Koko Martono FMIPA - ITB

Transkripsi

1 Koo Martono FMIPA - ITB 7 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adala suatu persamaan yang mengaitan fungsi dan turunan atau diferensialnya Untu fungsi satu peuba pada persamaannya terlibat turunan biasa, seingga disebut persamaan diferensial biasa (PDB) Untu fungsi lebi dari satu peuba pada persamaannya terlibat turunan parsial, seingga disebut persamaan diferensial parsial (PDP) Ilustrasi () yy = y -, () ( y ) - y + y= 0, () y -y - y= sin adala PDB sedangan () u + uyy = 0, () u + uy = u adala PDP Tingat dan derajat persamaan diferensial biasa Tingat (orde) PDB adala indes tertinggi dari turunan yang terlibat pada persamaannya Derajat (degree) PDB adala pangat tertinggi dari turunan yang terlibat pada persamaannya PDB yang berderajat satu dinamaan persamaan diferensial linear Ilustrasi () ( y ) - y + y = 0 adala PDB tingat satu dan derajat dua, dan () ( y ) + ( y ) + y= adala PDB tingat dua dan derajat tiga Solusi persamaan diferensial biasa Solusi PDB adala suatu eluarga fungsi atau fungsi yang digantian e persamaannya merupaan pernyataan benar (memenui persamaan) Solusi umum PDB adala suatu eluarga fungsi dengan beberapa parameter yang memenui persamaannya Solusi usus PDB adala suatu fungsi yang merupaan anggota dari eluarga solusi umumnya Solusi singular PDB adala suatu fungsi yang memenui persamaannya tetapi buan anggota dari solusi umumnya

2 PDB T 8 Ilustrasi Keluarga fungsi y= cos + sin adala solusi umum dari y + y= 0 arena y =- sin + cos dan y =-cos -sin memenui y + y= 0 Sala satu anggota eluarga fungsi y= cos + sin adala y = cos memenui y + y= 0, y(0) =, y (0) = 0 arena y =-sindan y =-cos bila digantian e persamaannya adala pernyataan benar Keluarga fungsi y= - adala solusi umum PDB ( y ) - y + y= 0 arena bila y = digantian, maa diperole = 0, suatu pernyataan yang benar Tetapi fungsi 4 y = juga solusi PDB ini y y = 4 0 c = / c = / c = / c = c = / c = arena benar Fungsi 4 y = dan ( ) - + = 0 pernyataan 4 y = yang tida diperole dari solusi umum y= - adala solusi singular PDB ini Peratian bawa urva solusi umum PDB ini selalu menyinggung solusi singularnya Persamaan diferensial biasa tingat dua dengan oefisien onstan Bentu umum PDB tingat dua dengan oefisien onstan adala y + ay + by = f(), a,b onstanta real dan f ontinu pada selang I Dalam asus f () = 0diperole PDB tingat dua y + ay + by = 0, a,b onstanta real, yang dinamaan PDB omogen tingat dua dengan oefisien onstan Solusi PDB omogen tingat dua dengan oefisien onstan Misalan y + ay + by = 0, a,b onstanta real mempunyai persamaan arateristi r + ar+ b= 0 dengan aar r dan r Solusi PDB ini adala: Jia r πr, r, r Œ, maa solusinya adala y = e + e Jia r = r = r, rœ, maa solusinya adala y = ( + ) e r Jia r= p + qi dan r= p -qi, p, qœ, i =- ( r dan r bilangan omples), maa solusinya adala y = e ( cosq+ sin q) p r r

3 PDB T 9 onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua (a) y -y - y = 0 (b) y - 4y + 4y = 0 (c) y + 4y + y = 0 (a) Persamaan arateristinya adala r r = 0, atau (r + )(r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = dan r = Jadi solusi persamaan diferensialnya adala y = e + - e (b) Persamaan arateristinya adala r 4r + 4 = 0, atau (r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = r = r = Jadi solusi persamaan diferensialnya adala y = ( + ) e (c) Persamaan arateristinya adala r + 4r + = 0 Gunaan rumus abc, - 4± ± 6i diperole r = = = - ± i, seingga aar arateristinya adala r = + i dan r = i Jadi solusi persamaan diferensialnya adala y = e ( cos+ sin ) - Konstrusi solusi PDB omogen tingat dua dengan oefisien onstan Tulisla persamaan diferensial y + ay + by = 0, a, b onstanta real dalam bentu operator diferensial D, d d ( D + ad+ b) y = 0, D= dand = Bentu uadrat dalam D selalu dapat diuraian atas dua fator linear dalam sistem bilangan omples, yaitu D + ad + b = (D r )(D r ), seingga persamaan diferensialnya dapat ditulis (D r )(D r )y = 0 Persamaan uadrat r + ar + b = 0 yang mengasilan aar r dan r dinamaan persamaan arateristi dan r, r aar arateristi Untu menyelesaian (D r )(D r )y = 0, misalan u = (D r )y, maa (D r )u = 0, atau - ru = 0 Pisaan peubanya dan du selesaian, r d diperole u = e Aibatnya ( D- r ) y = e, atau y - r y = e r d d Ú - rd -r r Selesaian ini dengan fator integrasi f i = e = e, diperole -r -r r -r ( r-r) e y = Ú e e d+ atau e y = Ú e d+ Kelompoan solusi ini atas tiga emunginan beriut

4 PDB T 0 Kasus : r πr, r, r Œ (edua aarnya bilangan real yang berbeda) Untu asus ini diperole - r ( r - r) ( r - r), Ú e y = e d + = r- r e + yang bentu esplisitnya adala r - r r r r r y = e + e = e + e r r Jadi solusi y + ay + by = 0, r πr, r, r Œ adala y = e + e Kasus : r = r = r, rœ (edua aarnya bilangan real yang sama) -r Untu asus ini diperole e y = d+ = + = +, yang bentu esplisitnya adala y = ( + ) e Jadi solusi y + ay + by = 0, r = r = r, rœ adala y = ( + ) e Kasus : Ú r = p + qi dan r = p -qi, p, qœ, i =- (edua aarnya bilangan omples) Untu asus ini andaian sifat integral dan pangat esponen real berlau untu esponen omples Karena r r, maa solusinya adala r r ( p+ qi) ( p-qi) p qi -qi y = ce + c e = ce + c e = e ( ce + c e ) dengan c dan c onstanta omples Gunaan rumus Euler qi -qi e = cosq+ isin q dan e = cosq- isin q, maa solusinya menjadi y = ce + c e = e ( c (cosq+ isin q) + c (cosq+ isin q ) r r p p p ( ) = e ( c + c )cos q+ ( c - c )sin q = e ( cosq+ sin q) dengan = c + c dan = (c c )i Nyataan c dan c dalam dan, diperole c = ( i) dan c = ( + i) Karena c dan c bilangan omples seawan, maa dan adala bilangan real Jadi solusi y + ay + by = 0, p r = p+ qi dan r = p-qi, p, qœ, i =- adala y = e ( cosq+ sin q),,, p, qœ r r

5 PDB T onto Tentuan solusi usus (masala nilai awal) dari PDB omogen tingat dua 4y - 4y + y = 0, y(0) =-, y (0) = Persamaan arateristinya adala 4r 4r + = 0, atau 4(r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = Jadi solusi umum persamaan / diferensialnya adala y= ( + ) e Searang tentuan solusi ususnya Dari y (0) =- diperole =-, seingga / y= ( - ) e Karena y (0) = diperole =- +, seingga = / / Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala y = ( -) e + e, maa dari / y= (- ) e onto Tentuan solusi usus (masala nilai awal) dari PDB omogen tingat dua 9y - 6y + 5y = 0, y(0) = 6, y (0) = 0 Persamaan arateristinya adala 9r 6r + 5 = 0 Gunaan rumus abc, ± - ± 8 8 i diperole r = = = ± i, seingga aar arateristinya adala r = + i dan r = - i Jadi solusi umum persamaan diferensialnya adala / cos sin y = e ( + ) / / / sin cos 6cos sin 0= + 6= +, seingga Searang tentuan solusi ususnya Dari y (0) = 6 diperole = 6, seingga y = e ( 6cos + sin ) Karena y = e (- 4 + ) + e ( + ) maa dari y (0) = 0 diperole Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala / / 6cos sin cos sin y = e ( + ) = e ( + ) = =

6 PDB T Solusi PDB ta omogen tingat dua dengan oefisien onstan Aan ditentuan bentu umum solusi PDB ta omogen y + ay + by = f(), a,b onstanta real dan f ontinu pada selang I Solusi umum PDB omogen y + ay + by = 0 adala y = u () + u (), dengan u dan u berbentu fungsi esponen, suubanya linear, sinus, dan osinus beserta ombinasinya Jia y dan y adala solusi dari y + ay + by = f(), maa diperole y + ay + by = f() dan y + ay + by = f( ), yang selisinya memenui ( y- y) + a( y- y) + b( y- y) = 0 Aibatnya y- y adala solusi dari y + ay + by = 0, seingga y- y = y Jadi solusi umum PDB y + ay + by = f() adala y = y + y y solusi omogen dan, y solusi usus yang aan dicari Metode oefisien ta tentu (MKT) untu mencari solusi usus y Gagasan metode oefisien ta tentu adala solusi usus y dari PDB y + ay + by = f() berbentu sama seperti f () dengan oefisien yang ta tentu dan aan dicari Metode ini anya dapat digunaan untu asus f () memuat bentu serupa dengan solusi omogennya, tetapi f () buan sala satu dari solusi omogennya Metode mencari solusi usus Pilila y disertai beberapa oefisien, yang dicari dengan menggantian y, y, y e PDB dan samaan oefisiennya Piliany yang sesuai diperliatan tabel beriut Jia y muncul di persamaan omogennya, alian y dengan atau Bentu f () p Bentu y yang dicoba f () = e y = Ke, K dicari f () = p y = K + L+ M, K, L, M dicari f () = cos, f () = sin y = Kcos+ Lsin, K, L dicari

7 PDB T onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y -y - y= e Persamaan arateristinya adala r r = 0, atau (r + )(r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = dan r = Jadi solusi omogen persamaan diferensialnya adala y = e + - e obala solusi usus y, = Ke K dicari Turunan pertama dan edua dari y adala y = Ke dan y = 9 Ke Gantian y e persamaan yang diberian dan tentuan oefisien K, diperole y -y - y = e 9Ke -Ke - Ke = e 4Ke = e 4K = K = Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala solusi umumnya adala y - y= y + y = e + e + e e, = seingga onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y -y - y= e + 4 Seperti soal di atas, solusi omogen persamaan diferensialnya adala - y = e + e obala solusi usus y = Ke + L+ M, K, L, M dicari Turunan pertama dan edua dari y adala y = Ke + Ldan y = Ke Gantian y e persamaan yang diberian dan tentuan oefisien K, L, dan M, diperole y -y - y = e + 4 Ke -Ke -L-Ke -L- M= e + 4 -Ke - L- ( L+ M) = e K = - L = 4 L+ M= 0 K =- L =- M = Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala y =-e - +, seingga solusi umumnya adala - y= y + y = e + e -e - +

8 PDB T 4 onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y -y - y= 4 Seperti soal di atas, solusi omogen persamaan diferensialnya adala - y = e + e obala solusi usus y = K + L+ M, K, L, M dicari Turunan pertama dan edua dari y adala y = K+ L dan y = K Gantian y e persamaan yang diberian dan tentuan oefisien K, L, dan M, diperole y -y - y = 4 K -K -L -K -L - M = 4 - K + (-K- L) + (K- M- L) = 4 - K = 4 -K - L = 0 K -M- L= 0 K=- L=- K= M = ( K- L) = - Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala y =- + -, seingga solusi umumnya adala y= y + y = e + e onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y -y - y= 0sin Seperti soal di atas, solusi omogen persamaan diferensialnya adala - y = e + e obala solusi usus y = Kcos+ Lsin, K, L dicari Turunan pertama dan edua dari y adala y =- Ksin+ Lcos dan y =-Kcos-Lsin Gantian y e persamaan yang diberian dan tentuan oefisien K dan L, diperole -Kcos- Lsin+ Ksin-Lcos-Kcos- Lsin = 0sin (- K- L)cos + ( K- L)sin = 0sin -K - L = 0 dan K- L = 0 Gantian L=-Ke persamaan edua, diperole 0K = 0, seingga K = dan L = Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala y = cos- sin, seingga solusi umumnya adala - y= y + y = e + e + cos- sin

9 PDB T 5 onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y - y + y= e Persamaan arateristinya adala r r + = 0, atau (r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = Jadi solusi omogen persamaan diferensialnya adala y = ( + ) e Karena e dan e suda muncul pada y (mengasilan ruas anan nol), maa cobala solusi usus y = K e, K dicari Turunan pertama dan edua dari Gantian y adala y = K e + Ke dan y e persamaan y - y + y = e y = K e + 4Ke + Ke dan tentuan K, diperole K e+ 4Ke+ Ke-Ke- 4Ke+ Ke= e Ke = e K = Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala y solusi umumnya adala y= y + y = ( + ) e + e = e, seingga onto Tentuan solusi umum PDB tingat dua y + 4y = 4 Persamaan arateristinya adala r + 4r = 0, atau r(r + 4) = 0, seingga aar arateristinya adala r = 0 dan r = 4 Jadi solusi omogen persamaan diferensialnya adala y = + e 4 - Solusi usus berbentu fungsi uadrat ta dapat digunaan arena bila digantian ruas irinya linear dan ruas anannya uadrat obala solusi usus y = ( K + L+ M), K, L, M dicari Turunan pertama dan edua dari y adala y = K + L+ M dan y = 6K+ L Gantian y e persamaan y + 4y = 4 dan tentuan K, L, dan M, diperole 6K+ L+ K + 8L+ 4M = 4 K + (6 K+ 8 L) + ( L+ 4 M) = 4 K= 4 fi K= 6K+ 8L= 0fi L=- 4 L+ 4M = 0fi M= 8 Jadi solusi usus persamaan diferensialnya adala seingga solusi umumnya adala y = , y= y + y = + e + - +

10 PDB T 6 Metode variasi parameter (MVP) untu mencari solusi usus y Solusi omogen PDB y + ay + by = f() adala y = u () + u(), p p p p, parameter dan u, u berbentu e, e, e cos q, e sin q Gagasan metode variasi parameter adala asumsi bawa solusi usus y dari PDB y + ay + by = f() berbentu sama seperti y tetapi parameter dan bervariasi dengan diganti fungsi v () dan v (), yaitu y = v() u() + v() u(), v dan v dicari Tulis tanpa peubanya, y = vu + vu Turunan pertama dari y adala y = vu + u v + v u + u v = ( vu + v u ) + ( u v + u v ) Untu mencari v dan v arus ditetapan dua persamaan yang terait dengan dua syarat Karena sala satu syarat adala y memenui PDB, maa syarat edua ditetapan agar y anya memuat v dan v saja, seingga diperole uv + uv = 0 dan y = vu + vu Dari sini, y = vu + u v + vu + u v Gantian y, y,dany e PDB y + ay + by = f() dan sederanaan, maa diperole uv + u v = f () Ïuv + uv = 0 Selesaian sistem persamaan Ì, solusinya adala Óuv + u v = f() -u() f() u() f() u u v = dan v W =, W= () = ( uu W -uu )() u u Dari sini diperole v = v() =Ú d dan v v () d -u () f() u () f() W = =Ú W p p p p atatan W 0 u, u berbentu e, e, e cos q, atau e sin q Kesimpulan Solusi usus PDB y + ay + by = f() adala y = v() u() + v() u() dengan -u () f() W v v() d = =Ú dan v v () d u () f() W = =Ú, W= ( uu -u u )( ) determinan Wronsi

11 PDB T 7 onto Tentuan solusi umum PDB y - y + y= e dengan MVP Persamaan arateristinya adala r r + = 0, atau (r ) = 0, seingga aar arateristinya adala r = Jadi solusi omogen persamaan diferensialnya adala y = ( + ) e = e + e Solusi ususnya adala y = vu + vudengan u = e dan u = e Turunan pertama dari u dan u adala u = e + e dan u = e, seingga W= ( uu - u u )( ) = e e - e ( e + e ) =-e Menurut metode variasi parameter, v u() f() e e = - d = - d = Ú W Ú -e u() f() e e Ú W Ú -e v = d = d =- seingga y = vu + vu= e - e = e Jadi solusi umum persamaan diferensialnya adala y= y + y = ( + ) e + e, onto Tentuan solusi umum PDB y + y= csc dengan MVP Persamaan arateristinya adala r + = 0, atau (r + i)(r i) = 0, i =, seingga aar arateristinya adala r = i dan r = i Jadi solusi omogen persamaan diferensialnya adala y = cos + sin Solusi ususnya adala y = vu + vudengan u = cos dan u= sin Turunan pertama dari u dan u adala u =-sin dan u = cos, seingga W= ( uu - u u )( ) = cos cos -sin ( - sin ) = cos + sin = Menurut metode variasi parameter, -u () f() -sin csc Ú W Ú Ú u() f() cos csc cos dsin W sin sin v = d= d=- d = - Ú Ú Ú Ú, v = d= d= d= = ln sin seingga y = vu + vu=- cos + (sin )ln sin Jadi solusi umum persamaan diferensialnya adala y= y + y = cos + sin - cos + (sin )ln sin

12 PDB T 8 Gera armonis sederana partiel Suatu partiel bergera sepanjang garis lurus dan berosilasi seitar = 0 Posisi partiel saat t adala (t) dan percepatan a(t) memenui a(t) = (t), > 0, yang meberian PDB + = 0, > 0 Jia persamaan diferensialnya diselesaian, maa solusi = (t) memberian informasi eduduan partiel pada setiap saat t Karena a(t) = (t), maa diperole PDB (t) = (t), > 0, yang tanpa peubanya dapat ditulis + = 0, > 0 Selesaian persamaan diferensial omogen dengan oefisien onstan ini Persamaan arateristi r + = 0 dengan > 0 memberian aar arateristi r = i dan r =- i, seingga solusi umum PDB adala = () t = cos t+ sin t Misalan = ω, maa solusi ini dapat ditulis = () t = coswt+ sinwt= Asin( wt+ d), A> 0; dengan A A A = +, sin d =, dan cos d = Solusi = () t = Asin( wt+ d) adala fungsi periodi dengan periode p w, amplitudonya A, dan freurensinya w p Peratian urva = (t) yang bentunya sinusoidal pada gambar di bawa A = (t) π /ω 0 t A

13 PDB T 9 Pegas spiral Suatu pegas spiral yang panjangnya p 0 digantung vertial Benda yang massanya m digantungan pada ujung bawa pegas sampai eadaan setimbang dan panjang pegas bertamba p Kemudian benda ditari e bawa sejau 0 dan dilepasan p 0 eadaan awal p 0 0 m eadaan setimbang 0 m dengan massa m m eadaan setela eadaan setela benda dilepasan benda ditari e bawa Aan ditentuan persamaan diferensial beserta solusinya sebagai model matematia masala ini bilamana (a) geraannya tida mengalami ambatan udara dan (b) geraannya mengalami ambatan udara sebanding dengan ecepatan benda Pilila suatu sistem oordinat dengan ara positif e bawa Gaya yang beerja pada benda setela di tari e bawa dan dilepasan adala gaya gravitasi dan gaya pegas Gaya gravitasinya adala F = mg; m massa benda dan g percepatan gravitasi Gaya pegasnya adala F = (p + ), > 0; p + regangan pegas dan onstanta pegas Gaya pegas diperole dari uum Hooe (gaya pegas sebanding dengan regangan pegas) dan aranya berlawanan dengan ara regangan pegas (a) Kasus ambatan udara diabaian Gaya total pada sistem ini adala F= F + F = mg- ( p + ) = ( mg-p) -

14 PDB T 0 Karena dalam eadaan setimbang setela pegas digantung gaya gravitasi sama dengan gaya pegas untu regangan p, maa mg p = 0, seingga gaya totalnya adala F =, > 0 Karena F = ma = m (uum edua Newton), maa diperole m =, atau () t = = -, > 0, m> 0 Selesaian PDB ini, tulisla w =, maa m m + w = 0, yang solusinya adala = () t = coswt+ sinwt= Asin( wt+ d), A> 0 Kesimpulan Geraan pegas untu ambatan udara diabaian adala gera armonis sederana (b) Kasus ambatan udara sebanding dengan ecepatan benda Gaya total pada sistem ini adala F = cv = c Karena F = ma = m (uum edua Newton), maa diperole m =-c - atau + c + = 0, > 0 Selesaian PDB ini, persamaan arateristinya adala r + r+ = 0, m m c m m - c± c -4m m atau mr + cr+ = 0, seingga aar arateristinya r = Kasus c - 4m< 0: Aar arateristinya bilangan omples 4m-c r =- c m + wi dan r =- c m - wi, dengan w = m Solusi asus ini adala (-c/ m) t (-c/ m) t t ( ) = e ( coswt+ sin wt) = Ae sin( wt+ d), A> 0 ( c/ m) t Geraannya mirip armonis sederana dengan e - Æ 0 untu tæ, freuensi tetap sebesar w p, dan amplitudo ( c/ m) t Ae - Æ 0 untu tæ Kasus c - 4m> 0: Aar arateristinya bilangan real r = 4 -c- c - m m rt () 4 - c+ c - m m dan r = Solusi asus ini adala t = e + e Gera- annya ta berosilasi dan (t) 0 untu t arena r < 0 dan r < 0 Kasus c - 4m= 0: Aar arateristinya bilangan real r =- Solusi r t c m ( / ) asus ini adala t () = ( + te ) -c m t Geraannya ta berosilasi dan (t) 0 untu t arena ( c/ m) t e - ( c/ m) t Æ 0 dan te - Æ 0 untu tæ

15 PDB T E S E(t) R L Rangaian listri Rangaian listri pada gambar terdiri dari daya gera listri E(t) volt, resistansi R om, apasitor farad, dan indutansi L enry Dari uum Kircoff ER+ E+ EL= E() t dengan () gaya sepanjang resistor ER = RI (uum Om), Q () gaya sepanjang apasitor E =, Q muatan listri pada apasitor () gaya sepanjang indutor EL = L diperole PDB tingat dua yang solusinya adala Q = Q(t) dan I = I(t) di dt dq dt Karena I =, maa di dt dq dt dq dt EL = L = L dan ER = RI= R Dengan uum Kircoff E + E + E = E() t diperole persamaan diferensial R L dq dq Q dt dt L + R + = E () t, atau LQ + RQ + = E() t Q de dq I dt dt E di dt Q R L Karena E =, maa = = I = Aibatnya de I = dt, seingga E = Ú Idt Dengan uum Kircoff E + E + E = E() t diperole persamaan diferensial L + RI + Idt = E () t, yang dapat ditulis dalam bentu S R = om E(t) volt E(t) = 00 sin 60t = /60 farad d I di I dt dt L + R + = E () t, atau LI + RI + = E () t L = 0, enry Ú onto Rangaian listri pada gambar di samping mempunyai daya gera listri sebesar E = 00 sin 60t volt, resistor sebesar om, indutor sebesar 0, enry, dan apasitor sebesar /60 farad Jia pada saat t = 0 arus listri dan muatannya nol, tentuan muatan listri pada apasitornya setiap saat t Menurut di atas, PDB rangaiannya LQ + RQ + = E() t Gantian datanya, diperole 0,Q + Q + 60Q= 00sin 60 t, Q(0) = 0, I(0) = Q (0) = 0 Q Q

16 PDB T Untu memperole Q = Q(t), selesaian PDB Q + 0Q + 600Q= 000sin 60 t, Q(0) = 0, I(0) = Q (0) = 0 Persamaan arateristinya adala r + 0r+ 600= 0 dengan aar ara- - 0 ± teristi r = =- 0 ± 50 i, seingga r = i dan r =-0-50i Solusi omogen PDB adala Q -0t = e ( cos50t+ sin50 t) Tentuan solusi ususnya dengan metode oefisien ta tentu Misalan Q = Acos60t+ Bsin 60t Turunan pertama dan edua dari solusi usus ini adala Q =-60( Asin 60t-Bcos60 t) dan Q =- 600( Acos 60t+ B sin 60 t) Gantian Q, Q, Q e Q + 0Q + 600Q= 000sin 60t untu mencari A dan B, diperole A=- dan B =- Jadi Q =-0 cos60t- 5 sin60 t Karena itu solusi Q sebagai fungsi dari t adala -0t Qt ( ) = e ( cos50t+ sin50 t) - cos60t- sin60 t arila onstanta dan dari syarat awal Q(0) = 0, I(0) = Q (0) = 0, diperole = dan = 6 Dengan demiian solusi PDB adala -0t Qt ( ) = e 0 cos50t+ 6 sin50t -0 cos60t- 5 sin60t ( ) t 5 = e (5cos50t+ 6sin50 t) - (6cos60t+ 5sin60 t) 6 6 Fungsi ini dapat ditulis dalam bentu 6 6-0t 5 6 Qt () = e cos(50 t-f) - cos(60 t- q), dengan cos f =, sin f =, cos q =, dan sinq =, seing- ga φ = 0,88 dan θ = 0,69 Kesimpulan Muatan listri Q pada apasitor pada setiap saat t adala -0t Qt ( ) = 0,77e cos(50t-0,88) -0,64cos(60t- 0,69)

17 SOAL LATIHAN MA 0 KALKULUS A Poo Baasan: Persamaan Diferensial Biasa Tingat Dua Soal uji onsep dengan benar sala, berian argumentasi atas jawaban Anda No Pernyataan Jawab Bentu matematia y + y = 0 adala suatu persamaan diferensial linear B S Solusi umum dari y + y= 0 adala y= Acos ( t+ d ) ; A, δ parameter B S Jia u() dan v() solusi dari y + ay + b= 0, maa cu () + c v() juga solusinya B S 4 Jia u() dan v() solusi dari y + ay + b= f(), maa cu () + c v() juga solusinya B S 5 Untu menentuan solusi usus dari y + y - y= e, cobala y = Ke B S - 6 Solusi umum dari y + y = 4 adala y = e B S 7 Solusi umum dari y - y + y = 4 adala y = e + e + 4 B S 8 Untu menentuan solusi usus dari y + y= sin, cobala y = Kcos+ Lsin B S 9 Persamaan y + y= sec anya dapat diselesaian dengan metode variasi parameter B S 0 Determinan Wronsi dari y + y + y = e sec adala - e - B S Tentuan solusi umum persamaan diferensial omogen tingat dua beriut y - 5y + 6y = 0 y - 8y + 6y = 0 y + 9y = 0 4 y - 4y + y = 0 5 4y - y + 5y = 0 6 4y - 4y + y = 0 Tentuan solusi usus persamaan diferensial omogen tingat dua beriut 7 y -y - y = 0, y(0) =, y (0) = 5 8 y + 6y + 9y = 0, y(0) =, y (0) = - 9 y - 4y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 5 0 9y + 6y + 5y = 0, y(0) = 6, y (0) = 0 Tentuan solusi umum persamaan diferensial ta omogen tingat dua beriut y + y - y = 6 y + y + y = e y - y = 4 y + 4y + 5y = + 5 y - y + y = 4 6 y + y = sin 7 y - y = e 8 y + y = 9 y - y = 4e Tentuan solusi usus persamaan diferensial ta omogen tingat dua beriut 0 y - 4y + y = 9 + 4, y(0) = 6, y (0) = 8 y - 8y + 5y = 9 e, y(0) = 5, y (0) = 0 - y + 8y + 6y = 8 e, y(0) =, y (0) = 0 y + 4y + y = 8 e, y(0) = 0, y (0) = 4 4 y - 4y + y = 8sin, y(0) =, y (0) = 5 y - y + y= e + 6 e, y(0) =, y (0) = 0 -

18 Soal apliasi persamaan diferensial tingat dua 4 6 Sebua partiel bergera sepanjang sepanjang sumbu- dan memenui () t + 6 () t + 5= 0 pada setiap saat t Jia partiel bergera dari = 0 dengan ecepatan awal ft/sec e iri, tentuan posisi partiel pada setiap saat t dan watu agar partiel berenti emudian bergera lagi 7 Sebua pegas vertial dengan onstanta pegas 0 pon/ai dibebani benda seberat 0 pon dan mencapai eadaan setimbang Kemudian benda ditari ai e bawa dan dilepasan Tentuan persamaan gera dan periodenya bilamana ambatan udara diabaian Tentuan juga nilai mutla dari ecepatan gera benda pada saat melalui posisi setimbangnya 8 Sebua pegas vertial dengan onstanta pegas 0 pon/ai dibebani benda seberat 0 pon dan mencapai eadaan setimbang Kemudian benda ditari ai e bawa dan dilepasan Jia gaya ambatan pada benda dalam satuan pon adala sepersepulu ecepatannya, tentuan persamaan geranya Tentuan juga lamanya watu agar osilasi berurang sepersepulu amplitudo asalnya 9 Sebua pegas vertial yang dibebani benda seberat 5-lb meregang sejau 6 in untu mencapai eadaan setimbang Kemudian benda di tari in di bawa titi setimbangnya dan bergera e atas denga ecepatan 6 ft/sec Tentuan posisi benda pada setiap saat t 40 Sebua pegas vertial yang dibebani benda seberat 4-lb meregang sejau 0,64 ai Kemudian benda di dorong e atas / ai dari titi setimbangnya dan bergera e bawa dengan ecepatan 5 ft/sec Pada geraan ini benda mengalami gaya ambatan sebesar v /4 setiap saat Tentuan posisi benda pada setiap saat t 4 Sebua rangaian listri seri mempunyai daya gera listri tetap sebesar 40 volt, resistor sebesar 0 om, dan indutor sebesar 0, enry Jia arus pada saat t = 0 adala 0, tentuan besarnya arus pada setiap saat t > 0 4 Sebua rangaian listri seri mempunyai daya gera listri tetap sebesar 00 volt, resistor sebesar 0 om, dan apasitor sebesar 0-4 farad Jia saelar ditutup saat t = 0 dan muatan pada apasitor saat itu 0, tentuan muatan dan arus pada setiap saat t > 0 4 Sebua rangaian listri seri mempunyai daya gera listri E(t) = 00 sin 00t volt, resistor sebesar 40 om, indutor sebesar 0,05 enry, dan apasitor sebesar 40-4 farad Jia arus awal 0 dan muatan awal pada apasitor 0,0 coulomb, tentuan arus pada setiap saat t > 0 Kunci Jawaban S B B 4 S 5 S 6 B 7 B 8 S 9 B 0 S y= e + e y= ( + ) e / 5 / / y= cos+ sin 4 y= e ( cos+ sin ) 5 y= e + e 6 y= ( + ) e 4 7 y= e + e - 8 y= (+ ) e - 9 -/ y= e sin 5 0 ( cos sin y= e + ) y= e + e y= ( + ) e + 4 e y= e + e - 4 y= e ( 6 cos+ sin ) y= e + e y= cos + sin - cos 7 y= e + e + e y= e y= e + e + ( + ) e 0 y=- 6e + e y= e - e + (+ 4) e y= 4e + e 4 - y= e (- cos+ sin ) + e - -t y= 5 e cos+ sin + cos+ sin 5 y= ( + 5) e + e + e - 4e 6 =- e sin4 t, ( ) 4 ( ) 4 t = 0, + 4 np, n= 0,,,, 7 =-cos8 t, - 4 p sec, 8 ft/sec 8 0,6 t = e (cos8t + 0,0sin8 t), 4,4 sec 9 = 4 (cos8t- sin 8 t) 40 -t 50 = e (- cos7t+ sin7 t) 4 i 4( e - t = - ) 4 - t - t Q= (- e ), i= 0e t i= e (,47cos60t-4,588sin 60 t) -,47cos00t+,sin 00t

19