Aljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2

Transkripsi

1 30/8/2014 1

2 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2

3 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan Koordinat Matriks Ruang Baris dan Ruang Kolom Matriks Kompleksifikasi Ruang Vektor 30/8/2014 3

4 Materi Kuliah 2 Ruang Vektor Subruang Vektor Subruang Lattice 30/8/2014 4

5 Ruang Vektor Definisi Misalkan F lapangan, yang unsur-unsur disebut skalar-skalar. Suatu ruang vektor atas F adalah himpunan tak kosong V, yang unsur-unsurnya disebut vektor-vektor, bersama dengan dua operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian skalar ( ), yaitu: Untuk setiap pasangan (u, v) V V dari vektor-vektor pada V, maka vektor u + v di V. Untuk setiap pasangan (r, v) F V, maka vektor rv di V. Dan memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (Assosiatif di penjumlahan), u + v + w = u + v + w untuk setiap u, v, w V. (Komutatif di penjumlahan), u + v = v + u untuk setiap u, v V. (Eksistensi unsur nol (identitas)), Terdapat vektor 0 V yang memenuhi 0 + u = u + 0 untuk setiap u V. (Eksistensi unsur invers di penjumlahan), untuk setiap u V terdapat vektor u V dengan sifat u + u = u + u = 0. (Sifat-sifat perkalian skalar), untuk setiap r, s F berlaku: r u + v = ru + rv r + s u = ru + su rs u = r su 1u = u 30/8/ untuk setiap u, v V.

6 Catatan. Empat sifat pertama dalam definisi ruang vektor menyatakan bahwa V adalah group abelian. Sifat tertutup terhadap + dan terhadap juga merupakan bagian dari pembuktian jika membuktikan suatu himpunan atas suatu lapangan adalah ruang vector. Suatu ruang vector atas lapangan F disebut ruang F. Suatu ruang vector atas lapangan riel disebut ruang vector riel. Suatu ruang vector atas lapangan kompleks disebut ruang vector kompleks. 30/8/2014 6

7 Contoh Contoh Misalkan F lapangan dan F himpunan semua fungsi dari F ke F. Maka F adalah ruang vektor atas F, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar fungsi biasa f + g x = f x + g(x) rf x = r(f(x) 2. Himpunan M m,n F adalah ruang vektor atas F dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar matriks. 3. Himpunan semua n tupple terurut, F n, yaitu komponen-komponen yang berada di F, adalah ruang vektor atas F dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut: a 1, a 2,, a n + b 1, b 2,, b n = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) dan r a 1, a 2,, a n = ra 1, ra 2,, ra n 4. Terdapat berbagai barisan ruang yang merupakan ruang vektor. Himpunan semua barisan tak hingga, yang unsur-unsurnya berada di F, adalah ruang vektor dengan operasi komponen: s n + t n = (s n + t n ) dan r s n = (rs n ) 30/8/2014 7

8 Catatan: Unsur-unsur F n juga ditulis dalam bentuk kolom. Jika F lapangan berhingga, F q, lapangan dengan q unsur, digunakan notasi V n, q, yaitu V n, q adalah himpunan semua n tupples berhingga, yang mempunyai komponen-komponen yang berasal dari lapangan berhingga F q 30/8/2014 8

9 Subruang Vektor Definisi Himpunan S V adalah subruang dari ruang vektor V jika S dengan operasi yang sama dengan V juga membentuk ruang vektor. Teorema 1.1 Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Himpunan tak kosong S V adalah subruang dari V jika dan hanya jika S tertutup terhadap penjumlahan, yaitu jika u, v S maka u + v S. S tertutup terhadap perkalian skalar, yaitu jika r F dan u V maka ru S. 30/8/2014 9

10 Bukti Teorema 1.1 Diketahui V ruang vector atas lapangan F, S, S V dan S subruang dari V. Akan dibuktikan (1) dan (2) Diketahui V ruang vector atas lapangan F, S, S V dan pernyataan (1) dan (2). Akan dibuktikan S subruang dari V. Teorema 1.1 ini ekivalen dengan Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Himpunan tak kosong S V adalah subruang dari V jika dan hanya jika r, s F, u, v S maka ru + sv S. 30/8/

11 Contoh 1. Perhatikan ruang vektor V(n, 2), yaitu himpunan semua n tupple biner. Bobot W(v) dari vektor v V(n, 2) adalah jumlah koordinat tak nol dalam vektor v. Sebagai contoh, W(101010) = 3. Misalkan E n himpunan semua vektor-vektor di V yang bobotnya genap. Maka E n subruang dari V(n, 2). (Catatan: W u + v = W u + W v 2W(u v), denganw(u v) adalah vector di V(n, 2) yang koordinatnya adalah hasilkali komponen u dan v, yaitu (u v) i = u i. v i 2. Sebarang subruang dari ruang vector V(n, q) disebut kode linier. 30/8/

12 Subruang Lattice Pada bagian ini akan dibahas mengenai subruang-subruang yang ada pada suatu ruang vektor dan sifat-sifatnya. Diingat kembali beberapa definisi yang diperlukan, seperti : Himpunan terurut parsial (sebagian) batas atas batas atas terkecil batas bawah batas bawah terbesar 30/8/

13 Misalkan V ruang vektor atas lapangan F dans(v) adalah himpunan semua semua subruang dari V yang terurut sebagian. Subruang nol 0 adalah unsur terkecil dalam S(V) dan seluruh ruang V adalah unsur terbesar. Jika S, T S(V), maka S T subruang terbesar dari V yang termuat dalam S dan T. Oleh karena itu, dalam S(V) batas bawah terbesar dari S dan T adalah glb S, T = S T Jika S i i K adalah sebarang koleksi subruang dari V, maka i K S i adalah subruang dari V dan batas bawah terbesar dari S i adalah glb S i = i K S i 30/8/

14 Jika S, T S(V) maka S T S(V) jika dan hanya jika S T atau T S. Dengan demikian gabungan subruang tidak pernah menjadi subruang. Teorema 1.2 Suatu ruang vektor V atas lapangan tak hingga F tidak pernah merupakan gabungan dari sejumlah berhingga subruang sejati. 30/8/

15 Bukti: Misalkan V = S 1 S 2 S n dan asumsikan S 1 S 2 S n. Misalkan w S 1 (S 2 S n ) dan v S 1. Perhatikan himpunan tak hingga A = w + rv r F (Ini adalah garis yang melalui w dan parallel ke v) Akan ditunjukkan bahwa setiap S i memuat sekurang-kurangnya satu vektor dari himpunan tak hingga A. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa V = S 1 S 2 S n dan hal ini akan menjadi bukti teorema ini. Misalkan w + rv S 1 untuk r 0. Kemudian karena w S 1, diperoleh rv S 1 atau v S 1, (karena S 1 subruang) hal ini bertentangan dengan asumsi. Selanjutnya, misalkan w + r 1 v, w + r 2 v S i untuk i 2, di mana r 1 r 2. Jadi S 1 r 2 w + r 1 v r 1 w + r 2 v = r 2 r 1 w Sehingga w S i. Kontrakdiksi dengan asumsi. 30/8/

16 Definisi Misalkan V ruang vektor atas lapangan F dan S, T subruang dari V. Himpunan S + T adalah himpunan semua penjumlahan vektor S dan T, yaitu: S + T = u + v u S, v T Lebih umum, Misalkan S i i K koleksi semua subruang di V. Himpunan semua jumlah berhingga vektor dari gabungan S i, yaitu i K S i = s 1 + s s n s i i K S i Sifat 1. i K S i = s 1 + s s n s i i K S i adalah subruang dari V. 2. lub S i = i K S i 30/8/

17 Catatan: Himpunan terurut parsial P di mana setiap unsurnya mempunyai batas atas terkecil dan batas bawah terbesar disebut maka P disebut lattice. Jika P mempunyai unsur terkecil dan unsur terbesar dan mempunyai sifat bahwa setiap koleksi dari unsur-unsurnya mempunyai batas atas terkecil dan batas bawah terbesar, maka P disebut lattice komplit. Batas atas terkecil dari koleksi tersebut disebut join dan batas bawah terbesar dari koleksi disebut meet. 30/8/

18 Teorema 1.3 Himpunan semua subruang dari ruang vektor V, S(V), adalah lattice komplit pada himpunan inklusi/bercantum, dengan unsur terkecil adalah {0}, unsur terbesar V, dengan meet glb{s, T} = S T dan join lub S, T = S + T. 30/8/