PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO

Transkripsi

1 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR BARAT 06

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyataan bahwa tesis berjudul Pendeatan Asimtoti untu Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Majemu dengan Tren Linear adalah benar arya saya dengan arahan dari omisi pembimbing dan belum diajuan dalam bentu apa pun epada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau diutip dari arya yang diterbitan maupun tida diterbitan dari penulis lain telah disebutan dalam tes dan dicantuman dalam Daftar Pustaa di bagian ahir tesis ini. Dengan ini saya melimpahan ha cipta dari arya tulis saya epada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 06 Bonno Andri Wibowo NIM G

3 Ringasan BONNO ANDRI WIBOWO. Pendeatan Asimtoti untu Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Periodi Majemu dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI. Proses stoasti mempunyai peranan penting dalam memodelan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentu husus dari proses stoasti adalah proses Poisson majemu. Banya fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelan sebagai suatu proses Poisson majemu, antara lain fenomena di bidang asuransi dan euangan, fisia, demografi, geologi, serta biologi. Pengembangan model proses Poisson majemu telah dimulai dengan menggunaan model proses Poisson periodi majemu. Penelitian terahir dengan menambahan tren linear pada model tersebut. Hasil terahirnya diperoleh penduga yang onsisten (lemah) bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu dengan tren linear. Penelitian lanjutan ini memilii dua tujuan, yaitu: () Menentuan pendeatan asimtoti untu bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu dengan tren linear; () Meneliti eauratan pendeatan asimtoti untu bias dan ragam penduga untu asus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangitan. Misalan {N(t), t 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralan loal (tida dietahui) λ. Kita asumsian λ mempunyai dua omponen, sebuah omponen periodi λ c dengan periode (dietahui) τ > 0 dan sebuah omponen tren linear. Dengan ata lain, untu setiap s > 0, fungsi intensitas λ dapat ditulisan sebagai beriut: λ(s) λ c (s) + as, dengan λ c (s) adalah sebuah fungsi periodi dengan periode τ dan a melambangan emiringan dari tren linear dengan a > 0. Kita tida mengasumsian bentu parametri apapun dari λ c ecuali bentu periodi yang dapat ditulis sebagai beriut: λ c (s) λ c (s + τ) untu setiap s 0 dan N, dengan N menyataan himpunan bilangan asli. Misalan {Y(t), t 0} adalah suatu proses dengan N(t) Y(t) i X i di mana {X i, i } adalah barisan peubah aca yang independent and identically distributed dengan nilai harapan μ < dan ragam σ <, yang juga bebas terhadap {N(t), t 0 }. Nilai harapan dari Y(t) adalah dengan ψ(t) E[Y(t)] ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ t,τ t τ, dan t r t t,τ τ, t Λ c (t) λ c (s) ds, 0

4 θ τ Λ c(τ) dimana untu setiap bilangan real x, x melambangan bilangan bulat terbesar yang urang dari atau sama dengan x. θ merupaan fungsi intensitas dari proses {N(t), t 0}. Diasumsian θ > 0. Misalan untu suatu ω Ω, suatu realisasi tunggal N(ω) dari proses {N(t), t 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, F,P) diamati pada suatu interval terbatas [0, n]. Selanjutnya, untu setiap titi data pada realisasi N(ω) [0, n] yang diamati, misalan titi data e-i, i,,..., N[0, n], peubah aca X i yang bersesuaian juga diamati. Misalan n,τ n, penduga bagi fungsi nilai harapan ψ(t) dirumusan τ sebagai beriut: t ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) μ n, dengan dan Λ c,n (t r ) θ n a n N[0,n] n, n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) μ n N([0,n]) X N([0,n]) i i, a n ( n,ττ ln( n,τ ) τ ), a n ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r t r τ) dengan μ n 0 saat N([0, n]) 0 berimpliasi ψ n(t) 0 saat N([0, n]) 0. Bias asimtoti penduga adalah bias[ψ n(t)] t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) dan ragam asimtoti penduga adalah + o ( ) ln( n,τ ) ), var[ψ n(t)] μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ γλ c (t r ) + aγ(t r τt r ))) + o ( ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ) ψ(t) ( μ t,ττ(θγ aτγ) + ) ln( n,τ ) untu n. Simulasi model memberian visualisasi mengenai proses Poisson periodi majemu dengan tren linear. Bias dan ragam penduga aan semain menuju 0 seiring memanjangnya interval pengamatan. Kata unci: Bias dan ragam penduga, fungsi nilai harapan, pendeatan asimtoti, proses Poisson periodi majemu, tren linear.

5 Summary BONNO ANDRI WIBOWO. Asymptotic Approximations to the Bias and Variance of an Estimator for the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI. A stochastic process has an important role in modeling various real phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson process model have been extended by using compound cyclic Poisson process model. The last research is adding linear trend to the model, and the result is getting formula for an estimator of the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend and it has been proved (wealy) consistent. This further reseacrh has two objectives as follows: () to determine asymptotic approximations to the bias and variance of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend; () to study asymptotic approximations in the case of bounded observation time interval, using simulation with generated data. Let {N(t), t 0} be a cyclic Poisson process with (unnown) locally integrable intensity function λ. We assume λ has two components, a cyclic compunent λ c with (nown) period τ > 0 and a linear trend. In other words, for any s > 0, the intensity function λ can be written as: λ(s) λ c (s) + as, with λ c (s) be a periodic function with period τ and a be the slope of the linear trend with a > 0. We do not assume any (parametric) form of λ c except that it is periodic, that is, the equality λ c (s) λ c (s + τ) holds for all s 0 and N, with N be the set of natural numbers. Let {Y(t), t 0} be process where N(t) Y(t) i X i with {X i, i } is a sequence of independent and identically distributed random variables having mean μ < and variance σ <, which is also independet of the process {N(t), t 0 }. The mean function of Y(t) is given by where and ψ(t) E[Y(t)] ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ t,τ t τ, t r t t,τ τ, t Λ c (t) λ c (s) ds, 0 θ τ Λ c(τ)

6 where for any real numbers x, x denotes the biggest integer which is less than or equal to x. θ is the global intensity of the process {N(t), t 0 }. We also assume that θ > 0. Suppose that, for some ω Ω, a single realization N(ω) of the process {N(t), t 0} defined on a probability space (Ω, F,P) is observed, though only within a bounded interval [0, n]. Futhermore, suppose that for each data point in the observed realization N(ω) [0, n], say i-th data point, i,,..., N[0, n], its corresponding random variable X i is also observed. Let n,τ n, the estimator of the mean function is given by τ where θ n t ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) μ n, a n N[0,n] n, n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ a n ( n,ττ ln( n,τ ) τ ), and Λ c,n (t r ) n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) μ n N([0,n]) X N([0,n]) i i, a n ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r t r τ) with the understanding that μ n 0 when N([0, n]) 0, implies ψ n(t) 0 when N([0, n]) 0. Asymptotic approximation to the bias of the estimator is bias[ψ n(t)] t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) + o ( ) ln( n,τ ) and asymptotic approximation to the variance of the estimator is μ var[ψ n(t)] (( ln( n,τ ) t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ γλ c (t r ) + aγ(t r τt r ))) + o ( ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ) ψ(t) ( μ t,ττ(θγ aτγ) + ) ln( n,τ ) as n. Simulation provides visualization about compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Bias and variance of the estimator will to zero as the length of observation interval goes to infinity. Key word: Asymptotic approximation, compound cyclic Poisson process, linear trend, the bias and variance of estimator, the mean function ),

7 Ha Cipta Mili IPB, Tahun 06 Ha Cipta Dilindungi Undang Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh arya tulis ini tanpa mencantuman atau menyebutan sumbernya. Pengutipan hanya untu epentingan pendidian, penelitian, penulisan arya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan riti, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tida merugian epentingan IPB Dilarang mengumuman dan memperbanya sebagian atau seluruh arya tulis ini dalam bentu apapun tanpa izin IPB

8 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO Tesis sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematia Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR BARAT 06

9 Penguji pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

10

11 PRAKATA Puji dan syuur penulis panjatan epada Allah SWT atas segala arunianya sehingga arya ilmiah yang berjudul Pendeatan Asimtoti untu Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemu dengan Tren Linear ini berhasil diselesaian. Terima asih penulis ucapan epada Bapa Prof Dr Ir I Wayan Mangu, MAppSc selau Ketua Komisi Pembimbing dan Bapa Prof Dr Ir Siswadi, MSc. selau Anggota Komisi Pembimbing atas semua perhatian, ilmu, esabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan arya ilmiah ini. Terima asih juga penulis ucapan epada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selau dosen penguji yang telah banya memberi saran. Ungapan terima asih juga disampaian epada ibu (you are my superwomen in my life), Luman, Adi, Widi atas segala doa dan asih sayangnya. Serta talupa, saya ucapan terima asih epada Diti atas beasiswa fresh graduate yang penulis terima selama peruliahan. Selain itu, penulis juga mengucapan terima asih epada teman teman Matematia 47, Gumapastia, dan Matematia Terapan angatan 50 serta rean rean di PT Asuransi Jiwa Manulife Indonesia yang telah memberian esempatan saya belajar banya hal selama masa internship. Semoga arya ilmiah ini dapat bermanfaat. Bogor, Februari 06 Bonno Andri Wibowo

12 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN Latar Belaang Tujuan Penelitan Manfaat Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Proses Stoasti Proses Poisson 3 Proses Poisson Majemu 3 Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodi Majemu 3 Keonsistenan Penduga Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodi Majemu dengan Tren Linear 5 PERUMUSAN PENDUGA 7 Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 7 Ide Penduga Modifiasi 8 BEBERAPA LEMA TEKNIS 0 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA 5 SIMULASI MODEL SIMPULAN 5 DAFTAR PUSTAKA 6 LAMPIRAN 7 RIWAYAT HIDUP 50

13 DAFTAR TABEL Bias dan Ragam ψ n(t) 4 DAFTAR GAMBAR Grafi ψ(t) dan ψ n(t) 3 Grafi selisih (%) antara ψ(t) dan ψ n(t) 4 DAFTAR LAMPIRAN Beberapa Lema dan Teorema Tenis 8 Buti beberapa Lema tenis 30 3 Buti beberapa persamaan 4 4 Program Scilab untu Simulasi 48

14 PENDAHULUAN Latar Belaang Proses stoasti merupaan proses yang menggambaran suatu ejadian atau fenomena yang bersifat tida pasti. Proses ini dapat digunaan untu memodelan fenomena yang beraitan dengan aturan peluang seperti pergeraan harga saham, proses edatangan pelanggan e suatu pusat layanan (customer service), dan banyanya laim yang datang e suatu perusahaan asuransi. Oleh arena itu, untu mempredisi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang aan datang diperluan suatu peramalan. Peramalan tersebut berguna untu memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang aan datang. Proses stoasti dapat dilasifiasian menjadi proses stoasti dengan watu disret dan proses stoasti dengan watu ontinu. Pada arya ilmiah ini pembahasan hanya difousan pada salah satu bentu husus dari proses stoasti dengan watu ontinu, yaitu proses Poisson majemu. Proses Poisson majemu dapat digunaan untu memodelan besarnya laim agregat terhadap suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan tersebut dapat menduga besarnya euntungan yang aan diperoleh pada masa yang aan datang. Sebelumnya, Byrne (969) telah menggunaan proses Poisson majemu pada beberapa permasalahan fisia. Selain itu, proses Poisson majemu telah diterapan pada bidang demografi (Kegler 007), geologi (O zel 0) dan biologi (Puig dan Barquinero 0). Selama ini, ajian terhadap proses Poisson majemu dilauan dengan menggunaan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya onstan (tida bergantung pada watu). Apabila suatu ejadian memilii peluang lebih besar untu terjadi pada interval watu tertentu dibandingan pada interval watu yang lain, maa asumsi ini tida sesuai. Oleh arena itu, untu memperluas caupan permasalahan yang dapat dimodelan, asumsi tersebut harus diubah. Watu dapat dianggap berpengaruh dan digunaan proses Poisson tahomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupaan fungsi ta onstan dari watu. Proses Poisson tahomogen ini merupaan perumuman dari proses Poisson homogen. Kajian terhadap proses Poisson majemu dengan menggunaan proses Poisson tahomogen sangatlah luas. Oleh arena itu, ajian dimulai dengan salah satu bentu husus dari proses Poisson tahomogen, yaitu proses Poisson periodi majemu (Mangu et al. 04). Setelah itu ajian ditingatan menjadi proses Poisson periodi majemu dengan tren linear (Wibowo 04). Proses Poisson periodi majemu dengan tren linear ini coco dalam menggambaran fenomena yang terjadi secara periodi namun meningat mengiuti tren linear, seperti jumlah laim agregat dari suatu produ asuransi. Peubah aca Poisson periodi majemu merupaan peubah aca yang bergantung dari watu maa nilai harapan dari peubah aca tersebut disebut fungsi nilai harapan. Penduga pada pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu dengan tren linear sudah terbuti merupaan penduga yang onsisten lemah dan sudah ditentuan laju eonverganan bagi bias, ragam dan mean sequare error penduga tersebut pada Wibowo (04). Pada penelitian

15 lanjutan ini dilauan penentuan pendeatan asimtoti untu bias dan ragam penduga tersebut dan mempelajari perilau penduga tersebut melalui simulasi menggunaan bangitan data bangitan. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan sebagai beriut:. Menentuan pendeatan asimtoti untu bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu dengan tren linear.. Meneliti eauratan pendeatan asimtoti untu bias dan ragam penduga untu asus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangitan. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapan dapat memberian informasi mengenai bias dan ragam penduga dan penggunaan model pada data yang diperoleh sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi pengguna model matematia yang beraitan dengan proses Poisson. TINJAUAN PUSTAKA Proses Stoasti Proses stoasti X {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah aca. Indes t sering ali diinterpretasian sebagai watu dan X(t) sebagai state dari proses di watu t. Himpunan T himpunan indes dari proses. Ketia T merupaan himpunan terhitung maa proses stoastinya disebut dengan proses dengan watu disret, sedangan jia T merupaan interval dari rentang watu tertentu, proses stoasti disebut proses dengan watu ontinu (Ross 00). Suatu proses stoasti dengan watu ontinu {X(t), t T} disebut memilii inremen bebas jia untu semua t 0 < t < t < < t n, peubah aca X(t ) X(t 0 ), X(t ) X(t ),, X(t n ) X(t n ) adalah saling bebas (Ross 00). Suatu proses stoasti dengan watu ontinu {X(t), t T} disebut memilii inremen stasioner jia X(t + s) X(t) memilii sebaran yang sama untu semua t (Ross 00). Suatu proses stoasti {X(t), t 0} disebut proses pencacahan jia X(t) menyataan banyanya ejadian yang telah terjadi sampai watu t. Dari definisi tersebut, maa suatu proses pencacahan X(t) harus memenuhi syarat-syarat beriut (Ross 00):. X(t) 0 untu setiap t [0, ).. Nilai X(t) adalah integer. 3. Jia s < t maa X(s) X(t)di mana s, t [0, ). 4. Untu s < t maa X(t) X(s) sama dengan banyanya ejadian yang terjadi pada (s, t].

16 3 Proses Poisson Suatu proses pencacahan {N(t), t 0} disebut proses Poisson homogen dengan laju λ, λ > 0, jia memenuhi tiga syarat beriut (Ross 00):. N(0) 0.. Proses tersebut memilii inremen bebas. 3. Banyanya ejadian pada sembarang interval watu dengan panjang t, memilii sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi, untu semua t,s 0, P(N(t + s) N(s) ) e λt (λt), 0,,! Dari syarat 3 bisa dietahui bahwa proses Poisson memilii inremen yang stasioner serta diperoleh bahwa E(N(t)) λt. Suatu proses pencacahan {N(t), t 0} disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas λ(t), t > 0, jia (Ross 00):. N(0) 0.. {N(t), t 0} memilii inremen bebas. 3. P{N(t + s) N(t) } o(s) 4. P{N(t + s) N(t) } λ(t)s + o(s), untu s 0. Laju dari suatu proses Poisson non-homogen {N(t), t 0}, yaitu λ(t) disebut fungsi intensitas proses tersebut (Ross 00). Intensitas loal dari suatu proses Poisson non-homogen N dengan fungsi intensitas λ pada titi s P adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s (Cressie 993). Proses Poisson Majemu Misalan {Y(t), t 0} adalah suatu proses dengan Y(t) N(t) i X i di mana {X i, i } adalah barisan peubah aca yang independent and identically distributed dengan nilai harapan μ < dan ragam σ <, yang juga bebas terhadap {N(t), t 0 }. Proses {Y(t), t 0} disebut dengan proses Poisson majemu. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodi Majemu Misalan {N c (t), t 0} adalah suatu proses Poisson tahomogen dengan fungsi intensitas λ c terintegralan loal dan tida dietahui. Fungsi intensitas λ c (s) diasumsian berupa fungsi periodi, yani memenuhi λ c (s) λ c (s + τ), untu setiap s 0 dan N, dengan N menyataan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses {N c (t), t 0} adalah t E[N c (t)] λ c (s) ds 0 t,τ τθ + Λ c (t r ). dengan

17 4 t,τ t τ, di mana untu setiap bilangan real x, x menyataan bilangan bulat terbesar yang lebih ecil dari atau sama dengan x, t r t t,τ τ, dan t r Λ c (t r ) λ c (s) ds, 0 θ τ Λ c(τ), yaitu fungsi intensitas global dari proses {N c (t), t 0}. Diasumsian bahwa θ > 0. Selanjutnya, misalan {Y c (t), t 0} adalah suatu proses dengan Y c (t) N c (t) i X i, di mana {X i, i } adalah barisan peubah aca yang independent and identically distributed dengan nilai harapan μ < dan ragam σ <, yang juga bebas terhadap proses {N c (t), t 0 }. Proses {Y c (t), t 0} disebut dengan proses Poisson periodi majemu. Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodi majemu dapat ditulisan sebagai beriut: dengan ψ c (t) E[Y c (t)] ( t,τ τθ + Λ c (t r )) μ. Penduga bagi fungsi nilai harapan ψ c (t) dirumusan sebagai beriut: Λ c,n ψ c,n (t) ( t,τ τθ c,n + Λ c,n (t r )) μ c,n, (t r ) τ n θ c,n N c ([0,n]), n N c([τ, τ + t r ] [0, n]), μ c,n N c ([0,n]) X N c ([0,n]) i i, dengan ψ c,n (t) 0 saat N c ([0, n]) 0. Penduga nilai harapan tersebut telah dibutian eonsistenannya bai eonsistenan lemah maupun eonsistenan uat pada Ruhiyat et al. (03). Ruhiyat (03) telah menentuan laju eonvergenan bias dan ragam serta mean square error (MSE) dari ψ c,n (t) sebesar O ( ), untu n. n Mangu et al. (04) melauan modifiasi terhadap penduga θ c,n dan (t r ) berturut-turut sebagai beriut: Λ c,n θ c,n n,τ N n,τ τ 0 c([τ, τ + τ]), Λ c,n (t r ) n,τ N c ([τ, τ + t r ]) n,τ 0. Hasil modifiasi tersebut yaitu nilai bias dan ragam asimtoti bagi ψ c,n (t) berturut-turut sebagai beriut

18 5 bias[ψ c,n (t)] ψ c(t) e θn + o(e n ), var[ψ c,n (t)] μ τ n ( t,τ θτ + Λ c (t r )( + t,τ )) + σ θn ( t,τθτ + Λ c (t r )) untu n. + O ( n ) Keonsistenan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodi Majemu dengan Tren Linear Misalan {N(t), t 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralan loal (tida dietahui) λ. Kita asumsian λ mempunyai dua omponen, sebuah omponen periodi λ c dengan periode (dietahui) τ > 0 dan sebuah omponen tren linear. Dengan ata lain, untu setiap s > 0, fungsi intensitas λ dapat ditulisan sebagai beriut: λ(s) λ c (s) + as, dengan λ c (s) adalah sebuah fungsi periodi dengan periode τ dan a melambangan emiringan dari tren linear dengan a > 0. Misalan {Y(t), t 0} adalah suatu proses dengan Y(t) N(t) i X i di mana {X i, i } adalah barisan peubah aca yang independent and identically distributed dengan nilai harapan μ < dan ragam σ <, yang juga bebas terhadap {N(t), t 0 }. Proses {Y(t), t 0} disebut dengan proses Poisson periodi majemu dengan tren linear. Nilai harapan dari Y(t), dinotasian dengan ψ(t), sebagai beriut: ψ(t) E[N(t)]E[X ] Λ(t)μ t dengan Λ(t) λ(s) ds. 0 Misalan t r t t τ, dimana untu setiap bilangan real x, x τ melambangan bilangan bulat terbesar yang urang dari atau sama dengan x, dan misalan pula t,τ t τ. Kemudian, untu setiap bilangan positif t, t t,ττ + t r, dengan 0 t r < t. Misalan serta t Λ c (t) λ c (s) ds 0 θ τ Λ c(τ) yaitu fungsi intensitas global dari omponen periodi pada proses {N(t), t 0 }. Kita asumsian bahwa θ > 0. Kemudian untu setiap t 0 yang diberian, ita mempunyai

19 6 Λ(t) t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t. Ahirnya, fungsi nilai harapan dari Y(t) dapat ditulisan menjadi ψ(t) ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ. Pendugaan fungsi nilai harapan ψ(t) pada persamaan tersebut dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan μ, pendugaan a yang merupaan slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global θ, dan pendugaan Λ c (t r ) yang merupaan nilai harapan banyanya ejadian yang terjadi pada interval watu [0, t r ]. Penduga bagi fungsi nilai harapan ψ(t) dirumusan sebagai beriut: dimana dan Λ c,n t ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) μ n, a n N([0, n]) n, θ n N([τ,(+)τ] [0,n]) ln(n τ) τ a n ( τ + n ), ln(n τ) (t r ) N([τ,τ+t r ] [0,n]) + nt r ln(n τ) ), ln(n τ) μ n N([0,n]) X N([0,n]) i i, a n ( t r dengan μ n 0 saat N([0, n]) 0 berimpliasi ψ n(t) 0 saat N([0, n]) 0. Penduga bagi tingat emiringan a telah diaji pada Helmers dan Mangu (009) untu tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global θ telah diaji pada Mangu (005) untu tujuan berbeda dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian Λ c (t r ) telah diaji pada Mangu (00) untu tujuan berbeda. Wibowo (04) telah membutian bahwa penduga nilai harapan tersebut eonsistenan lemah, yani ψ n(t) P ψ(t) untu n. Laju eonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga ialah O ( ln(n τ) ) untu n.

20 PERUMUSAN PENDUGA Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodi Majemu dengan Tren Linear Misalan {N(t), t 0} adalah suatu proses Poisson tahomogen. Fungsi intensitas λ(s) diasumsian berbentu λ(s) λ c (s) + as, () dengan λ c (s) adalah sebuah fungsi periodi dengan periode τ dan a melambangan emiringan dari tren linear dengan a > 0. () Proses {Y(t), t 0} disebut dengan proses Poisson periodi majemu dengan tren linear jia N(t) Y(t) i X i (3) di mana {X i, i } adalah barisan peubah aca yang independent and identically distributed dengan nilai harapan μ < dan ragam σ <, yang juga bebas terhadap {N(t), t 0 }. Misalan untu suatu ω Ω, suatu realisasi tunggal N(ω) dari proses {N(t), t 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, F, P) diamati pada suatu interval terbatas [0, n]. Selanjutnya, untu setiap titi data pada realisasi N(ω) [0, n] yang diamati, misalan titi data e-i, i,,..., N([0, n]), peubah aca X i yang bersesuaian juga diamati. Fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodi majemu dengan tren linear: dengan serta ψ(t) E[Y(t)] ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ. (4) t,τ t τ, t r t t,τ τ, t Λ c (t) λ c (s) ds (5) 0 θ τ Λ c(τ) (6) yaitu fungsi intensitas global dari omponen periodi pada proses {N(t), t 0 }. Kita asumsian bahwa θ > 0. (7) Misalan n,τ n, penduga bagi fungsi nilai harapan ψ(t) dirumusan τ sebagai beriut: t ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) μ n (8) dengan a n N[0,n] n, (9)

21 8 dan Λ c,n (t r ) θ n n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ a n ( n,ττ τ (0) ln( n,τ ) ), n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) a n ( n,ττt r μ n N([0,n]) X N([0,n]) i + (t r t r τ) ln( n,τ ) ), () i, () dengan μ n 0 saat N([0, n]) 0 berimpliasi ψ n(t) 0 saat N([0, n]) 0. Penduga bagi tingat emiringan a telah diaji pada Helmers dan Mangu (009) untu tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global θ merupaan modifiasi dari θ n pada Mangu (005) dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian Λ c (t r ) merupaan modifiasi dari Λ c,n (t r ) pada Mangu (00). Ide Penduga Modifiasi Penduga θ Penduga θ diperoleh dengan proses penjabaran sebagai beriut: Misalan L n n,τ θ L n L n θ n,τ L n θ n,τ L n τ. λ τ 0 c(s) ds. Karena λ c merupaan fungsi periodi, maa λ c (s) λ c (s + ( )τ) sehingga n,τ L n n,τ L n n,τ L n τ n,τ L n τ τ λ τ 0 c(s) ds τ λ τ c(s + ( )τ) ds 0 τ λ(s + ( )τ) a(s + ( )τ) ds 0 τ 0 λ(s + ( )τ)ds Misalan y s + ( )τ maa n,τ L n τ n,τ L n τ τ 0 λ(s + ( )τ)ds τ ( )τ λ(y)dy a n,τ L n τ a n,τ L n τ a n,τ L n τ τ ( )τ y dy n,τ E[N([( )τ,τ])] L n τ a n,τ ( )τ L n τ n,τ E[N([( )τ,τ])] L n τ aτ n,τ E[N([( )τ,τ])] L n τ n,τ L n a n,ττ L n + aτ. + aτ n,τ L n τ (s + ( )τ) ds. 0 τ (s + ( )τ) ds 0

22 9 n,τ Karena L n ln( n,τ ) dan E[N([( )τ, τ])] diganti dengan padanan stoastinya yaitu N([( )τ, τ]) sehingga diperoleh θ n n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ a n ( n,ττ ln( n,τ ) τ ). Penduga Λ c (t r ) Penduga Λ c (t r ) diperoleh dengan proses penjabaran sebagai beriut: Misalan L n n,τ Λ c (t r ) L n L n Λ c (t r ) n,τ L n n,τ L n 0 Λ c(t r ) t r 0 λ c(s) ds. Karena λ c merupaan fungsi periodi, maa λ c (s) λ c (s + ( )τ) sehingga n,τ L n t r 0 λ c(s) ds n,τ L n n,τ L n n,τ L n t r 0 λ c(s + ( )τ) ds t r λ(s + ( )τ) a(s + ( )τ) ds 0 t r λ(s + ( )τ)ds 0 Misalan y s + ( )τ maa n,τ L n n,τ L n t r λ(s + ( )τ)ds 0 ( )τ+t r ( )τ n,τ t r 0 a L n (s + ( )τ)ds. n,τ t r 0 a L n (s + ( )τ)ds n,τ ( )τ+t r ( )τ λ(y)dy a L n ydy n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] L n a L n n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] L n a n,τ L n n,τ E[N([N([( )τ,( )τ+t r ])])] L n n,τ (τt r τt r +t r ) a τt L r n Karena L n n,τ, maa n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] L n n,τ a τt L r n n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] L n n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] L n a n,ττt r L n a ( n,ττt r L n (τt r + t r τt r ) n,τ a (t n,τ r τt r ) L n. a (t n,τ r τt r ) L n a(t r τt r ) + (t r t r τ) ).

23 0 n,τ Karena L n ln( n,τ ) dan E[N([( )τ, ( )τ+t r ])] diganti dengan padanan stoastinya yaitu N([( )τ, ( )τ+t r ]) sehingga diperoleh Λ c,n (t r ) n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) a n ( n,ττt r + (t r t r τ) ln( n,τ ) ). BEBERAPA LEMA TEKNIS Bagian ini memuat beberapa Lema tenis yang digunaan dalam penentuan pendeatan bias dan ragam asimtoti penduga. Lema : Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa θγ aτγ E[θ n] θ + ln( n,τ ) + o ( ln( n,τ ) ) untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Dengan ata lain θ n merupaan penduga yang tabias asimtoti bagi θ. Buti: E[θ n] E [ n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ n,τ E[N([( )τ,τ])] ln( n,τ )τ Perhatian bahwa E[N[( )τ, τ]] τ λ(s) ds ( )τ τ (λ c (s) + as) ds ( )τ τ λ c (s) ( )τ τ τ λ τ 0 c(s)ds ds + τ ( )τ τ + a s ( )τ as ds a n ( n,ττ ln( n,τ ) τ )] ( n,ττ ln( n,τ ) τ ) E[a n]. (3) θτ + a( )τ. (4) Berdasaran persamaan (4) maa bagian pertama ruas anan persamaan (3) menjadi n,τ ln( n,τ )τ a( )τ (θτ + )

24 n,τ aτ (θτ ) ln( n,τ )τ + n,τ ln( n,τ )τ aτ. Berdasaran Lema L. maa n,τ aτ (θτ ) ln( n,τ )τ + n,τ ln( n,τ )τ ln( n,τ )τ θ aτ aτ (θτ aτ ) (ln( n,τ) + γ + o()) + a n,ττ ln( n,τ ) + a aγτ n,ττ+θγ ln( n,τ ) + o ( ln( n,τ ) ), (5) untu n. Substitusi persamaan (5) dan Lema L. pada persamaan (3) sehingga diperoleh n,τ E[N([( )τ,τ])] ln( n,τ )τ θ aτ θ aτ + a aγτ n,ττ+θγ ln( n,τ ) + a aγτ n,ττ+θγ ln( n,τ ) θ + θγ aτγ ln( n,τ ) + o ( ln( n,τ ) ), untu n. Buti lengap. ( n,ττ ln( n,τ ) τ ) E[a n] + o ( ) ( n,ττ τ ) (a + θ + O ( ln( n,τ ) ln( n,τ ) n n )) a n,ττ ln( n,τ ) n,ττθ n ln( n,τ ) + aτ + θ n + o ( ln( n,τ ) ) Lema : Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa Var[θ n] a + θπ +a(τγ τπ ) ln( n,τ ) τ(ln( n,τ )) + o ( untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti dapat dilihat pada Lampiran. (ln( n,τ )) ) Lema 3: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E[Λ c,n (t r )] Λ c (t r ) + γλ c(t r ) + aγ(t r τt r ) + o ( ln( n,τ ) ln( n,τ ) ) untu n,dengan γ adalah onstanta Euler. Dengan ata lain Λ c,n (t r ) merupaan penduga yang tabias asimtoti bagi Λ c (t r ). Buti: E[Λ c,n (t r )] E [ n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] ln( n,τ ) Perhatian bahwa a n ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r t r τ) t r τ) )] ) E[a n]. (6)

25 E[N([( )τ, ( )τ+t r ])] ( )τ+t r λ(s)ds ( )τ ( )τ+t r (λ c (s) + as)ds ( )τ ( )τ+t r λ c (s)ds ( )τ Karena λ c (s) periodi maa ( )τ+t r ( )τ t r λ c (s)ds 0 ( )τ+t r ( )τ + a s ds. ( )τ+t r ( )τ λ c (s)ds + a s ds ( )τ+t r + a s ( )τ Λ c (t r ) + aτt r + a t r τt r. (7) Berdasaran persamaan (7) maa bagian pertama ruas anan persamaan (6) menjadi n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] ln( n,τ ) n,τ ln( n,τ ) n,τ ln( n,τ ) Berdasaran Lema L. maa n,τ ln( n,τ ) (Λ c(t r ) + aτt r + a t r τt r ) (Λ c(t r ) + a t r τt r ) + (Λ c(t r ) + a t r τt r ) + n,τ aτt ln( n,τ ) r. n,τ ln( n,τ ) aτt r (Λ ln( n,τ ) c(t r ) + a t r τt r ) (ln( n,τ ) + γ + o()) + a n,ττt r ln( n,τ ) Λ c (t r ) + a t r τt r + a n,ττt r + Λ c (t r )γ+aγ t r τt r ln( n,τ ) ln( n,τ ) + o ( ln( n,τ ) ), (8) untu n. Substitusi persamaan (8) dan Lema L. pada persamaan (6) sehingga diperoleh n,τ E[N([( )τ,( )τ+t r ])] ln( n,τ ) Λ c (t r ) + a t r τt r (t r t r τ) ) (a + θ n + O ( n )) Λ c (t r ) + a ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) θ n,ττt r n ln( n,τ ) θ(t r ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r + a n,ττt r + Λ c (t r )γ+aγ t r τt r ln( n,τ ) ln( n,τ ) t r τ) t r τ) Λ c (t r ) + γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) untu n. Buti lengap. n ) a ( n,ττt r + o ( t r τ) + (t r t r τ) ln( n,τ ) ) ln( n,τ ) + o ( ), ln( n,τ ) ) E[a n] + o ( ) ( n,ττt r ln( n,τ ) ) + γλ c (t r ) ln( n,τ ) + ln( n,τ ) +

26 3 Lema 4: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa Var[Λ c,n (t r )] aτt r + π Λ c (t r )+aπ (t r τt r )+aτt r γ ln( n,τ ) (ln( n,τ )) + o ( untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti dapat dilihat pada Lampiran. (ln( n,τ )) ) Lema 5: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E(θ na n) aθ + aθγ a τγ + o ( ) ln( n,τ ) ln( n,τ ) untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti dapat dilihat pada Lampiran. Lema 6: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E(Λ c,n (t r )a n) aλ c (t r ) + (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ln( n,τ ) untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti dapat dilihat pada Lampiran. + o ( ) ln( n,τ ) Lema 7: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E (θ nλ c,n (t r )) θλ c (t r ) + Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+aτt r ln( n,τ ) + o ( untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti: Misalan: Λ c,n (t r ) C n,τ N([( )τ+t r,τ]) a n ( n,ττ(τ t r ) Perhatian bahwa: ln( n,τ ) Berdasaran Lampiran 3, diperoleh: θ n τ (Λ c,n (t r ) + Λ c,n (t r ) C ). ln( n,τ ) ) ln( n,τ ) (τ t r ) ). Cov (Λ c,n (t r ) C, Λ c,n (t r )) O ( (ln( n,τ )) ), (9) untu n. Sehingga diperoleh E (θ nλ c,n (t r )) Cov (θ n, Λ c,n (t r )) + E(θ n)e (Λ c,n (t r )) Cov ( τ (Λ c,n (t r ) + Λ c,n (t r ) C ), Λ c,n (t r )) + E(θ n)e (Λ c,n (t r ))

27 4 τ Cov (Λ c,n (t r ), Λ c,n (t r )) + τ Cov (Λ c,n (t r ) C, Λ c,n (t r )) + E(θ n)e (Λ c,n (t r )) τ Var (Λ c,n (t r )) + τ Cov (Λ c,n (t r ) C, Λ c,n (t r )) + E(θ n)e (Λ c,n (t r )). (0) Berdasaran Lema, Lema 3, dan Lema 4 serta persamaan (9) maa persamaan (0) menjadi τ Var (Λ c,n (t r )) + τ Cov (Λ c,n (t r ) C, Λ c,n (t r )) + E(θ n)e (Λ c,n (t r )) + π Λ c (t r )+aπ (t r τt r )+aτt r γ ln( n,τ ) τ ( aτt r (ln( n,τ )) + o ( (ln( n,τ )) )) + O ( (ln( n,τ )) ) + (θ + θγ aτγ + o ( )) (Λ ln( n,τ ) ln( n,τ ) c(t r ) + γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) + o ( )) ln( n,τ ) ln( n,τ ) θλ c (t r ) + Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+aτt r ln( n,τ ) untu n. Buti lengap. + o ( ), ln( n,τ ) Lema 8: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal. Jia ondisi () dan (7) dipenuhi, maa dengan peluang, N([0, n]) () untu n. Buti: E[N([0, n])] n λ(s)ds 0 n 0 (λ c (s) + as) ds θn + an + O(), () untu n. Kemudian, berdasaran Teorema L. (Lema Borel-Cantelli), diperoleh (). Buti lengap. Berdasaran Lema dan, diperoleh Aibat beriut Aibat : Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E ((θ n) ) θ + a+θ γ aτθγ ln( n,τ ) + o ( untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. ) ln( n,τ ) Berdasaran Lema 3 dan 4, diperoleh Aibat beriut Aibat : Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa E ((Λ c,n (t r )) ) (Λ c (t r )) + aτt r+γ(λ c (t r )) +aγλ c (t r )(t r τt r ) ln( n,τ ) untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. + o ( ) ln( n,τ )

28 5 Berdasaran Lema L. dan Lema L.3 diperoleh Aibat beriut Aibat 3: Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal, maa untu n. E((a n) ) a + 4aθ n + O ( n ) PENDEKATAN ASIMTOTIK BIAS DAN RAGAM PENDUGA Pendeatan asimtoti bias dan ragam penduga disajian e dalam dua teorema, yani Teorema tentang bias asimtoti penduga dan Teorema tentang ragam asimtoti penduga. Teorema (Bias Asimtoti Penduga): Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal. Jia Y(t) memenuhi persamaan (3), maa bias[ψ n(t)] t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) + o ( ) (3) ln( n,τ ) ln( n,τ ) untu n, dengan γ adalah onstanta Euler. Buti: Perhatian E[ψ n(t)] E [E[ψ n(t) N([0, n])]] m 0 E[ψ n(t) N([0, n]) m]p(n([0, n]) m) E[ψ n(t) N([0, n]) 0]P(N([0, n]) 0) + m E[ψ n(t) N([0, n]) m] P(N([0, n]) m). Untu N([0, n]) 0 maa ψ n(t) 0. Sedangan N([0, n]) ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n Sehingga diperoleh untu m E[ψ n(t)] t ) N([0,n]) X N([0,n]) i i. t E ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) E ( m m m i X i ) P(N([0, n]) m) ( t,τ τe(θ n) + E (Λ c,n (t r )) + E(a n) t ) E ( m m X m i i) P(N([0, n]) m). Berdasaran Lema, Lema 3, Lema L., diperoleh

29 6 m ( t,τ τ (θ + θγ aτγ + o ( )) + Λ ln( n,τ ) ln( n,τ ) c(t r ) + γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) + ln( n,τ ) o ( ) + (a + θ + O ( ln( n,τ ) n n )) t ) μp(n([0, n]) m) ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + at m μp(n([0, n]) m) + ) ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) m + o ( )) μp(n([0, n]) m) ln( n,τ ) ln( n,τ ) ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + at ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) m + ) μ P(N([0, n]) m) + o ( ln( n,τ ) )) μ m P(N([0, n]) m) ψ(t)( P(N([0, n]) 0)) + ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) o ( ln( n,τ ) )) μ( P(N([0, n]) 0)) (ψ(t) + ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) untu n. Dengan perhitungan sederhana, diperoleh untu n. Sehingga diperoleh Λ(n) E[N(0, n)] θn + an + O() (ψ(t) + ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) (ψ(t) + ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) ( e (θn+an +O()) ) + + o ( )) μ) ( ln( n,τ ) e Λ(n) ). + o ( )) μ) ( ln( n,τ ) e Λ(n) ) + o ( ln( n,τ ) )) μ) ψ(t) + t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) + o ( untu n. Dengan persamaan (4) diperoleh bias[ψ n(t)] E[ψ n(t)] ψ(t) ln( n,τ ) ψ(t) + t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) untu n. Buti lengap. + o ( ), (4) + o ( ) ψ(t) ln( n,τ ) ) ln( n,τ )

30 7 Teorema (Ragam Asimtoti Penduga) Misalan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan () dan terintegralan loal. Jia Y(t) memenuhi persamaan (3), maa μ var[ψ n(t)] (( ln( n,τ ) t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ γλ c (t r ) + aγ(t r τt r ))) + o ( ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ) ψ(t) ( μ t,ττ(θγ aτγ) + ln( n,τ ) ), (5) untu n. Buti: Berdasaran sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan beriut: var[ψ n(t)] E [(ψ n(t)) ] (E[ψ n(t)]) (6). Bagian edua dari ruas anan persamaan (6) telah diperoleh pada persamaan (4), sehingga diperoleh tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen edua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentuan melalui nilai harapan bersyarat beriut: E [(ψ n(t)) ] E [E [(ψ n(t)) N([0, n])]] E [(ψ n(t)) m 0 N([0, n]) m] P(N([0, n]) m) [(ψ n(t)) N([0, n]) 0] P(N([0, n]) 0) + m. E [(ψ n(t)) N([0, n]) m] P(N([0, n]) m) Untu N([0, n]) 0 maa ψ n(t) 0. Sedangan untu N([0, n]) ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n t ) Sehingga diperoleh untu m E [(ψ n) ] m N([0,n]) X N([0,n]) i i. t E [( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) ] E ( m X m i P(N([0, n]) m). Pertama, dihitung i ) (7) E [( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a nt ) ]

31 8 ( t,τ τ) E ((θ n) ) + E ((Λ c,n (t r )) ) + t4 4 E((a n) ) + t,τ τe (θ nλ c,n (t r )) + t,τ τt E(θ na n) + t E(Λ c,n (t r )a n) Berdasaran Aibat Aibat 3 dan Lema 5 Lema 7 maa diperoleh ( t,τ τ) E ((θ n) ) + E ((Λ c,n (t r )) ) + t4 4 E((a n) ) + t,τ τe (θ nλ c,n (t r )) + t,τ τt E(θ na n) + t E(Λ c,n (t r )a n) ( t,τ τ) (θ + a+θ γ aτθγ ln( n,τ ) aτt r +γ(λ c (t r )) +aγλ c (t r )(t r τt r ) ln( n,τ ) + o ( )) + ((Λ ln( n,τ ) c(t r )) + + o ( )) + t4 ln( n,τ ) 4 (a + 4aθ + O ( n n )) + t,τ τ (θλ c (t r ) + Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ln( n,τ ) t,τ τt (aθ + aθγ a τγ ln( n,τ ) + o ( ln( n,τ ) )) + t (aλ c (t r ) + (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ln( n,τ ) + o ( )) ln( n,τ ) + o ( )) + ln( n,τ ) ( t,τ τ) θ + (Λ c (t r )) + a t4 4 + t,ττθλ c (t r ) + t,τ τt θa + t Λ c (t r )a + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) )) + o ( ) ln( n,τ ) ( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) untu n. Kedua, dihitung m E [( X m i i) ] E[( m X m i i) ] )) + o ( ln( n,τ ) ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + ), (8)

32 9 m m m i i j,j i ] m E[ X i + X i X j m m m i i j,j i ) m ( E(X i ) + E(X i )E(X j ) m (me(x i ) + (m m)e(x i )E(X j )) m (μ + σ ) + ( m ) μ μ + σ m. (9) Berdasaran persamaan (8), dan persamaan (9) maa untu m persamaan (7) menjadi t E [( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) ] E ( m m i X i) (( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ))) (μ + σ ) m (( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ) (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + + μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) )) + (( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) + ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ untu n. Jadi diperoleh ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ))) σ + o ( ), m ln( n,τ )

33 0 E [(ψ n(t)) ] ((( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) μ) (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) + μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + ))) ( m P(N([0, n]) m) ) + (( t,τ τθ + Λ c (t r ) + a t ) + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ))) σ o ( ) ( ln( n,τ ) m ( m m P(N([0, n]) m) + ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + m P(N([0, n]) m) ) + m P(N([0, n]) m) ), m untu n. Berdasaran buti dalam Teorema, diperoleh m P(N([0, n]) m) + O(e n ) untu n. Terahir berdasaran Lampiran 3, diperoleh P(N([0, n]) m) untu n. Sehingga diperoleh E [(ψ n(t)) ] m m θn+ an + O ( n) (30) ((ψ(t)) + μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ))) ( + O(e n )) + ((ψ(t)) + ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) +

34 aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ o ( ) ( + ln( n,τ ) O(e n ) + ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ))) σ ( θn+ an + O ( n )) θn+ an + O ( n )) + (ψ(t)) + μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) )) + o ( untu n. Berdasaran persamaan (4) maa (E[ψ n(t)]) (ψ(t) + ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) (ψ(t)) + ψ(t)μ ( t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) ln( n,τ ) ) μ + o ( )) ln( n,τ ) ) + o ( ), (3) ln( n,τ ) ), (3) untu n. Jadi dengan substitusi persamaan (3) dan persamaan (3) pada persamaan (6) maa diperoleh Var[ψ n(t)] (ψ(t)) + μ ln( n,τ ) (( t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) )) + o ( ) ln( n,τ ) ((ψ(t)) + ψ(t)μ ( γ+θ aτγ+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) 4θt r ln( n,τ ) μ ) + o ( )) ln( n,τ ) (( ln( n,τ ) t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) +

35 t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ) ψ(t) ( μ t,ττ(θγ aτγ) + γλ c (t r ) + aγ(t r τt r ))) + o ( ), ln( n,τ ) untu n. Buti lengap. SIMULASI MODEL Simulasi model dilauan dengan membuat program pada perangat luna Scilab. Simulasi model ini dilauan dalam dua tahapan, yaitu tahapan pembuatan program dan tahapan analisis data bangitan. A. Tahapan pembuatan program:. Mendefinisian variabel input dan variabel ouput. Variabel inputnya, yaitu u (banyanya pengulangan), n (banyanya barisan), τ (periode), dan t (panjang titi watu). Variabel outputnya, yaitu P, S, dan T. Variabel P berbentu matris beruuran X 5. Baris matris P menyataan nilai sebenarnya dari suatu parameter dan pendugaannya, sedangan olom matris P terdiri dari nilai ψ(t), θ, Λ c (t r ), a, dan μ. Variabel S berbentu matris beruuran X 5. Baris matris S terdiri dari bias dan ragam penduga, sedangan olom matris S menyataan nilai bias dan ragam dari tiap penduga parameter (ψ n(t), θ n, Λ c,n (t r ), a n, dan μ n). Variabel T berbentu matris beruuran 30 X 5. Baris matris T terdiri dari partisi 0 sampai t dengan interval 0., sedangan olom matris T menyataan hasil partisi t, nilai ψ(t), nilai rataan dari ulangan ψ n(t), nilai Λ c (t r ) dan nilai rataan dari ulangan Λ c,n (t r ).. Membangitan data proses Poisson N. Pembangitan data tersebut menggunaan distribusi Poisson dengan parameternya adalah E(N). 3. Membangitan data X i sebanya N(n) ali. Pembangitan data tersebut menggunaan distribusi esponen dengan nilai rata-rata Menghitung nilai dari a n, θ n, Λ c,n (t r ), dan μ n menggunaan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (9), (0), (), dan (). 5. Menghitung nilai ψ n(t) menggunaan rumusan pada persamaan (8). 6. Ulangi langah -5 sebanya 500 ali. 7. Nilai ψ n(t), a n, θ n, Λ c,n (t r ) dan μ n ditentuan dari perhitungan rataan ulangan u ali. 8. Menghitung nilai dari θ, Λ c (t r ) menggunaan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (6), dan (5). Sementara itu nilai a 0.00 dan μ Menghitung nilai ψ(t) menggunaan rumusan pada persamaan (4). 0. Menghitung bias dan ragam ψ n(t) teori berturut turut menggunaan rumusan pada persamaan (3) dan (5), sedangan bias dan ragam ψ n(t) simulasi berturut turut dengan menggunaan definisi bias dan definisi ragam.

36 3 B. Tahapan analisis data bangitan:. Menjalanan program yang telah diperoleh pada tahapan A secara berulang ali sesuai dengan banyanya nilai n yang di-update. Nilai n yang digunaan pada penelitian ini ialah n {000, 000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000}.. Membandingan hasil dari tiap n yang digunaan. Perbandingan yang dilauan terbagi menjadi grafi, yaitu perbandingan grafi ψ(t) dengan ψ n(t) dan perbandingan grafi % selisih antara ψ(t) dengan ψ n(t) untu tiap n. 3. Membandingan bias dan ragam tiap penduga secara teori dengan simulasi. Simulasi ini dilauan untu mengamati perilau penduga untu asus panjang interval watu pengamatan yang terbatas. Simulasi ini menggunaan proses Poisson periodi dengan rumusan fungsi intensitas λ(s) cos ( πs 7 ) s. Proses Poisson periodi dengan fungsi intensitas demiian memilii periode τ 7 dan nilai tren linear a Berdasaran tahapan pembuatan program nomer 3, diperoleh nilai μ yang digunaan adalah μ5. Adapun fungsi intensitas globalnya (θ) dan fungsi intensitas sebagian (Λ c (t r )) dihitung dalam program menggunaan perangat luna Scilab. Hasil simulasi model dengan data bangitan disajian dalam bentu perbandingan grafi ψ(t) dan ψ n(t). Perbandingan tersebut disajian pada Gambar. Gambar. Grafi ψ(t) dan ψ n(t)

37 4 Gambar menunjuan perbandingan grafi antara ψ(t) dengan ψ n(t) untu setiap nilai n yang digunaan. Sumbu x menyataan panjang watu (t) pengamatan proses Poisson periodi majemu dengan tren linear sedangan sumbu y menyataan nilai harapan dari proses tersebut pada saat t. Pada Gambar terlihat pada grafi ψ n(t) yang paling jauh dengan grafi ψ(t) saat n 000 sedangan grafi ψ n(t) yang paling deat dengan grafi ψ(t) saat n Secara umum, grafi ψ n(t) aan semain mendeati grafi ψ(t) seiring meningatnya nilai n. Perbedaan persentase selisih antara ψ n(t) dengan ψ(t) disajian pada Gambar. Gambar. Grafi selisih (%) antara ψ(t) dan ψ n(t) Gambar menunjuan persentase selisih antara ψ(t) dengan ψ n(t). Sumbu x menyataan panjang watu (t) pengamatan proses Poisson periodi majemu dengan tren linear sedangan sumbu y menyataan persentase selisih nilai antara ψ(t) dan ψ n(t) pada saat t untu setiap n yang digunaan. Pada Gambar terlihat pada grafi yang memilii persentase paling besar saat n 000 sedangan grafi yang memilii persentase paling ecil saat n Secara umum, grafi memilii nilai yang cuup ecil untu setiap panjang watu t dan grafi aan memii persentase yang main mengecil seiring meningatnya nilai n. Perbandingan nilai bias dan ragam asimtoti penduga secara simulasi dengan teori disajian pada Tabel. Tabel. Bias dan Ragam Asimtoti Penduga Interval watu pengamatan n Bias Teori Bias Simulasi Absolut Error Bias Ragam Teori Ragam Simulasi Absolut Error Ragam

38 5 Tabel menunjuan bahwa ψ n(t) memilii error bias dan ragam penduga yang semain mengecil. Perbedaan nilai teori dan simulasi diarenaan perlunya ajian teori yang lebih mendalam, yaitu dengan menghitung bias dan ragam sampai second order. SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu adalah t ψ n(t) ( t,τ τθ n + Λ c,n (t r ) + a n ) μ n dengan θ n a n N[0,n] n, n,τ N([( )τ,τ]) ln( n,τ )τ a n ( n,ττ ln( n,τ ) τ ) dan Λ c,n (t r ) n,τ N([( )τ,( )τ+t r ]) ln( n,τ ) μ n N([0,n]) X N([0,n]) i i, a n ( n,ττt r ln( n,τ ) + (t r t r τ) dengan μ n 0 saat N([0, n]) 0. Kemudian, ψ n(t) 0 saat N([0, n]) 0. Bias asimtoti penduga adalah bias[ψ n(t)] t,ττ(θγ aτγ)+γλ c (t r )+aγ(t r τt r ) ln( n,τ ) dan ragam asimtoti penduga adalah μ + o ( ) ln( n,τ ) var[ψ n(t)] (( ln( n,τ ) t,ττ) (a + θ γ aτθγ) + (aτt r + γ(λ c (t r )) + aγλ c (t r )(t r τt r )) + t,τ τ ( Λ c (t r )(θγ aτγ)+θ(γλ c (t r )+aγ(t r τt r ))+at r ) + t,τ τt ( aθγ a τγ ) + t ( (aλ c (t r )γ+a γ(t r τt r )) ) ψ(t) μ t,ττ(θγ aτγ) + γλ c (t r ) + aγ(t r τt r )) + o ( ), ln( n,τ ) untu n. Simulasi model dengan data bangitan memberian visualisasi mengenai model fungsi nilai harapan proses Poisson periodi majemu dengan tren linear. Semain panjang interval pengamatan maa penduga aan semain mendeati nilai yang sebenarnya. Perbedaan nilai teori dan simulasi diarenaan perlunya ajian teori yang lebih mendalam, yaitu dengan menghitung bias dan ragam sampai second order. ),

39 DAFTAR PUSTAKA Byrne J Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica. 4: Capińsi M, Kopp E Measure, Integral and Probability. nd Ed. New Yor (US): Springer. Cressie NAC Statistics for Spatial Data. Rev Ed. New Yor (US): John Wiley & Sons. DasGupta A. 0. Probability for Statistics and Machine Learning Fundamentals and Advanced Topics. New Yor (US): Springer. Ghahramani S Fundamentals of Probability. 3 rd Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Helmers R, Mangu IW Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 6: Hogg RV, McKean JW, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. 6 th Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Kegler SR Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations. 4():-9. Mangu IW A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. 4():- Mangu IW. 00. Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. 33(): 8-9 Mangu IW, Ruhiyat, Purnaba IGP. 04. Statistical properties of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of Mathematical Sciences. 8():7-37. Özel G. 0. On certain properties of a class of bivariate compound Poisson distribution and an application to earthquae data. Revista Columbiana de Estadi stica. 34(3): Puig P, Barquinero JF. 0. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(7): Ross SM. 00. Introduction to Probability Models. 0 th Ed. New Yor (US): John Wiley & Sons. Ruhiyat. 03. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Titchmarsh EC The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press. Wibowo BA. 04. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodi majemu dengan tren linear [sripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.