Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik P k (x k, y k ) dan bentuklah jumlah :

Transkripsi

1 INTEGAL GANDA Integral untu ungsi satu variable ita membentu suatu partisi dari interval [ab] menjadi interval-interval ang panjangna Δ = 3.n b a d lim n n Dengan cara ang sama Kita deinisian integral untu ungsi dua variable. Misalan ungsi z = dideinisian pada suatu daerah tertutup di bidang o. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah ang masing-masing luasna A A A 3 An

2 Dalam setiap sub daerah pilih suatu titi P dan bentulah jumlah : Jia jumlah sub daerah main besar n maa integral rangap lipat dua dari ungsi atas daerah dideinisian : A A A A n n n n... n n A lim

3 Untu menghitung integral lipat dua dapat digunaan integral berulang ang ditulis dalam bentu : a. b dd d d a dimana integral ang ada dalam urung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel onstanta emudian hasilna diintegral embali terhadap.

4 b. b dd dimana integral ang ada dalam urung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable onstanta emudian hasilna diintegral embali terhadap. Jia integral lipat dua diatas ada maa a dan b secara umum aan memberian hasil ang sama. a d d

5 INTEGAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PESEGI PANJANG Bentu umum : dd dimana : = { ; a b c d } abc dan d adalah onstanta c d a b

6 Contoh :. 0 dd dd 3 dd sin r cos ddr

7 INTEGAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PESEGI PANJANG dimana : = { ; a b } d. b a d a

8 dimana : = { ; c d } d. d c d b

9 Contoh. 0 3 dd dd 3. 0 dd 4. sin cos drd

10 APLIKASI INTEGAL LIPAT DUA Apliasi integral lipat dua ang bentu umumna : dapat dijelasan sbb :. LUAS Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jia = sehingga integral lipat dua menjadi : A atau A dd dd

11 Dalam oordinat polar : contoh :. Hitung luas daerah ang dibatasi oleh = 0 + = dan = + 4. Hitunglah luas daerah ang dibatasi oleh parabola-parabola : = 4 dan = Hitung : A A dengan adalah daerah diuadran pertama ang berada diluar lingaran r= dan di dalam ardioda r = +cos ѳ d d

12 . VOLUME Jia z= adalah persamaan permuaan maa: V dd adalah volume benda antara permuaan dan bidang o. Contoh : Hitung volume benda ang dibatasi oleh selinder + = 4 dan bidang-bidang + z = 4 dan z = 0

13 3. Massa Jia dipandang sebagai massa jenis massa persatuan luas maa : dd merupaan massa dari benda itu. contoh : Sebuah lamina pelat tipis dengan erapatan = dibatasi oleh sumbu garis = dan urva = 3 Tentuan massa totalna.

14 4. Pusat Massa Jia merupaan massa jenis dari lamina pelat tipis maa pusat massana : adalah sbb : M M Y S S M M X S S Contoh : Tentuan pusat massa dari lamina ang mempunai Kerapatan = dan dibatasi oleh sumbu garis = dan urva = 3

15 5. Momen Inersia Momen Inersia dari pelat tipis ang mempunai Kerapatan terhadap sumbu dan sumbu adalah : Sedangan momen inersia terhadap sumbu z titi asal : Contoh : I.. Tentuan momen inersia terhadap sumbu dan z Untu lamina ang mempunai erapatan dan dibatasi sumbu garis = dan urva = 3 I.. I I I.. Z

16 INTEGAL LIPAT TIGA Integral lipat tiga z dv dari suatu ungsi tiga variabel bebas thd. daerah dimana ungsi bernilai tunggal dan ontinu merupaan suatu pengembangan dari integral tunggal dan integral lipat dua. Jia z = maa integral menjadi : z dv dv volume daerah dapat diartian penguuran

17 Dalam oordinat tega lurus integral tersebut dapat dinataan dalam bentu : z dv z z zdzdd dimana : z z z

18 Contoh : z dzdd z dzdd z dzdd z dzdd