bass ruang vektornya, sehngga gx ( ) = βφ( x) (3.) k = 0 k k ( ) dmana { φk x } = 1 k merupakan hmpunan bass ddalam ruang Hlbert. Longstaff dan Schwartz (001) menyarankan untuk menggunakan monomal { St ( ) k } =1 untuk mengestmas fungs g(x) tersebut sebaga hmpunan bass sehngga k persamaan (3.) dapat dtuls sebaga gx ( ) = βkst ( ). Teorema k = 0 k aproksmas Stone-Weerstrass menyatakan bahwa monomal { St ( ) k } =1 membentuk bass ruang L (Hassan,1999). { St ( ) k } =1 k merupakan bass yang tdak ortonormal, tetap bebas lnear. Hassan (1999) menyatakan bahwa ka ngn mendapatkan kombnas lnear yang ortonormal, dapat dgunakan proses Gram-Schmdt, sedemkan sehngga ddapat polnomal yang ortonormal satu dengan yang lan dan merentang L. Secara teor, kta menyatakan g(x) sebaga kombnas lnear atas K suku yang dapat dtuls sebaga berkut k Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

12 54 K k gk( x) = βks( t ). k = 0 Aproksmas dar g K (x) datas dmsalkan dengan K k gk( x) = β ks( t ) yang k = 0 dselesakan menggunakan regres least-square. Dalam skrps n dplh K =, sehngga g ( x) = β + β S( t ) + β S( t ). (3.3) 0 1 Oleh karena g ( x ) dgunakan untuk mengaproksmas fungs ekspektas payoff ops mendatang yang bersyarat harga saham saat t,s (t ), dan short rate saat t, r (t ), ad ada dua varabel ndependen yang akan dgunakan untuk menaksr besar ekspektas payoff mendatang E P S ( ), ( ) t r t, maka meruuk pada sfat regres polnomal dengan dua varabel yang dtunukkan persamaan (.31), maka persamaan (3.3) menad g ( x) = β + β St ( ) + β rt ( ) + β St ( ) + β rt ( ) + β St ( ) rt ( ). (3.4) Untuk mendapatkan persamaan (3.4) dengan regres least-square, dgunakan data cross-secton pada observas-observas yang dhaslkan oleh { } smulas lntasan yang n the money yatu ( ),( ( ), ( )) gx Sx rx. Data tersebut dgunakan untuk menaksr parameter β0, β1, β, β11, β, β1dengan menyelesakan ( ) M mn β0 + β1 ( ) + β ( ) + β11 ( ) + β ( ) + β1 ( ) ( ) ( ) K { β } k k = 0 = 1 St rt St rt St rt g x. (3.5) Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

13 55 Cara penaksran parameter tersebut akan delaskan dbawah. g( x ) pada persamaan (3.5) merupakan besar payoff yang dperoleh ka ops tdak deksekus pada waktu t, yatu payoff pada suatu waktu yang dmsalkan t n dmana < n N, yang nlanya ddskonto ke waktu t. Sehngga g( x ) dapat dnyatakan sebaga N y ( t ) = f B (3.6), n t, tn n=+ 1 dengan B t, t adalah faktor untuk mendskontokan nla payoff pada t n ke n waktu t dan f, n adalah payoff yang dterma pada waktu t n dan lntasan ke- dmana = 1,,.., M. Untuk lebh elasnya perhatkan gambar berkut. t 1 t t n1 t n t n3 t N lntasan 1 g(x ) = y 1 (t ) f 1,n1 g(x ) = y (t ) f 1,n3 : : g(x ) = y (t ) f,n : M Gambar 3.3. Dskonto payoff masa datang ka ops tdak deksekus Pada Gambar 3.3, t < t n1 t n t n3 t N. Untuk menaksr parameter β0, β1, β, β11, β, β1yang telah dsebutkan datas, dgunakan cara yang telah delaskan pada subbab.6. Kta ngat pada subbab.6 delaskan bahwa bentuk persamaan (3.4) dapat dtuls sebaga Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

14 56 y = Xβ. Varabel X yang dmaksud adalah matrks X berkut 1 S1( t ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( ) r t S t r t S t r t 1 S( t) r( t) S( t) r( t) S( t) r( t) 1 S3( t ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) r t S t r t S t r t, : : : : : : 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sn t rn t Sn t rn t Sn t rn t dengan β ( ) 1 ( t ) = X( t )' X( t ) X( t )' y( t ). (3.7) yang kemudan dgunakan pada persamaan (3.4) untuk mendapatkan estmas fungs ekspektas payoff ops g ( ) x sebenarnya yatu g = ( x) E y ( t) S( t), r( t ). Kembal kepada permasalahan bagamana membandngkan dua nla berkut, yatu nla payoff saat t (payoff segera FS ( ( t ))) dan nla ekspektas payoff dmasa mendatang yang bersyarat harga saham dan short rate saat t yang dnyatakan dengan E P S ( ), ( ) t r t. Nla estmas dar regres, yatu yt ( ) = Xt ( ) β( t ) kemudan dgunakan untuk menentukan apakah saat t memang waktu yang optmal untuk mengeksekus ops. Waktu optmal tersebut dtentukan dengan cara membandngkan yt ( ) yang merupakan ekspektas payoff mendatang ka ops tdak deksekus, dengan nla payoff segera FS ( ( t )). Jka Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

15 57 yt ( ) < FS ( ( t )), maka f, dberkan nla FS ( ( t )) dan semua nla f, n pada matrks payoff P dengan < n N, dber nla nol. Hal n karena ops hanya bsa deksekus palng banyak satu kal sepanang lntasan atau selama ops tersebut berlaku. Pada kasus yang lan yatu yt ( ) FS ( ( t )), maka f, nla nol. dber Pemberan nla f, secara matemats dapat dnyatakan sebaga berkut. ( ), ( ) F( S t ) ( ) dan 0, ka ( ) ( ) ~ F S t f n = < n N F S t > y t f, =, M 0 ka ( ) y ( t) Setelah kta dapatkan matrks payoff ops P langkah selanutnya adalah menghtung nla ops menggunakan matrks tersebut. 3.4 Menghtung nla ops Setelah ddapat matrks payoff ops, selanutnya estmas nla ops P pada waktu t 0 ddapat dengan mendskonto seluruh payoff d tap-tap lntasan ke waktu t 0 dan merata-ratakannya dengan pembag M yatu banyaknya lntasan P 1 M M N = f B, 0, t = 1 = 1. Tga langkah sekuensal yang telah delaskan datas selanutnya akan dgunakan dalam mplementas penentuan nla ops put Amerka yang akan dbahas pada bab IV. Namun sebelumnya, skema metode LSM dan Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

16 58 penerapan sederhana dar metode LSM n akan delaskan pada subbabsubbab selanutnya. 3.5 Skema Metode LSM Berkut adalah skema metode LSM yang telah delaskan Gambar 3.4. Skema LSM 3.6 Contoh Penerapan Pada subbab n akan dberkan contoh penerapan metode LSM yang telah delaskan. Msalkan terdapat sebuah ops put Amerka dengan aset Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

17 59 nduk berupa saham. Dketahu harga saat n dar saham tersebut yatu S 0 = $100. Saham n memlk volatltas sebesar 5% dan tngkat hasl dvden sebesar 1,5%. Ops tersebut dapat deksekus pada harga $110 pada saat t 1, t, dan t 3, dmana saat t 3 adalah masa berakhrnya hak ops. Sehngga panang ntervalnya adalah 1/3. Dketahu pula bahwa tngkat suku bunga bebas rsko saat n adalah sebesar 3%,memlk volatltas sebesar 3% dan kecepatan mean reverson sebesar dan reverson level 5%. Smulas akan dlakukan sebanyak 8 kal. Dan koefsen korelas antara proses Wener harga saham dw dan short rate dz dplh sebesar ρ = -0,5, dengan kata lan dwdz = -0.5dt. Berkut n langkah dem langkah bagamana metode LSM menentukan harga ops dar data parameter yang dketahu. Langkah 1 : Smulas harga saham Sepert telah delaskan sebelumnya, smulas harga saham akan menggunakan persamaan (3.1) dan short rate dengan persamaan (.15). Dalam hal n, program yang dgunakan adalah Matlab. Dar smulas tersebut kta dapatkan matrks S berkut Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

18 60 t 1 t t 3 lntasan lntasan lntasan Gambar 3.5. Contoh matrks harga saham yang terkat dengan matrks r berkut t 1 t t Gambar 3.6. Contoh matrks short rate Nla (,3%) pada bars dan kolom pertama matrks datas ddapat dar perhtungan berkut..(1/ 3) (1/ 3) (1/ 3) 1 e rt ( + 1) = (3%). e + (5%)( 1 e ) + (3%). ε.. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

19 61 Nla ε yang terambl pada perhtungan tersebut adalah Selanutnya nla 0.030, dgunakan untuk mendapatkan nla pada bars dan kolom pertama matrks harga saham. Yatu (0.5) St ( + 1) = 100.exp (1/ 3) + 0.5ε1 1/ 3. Nla ε 1 yang terambl pada perhtungan tersebut adalah Langkah : Menghtung matrks payoff Dar matrks S yang dperoleh, kemudan dhtung matrks payoff yang ddapat apabla ops deksekus segera dmasng-masng waktu yang ada dengan menggunakan formula FS ( ( t )) = E S ( t ) dengan E = $110 adalah harga eksekus. t 1 t t Gambar 3.7. Matrks payoff ka ops deksekus segera Sebaga contoh, nla pada tabel datas ddapat dar $110 - $ Nla 0 yang muncul pada Gambar 3.7 dkarenakan harga saham lebh besar Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

20 6 dbandngkan harga eksekus (S E). Contohnya nla 0 pada kolom pertama, $ > $110. Sehngga pemegang ops dapat menual sahamnya dpasar dan payoff ops yang dtermanya sebesar 0. Tuuan yang ngn dcapa pada langkah n adalah untuk menemukan waktu yang optmal yang memaksmumkan payoff ops yang kta dapatkan d tap masng-masng lntasan. Untuk tuuan tersebut, metode LSM bekera dar belakang (backward), maka perhatkan pada saat t dan t 3. Jka ops put dalam konds n the money pada saat t, pemegang ops harus memutuskan apakah mengeksekus pada saat tersebut atau menunggu hngga t 3. Perlu dngat bahwa pada langkah n hanya akan dgunakan lntasan yang n the money karena membuat fungs ekspektas bersyarat dapat destmas lebh bak pada waktu-waktu dmana keputusan eksekus adalah relevan, dan hal n uga menngkatkan efsens algortma LSM. Dar Gambar 3.7 yang meruuk pada matrks harga saham pada Gambar 3.5 dapat kta smpulkan bahwa terdapat 6 lntasan yang berada dalam konds n the money pada t. Msalkan S menyatakan harga saham pada t dan r menyatakan short rate pada t, kemudan Y menyatakan payoff yang ddapat pada t 3 yang ddskonto ke t apabla ops tdak deksekus pada t. Proses dskonto dlakukan menggunakan persamaan (3.6) berkut N y ( t ) = f B., n t, tn n=+ 1 Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

21 63 r( tn t ) B merupakan faktor dskonto antara waktu t n dan t yatue dan f,n t, tn merupakan payoff yang dterma pada masa datang. Proses n dlakukan karena nla dmasa datang dapat dbandngkan dengan nla saat n ka dpandang pada waktu yang sama. S, r dan Y dberkan oleh tabel berkut n. Tabel 3.1. Data regres untuk mengaproksmas fungs ekspektas bersyarat saat t. S r Y * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp(-0.055*(1/3)) = Untuk mengestmas besar ekspektas payoff E P S( t), r( t) dmasa datang yang bersyarat atas harga saham dan short rate pada t, kta regreskan data pada tabel 3.1 dengan Y sebaga varabel tak bebas dan S, r, S, r, dan S r sebaga regressor. Matrks X sesua dengan persamaan (3.4) pada data regres tabel adalah Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

22 64 1 * S r S r S r ( ) (0.0364) ( )(0.0364) ( ) (0.0516) ( )(0.0516) X (94.806) (0.0415) (94.806)(0.0415) = ( ) (0.0436) ( )(0.0436) (7.7356) (0.0804) (7.7356)(0.0804) ( ) (0.041) ( )(0.041) Dar matrks X datas kemudan dapat dhtung koefsen fungs ekspektas bersyarat persamaan (3.4) berkut g( x) = β + β St ( ) + β rt ( ) + β St ( ) + β rt ( ) + β St ( ) rt ( ) dengan menggunakan persamaan (3.7) β ( ) 1 ( t ) = X( t )' X( t ) X( t )' y( t ) = Haslnya, kta mendapatkan aproksmas fungs ekspektas bersyarat berkut y = S r + S r + 400S r (3.8) Persamaan (3.8) merupakan aproksmas fungs ekspektas bersyarat untuk keseluruhan kemungknan lntasan pada t menuu t 3 dengan menggunakan sampel data tabel 3.1 yang hanya sebanyak 6 lntasan. Oleh karena tu, semakn banyak sampel lntasan yang dambl akan semakn akurat hasl yang dperoleh. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

23 65 Selanutnya akan dbandngkan payoff yang ddapat ka mengeksekus pada t (mmedate exercse), yang dtunukkan pada kolom kedua tabel 3., dengan nla ekspektas payoff (contnuaton) yang dberkan pada kolom ketga tabel 3.. Nla eksekus yang dlakukan saat t adalah payoff yang ddapat, yatu 110 S untuk tap lntasan yang n the money. Sementara tu nla masa datang atau kelanutan ddapat dengan mensubsttus S dan r pada persamaan (3.8). Tabel 3.. Perbandngan nla mmedate exercse dan contnuaton saat t. Lntasan mmedate contnuaton keputusan eksekus d t eksekus d t eksekus d t lanutkan hak eksekus d t eksekus d t Pada lntasan pertama, nla 4.7 pada kolom kedua adalah hasl dar $110-$ , sedangkan nla 0 pada kolom ketga adalah hasl substtus S = dan r = kedalam persamaan (3.8). Pada lntasan pertama, nla ekspektas masa datang sebesar 0, lebh kecl dbandngkan nla 4.7 yang ddapat apabla ops deksekus pada saat t, sehngga mengeksekus ops pada t dlntasan pertama adalah keputusan optmal. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

24 66 Pada lntasan keempat, nla ekspektas sebesar lebh besar ketmbang yang ddapat apabla ops deksekus d t, maka keputusan menunda eksekus dan mengharapkan payoff masa datang adalah lebh optmal. Dar tabel 3.,terlhat bahwa keputusan tdak optmal pada saat t hanya terad pada lntasan ke-4 saa. Hal n membuat kta mendapatkan matrks pada Gambar 3.8. Pada matrks tersebut, ops yang deksekus pada saat t, payoff pada t 3 harus bernla 0, karena ops hanya dapat deksekus satu kal sepanang masa ops berlaku. t 1 t t Gambar 3.8. Matrks payoff hasl perbandngan t dan t 3. Langkah selanutnya, kta lakukan kembal proses metode LSM langkah kedua yang sama datas pada waktu t 1, untuk menentukan apakah ops harus deksekus pada waktu t 1. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

25 67 Dar Gambar 3.7 yang meruuk pada matrks harga saham pada Gambar 3.5 dapat kta smpulkan bahwa terdapat 7 lntasan yang berada dalam konds n the money pada t 1. Msalkan S 1 menyatakan harga saham pada t 1 dan r 1 menyatakan short rate pada t 1, kemudan Y 1 menyatakan payoff yang ddapat pada masa datang yang ddskonto ke t 1 apabla ops tdak deksekus pada t 1. S 1, r 1, dan Y 1 dberkan oleh tabel dbawah n. Tabel 3.3. Data regres untuk mengaproksmas fungs ekspektas bersyarat saat t 1. S 1 r 1 Y * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = *exp( *(1/3) *(1/3)) = * exp( *(1/3) *(1/3)) = * exp( *(1/3)) = * exp(-0.041*(1/3)) = Dar data pada tabel 3.3, dengan menggunakan persamaan (3.7) ddapat koefsen estmas fungs fungs ekspektas bersyarat sepert berkut. β ( ) 1 ( t ) = X ( t )' X ( t ) X ( t )' y( t ) = Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

26 68 Haslnya, kta mendapatkan aproksmas fungs ekspektas bersyarat berkut y = S - 177r r + 167S r (3.9) Selanutnya akan dbandngkan payoff yang ddapat ka mengeksekus pada t 1 (mmedate exercse), yang dtunukkan pada kolom kedua tabel 3.4, dengan nla ekspektas payoff (contnuaton) yang dberkan pada kolom ketga tabel 3.4. Tabel 3.4. Perbandngan nla mmedate exercse dan contnuaton saat t 1. Lntasan mmedate contnuaton keputusan lanutkan hak eksekus d t eksekus d t lanutkan hak eksekus d t lanutkan hak eksekus d t 1 Dar tabel 3.4, terlhat bahwa, keputusan optmal terad pada lntasan ke, 3, 5, dan 8. Hal n membuat kta mendapatkan matrks payoff berkut. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

27 69 t 1 t t 3 lntasan lntasan lntasan Gambar 3.9. Matrks payoff. Pada Gambar 3.9, dlntasan pertama keputusan optmal untuk mengeksekus ops terad pada t. Sedangkan untuk lntasan kedua terad pada t 1. Untuk lntasan keempat dan keenam, keputusan optmal terad pada saat terakhr ops berlaku yatu t 3. Langkah 3 : Menentukan nla ops Dar matrks payoff Gambar 3.9 tersebut, kemudan nla ops dapat dperoleh dengan mendskonto semua payoff ke saat t 0 dan merataratakannya dengan banyaknya lntasan sepert pada tabel 3.5 berkut. Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008

28 70 Tabel 3.5. Perhtungan dskonto dtap-tap lntasan. lntasan Nla dskonto 1 4.7*exp( *(1/3)+(-0.030*(1/3))) = *exp( *(1/3)) = *exp(-0.036*(1/3)) = *exp( *(1/3)+( *(1/3))+( *(1/3))) = *exp(-0.056*(1/3)) = *exp( *(1/3)+( *(1/3))+( *(1/3))) = *exp( *(1/3)+( *(1/3))) = *exp( *(1/3)) = Pada lntasan pertama, ops deksekus pada t, sehngga nla 4.7 dar matrks payoff (Gambar 3.9) ddskonto ke t 0 (saat n). Dketahu dar matrks short rate (Gambar 3.6), nla short rate lntasan pertama pada t adalah (3,64%) dan t 1 adalah (.3%). Nla saat n dar 4.7 adalah (1/ 3) ( (1/ 3)) 4.7. e + = Maka estmas nla ops yang dperoleh adalah = = 8 = Dar hasl perhtungan, ddapat bahwa estmas nla ops sebesar $ Artnya, harga waar menurut hasl perhtungan metode LSM dar sebuah ops dengan data parameter yang telah dberkan adalah sebesar $ Implementas Metode..., Had Ismal, FMIPA UI, 008