KRITERIA MEMILIH PENDUGA TITIK TERBAIK. Abstrak

Transkripsi

1 KRITERIA MEMILIH PENDUGA TITIK TERBAIK Oleh : Sufr Abstrak Msalkan X varabel random dengan fungs padat peluang ( x / ), θ parameter populas yang tdak dketahu, dan T = t x ) ( f X adalah penduga ttk (statstk) bag θ. Tulsan n mencoba mengkaj secara teorts bagamana menemukan sfat-sfat bak dar suatu penduga ttk, dengan kata lan krtera apa saja yang harus dpenuh oleh T = t ( x ) agar T = t ( x ) merupakan penduga ttk terbak. Suatu penduga ttk dkatakan penduga ttk terbak jka penduga ttk tersebut memenuh sfat-sfat berkut yatu, tdak bas, efsen, dan konssten. Suatu penduga ttk dkatakan tdak bas, jka dan hanya jka nla harapannya sama dengan nla parameter yang dduga. Sedangkan suatu penduga ttk dkatakan efsen, jka dan hanya jka penduga ttk tersebut memlk varans terkecl dantara semua penduga ttk tdak bas lan, dan suatu penduga ttk tdak bas dkatakan konssten bag parameter populas, jka dan hanya jka barsan penduga ttk tdak bas tersebut konvergen secara stokastk (konvergen dalam probabltas) ke parameter populas. Kata kunc : Penduga, Penduga Tdak Bas, Efsens, dan Konsstens Abstract Let X be a random varable wth probablty densty functon ( x / ), where θ unknown populaton parameter, and T = t x ) ( s a pont estmator for θ. Theoretcally ths paper try to study how to fnd some good propertes of pont estmator, on the other hand what s crtera must be hold n order to T = t x ) ( s a the best pont estmator. A pont estmator s called as the best pont estmator f and only f the pont estmator have some propertes unbased, efcency, and consstency. A pont estmator called unbased f and only f t expected value equal wth the value of the populaton parameter. A pont estmator s called efcency f and only f the pont estmator have mnmum varance among all pont estmators on the class of pont estmators, and a unbased pont estmator s called conssten for a populaton parameter f and only f the squence of unbased pont estmators stocastcally convergen, or convergen n probablty. Key Words : Estmator, Unbased Estmator, Efcency, and Consstency f X I. PENDAHULUAN Salah satu fungs statstka adalah melakukan estmas dan nferens. Estmas yang dkaj dalam tulsan n adalah estmas ttk. Estmas adalah suatu prosedur dalam menentukan estmator (penduga) terbak bag parameter populas. Parameter adalah semua kuanttas yang spesfk dalam populas dan secara umum nlanya tdak dketahu, msalnya rataan populas (μ), varans populas (ζ 2 ), smpangan baku populas (ζ) dan lan-lan. Populas adalah suatu hmpunan yang memuat semua objek yang dtelt dan dkenakan generalsas kesmpulan. Dalam statstka berdasarkan jumlah anggota dkenal dua macam popula, pertama populas berhngga dan kedua populas tak behngga. Populas berhngga adalah populas yang jumlah anggotanya berhngga banyak, sedangkan populas takberhngga adalah populas yang jumlah anggotanya tak berhngga banyak. Populas berhngga dapat dpandang sebaga populas tak berhngga bla jumlah anggotanya relatf banyak, hal n merupakan salah satu dasar tmbulnya teor samplng (azas reduks) (Had, 1979). Bla suatu populas berhngga, semua nla parameternya dapat dtentukan dengan past, sehngga dstrbus dar peubah random dalam populas tersebut dapat dtentukan. Namun bla 49

2 populas tersebut tdak berhngga, nla parameter populas tersebut tdak dapat dtentukan dengan past, oleh karena tu untuk menentukan nla parameter populas harus dlakukan estmas. Alat yang dgunakan untuk menentukan atau menduga nla parameter tersebut adalah kuanttas yang terdapat dalam sampel atau statstk Statstk adalah kuanttas yang spesfk dalam sampel, dan nla kuanttas n dketahu secara past. Kuanttas nlah yang dgunakan untuk mengestmas parameter populas. Karena dalam mengestmas nla parameter populas dgunakan nla statstk, maka sangat wajar terjad bas (penympangan) estmas, yatu selsh nla mutlak antara nla parameter dan nla estmator. Suatu estmas yang bak adalah apabla bas estmas kecl atau selsh tesebut mendekat nol, sehngga press nla dugaan menjad lebh akurat. Dar sudut pandang matematka persoalan n dapat dformulaskan sebaga berkut, msalkan X 1, X 2, X 3,, X k sampel random berukuran k. Fungs dstrbus dar X ; = 1, 2,,k sangat tergantung kepada nla parameter yang tdak dketahu, katakan θєθ, dengan Θ adalah ruang parameter (parameter space), menentukan nla θ yang dplh dar anggota Θ adalah suatu problem estmas. Sembarang fungs peubah random terobservas katakan t k (X ) ; = 1,2,,k dsebut statstk sebaga penduga (estmator) dar parameter populas (θ) dan nla tertentu dar estmator, katakan t k (x ) ; = 1,2,,k dsebut estmas dar θ (Dudewcz dan Mshra, 1988). Secara prakts sembarang nla peubah random terobservas dapat djadkan estmas bag parameter populas, hal n menunjukkan bahwa penduga (estmator) tdak tunggal, oleh karena tu untuk mendapatkan penduga terbak dar sejumlah penduga, penduga tersebut harus memenuh beberapa krtera penduga yang bak. Dalam statstka problem menentukan penduga terbak dar sejumlah berhngga penduga yang terdapat dalam hmpunan penduga merupakan suatu hal sangat pentng, karena penduga atau nla penduga (estmas) adalah alat untuk mempredks atau memprakrakan nla parameter populas yang akan destmas. Karena ketdak tunggalan penduga tersebut, dperlukan suatu metode bagamana memlh penduga yang memlk sebanyak mungkn krtera estmator yang bak II. PERUMUSAN MASALAH Berdasarkan uraan yang telah dkemukakan d atas, maka permasalahan dalam tulsan n dapat drumuskan sebaga berkut, msalkan X ; = 1,2,, k sampel random berukuran k, dengan fungs padat peluang f(x θ) dketahu dan parameter populas (θ) tdak dketahu. Bla fungs dar peubah random X yatu T = t (x ) adalah penduga bag parameter populas (θ), krtera apa saja yang harus dpenuh oleh T sehngga penduga tersebut merupakan penduga terbak bag θ. III. PEMBAHASAN Msalkan X = 1,2,, k sampel random berukuran k, dengan fungs padat peluang f(x θ) dketahu dan parameter (θ) tdak dketahu. Apabla nla parameter (θ) dketahu maka secara prakts prlaku (dstrbus) dar populas akan dketahu pula. Dalam statstka alat yang dgunakan untuk menduga parameter populas dsebut statstk, yatu kuanttas yang terdapat dalam data sampel, karena kuanttas n terdapat dalam sampel maka nla statstk n dketahu dengan past. Msalnya bla Y ; = 1,2,,k sampel random berukuran k dan berdstrbus normal dengan rataan populas (μ) dan varans populas (ζ 2 ), dtuls Y ~ N(μ, ζ 2 ), maka statstk rataan sampel ŷ = 1/k y dan varans sampel s 2 = 1/k (y ŷ) 2, atau s 2 = (y ŷ) 2 /(k-1) berturutturut serng dgunakan masng-masng sebaga estmator bag μ dan ζ 2. Dalam hal n mungkn dapat tmbul pertanyaan, mengapa dyakn statstk sampel ŷ dan s 2 berturut-turut dgunakan sebaga estmator bag rataan (μ), dan varans populas (ζ 2 ) dalam dstrbus normal, mengapa tdak nla-nla statstk lan yang dapat dambl dar sembarang sampel terobservas sepanjang kuanttas tersebut merupakan fungs dar peubah random terobservas tu. Untuk menjawab pertanyaan n dperlukan suatu argumentas tentang sfat-sfat bak mnmal yang harus dmlk oleh suatu penduga (estmator). Palng tdak terdapat tga sfat bak yang harus dmlk oleh suatu penduga (estmator), yatu 50

3 tdak bas, efsen (memlk varans mnmum) dan konssten (Ban dan Engelhard, 1992). Untuk mengetahu apakah suatu estmator memlk ketga sfat bak tersebut harus dlakukan pemerksaan secara matemats, pertama ketdak basan estmator dapat dtelusur melalu nla harapan (mathematcal expected value) dar penduga tu, apabla nla harapan suatu penduga sama dengan parameter yang dduga, maka dkatakan penduga tersebut tdak bas, namun estmator yang memlk sfat n tdak tunggal (unk), sehngga ketdak tunggalan estmator yang bersfat tdak bas n mencptakan adanya hmpunan estmator tak bas. Nla harapan suatu penduga dan beberapa sfatnya ddefnskan sebaga berkut. Defns 3.1 Msalkan t k (X ) ; = 1,2,,k penduga bag parameter populas θ. Penduga t k (X ) ; = 1,2,,k dkatakan tdak bas jka dan hanya jka nla harapan (expected value) dar t k (X ) sama dengan parameter populas θ, dtuls : E{t k (X )} = θ. Defns 3.2 Bas dar t k (X ) = E{t k (X )} θ = b k (θ). Defns 3.3 Penduga t k (X ) dsebut tdak bas secara asmtots terhadap parameter populas (θ) jka dan hanya jka lm b k (θ) = 0, untuk k mendekat tak hngga (k ) Sebaga contoh perhatkan sampel random Y ; = 1, 2,,k berukuran k yang terdstrbus secara dentk dan bebas (ndependent), berdstrbus seragam dengan fungs padat peluang ddefnskan sebaga f Y (θ) = 1/ θ ; 0 < Y < θ. Sekarang ngn dduga parameter θ dengan suatu statstk Y max, atau Y mn yatu nla terbesar (terkecl) dar data amatan sampel random. Pertanyaannya adalah apakah Y max dan Y mn bas atau tdak bas bag parameter θ, bla bas dapatkah dtemukan penduga tak bas yang dturunkan dar penduga bas tersebut, serta bagamanakah bentuk fungs dstrbus dar penduga bas tu. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, pertama sekal dtentukan fungs probabltas dar Y max yatu : msalkan W = Y max dengan nla adalah u, sehngga fungs dstrbus kumulatf dar W adalah P(W u) = P(Y max u) = P(y 1 u, y 2 u,, y k u)..(1) Karena sampel random bersfat bebas (ndependent), maka pada (1) berlaku kadah P(W u) = P(Y max u) = P(y 1 u). P( y 2 u) P(y k u)..(2) perkalan ( Dudewcz dan Mshra, 1988), sehngga (1) dapat dtuls menjad : Perhatkan bahwa setap suku pada ruas kanan (2) merupakan fungs dstrbus kumulatf dar Y, dengan demkn (2) dapat dtuls menjad : M(u) = F(u). F(u)... F(u) = {F(u)} k dengan M(.) dan F(.) berturut-turut merupakan fungs m(u) = d/du {M(u)} = d/du {F (u)} k = k {F(u)} k-1 d/du{f(u)} = k {F(u)} k-1 f(u).(4) Dar f Y (θ) = 1/ θ ; 0 < y k < θ, dperoleh fungs dstrbus dar Y, yatu : y k F(y k ) = f(u) du = y k / θ ; 0 < (3) dstrbus dar W dan Y. Berdasarkan (3) dapat dtentukan fungs denstas dar u yatu : y k < θ.(5) 0 Sehngga bla (5) dsubsttuskan ke (4) dperoleh fungs denstas dar u yatu, m(u) = k (u/ θ) k 1. 1/ θ = (k u k 1 k ) / θ ; 0 < u < θ. (6) 51

4 Untuk melhat apakah statstk Y max bas bag parameter populas (θ), harus dtunjukkan nla θ θ E(W) = E(Y max ) = u m(u) du = 0 0 ternyata nla E(Y max ) θ, artnya Y max adalah estmator bas bag θ. Namun bersarkan kepada penduga yang bas n, dapat dmanpulas sehngga dperoleh penduga yang tdak bas bag θ, yatu dengan cara memkrkan suatu kuanttas satstk (T 1 ), sedemkan hngga E(T 1 ) = θ. Jad dengan mengambl T 1 = (k+1)y max / k, maka T 1 ekspektas dar Y max sama dengan θ, atau E(Y max ) = θ yatu : u (k u k 1 ) / θ k du = (k θ / k+1).(7) adalah penduga tak bas bag θ, karena E(T 1 ) = E {(k+1)y max / k} = θ. Dengan cara yang sama akan dtunjukkan Z = Y mn adalah penduga bas bag θ, yatu dengan memperlhatkan E(Z) θ. Fungs dstrbus dar Z adalah, P(Z z) = P(Y 1 > z, Y 2 > z,., Y k > z) = P(Y 1 > z). P(Y 2 > z)... P(Y k > z) 1 P(Z < z) ={1- P(Y 1 z) }. {1- P(Y 2 z)} {1- P(Y k z)}.(8) Sebut fungs dstrbus dar Z dan Y beturut-turut H(.) dan F(.), dengan demkan persamaan (8) dapat dtuls dalam bentuk, 1 H(z) ={1 F(z)} k.. (9) karena F(z) = z/ θ ; 0 < z < θ, maka persamaan (9) dapat dtuls menjad, 1 H(z) ={1 (z/ θ) } k.(10) dar pesamaan (10), dperoleh fungs denstas dar Z yatu, d/dz {1- H(z)} = d/dz {1 (z/ θ) } k - h(z) = k{1 z/ θ } k 1 (-1/ θ) h(z) = k/θ {1 z/ θ } k 1 ; 0 < z < θ.....(11) dengan menggunakan pesamaan (11) dperoleh nla harapan dar Z yatu, θ E(Z) = z k/θ {1 z/ θ } k 1 dz..(12) 0 dengan teknk substtus dan menerapkan fungs beta terhadap persamaan (12), dperoleh nla harapan Z yatu, E(Z) = θ/(k + 1) θ. Dar nla harapan Z n jelas Z = Y mn adalah penduga bas bag parameter populas (θ). Namun bla dambl T 2 = (k + 1) Z = (k + 1) Y mn, maka T 2 adalah penduga tak bas bag parameter populas (θ), karena E(T 2 ) = E { (k + 1) Z } = θ. Dar kasus d atas dapat dlhat bahwa dar setap penduga yang bas dapat dcptakan penduga takbas, hal n mengndkaskan penduga tak bas tersebut tdak tunggal. Karena ketdak tunggalan penduga tak bas tersebut dperlukan krtera bak yang lan untuk memlh penduga terbak. Krtera kedua dalam menentukan penduga yang bak adalah efsen. Efsens dua atau lebh penduga tak bas ddefnskan sebaga perbandngan relatf varans antara pendugapenduga tak bas tersebut Secara matemats defns n dapat dnyatakan sebaga berkut. Defns 3.4 Msalkan X ; = 1,2,, k sampel random berukuran k, dengan fungs padat peluang f(x θ) dketahu dan parameter populas (θ) tdak dketahu. Bla M 1 dan M 2 penduga tak 52

5 bas bag parameter populas (θ), dengan varans berturut-turut ζ 1 2 dan ζ 2 2, maka M 1 dkatakan lebh efsen dar M 2 jka dan hanya jka ζ 1 2 < ζ 2 2. Efsens relatf (E r ) M1 terhadap M 2 ddefnskan sebaga perbandngan antara ζ 2 2 dan ζ 1 2 atau dtuls sebaga E r = ζ 2 2 / ζ 1 2 dengan krtera sebaga berkut : (a). E r = ζ 2 2 / ζ 1 2 > 1 M 1 lebh efsen dar M 2 (b). E r = ζ 2 2 / ζ 1 2 = 1 M 1 dan M 2 memlk efsens yang sama (c). E r = ζ 2 2 / ζ 1 2 < 1 M 2 lebh efsen dar M 1 Sebaga lustras tentang efsens penduga tak bas n, d atas telah dperoleh dua penduga tak bas yatu, T 1 = (k+1)y max / k dan T 2 = (k + 1) Z = (k + 1) Y mn, untuk mengetahu efsens kedua penduga tak bas T 1 dan T 2, maka harus dcar perbandngan kedua varans T 2 dan T 1. Telah dketahu fungs denstas dar u dan z berturut-turut adalah, m(u) = (k u k 1 ) / θ k ; 0 <u< θ dan h(z) = k/θ {1 (z/ θ) } k 1 ; 0 < z < θ. Pertama sekal dhtung varans dar W atau Var (W) yatu, Var (W) = E(W 2 ) - {E(W)} 2...(13) θ E(W 2 ) = k / θ k u 2 u k 1 du = k θ 2 / (k + 2)..(14) 0 Bla persamaan (14) dan (7) dsubsttuskan ke persamaan (13) dperoleh, Var (W) = kθ 2 / (k + 2)(k + 1) 2.. (15) sehngga dengan menggunakan persamaan (15) dperoleh varans T 1 yatu, Var (T 1 ) = {(k + 1)/k} 2 Var (W) = θ 2 / k (k + 2).....(16) Dengan cara yang sama dapat dtentukan varans dar T 2 yatu, Var (T 2 ) = k θ 2 / (k +1)(k + 2). (17) Berdasarkan persamaan (16) dan (17) dperoleh efsens relatf penduga takbas T 1 dan T 2 yatu, Var (T 2 ) / Var (T 1 ) = {k θ 2 / (k +1)(k + 2) }{k(k + 2)/θ 2 } = k 2 / (k + 1)... (18) Berdasarkan defns 3.1dan persamaan (18) dperoleh kesmpulan berkut, (). T 2 lebh efsen dar T 1 bla k = 1 atau k < 1 (). T 1 lebh efsen dar T 2 bla k > 1. Dar lustras n terlhat bahwa efsens relatf dar penduga takbas tergantung kepada ukuran sampel (k). Bla terdapat dua atau lebh penduga takbas, penggunaan teknk efsens relatf n mungkn membosankan, karena varans semua penduga takbas harus dtentukan lalu membandngkannya satu persatu, pekerjaan n membutuhkan banyak waktu. Untuk mengatas persoalan n, Roussas (1976) mengusulkan suatu teknk dan prosedur menentukan efsens penduka takbas, yatu dengan mencar batas bawah varans penduga takbas tersebut, yang dkenal dengan batas bawah Cramer Rao (BBCR). Artnya apabla varans suatu penduga takbas mencapa BBCR suatu dstrbus, maka djamn penduga takbas tersebut memlk varans terkecl (mnmum) bla dbandngkan dengan semua penduga takbas dalam hmpunan yang memuat semua penduga takbas. Syarat perlu dan cukup untuk memperoleh BBCR suatu dstrbus adalah dpenuhnya syarat-syarat regulartas bag suatu dstrbus peubah random. Menurut Mood, dkk (1974), syarat-syarat regulartas bag suatu fungs denstas f(x θ) adalah, (). / θ log f(x θ) ada untuk setap x dan θ є Θ ruang parameter) ; = 1, 2, 3,,k k k 53

6 (). / θ Π f(x θ) dx = / θ Π f(x θ) dx = 1 = 1 k k (). / θ t(x ) Π f(x θ) dx = / θ t(x ) Π f(x θ) dx = 1 = 1 (v). 0 < E {[ / θ log f(x θ) ] 2 }<, untuk setap θ є Θ. Berdasarkan syarat-syarat regulartas d atas dapat dturunkan teorema tentang BBCR suatu dstrbus peubah random sepert yang dungkapkan dalam teorema 3.5 berkut. Teorema 3.5 Msalkan X ; = 1, 2, 3,, k sampel random berukuran k dengan fungs denstas f X (x θ), dan sebut T = t(x ) penduga takbas bag parameter populas (θ). Bla f X (x θ) memenuh syarat regulartas, khususnya, 2 / θ 2 f(x θ) dx = 2 / θ 2 f(x θ) dx, maka varans dar T akan memenuh, Var(T) 1 / k E [ / θ log f(x θ)] 2 = 1 / -k E [ 2 / θ 2 log f(x θ) ]....(19) Blangan ke[ / θ log f(x θ)] 2 = ki(θ) dalam (19) dsebut blangan nformas Fsher tentang parameter populas (θ) yang termuat dalam sampel random berukuran k. Selanjutnya akan dperlhatkan E [ / θ log f(x θ)] 2 = -E [ 2 / θ 2 log f(x θ), artnya dalam menentukan BBCR suatu dstrbus salah satu kuanttas tersebut dapat dgunakan. Msalkan Z = / θ log f(x θ) = 1/f(x θ) / θ f(x θ) = / θ f(x θ) / f(x θ)....(20) Bla dalam (20) turunan parsal pertama dar Z dambl terhadap θ maka dperoleh, Z/ θ = 2 / θ 2 f(x θ) / f(x θ) Z 2 atau 2 / θ 2 f(x θ) / f(x θ) = Z/ θ + Z 2...(21) Karena [ 2 / θ 2 f(x θ) / f(x θ)]. f(x θ) dx = E { 2 / θ 2 f(x θ) / f(x θ)} = 0, maka persamaan (21) dapat dtuls menjad E { 2 / θ 2 f(x θ) / f(x θ)}= E { Z/ θ + Z 2 } atau E{Z 2 } = -E{ Z/ θ}...(22) Berdasarkan persamaan (22) dapat dsmpulkan E [ / θ log f(x θ)] 2 = - E [ 2 / θ 2 log f(x θ) ]. Untuk memaham uraan d atas perhatkan kasus berkut, msalkan peubah random Y ; = 1, 2, 3,, k berdstrbus seragam, bersfat ndependent dan dentk dengan fungs denstas f Y (θ) = 1/ θ ; 0 < Y < θ BBCR bag Y ~ U(θ) dapat dtentukan dengan cara sebaga berkut : log f Y (θ) = log 1/ θ = log 1 log θ = - log θ / θ log f Y (θ) = -1/ (θ) dan 2 / θ 2 log f Y (θ) = 1/θ 2 E { 2 / θ 2 log f Y (θ)} = E(1/θ 2 ) = 1/θ 2 Sehngga BBCR bag Y adalah 1/ (-k/θ 2 ) = - θ 2 /k Dar persamaan (16) dan (17) telah dketahu bahwa T 1 dan T 2 adalah penduga takbas bag parameter θ dengan varans berturut-turut adalah, Var (T 1 ) = θ 2 / k (k + 2) dan Var (T 2 ) = k θ 2 / (k +1)(k + 2), ternyata bak nla varans T 1 dan T 2 tdak mencapa nla mnmum BBCR dar Y ~ U(θ). Hal n menunjukkan efsens relatf kedua penduga takbas T 1 dan T 2 hanya dapat dtentukan berdasarkan raso kedua varansnya sepert yang dtunjukkan pada persamaan (18). Krtera ketga bag suatu penduga adalah konsstens. Konsstens merupakan sfat asmtots suatu penduga (Rao, 1976), artnya penduga takbas dalam hmpunan penduga takbas dpandang sebaga suatu barsan yang dnotaskan sebaga T k. Defns 3.6 Penduga takbas T k = h(y 1, y 2,, y k ) dsebut konssten bag parameter populas (θ) bla T k konvergen secara stokastk (konvergen dalam probabltas) ke θ, yatu bla untuk setap ε > 0 dan δ > 0 terdapat k 0, yang tergantung kepada ε dan δ, sehngga untuk semua k > k 0 berakbat, P[ T k - θ < ε ] > 1 δ. Defns 3.6 n tdak dapat langsung dgunakan untuk memperlhatkan apakah suatu 54

7 penduga takbas bersfat konssten atau tdak. Oleh karena tu terlebh dahulu harus dpaham batas-batas probabltas dan ketdaksamaan Chebyshev (Ban dan Engelhardt1992). Teorema 3.7 Jka X peubah random dengan fungs denstas f(x) dan u(x) fungs bernla real non negatf, E[u(X)] = u(x) f(x) dx = u(x) f(x) dx + u(x) f(x) dx A maka untuk setap blangan postf c > 0, berlaku P[u(X) c ] E[u(X)] / c Bukt Msalkan A = {x u(x) c }, maka dapat dtuls (dalam kasus X peubah random kontnu) u(x) f(x) dx c f(x) dx = c P [X є A] = c P[u(X) c ]. A atau dapat dtuls menjad : P[u(X) c ] E[u(X)] / c (23) Teorema 3.8 Jka X peubah random dengan rataan μ dan varans ζ 2, maka untuk sembarang k > 0 berlaku, P[ X - μ kζ ] 1/w 2..(24) Bukt : Jka u(x) = (X μ) 2, dan c = w 2 ζ 2, maka dengan menggunakan (23) dperoleh, A c P[ (X - μ ) 2 w 2 ζ 2 ] E(X - μ ) 2 / w 2 ζ 2 = ζ 2 / w 2 ζ 2 = 1 / w 2. Karena X - μ wζ ekvalen dengan X μ + wζ dan X μ wζ, maka bentuk (24) dapat dtuls dalam bentuk P[ X - μ < wζ ] > 1-1/w 2...(25) Bla dalam (25) dambl ε = wζ, maka (25) dapat dtuls dalam bentuk, P[ X - μ < ε ] > 1 - ζ 2 / ε 2 atau P[ X - μ ε ] ζ 2 / ε 2....(26) Berdasakan teorema 3.8, agar suatu penduga takbas memenuh sfat konsstens yang ddasarkan kepada defns 3.6, harus dtunjukkan untuk k mendekat (k ) maka lm P[ T k - Berkut n dkemukakan suatu kasus untuk memaham pemakaan teorema 3.8.Telah dketahu T 1 = (k+1)y max / k dan T 2 = (k + 1) Z = (k + 1) Y mn adalah dua penduga tak bas bag parameter populas (θ), bla Y berdstrbus seragam dentk dan bebas dengan parameter populas (θ). Sekarang akan dtunjukkan bahwa θ < ε ] 1. Penduga yang memlk ketga krtera bak yatu takbas, efsen (varans mnmum), dan konssten dsebut penduga takbas seragam dengan varans mnmum. T 1 dan T 2 adalah penduga tak bas yang konssten bag parameter populas (θ). Pertama akan dtunjukkan T 1 adalah penduga takbas yang konssten bag θ. Berdasarkan pertdaksamaan (25) dperoleh, P[ T 1 - θ < w {θ 2 /k(k+2)}] > 1 1/w 2....(). Menurut defns 3.6, dapat dplh ε = w {θ 2 /k(k+2)} atau 1/w 2 = θ 2 /(ε 2 k(k+2))....(). Substtuskan persamaan () ke dalam pertdaksamaan () dperoleh, P[ T 1 - θ < ε ] > 1 θ 2 /{ε 2 k(k+2)} (). Bla kedua ruas petdaksamaan () dambl lmtnya masng-masng untuk k, maka akan dperoleh, lm P[ T 1 - θ < ε ] 1. (v). 55

8 Pertdaksamaan (v) mengndkaskan bahwa penduga tak bas T 1 konssten bag parameter populas (θ). IV. KESIMPULAN Msalkan (). X ; = 1,2,3, k sampel random berukuran k dengan fungs padat peluang f(x θ) dan θ adalah parameter populas yang nlanya tdak dketahu. (). T = t (x ) statstk sebaga estmator (penduga) bag θ. Bla T adalah penduga terbak bag θ, maka T harus memenuh krtera berkut, 1. Tdak bas bag θ, yatu nla harapan dar T = θ atau E(T) = θ. 2. Efsen, artnya apabla T 1 dan T 2 adalah dua penduga tdakbas bag θ, dan bla Var(T 1 ) < Var(T 2 ), maka T 1 lebh efsen dar T Bla fungs padat peluang dar X memenuh syarat-syarat regulartas, maka batas bawah Cramer-Rao dapat dgunakan sebaga ndkator untuk menentukan penduga yang palng efsen. 4. Karena penduga takbas bersfat tdak tunggal, maka penduga takbas tersebut dapat dpandang sebaga suatu barsan. Penduga yang bak adalah apabla barsan penduga ( T k ) bersfat konssten, yatu apabla barsan penduga ( T k ) memenuh lm P[ T k - θ < ε ] 1, untuk k dan setap ε > Bla suatu penduga memlk ketga krtera tersebut, maka penduga tu dsebut penduga takbas seragam dengan varans mnmu Dengan cara yang sama dapat dtunjukkan bahwa T 2 juga merupakan penduga takbas yang konsten bag parameter populas (θ). DAFTAR PUSTAKA Ban L.J. dan Engelhardt, M.,1992, Introducton to Probablty and Mathematcal Statstcs, Duxbury Press, Belmont Calforna. Dudewcz E.J. dan Mshra S.N., 1988, Modern Mathematcal Statstcs, John Wley & Sons, New York. Had S., 1981, Metodolog Research, Unverstas Gajahmada, Yogyakarta. Mood A.M., Graybll F.A.,dan Boes D.C., 1984, Introducton To The Theory Of Statstcs, Eds ke tga, Kwan Yee Bndery Co., Sngapore. Rao C.R., 1973, Lnear Statstcal Inference and Its Applcatons, John Wley & Sons, Tape, Tawan. Roussas G.G., A Frst Course In Mathematcal Statstcs, Me Ya Publcatons, Inc., Tape, Tawan 57