Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga

Transkripsi

1 Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar

2 Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan real. dapat dinotasikan sebagai a n. Akar

3 Definisi Definisi 1. Barisan a n dikatakan konvergen menuju L, dan ditulis sebagai lim a n = L n Jika untuk tiap bilangan positif ε terdapat sebuah bilangan positif N yang bersesuaian, sedemikian rupa sehingga n N a n L < ε Barisan yang tidak konvergen menuju bilangan terhingga L sebarang dikatakan divergen atau menyebar. Akar

4 Teorema Sifat-Sifat Limit Pada Barisan Misalkan a n dan b n adalah barisan-barisan konvergen dan k adalah konstanta. Maka: 1. lim n k = k 2. lim n ka n = klim n a n 3. lim n (a n ± b n ) = lim n a n ± Lim n b n 4. lim n (a n.b n ) = lim n a n.lim n b n 5. lim n lim n a n lim n b n, asalkan lim n b n 0 Akar

5 Akar Ekspresi matematika yang berbentuk atau dalam notasi a 1 + a 2 + a 3 + a disebut deret tak terhingga dan bilangan real a k disebut suku ke k deret tersebut. Prakteknya, kita tidak mungkin melakukan penjumlahan dengan banyak suku tak berhingga, namun hanya mengambil berhingga banyak suku sebagai aproksimasinya. Secara induktif, jumlah beberapa suku pertama deret membentuk suatu barisan (S n : n N). a k

6 Ilustrasi Perhatikan S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 = 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 =. a k 3 a k S n = a 1 + a 2 + a a n = n a k Akar

7 Barisan (S n ) disebut jumlah parsial ke n deret. Deret a k dikatakan konvergen dengan jumlah S jika barisan (S n ) konvergen ke S, yaitu: S = a k := lim S n = lim n n n Jika barisan (S n ) tidak konvergen maka deret divergen. a k disebut Akar

8 Sebelum masuk pada pendalaman teori lebih lanjut, perhatikan pengaruh suku-suku (a k ). Agar deret konvergen maka suku-suku ini haruslah menuju nol, ini merupakan syarat perlu bagi suatu deret konvergen. Tetapi sebaliknya, jika a k tidak menuju nol maka deret dipastikan divergen. Bayangkan apa yang terjadi kalau kita menjumlahkan tak terhingga banyak bilangan tak nol meskipun nilainya super kecil, tentulah hasilnya tak terhingga atau divergen. Akar

9 Akar Deret Konvergen Contoh Tunjukkan bahwa deret 1 2 k konvergen. Perhatikan jumlahan parsial berikut S 1 = = 1 2 S 2 = = 3 4 S 3 = = 7 8. S n = n = n

10 Berdasarkan definisi jumlah deret tak terhingga diperoleh: lim S n = lim (1 12 ) n n n = 1 Akar

11 Akar Deret Divergen Kita tunjukkan deret Σ ( 1)k divergen. Diperhatikan bahwa deret ini dapat diekspansi sebagai berikut Σ ( 1)k = sehingga jumlah parsialnya diperoleh { 1 jika n ganjil S n := 0 jika n genap karena S n tidak mempunyai limit (divergen) maka disimpulkan deret Σ ( 1)k juga divergen.

12 Akar Deret Teleskoping Kita tunjukkan deret konvergen. 1 k 2 + k

13 Akar Dengan menggunakan pecahan parsial kita dapat menyajikan a k = 1 k 2 + k = 1 k(k + 1) = 1 k + 1 k + 1 Jadi, jumlah parsial n sukunya dapat disajikan sebagai berikut n 1 n ( 1 S n = k 2 + k = k + 1 ) k + 1 ( = 1 1 ) ( ) ( ) 4 ( 1 = ) ( ) = 1 1 n + 1 ( ( 1 n 1 n n 1 n + 1 ) 1 n + 1 )

14 Jadi, jumlah deret adalah S n = n ( 1 k 2 + k = lim 1 1 ) n n + 1 Pada deret teleskoping ini, sebagian besar suku-sukunya saling menghilangkan kecuali suku awal dan suku akhirnya sehingga rumus jumlah parsial S n mempunyai bentuk yang sederhana. Akar

15 Akar Deret Geometri Deret geometri mempunyai bentuk umum ar k 1 := a + ar + ar 2 + ar dengan a disebut suku pertama dan r disebut rasio. Diperhatikan jumlah parsial deret geometri ini S n := a + ar + ar 2 + ar ar n 1 Selanjutnya, dengan mengalikan kedua ruas dengan r, diperoleh rs n = ar + ar 2 + ar ar n 1 + ar n Bila kedua kesamaan ini dikurangkan maka akan diperoleh: S n rs n = a ar n (1 r)s n = a(1 r n ) S n = a(1 r n ) (1 r)

16 Sekarang kita amati nilai S n untuk n ). Bila r = 1 maka S n tidak terdefinisi karena muncul pembagian dengan nol. Jika r > 1 maka suku r n dan (1 r n ) sehingga S n tidak konvergen. Demikian juga bila r < 1 maka S n tidak konvergen. Sekarang, bila 1 < r < 1 maka r n 0 sehingga lim S a(1 r n ) a(1 0) n = lim = lim n n (1 r) n (1 r) = a (1 r) Jadi deret geometri konvergen jika r < 1 dengan jumlah S = a (1 r) Akar

17 Latihan kan bentuk jumlah parsial S n sehingga tidak memuat lambang Σ lagi. Bila deret ini konvergen, hitunglah jumlahnya 1. k=2 2. k=0 ( 1 k ( ) 1 k (k + 1)(k + 2) ) Akar

18 Dua pertanyaan yang berkaitan dengan deret tak berhingga a k adalah 1 Apakah deret konvergen 2 Bila konvergen, berapakah jumlahnya. Kecuali deret-deret khusus seperti yang telah diberikan sebelumnya, untuk mengetahui kekonvergenan suatu deret bukanlah pekerjaan yang mudah. Bahkan, deret yang sudah dipastikan konvergen tidaklah terlalu mudah untuk mendapatkan jumlahnya. Pendekatan numerik biasanya digunakan untuk menentukan jumlah deret secara aproksimasi. Namun, ada kasus dimana visualisasi numerik tidak dapat memerikan gambaran apapun tentang kekonvergenan deret tak berhingga. Akar

19 Sebagai contoh, perhatikan contoh berikut Contoh Diberikan deret Selidikilah kekonvergenan deret ini. Untuk melihat secara intuitif dan visualisasi jumlah deret ini, kita perhatikan jumlah parsial ke n 1 k S n := n Komputasi numerik memberikan data sebagai berikut: S 10 = 2, 9290, S 100 = 5, 1874, S 1000 = 7, 4855 Akar

20 Terlihat bahwa kenaikan jumlah parsialnya sangat lambat sehingga berdasarkan data ini seolah-olah jumlah deret akan menuju bilangan tertentu atau konvergen. Akar Dilihat dari polanya, suku-suku pada deret ini yaitu a k = 1 k semakin mengecil dan menuju nol. Walaupun demikian, belumlah menjamin bahwa jumlahnya konvergen ke bilangan real tertentu.

21 Akar Penyelesaian Diperhatikan S = = 1 = 1 ( ) ( ) > ( ) ( ) = = ( ) 2 = Karena S > ( ) dan ruas kanannya menuju maka disimpulkan deret ini divergen.

22 Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. integral ini menggunakan ide dimana suatu integral didefinisikan melalui bentuk jumlahan. Memang, kedua notasi Σ dan ini mempunyai kaitan yang erat. Teorema Jika a k = f (k) dimana f (x) fungsi positif, kontinu dan turun pada x 1 maka kedua ekspresi berikut a k dan 1 f (x)dx sama-sama konvergen atau sama-sama divergen Akar

23 Bukti Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini Figure: Jumlah Atas dan Bawah Luas Persegipanjang Akar

24 Akar Luas persegipanjang pada gambar di atas adalah L1 = A1, L2 = A2,..., LN = A n 1 Luas persegipanjang pada gambar dibawah adalah A1 = a1, A2 = a2,..., AN = an Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dari x = 1 sampai dengan x = n adalah I n = n 1 f (x)dx Dari ketiga luasan tersebut berlaku hubungan A1 + A2 + A An I n L1 + L2 + L Ln a 2 + a 3 + a a n I n a 1 + a 2 + a 3 + a a n 1

25 Jadi, S n a 1 I n S n a n (1) Misalkan integral 1 f (x)dx < (konvergen), maka berdasarkan persamaan di atas didapatkan dan S = 1 f (x)dx := lim n I n lim n S n a 1 a k := lim n S n 1 f (x)dx + a 1 < Akar

26 Sebaliknya, jika deret a k konvergen maka lim n a n = 0 dan berdasarkan (3.1) diperoleh 1 f (x)dx := lim n I n lim n (S n a n ) = S 0 < Selanjutnya, kedivergenan kedua ekspresi ini juga didasarkan pada ketidaksamaan (3.1) dan dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti diatas. Akar

27 Contoh Lakukan uji integral untuk melihat bahwa deret S = 1 k divergen. Penyelesaian Diambil f (x) := 1 x, x 1. Fungsi f (x) kontinu, positif dan turun pada x 1 dan f (k) = 1 k. Selanjutnya, 1 f (x)dx = 1 1 x dx = lnx 1 = ln ln1 = (divergen) Deret S = 1 k disebut Deret Harmonik. Lebih umum, deret harmonik diperumum menjadi Deret-p, Akar

28 Contoh Tentukan harga p agar deret-p berikut S = konvergen. Penyelesaian 1 k p Diambil f (x) = 1 x p, x 1. Fungsi f (x) kontinu, positif, turun pada x 1 dan f (k) = 1 k. Telah diperoleh pada Bab Integral p Tak Wajar bahwa x p dx = p 1, p > 1 divergen, p 1 Oleh karena itu deret S = 1 k p konvergen untuk p > 1 Akar

29 Jika diperhatikan pada integral diatas maka Integral dimulai dari x = 1. Dalam kasus batas ini lebih dari 1 maka teorema ini tetap berlaku. Untk kasus ini kita harus menentukan nilai b > 1 sehingga fungsi f (x) positif, kontinu dan turun untuk x > b. Secara sederhana hasil ini dikaitkan pada kenyataan bahwa kekonvergenan suatu deret tidak ditentukan oleh sejumlah berhingga suku-suku awal tapi ditentukan oleh takberhingga banyak suku-suku dibelakangnya. Akar

30 Contoh lah kekonvergenan deret berikut Σ k, dan jika ek/5 konvergen hitunglah jumlahnya secara aproksimasi. Penyelesaian Bila diambil fungsi f (x) = x maka fungsi ini positif dan e x/5 kontinu untuk x > 0. Tetapi sifat turunnya belum dapat dipastikan. Akar

31 Diperhatikan grafiknya pada gambar berikut Figure: Grafik Fungsi f(x) Akar

32 Berdasarkan gambar tersebut, fungsi f (x) = pada awalnya e x/5 naik kemudian turun terus. Untuk memastikan titik dimana fungsi mulai turun, digunakan materi pada kalkulus elementer, f turun jika dan hanya jika f (x) < 0. ( ) 1 f (x) = e x/5 x 5 e x/5 < 0 e x/5 (1 x/5) < 0 x Akar

33 Karena e x/5 0 maka diperoleh harga nolnya, (1 x/5) = 0 x = 5. jadi fungsi f (x) turun untuk x > 5. Selanjutnya, kekonvergenan deret diperiksa dengan menghitung integral tak wajar. 5 xe x/5 dx Dengan menggunakan definisi integral tak wajar, dan teknik integrasi parsial diperoleh Akar

34 Akar 5 T xe x/5 dx = lim xd( 5e x/5 ) T 5 ( = lim 5xe x/5 T 5 T = lim T ( 5xe x/5 25e x/5 ) T 5 5 ) 5e x/5 dx = lim T ( 5Te T /5 25e T /5 + 25e e 1 ) T + 5 = 5 lim + lim 50 T T e = 5 lim T e T / et /5 e = e < Karena integral tak wajat ini konvergen maka disimpulkan deret di atas juga konvergen

35 ada dua macam uji komparasi, yaitu uji komparasi langsung dan uji limit komparasi Ide pada uji ini adalah membandingkan suatu deret dengan deret lain yang konvergen, juga dengan deret lain yang divergen. Akar

36 Misalkan ada dua deret tak berhingga a k dan b k dengan 0 a k b k untuk setiap k N, N suatu bilangan asli. i. Jika deret b k konvergen maka deret a k konvergen ii. Jika deret a k divergen maka deret b k divergen Akar

37 Bukti i. Karena b k konvergen maka b k <. Selanjutnya a k = N 1 a k + a k N 1 a k + yang berarti deret a k konvergen b k < (2) Akar

38 Akar ii. Karena a k divergen dan a k 0 maka a k = sehingga a k = k=n Akhirnya didapat, b k = N 1 b k + N 1 a k a k = (3) b k k=n = N 1 N 1 yang berarti deret b k divergen b k + a k (4) k=n b k + = (5)

39 Untuk menggunakan uji ini dibutuhkan deret lain sebagai pembanding. pekerjaan memilih deret yangtepat yang akan digunakan sebagai bahan perbandingan tidaklah sederhana, sangat bergantung dari pengalaman. Namun dua deret penting yaitu deret p dan deret geometri sering digunakan sebagai deret pembanding. Contoh lah kekonvergenan deret k (k + 2)2 k Akar

40 Penyelesaian a k = k (k + 2)2 k = k k + 2 ( ) 1 k 2 ( ) 1 k 2 ( ) 1 k m Diambil b k =. Diperhatikan bahwa ( ) 1 k 2 2 merupakan deret geometri yang konvergen sebab r = 1/2. jadi, deret k juga konvergen. Dengan menggunakan (k + 2)2k pendekatan numerik diperoleh jumlah deret secara aproksimasi adalah 0,4548 (Silahkan cek) Akar

41 Latihan Gunakan uji integral untuk mengetahui kekonvergenan deret di bawah ini. Bila konvergen, tentukan nilai untuk aproksimasi jumlahnya 1. k=2 2. k=2 1 (2 + 3k) 2. lnk k. Akar

42 Akar Limit Misalkan a k > 0 dan b k > 0 untuk k cukup besar, diambil a k I := lim k b k Jika 0 < L < maka kedua deret a k dan b k sama-sama konvergen atau sama-sama divergen. Untuk melakukan uji ini dalam menguji kekonvergenan deret a k dilakukan prosedur sebagai berikut: 1. Temukan deret b k yang sudah diketahui sifat kekonvergenannya, dan bentuk suku-sukunya b k mirip dengan a k a k 2. Hitunglah limit L = lim k, pastikan nilainya positif. b k 3. Sifat kekonvergenan deret a k akan sama dengan deret b k

43 Akar Dalam kasus dimana L = 0 maka pengujian dengan alat ini dinyatakan gagal, sehingga harus dilakukan dengan uji yang lain. Latihan Lakukan uji komparasi limit untuk mengetahui sifat kekonvergenan deret, nila konvergen, hitunglah jumlahnya secara aproksimasi a. b. 3k + 2 k(3k 5) 1 k k c. 1 2k + 3 d. 1 kk 2

44 Akar Secara intuitif, deret a k dengan suku-suku positif akan konvergen jika kekonvergenan barisan a k ke nol cukup cepat. Bandingkan kedua deret ini 1 k dan 1 k 2 Telah diketahui bahwa deret pertama divergen sedangkan deret kedua konvergen. Faktanya, kekonvergenan barisan 1 k 2 menuju nol lebih cepat dari barisan 1 k. Selain daripada itu, untuk mengukur kecepatan konvergensi ini dapat diperhatikan pola rasio a k+1 /a k untuk k cukup besar. Ide ini merupakan dasar pembentukan uji rasio, seperti pada teorema berikut ini

45 Akar Teorema Diberikan deret a k dengan a k > 0, dan dihitung L = lim k a k+1 a k diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: 1 Jika L < 1 maka deret a k konvergen 2 Jika L > 1 atau L = maka deret a k divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan) Contoh Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut k k k!

46 Penyelesaian Karena a k = kk k! k k L = lim k k! = lim k = lim k = lim k maka diperoleh (k + 1) k+1 (k + 1)! k k k! (k + 1) k k k (k + 1) k+1 k k = lim k (k + 1)! k! (k + 1) k = lim k k k ( k ) k = e 2, 7183 Akar

47 Latihan Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut k 2 2 k Akar

48 Akar Akar Pada bahasan sebelumnya kita dapatkan bahwa lim k a k = 0 belumlah menjamin bahwa deret konvergen, karena dapat saja deret tersebut divergen. Pada uji akar ini akan dilihat kekonvergenan deret melalui suku-suku k a k. Teorema Diberikan deret a k dengan a k 0 dan dihitung L = lim k k ak diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: 1 Jika L < 1 maka deret a k konvergen 2 Jika L > 1 atau L = maka deret a k divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan)

49 Latihan Gunakan uji akar untuk mengetahui apakah deret ( ) k 2 k konvergen. Bila konvergen, aproksimasikan jumlahnya. Akar

50 Pemilihan uji merupakan masalah tersendiri yang juga membutuhkan pengalaman agar tepat memilih uji mana yang akan dipakai. Namun, dari beberapa contoh sebelumnya, uji rasio lebih cocok digunakan pada deret yang suku-sukunya memuat eksponen dan faktorial. Sedangkan uji akar lebih cocok untuk deret dengan suku-suku memaut pangkat k. Akar

51 Latihan Gunakan uji rasio atau uji akar untuk mengetahui kekonvergenan deret dibawah ini, jika konvergen hitung nilainya. a. b. c. ) k ( k 3k + 1 ( k 5 ) ( k! 2 k k! ) Akar