LAMPIRAN. Kajadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Medan-σ)

Transkripsi

1 LAMPIRAN 55

2 56 LAMPIRAN Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Berbagai macam kejadian diperoleh melalui pengamatan dari serangkaian percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi A.1 (Ruang contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. Definisi A.2 (Kejadian) Kajadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. Definisi A.3 (Medan-σ) Medan-σ adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a) b jika,,, maka c) jika. Medan-σ terkecil mengandung semua selang berbentuk,,, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.

3 57 Definisi A.4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada Ω, adalah suatu fungsi : 0,1 yang memenuhi a) 0, dan Ω 1. b Jika,,, adalah himpunan angota anggota yang saling lepas yaitu untuk semua pasangan, dengan maka:. Definisi A.5 (Kejadian saling bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika: untuk semua himpunan bagian terhingga J dari I. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.6 (Peubah acak) Peubah acak adalah suatu fungsi : Ω dengan sifat bahwa Ω untuk setiap. Peubah acak dinotasikan dengan huruf capital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak mempunyai sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini. Definisi A.7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi 0,1 diberikan oleh.

4 58 Definisi A.8 (Peubah acak diskrit) Peubah acak X disebut diskrit jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah,, dari. Definisi A.9 (Fungsi kepekatan peluang) Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak diskrit X adalah fungsi : 0,1 yang diberikan oleh:. Definisi A.10 (Peubah acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0,1,2, } dengan fungsi kepekatan peluang!, untuk 0,1,2, dengan 0, maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter. Nilai Harapan, Ragam, Momen Definisi A.11 (Nilai harapan, momen, ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi kepekatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah. Moment ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah. Misalkan momen ke-1,. Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah.

5 59 Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Varian) dari X, dan dilambangkan dengan atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya, yaitu. (Hogg et al, 2005) Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi A.12 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg et al, 2005) Definisi A.13 (Penduga) Misalkan,,, adalah contoh acak. Suatu statistik,,, yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi, yang dinotasikan sebagai. Nilai,,, dari U dengan nilai pengamatan,, disebut sebagai dugaan (estimate) bagi. Definisi A.14 (Penduga tak bias) (Hogg et al, 2005) a) Suatu statistik yang nilai harapannya sama dengan parameter, dituliskan, disebut penduga tak bias bagi. Selainnya statistik dikatakan berbias. b) Jika lim, maka penduga disebut penduga tak bias asimtotik. (Hogg et al, 2005)

6 60 Definisi A.15 (Penduga konsisten) Suatu statistik yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter, disebut penduga konsisten bagi. Definisi A.16 (MSE suatu penduga) (Hogg et al, 2005) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga W untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga W dan parameter. Dari sini diperoleh:. Definisi A.17 (O(.)) (Cassella dan Berger, 2002) Simbol O(.) dibaca big-o-h, ini merupakan suatu cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan x menuju suatu limit L. Notasi, Menyatakan bahwa terbatas, untuk. (Serfling, 1980) Definisi A.18 (o(h)) Suatu fungsi f disebut o(h), 0, jika lim 0. Hal ini berarti bahwa 0 lebih cepat daripada 0. (Ross, 2007) Dengan menggunakan definisi 31 dan 32 maka didapatkan hal-hal sebagai berikut: a) Suatu barisan bilangan nyata {a n } disebut terbatas dan ditulis 1 untuk, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga untuk semua bilangan asli n. b) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk, dapat dituliskan 1, untuk. (Purcell and Varberg, 1998)

7 61 62Definisi A.19 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ω 0,1, yang diberikan oleh 1, jika ω 0, jika ω. (Grimmett and Stirzaker, 2001) Definisi A.20 (Konvergen dalam peluang) Misalkan,,, adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang Ω,,. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan, jika untuk setiap 0 berlaku: 0, untuk. Definisi A.21 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan,,, adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang Ω,,. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke X, dinotasikan, jika untuk setiap x pada fungsi yang kontinu berlaku, untuk. Definisi A.22 (Titik Lebesque) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika 1 lim 0. 2 (Wheeden and Zygmund, 1977)

8 62 Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka,! untuk. Bukti: Lihat Serfling (1980) Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, berlaku:. (Ross, 2007) Bukti: Lihat Lampiran 2. Lema A.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika 0 1 atau untuk suatu konstanta a. Bukti: Lihat lampiran 3 Lema A.4 (Momen dan momen pusat peubah acak Poisson) Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter μ, maka i.. (A.1) ii.. (A.2) iii. 3. (A.3) iv (A.4) v. 3. (A.5) (Grimmet dan Stirzaker, 2001) Bukti: Lihat lampiran 4.

9 63 Lampiran 2. Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, berlaku:. Bukti: Karena adalah peubah acak tak negatif, maka dapat digunakan pertidaksamaan Markov di atas, dengan a = k, sehingga diperoleh dan akhirnya dipeoleh. Jadi Lema A.2 terbukti.

10 64 Lampiran 3. Lema A.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika 0 1 atau untuk suatu konstanta a. Bukti: Pilih salah satu dari 0 1 atau 0 1. Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita dapat mengasumsikan 0 1, yang berarti bahwa X mempunyai suatu nilai 0 dengan peluang positif, sehingga 0. Didefinisikan fungsi kuadrat 2. Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat sehingga 0. Untuk setiap yang real ganti dengan 2 2 sehingga 0 Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa.

11 65 Dan di sisi lain jika sama akan 0. Jika menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan didapatkan 0. Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah 01. Jadi terbukti.

12 66 Lampiran 4. Lema A.4 (Momen pusat) Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter μ, maka i.. (A.1) ii.. (A.2) iii. 3. (A.3) iv (A.4) v. 3. (A.5) Bukti: Untuk membuktikan persamaan-persamaan di atas digunakan fungsi pembangkit peluang untuk peubah acak Poisson dan Teorema A.1 adalah sebagai berikut!. Teorema A.1 Jika X memiliki fungsi pembangkit peluang, maka i. ii. Secara umum dapat ditulis Bukti: (Grimmet dan Stirzaker, 2001) Berdasarkan teorema dan persamaan (A.6) maka A. 6 (A.7) (A.8) (A.9) (A.10) Dari persamaan (A.7) secara langsung dapat membuktikan persamaan (A.1). Kemudian akan dibuktikan persamaan (A.2), (A.3), (A.4), dan (A.5). Untuk membuktikan persamaan (A.2) digunakan persamaan (A.7) dan (A.8) sehingga 1

13 67. Untuk membuktikan persamaan (A.3) digunakan persamaan (A.7), (A.8), dan (A.9) sehingga Untuk membuktikan persamaan (A.4) digunakan persamaan (A.7), (A.8), (A.9), dan (A.10) sehingga Dengan menggunakan persamaan (A.1), (A.2), (A.3), dan (A.4) maka dapat dibuktikan persamaan (A.5) sebagai berikut

14 68 Lampiran 5. Program-program Simulasi A. Program membangkitkan realisasi proses Poisson periodik untuk interval pengamatan [0,500] Random<-function(wsize,tau) { maxlambda< LAB<-(maxlambda)*wsize N<-rpois(1,LAB) points<-runif(n,0,wsize) lambda<-2*exp(sin((2*pi*points)/tau))+0.02*points p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-1e-06 p[p>=1]< hold<-rbinom(n,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) } # Bangkitkan Proses Poisson dgn wsize=500 dan tau=10 Data<-Random(500,5) Data B. Program membangkitkan Penduga dan grafiknya untuk interval pengamatan interval pengamatan [0,500] Duga<-function(Data,wsize,titik,band,tau) { K<-floor((wsize-titik)/tau) vdt<-1:k for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*k*band) } Dugaan<-((sum(vdt)/log((wsize/tau),base = exp(1))) -( *((wsize/log((wsize/tau),base = exp(1)))))) return(dugaan) } Penduga<-function(Data,wsize,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] yduga[k]<-duga(data,wsize,titik1,band,tau)

15 69 } return(yduga) } #a,b adalah batas bawah dan batas atas interval yang dievaluasi #Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya VS fungsi dugaan Gambar<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue<-2*exp(sin((2*pi*x)/tau)) *x plot(x,ytrue,xlim=c(0,10),ylim=c(-2,6),type="l",col=4) par(new=t) plot(x,yduga,xlim=c(0,10),ylim=c(-2,6),type="l",col=6) } # Untuk me-run program gunakan # yduga<-penduga(data,wsize,a,b,band,tau) # Untuk meng-create gambar fungsi sebenarnya VS fungsi dugaan gunakan: # Gambar1<-Gambar(a,b,tau) # Nilai variabel a dan b pada Penduga dan Gambar harus sama # Evaluasi penduga pada selang [0,10], n=500, band=0.8, tau=10 yduga<-penduga(data,500,0,10,0.8,10) Gambar1<-Gambar(0,10,10) C. Program memeriksa kenormalan asimtotik Penduga<-function(wsize,titik,band,tau,L) { Dugaan<-1:L for(l in 1:L) { Data<-Random(wsize,tau) Dugaan[l]<-Duga(Data,wsize,titik,band,tau) } return(dugaan) } dugaan<-penduga(1000,12, ,10,500) mean(dugaan) var(dugaan) qqnorm(dugaan,col=4) qqline(dugaan) D. Program Menentukan lambda dan bandwith optimum untuk interval pengamatan interval pengamatan [0,500] ### Menentukan Bandwith Optimum untuk wsize=500 ### Isikan data tentang tau dan titik s tau<-10 s<-12 lambda<-2*exp(sin((2*pi*s)/tau)) *s lambdaturunan2<-0.32*(pi^2)*((cos((2*pi*s)/tau))^2 -sin((2*pi*s)/tau))*exp(sin((2*pi*s)/tau))

16 70 bandwith<-(((9*lambda*tau)/(2*(lambdaturunan2)^2))/500)^(1/5) lambda bandwith E. Program pendekatan asimtotik nilai harapan dan ragam penduga ### Pendekatan Nilai Harapan untuk tau=5 n=500&1000, ### Isikan data tentang "s" dan "band" s<-6 band< lambdac<-2*exp(sin((2*pi*s)/5)) lambdacturunan2<-0.32*(pi^2)*((cos((2*pi*s)/5))^2- sin((2*pi*s)/5))*exp(sin((2*pi*s)/5)) PendekatanNilaiHarapan<-lambdaC+(lambdaCturunan2*(band^2))/6 PendekatanNilaiHarapan