Latar Belaang Terdapat banya permasalahan atau ejadian dalam ehidupan sehari hari yang dapat dimodelan dengan suatu proses stoasti Proses stoasti merupaan permasalahan yang beraitan dengan suatu aturan-aturan peluang, dengan ata lain perilau proses stoasti pada watu yang aan datang tida dapat dipredisian dengan tepat Permasalahan sederhana yang ita jumpai dalam ehidupan seharihari seperti proses pelayanan pelanggan pada suatu pusat servis merupaan salah satu bentu dari model stoasti yang cuup menari untu dipelajari Proses stoasti dibedaan menjadi dua yaitu proses stoasti dengan watu disret dan proses stoasti dengan watu ontinu Dalam arya ilmiah ini aan di bahas proses stoasti dengan watu ontinu Salah satu bentu husus dari proses stoasti dengan watu ontinu adalah proses Poisson periodi Proses Poisson periodi dapat digunaan untu memodelan proses edatangan pelanggan pada suatu pusat servis dengan periode satu hari Pada proses edatangan pelanggan PENDAHULUAN tersebut, fungsi intensitas (loal) λ ( s) menyataan laju edatangan pelanggan pada watu s Jia laju edatangan pelanggan tersebut meningat secara linear terhadap watu maa ita dapat memodelannya dengan suatu proses Poisson periodi dengan tren linear Pada arya ilmiah ini aan dipelajari penentuan sifat-sifat statistia dari suatu penduga ernel dari suatu intensitas (loal) pada proses Poisson periodi dengan tren linear Tujuan Tujuan dari penulisan arya ilmiah ini yaitu untu : (i) Mempelajari buti eonvergenan mean square error (MSE) penduga menuju nol jia panjang interval pengamatannya menuju ta hingga (ii) Mempelajari penentuan aprosimasi asimtoti bagi bias penduga (iii) Mempelajari penentuan aprosimasi asimtoti bagi ragam penduga (iv) Mempelajari penentuan aprosimasi MSE bagi penduga (v) Mempelajari penentuan laju eonsistenan penduga tersebut LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang (Walpole, 995) Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui pengulangan percobaan yang dilauan dalam ondisi yang sama Dalam banya asus, hasil percobaan tersebut bergantung pada fator ebetulan dan tida dapat dipredisian dengan tepat Tetapi, ita bisa mengetahui semua emunginan hasil untu setiap percobaan Definisi [Ruang Contoh] Himpunan semua emunginan hasil dari suatu percobaan disebut ruang contoh dan dilambangan dengan Ω (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi [Kejadian] Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 3 [Kejadian Saling Lepas] Dua ejadian A dan B diataan saling lepas jia A B = Ø ; artinya A dan B tida memilii unsur perseutuan Definisi 4 [Medan-σ ] Medan-σ adalah himpunan Y yang anggotanya merupaan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat beriut : (a) Ø Y (b) Jia (c) Jia A, Y maa U Y A A Y maa A Y c A i i= Medan-σ di atas disebut medan Borel jia Ω = ( 0,], dan anggotanya disebut himpunan Borel (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 5 [ Uuran Peluang ] Uuran peluang P pada (Ω,Y ) adalah suatu fungsi P : Y [ 0, ] yang memenuhi (a) P(Ø) = 0, P ( Ω ) = (b) Jia A, A, adalah himpunan anggotaanggota Y yang saling lepas,
yaitu A i A = Ø untu semua pasangan i, j, dengan i j j, maa: P = P U A i ( A i ) i= i= Pasangan ( Ω, Y, P) yang terdiri atas himpunan Ω, medan-σ Y yang anggotanya merupaan himpunan bagian dari Ω, dan suatu uuran peluang P pada ( Ω,Y ) disebut ruang peluang (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 6 [Kejadian Saling Bebas] Kejadian-ejadian A dan B diataan saling bebas jia : P ( A B) = P ( A ) P ( B) Secara umum, { A i ; i I} diataan saling bebas jia: P = P ( ) I A i Ai i J i J untu semua himpunan bagian terbatas J dari I (Grimmett and Stirzaer, 99) Peubah Aca dan Fungsi Sebaran Definisi 7 [Peubah Aca] Peubah aca adalah suatu fungsi X : Ω R dengan sifat bahwa { ω Ω : X ( ω) x} Y untu setiap x R (Grimmett and Stirzaer, 99) Untu menotasian peubah aca biasanya digunaan huruf apital seperti X, Y, Z Sedangan untu menotasian nilai dari suatu peubah aca digunaan huruf ecil seperti x, y, z Setiap peubah aca memilii fungsi sebaran (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 8 [Fungsi Sebaran] Fungsi sebaran dari peubah aca X adalah fungsi F X : R [ 0, ] yang diberian oleh F X ( x) = P ( X x) (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 9 [Peubah Aca Disret] Peubah aca X disebut disret jia nilainilainya merupaan himpunan bagian terhitung { x, x, } dari R (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi 0 [Fungsi Kerapatan Peluang] Fungsi erapatan peluang dari peubah aca disret X adalah fungsi p : R [ 0,] yang diberian oleh p X ( x) = P ( X = x) (Grimmett and Stirzaer, 99) Definisi [Peubah Aca Poisson] Jia suatu peubah aca X nilai-nilainya dalam himpunan { 0,,, } dengan fungsi erapatan peluang λ λ p X ( ) = P ( X = ) = e, = 0,! dengan λ > 0, maa X diataan memilii sebaran Poisson dengan parameter λ (Grimmett and Stirzaer, 99) Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi [Nilai Harapan, Momen, Ragam] Misalan X adalah peubah aca disret dengan fungsi erapatan peluang p (x), nilai harapan dari peubah aca X adalah Ε( X ) = xp( x) Momen e-, dengan merupaan bilangan bulat positif, dari suatu peubah aca X adalah m = Ε( X ) Misalan momen e-, Ε( X ) = µ maa momen pusat e- atau σ dari peubah aca X adalah σ [( ) ] = Ε X µ Nilai harapan dari peubah aca X merupaan momen pertama dari X, sedangan ragam merupaan momen pusat e- dari peubah aca X Ragam (Variance) dari X, dan dilambangan dengan Var ( X ) atau σ x adalah nilai harapan dari uadrat perbedaan antara peubah aca X dengan nilai harapannya, yaitu Var X = Ε X Ε X ( ) ( ( )) = Ε = Ε x [ ] ( X XΕX + ( ΕX ) ) ( X ) ( ΕX ) + ( Ε X ) [ Ε ] X = ΕX Definisi 3 [Fungsi Indiator] Misalan A adalah suatu ejadian Fungsi Indiator dari A adalah suatu fungsi I : Ω 0,, [ ]
yang diberian oleh :, jia ω A I( A) = 0, jia ω A (Grimmett and Stirzaer, 99) Keonvergenan Peubah Aca Definisi 4 [Keonvergenan Peubah Aca dalam Peluang] Misalan X, X, X adalah suatu peubah aca pada suatu ruang peluang ( Ω,Y, P) Kita ataan bahwa barisan peubah aca X onvergen dalam peluang e X, n P dinotasian X n X, jia untu setiap ε > 0, P ( X n X > ε ) 0, untu n (Grimmett and Stirzaer, 99) Penduga Definisi 5 [Statisti] Statisti adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah aca yang tida bergantung pada satu atau beberapa parameter Definisi 6 [Penduga] Misalan X, X, X n adalah suatu peubah aca Suatu statisti U = U ( X, X, X n ) = U ( X ) yang digunaan untu menduga fungsi g θ, diataan sebagai parameter ( ) penduga (estimator) bagi g ( θ ), yang dilambangan oleh ĝ ( θ ) Nilai ( n ) U X, X, X dari U dengan nilai amatan X = x, X = x,, X n = xn disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g ( θ ) Definisi 7 [Penduga Ta Bias] (a) Suatu statisti U (X ) yang nilai harapannya sama dengan parameter θ Ε U X = g θ g ( ), ditulisan [ ( )] ( ) disebut penduga ta bias bagi g ( θ ) Selainnya, statisti diataan berbias lim Ε U X = g θ, maa penduga (b) Jia [ ( )] ( ) n U (X ) disebut penduga ta bias asimtoti Definisi 8 [Penduga Konsisten] Suatu statisti U (X ) yang onvergen dalam peluang e suatu parameter g ( θ ), disebut penduga onsisten bagi g ( θ ) Definisi 9 [MSE suatu Penduga] Mean Square Error (MSE) adalah rataan uadrat error dari suatu penduga U bagi parameter g θ yang didefinisian sebagai beriut ( ) ( ) = E( U g( = E( U EU + EU g( MSE U = E( U EU ) = E( U EU ) = Var( U ) + ( bias( U )) bias U = ΕU g θ + ( EU g( dengan ( ) ( ) + E( U EU )( EU g + ( EU g( ( θ ) Proses Stoasti Definisi 0 [Proses Stoasti] Proses stoasti X = { X( t), t T } adalah suatu himpunan dari peubah aca yang memetaan suatu ruang contoh Ω e suatu ruang state S (Ross, 996) Dengan demiian, X ( t) merupaan suatu peubah aca untu setiap t pada himpunan indes T, dengan t merupaan interpretasi dari watu dan X ( t) ita sebut sebagai eadaan (state) dari proses pada watu t Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya) Definisi [Proses Stoasti dengan Watu ontinu] Suatu proses stoasti X disebut proses stoasti dengan watu ontinu jia T adalah suatu interval (Ross, 996) Definisi [Inremen Bebas] Suatu proses stoasti dengan watu ontinu { X ( t), t T} disebut memilii inremen bebas jia untu semua t0 < t < t < < tn, peubah aca X ( t0 ) X ( t ), X ( t ) X ( t ),, X ( tn ) X ( tn ) adalah bebas (Ross, 996) Dengan ata lain, suatu proses stoasti dengan watu ontinu X disebut memilii inremen 3
bebas jia proses berubahnya nilai pada interval watu yang tida tumpang tindih (tida overlap) adalah bebas Definisi 3 [Inremen Stasioner] Suatu proses stoasti dengaan watu ontinu { X () t, t T} disebut memilii inremen stasioner jia X ( t + s) X ( t) memilii sebaran yang sama untu semua nilai t (Ross, 996) Dengan ata lain, suatu proses stoasti dengan watu ontinu X disebut memilii inremen stasioner jia sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titi hanya tergantung pada jara antara edua titi tersebut, dan tida bergantung pada loasi titi-titi tersebut Proses Poisson Proses Poisson merupaan salah satu bentu husus dari proses stoasti dengan watu ontinu Untu proses Poisson, ecuali dinyataan secara husus, ita anggap bahwa himpunan indes T adalah interval bilangan nyata ta negatif, yaitu [ 0, ) Definisi 4 [Proses Pencacahan] Suatu proses stoasti { N() t, t T} disebut proses pencacahan jia N() t menyataan banyanya ejadian yang telah terjadi sampai watu t Proses pencacahan N ( t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriut : (i) N () t 0 untu semua t [ 0, ) (ii) Nilai N() t adalah integer (iii) Jia s < t maa N() s N() t (iv) Untu s < t maa N() t N( s), sama dengan banyanya ejadian yang terjadi pada selang [ s, t] (Ross, 000) Definisi 5 [Proses Poisson] Suatu proses pencacahan { N ( t), t 0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jia dipenuhi tiga syarat beriut (i) N() 0 = 0 (ii) Proses tersebut memilii inremen bebas (iii) Banyanya ejadian pada sembarang interval watu dengan panjang t, memilii sebaran Poisson dengan rataan (mean) λ t Jadi untu semua t,s > 0, λt ( λ t) e P( N( t + s) N( s) = ) =, = 0,,! Dari syarat (iii) bisa ita etahui bahwa proses Poisson memilii inremen yang stasioner Dari syarat ini juga ita peroleh bahwa E ( ( t) ) N = λ t, yang juga menjelasan enapa λ disebut laju dari proses tersebut (Ross, 000) Definisi 6 [Proses Poisson Homogen] Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupaan onstanta untu semua watu t (Ross, 000) Definisi 7 [Proses Poisson Ta Homogen] Proses Poisson ta homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju λ pada sembarang watu t yang merupaan fungsi ta onstan dari t yaitu λ ( t) (Ross, 000) Definisi 8 [Intensitas Loal] Intensitas loal dari suatu proses Poisson ta homogen X dengan fungsi intensitas λ pada titi s R adalah λ( s), yaitu nilai fungsi λ di s Definisi 9 [Fungsi Periodi] Suatu fungsi λ disebut periodi jia λ ( s + τ ) = λ( s) untu semua s R dan Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat Konstanta terecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut (Browder, 996) Definisi 30 [Proses Poisson Periodi] Proses Poisson Periodi adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodi (Dudley, 989) Beberapa Definisi dan Lema Tenis Definisi 3 [Fungsi Terintegralan Loal] Fungsi intensitas λ diataan terintegralan loal, jia untu sembarang himpunan Borel terbatas B ita peroleh µ ( B) = λ( s) ds < B (Dudley, 989) 4
Definisi 3 [ ( ()) O ] Simbol big-oh ini merupaan cara untu membandingan besarnya dua fungsi u ( x) dan v( x) dengan x menuju suatu limit L Notasi u( x) = O( v( x) ), x L, u menyataan bahwa ( x ) v( x) x L terbatas, untu (Serfling, 980) Definisi 33 [o(h)] Suau fungsi f disebut o(h), h 0, jia f ( h) lim = 0 h 0 h Hal ini berarti f ( h) 0 lebih cepat dari h 0 (Ross, 000) Dengan menggunaan Definisi 3 dan 33 ita peroleh hal beriut a (i) Suatu barisan bilangan nyata { } n disebut terbatas dan ditulis a n = O( ) untu n, jia ada bilangan terhingga A dan B sehingga B < an < A untu semua bilangan asli n (ii) Suatu barisan { b n } yang onvergen e nol untu n adang ala ditulis b n = o() untu n (Purcell and Varberg, 998) Definisi 34 [Titi Lebesgue] Suatu titi s diataan titi Lebesgue dari λ jia lim h 0 h s+ h s h ( u) λ( s) du = 0 λ (Wheeden and Zygmund, 977) Lema [Ketasamaan Cauchy-Schwarz] Jia X dan Y adalah peubah aca dengan momen edua terbatas maa [ XY ] E[ X ] E[ Y ] E dan aan bernilai sama dengan jia dan hanya jia P ( X = 0 ) = atau Ρ ( Y = ax ) = untu suatu onstanta a Buti : Lihat Lampiran Lema [Formula Young dari Teorema Taylor] Misalan g memilii turunan e-n yang terhingga pada suatu titi x Maa n g ( ) ( ) ( x) ( y x ) g y = g x +! + o untu y x n ( y x ) = Buti : lihat Serfling (980) Lema 3 [Pertidasamaan Chebyshev] Jia X adalah peubah aca dengan rataan µ dan ragam σ, maa untu setiap > 0, σ P{ X µ } (Helms, 996) Buti : lihat Lampiran HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga dengan λ c ( s) adalah fungsi periodi dengan Misalan N adalah proses Poisson periode (dietahui) τ > 0 dan a menyataan pada interval [ 0, ) dengan fungsi emiringan tren linear Karena λ c () s adalah intensitas λ () s (tida dietahui) yang fungsi periodi maa memenuhi persamaan diasumsian memilii dua omponen, beriut : yaitu omponen periodi atau sili λ c ( s + τ ) = λ c ( s) () dengan periode (dietahui) τ > 0 dan untu setiap s [ 0, ) dan Z, dengan Z omponen tren linear yang tida dietahui Dengan ata lain untu sembarang adalah himpunan bilangan bulat Karena λ c ( s) s [ 0, ) fungsi intensitas λ ( s) dapat adalah fungsi periodi dengan periode τ maa ditulisan sebagai beriut : untu menduga λ c( s) pada s [ 0, ) cuup λ () s = λc () s + as () diduga nilai λ s pada s [ 0,τ ) 5 c ( )