Keonvergenan Kesumawati Prodi Statistia FMIPA-UII June 23, 2015
Keonvergenan Pendahuluan Kalau sebelumnya, suu suu pada deret ta berujung berupa bilangan real maa ali ini ita embangan suu suunya dalam variabel x. Suatu deret ta berujung yang berbentu a (x c) = a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 + a 3 (x c) 3 +... =0 Disebut deret pangat (power series) dalam (x c). di sini c adalah suatu onstanta dan a 1, a 2, a 3,... disebut oefisien deret pangat. Khusus c = 0, ita peroleh deret pangat beriut a x = a 0 + a 1 x + a 2 (x) 2 + a 3 (x) 3 +... =0
Keonvergenan Jadi, jumlah parsial e n deret pangat berbentu polinomial derajat n sebagai beriut P n (x) = a x = a 0 + a 1 x + a 2 (x) 2 + a 3 (x) 3 +... + a n x n =0
Keonvergenan Keonvergenan Keonvergenan deret pangat (1) bergantung pada nilai x yang diberian. Kali ini ita aan menentuan himpunan semua x sehingga deret pangat (1) onvergen. Untu sederhananya diambil asus untu c = 0. Sebelumnya diperhatian tiga contoh beriut Contoh Selidiilah eonvergenan deret pangat beriut a. x! b.!x c. x
Keonvergenan Penyelesaian: a. Aan digunaan uji rasio mutla, dan diperoleh L = lim a +1 a = lim x +1 ( + 1)!.! x = lim x +1 ( + 1)!.! x x = lim + 1 = 0 Karena nilai L = 0 < 1 untu setiap x maa deret ini onvergen untu setiap bilangan real
Keonvergenan b. Dengan cara yang sama seperti prosedur pada bagian a, maa diperoleh L = lim = lim a +1 a ( + 1)!x x!x = lim ( + 1) x Diperhatian dengan sesama bahwa bila x = 0 maa limit ini bernilai 0, sedangan untu x 0 limit ini bernilai. Jadi deret ini hanya onvergen pada x = 0. c. Ini adalah deret geometri dengan rasio x. Jadi, deret ini onvergen jia 1 < x < 1 Ketiga fata ini didasaran pada sifat eonvergen deret pangat seperti diungapan pada teorema beriut.
Keonvergenan Teorema Setiap deret pangat =0 a x pasti memenuhi salah satu sifat beriut Deret onvergen untu setiap bilangan real x Deret hanya onvergen di x = 0 Terdapat R > 0 sehingga deret onvergen pada R < x < R dan divergen pada x < R dan x > R. Pada asus terahir, bilangan R ini biasa disebut radius eonvergenan dan interval (-R,R) disebut interval onvergensi. Sedangan, eonvergenan di titi batas x = -R dan x = R harus diselidii tersendiri. Kasus etiga ini yang menjadi perhatian dalam pembahasan eonvergenan deret pangat.
Keonvergenan Teorema Misalan a x suatu deret pangat dan L = lim a +1 a maa berlau riteria beriut Figure: Daerah Konvergensi i. Jia L = maa deret hanya onvergen pada x = 0 ii. Jia L = 0 maa deret onvergen pada setaip bilangan real x iii. Jia 0 < L < maa deret onvergen mutla pada R < x < R (atau x < R) dan divergen pada x < R dan x > R, dimana R = 1/L.
Keonvergenan Contoh Tentuan daerah onvergensi deret Penyelesaian Kita mempunyai a = 1 Dengan menggunaan Teorema di atas diperoleh L = lim a +1 a = lim + 1 = 1 x Jadi R = 1 L = 1 dan deret pasti onvergen pada 1 < x < 1.
Keonvergenan Untu x = -1 dan x = 1 diselidii sebagai beriut Untu x = -1 deret menjadi ( 1) yang merupaan deret alternating yang onvergen Untu x = 1 deret menjadi yang merupaan deret alternating yang divergen 1
Keonvergenan Contoh Tentuan untu x mana saja, deret onvergen Penyelesaian ( + 1 Kita mempunyai a = ) 2 dan didapatan ( + 1 ) 2 x L = lim ( ) + 1 2 = lim ( + 1 ) ( = lim 1 + 1 ) = e Karena 0 < L < maa disimpulan deret ini onvergen pada e 1 < x < e 1 dan divergen pada x < e 1, x > e 1. Untu x = e 1 perlu diselidii tersendiri. Uji aar memberian hasil L = 1 sehingga diperluan uji lainnya. Namun berdasaran hasil observasi menggunaan MATLAB maa deret ini terindiasi divergen di titi x = e 1 sebalinya, di titi x = e 1 deret tersebut onvergen.
Keonvergenan Contoh Untu nilai x berapaah deret di bawah ini onvergen 2 (x 1) (3 1) Penyelesaian Ini adalah deret pangat dalam (x c), dengan c = 1. Kita mempunyai a = 2 (3 1) diperoleh + 1 (3 1) l = lim 2 +1 (3 + 2).2 ( ) ( ) ( ) + 1 1 3 1 = lim 2 3 + 2 ( ) 1 = 2
Keonvergenan Jadi deret onvergen pada 2 < x1 < 2 atau 1 < x < 3. Untu deret x = -1 deret menjadi 2 (3 1) ( 2) = (3 1) ( 1) yang merupaan deret alternating divergen. Untu x = 3, deret pangat menjadi yang juga divergen. 3 1
Keonvergenan Kita dapat mendiferensialan dan mengintegralan suu demi suu deret pangat pada suatu daerah dimana deret tersebut onvergen. Jelasnya diungap secara formal pada teorema beriut Teorema Misalan deret pangat a x onvergen pada R < x < R. Jia diambil fungsi f yang didefinisian sebagai f (x) := a x, x ( R, R) maa =0 f (x)dx = f (x) = a x 1 a + 1 x +1 + C
Keonvergenan Teorema ini mengataan bahwa suatu fungsi yang didefinisian dengan deret pangat berelauan mirip polinomial, ia ontinu bahan terdiferensial pada daerah interval onvergennya. Integral dan diferensialnya dapat diambil suu demi suu. Contoh Misalan fungsi f(x) didefinisian sebagai f (x) := =0 x! untusetiapx R Butian f (x) = e x Penyelesaian Diperhatian bahwa deret pangat x =0! onvergen pada setiap bilangan real x.
Keonvergenan Jadi ita dapat melauan diferensial suu demi suu sebagai beriut f (x) =! x 1 = 1 + 2x 2! + 3x 2 + 4x 3 +... 3! 4! = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 +... = =0 x! = f (x) Jadi diperoleh f (x) = f (x). Fungsi dengan derivatif sama dengan aslinya tida lain adalah f (x) = Ce x dengan C suatu onstanta. Dengan mengambil x=0 maa diperoleh f (0) = 1, dan di lain piha berlau f (0) = Ce 0 = C, jadi diperoleh C = 1. Jadi disimpulan f (x) = e x.
Keonvergenan Contoh Dengan melauan integral suu demi suu, butian x = ln(1 x)untu 1 < x < 1 Penyelesaian Disini ita mempunyai x f (x) = = x + x 2 2 + x 3 3 +... Diperhatian untu 1 < x < 1, deret geometri beriut onvergen 1 + x + x 2 + x 3 +... = 1 1 x Dengan mengintegralan edua ruas esamaan ini diperoleh (1 + x + x 2 + x 3 +...)dx = x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 1 1 x dx 4 +... + C 1 = ln(1 x) + C 2
Keonvergenan Dengan mengambil C 1 = C 2 = 0, diperoleh buti x = ln(1 x)
Keonvergenan Untu soal-soal beriut tentuan semua nilai x sehingga deret pangat onvergen di x. 1. + 1 x 2.! (x 1) 5 3. (!) 2 x 4. ( 1) ln( + 2) x
Keonvergenan 5. 6. ( + 1) + 2 x (3x 4) ( + 1) 2 7. (3x 4) ( + 1) 2