Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung 2002

Transkripsi

1 Bandung

2 DAFTAR ISI Judul Kata Pengantar Daftar Isi i ii iv Bab Fungsi Real. Sistem Bilangan Real. Fungsi dan Grafi 6. Limit dan eontinuan.4 Limit ta Hingga dan Limit di Ta Hingga 7 Bab Turunan dan Penggunaan. Turunan Fungsi. Turunan Fungsi Trigonometri 5. Teorema Rantai 7.4 Turunan Tingat Tinggi 9.5 Fungsi Implisit.6 Kemonotonan dan Keceungan Fungsi.7 Nilai Estrim dan Asmtot 5.8 Dalil Delhopital 4 Bab Integral dan Penggunaan 44. Integral Ta Tentu 44. Notasi Sigma 46. Integral Tentu 48.4 Luas Daerah 54.5 Volume Benda Putar 56.6 Panjang Kurva 6 Bab 4 Fungsi Transenden Fungsi Invers Fungsi Logaritma dan Fungsi Esponen Fungsi Invers Trigonometri Fungsi Hiperboli Fungsi Invers Hiperboli Limit Bentu Ta Tentu 77 Bab 5 Teni Pengintegralan dan Integral Ta Wajar 8 5. Rumus Bau Integral 8 5. Integral Bagian 8 5. Integral Fungsi Trigonometri Integral dengan Substitusi Integral Fungsi Rasional Integral Ta Wajar 99 Bab 6 Barian dan Deret 6. Barisan Bilangan 6. Deret Ta Hingga 5 6. Deret Berganti Tanda

3 6.4 Konvergen Mutla dan Bersarat Deret Kuasa Deret Talor dan Mac Laurin Turunan dan Integral Deret Kuasa Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa 7. Order Persamaan Diferensial 7. Persamaan Diferensial Linear Order Satu 5 7. Peubah Terpisah Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Ta Homogen 4 Bab 8 Kalulus Fungsi Vetor 9 8. Kurva Bidang 9 8. Fungsi Vetor 4 8. Gera Partiel dan Kelengungan Komponen Normal dan Tangensial 5 Bab 9 Fungsi Peubah Bana 5 9. Domain dan Range 5 9. Permuaan Turunan Parsial Vetor Gradien dan Turunan Berarah Nilai Estrim 68 Bab Integral Rangap 7. Integral Rangap Dua 7. Volume dan Pusat Massa 79. Integral Rangap Tiga 8.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola 85 Bab Kalulus Integral Vetor 89. Medan Vetor 89. Integral Garis 9. Integral Permuaan 99 Daftar Pustaa 5

4 DAFTAR PUSTAKA []. Edwin J Purcell, Dale Van berg, Calculus with analtic Geometr, 5 th, Prentice Hall, USA, 987 []. Anton Howard, Calculus, rd, John Wile and sons, USA, 988 []. Kurt Arbenz, Alfred Wohlhauser, Advanced Mathematics for Practicing Engineering, Artech House Inc, USA, 986 [4]. Earl D Rainville, Phillip E Bedient, Elementar Differential Equations, 7 th, Mawell Macmillan international Editions, Singapore, 989 [5]. Stanle J Farlow, An Introduction to Differential Equations and Their Applications, Mc Graw-Hill Inc, USA, 994 [6]. William E Boce, Richard C Diprima, Elementar Differential Equation and Boundar Value Problems, 5 th, John Wile and Sons Inc, Canada, 99.

5 BAB TURUNAN DAN PENGGUNAAN. Turunan Fungsi. Turunan Fungsi Trigonometri. Teorema Rantai.4 Turunan Tingat Tinggi.5 Fungsi Implisit.6 Kemonotonan dan Keceungan Fungsi.7 Nilai Estrim dan Asmtot.8 Dalil Delhopital. Turunan Fungsi Misal diberian grafi fungsi f() dengan P ( a, b ) terleta pada urva f(). Bila titi Q (,) merupaan titi sembarang pada urva f() maa gradien garis PQ dapat dinataan dengan : b f ( ) f ( a) mpq a a Bila titi Q digeraan sehingga berimpit dengan titi P maa garis PQ aan merupaan garis singgung urva f() di titi P dengan gradien : f f a m lim ( ) ( ) a a Definisi Turunan dari fungsi f() di titi a didefinisian sebagai gradien dari garis singgung urva f() di a dan diberian: f f f a '( a) lim ( ) ( ) a a Bila nilai limit ada maa f() diataan diferensiabel atau dapat diturunan di a. Misal h - a. Maa turunan f() di a dapat ditulisan : f '( f a h f a a ) lim ( + ) ( ) h h df ( a) d( a) Notasi lain : f '( a) '( a) d d

6 Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fungsi f() di titi a menataan ecepatan, V() benda ang bergera dengan lintasan f() pada saat a. Oleh arena dv ( a) itu, didapatan hubungan V( a) f'( a) dan percepatan, A(), Aa ( ). d Teorema Bila f() diferensiabel di a maa f() ontinu di a. Teorema tersebut tida berlau sebalina, aitu ada fungsi ang ontinu tetapi tida diferensiabel. Hal ini, ditunjuan oleh contoh beriut. Contoh. Tunjuan bahwa f ( ) ontinu di tetapi tida diferensiabel di Fungsi f ( ) ontinu di, sebab f ( ) lim f ( ) Turunan f ( ) di dicari menggunaan rumus beriut : f h f h f '( ) lim ( + ) ( ) lim h h h h Karena lim h lim h maa f() tida diferensiabel di. h h h + h Sebagaimana pengertian dari eberadaan limit fungsi ( limit iri limit anan ) dan eontinuan fungsi ( ontinu anan dan ontinu iri ), dapat juga diturunan suatu pengertian diferensiabel anan dan diferensiabel iri. Definisi Misal fungsi f() diferensiabel di a. Maa dapat didefinisian : f a h f a Diferensiabel Kanan, f ' ( + ) ( ) + ( a) lim h + h dan f a h f a Deferensiabel Kiri, f ' ( + ) ( ) ( a) lim h h Keontinuan suatu fungsi merupaan sarat perlu dari suatu fungsi ang diferensiabel. Artina untu menunjuan bahwa suatu fungsi deferensiabel di suatu titi maa fungsi tersebut harus ontinu di titi tersebut. Selanjutna diperisa apaah nilai diferensiabel anan sama dengan diferensiabel iri. Hal ini diperlihatan pada contoh beriut.

7 Contoh., Tentuan nilai a dan b agar fungsi f ( ) diferensiabel di. a + b, > Ditunjuan f() ontinu di, aitu f ( ) lim f ( ) lim ( a + b) atau a + b + + Dari diferensial anan sama dengan diferensial iri, didapatan : f ' () f ' + () f ( + h) f () f ( + h) f () lim lim h + h h h a( + h) + b ( + h) ( + h) lim lim h + h h h Dari persamaan terahir didapatan nilai a. Sehingga nilai b. Jadi agar fungsi diferensiabel di maa bentu fungsi aitu, f ( ), > Untu menentuan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus digunaan definisi formal di atas, namun aan lebih mudah digunaan rumus sebagai beriut : d r ( ). r r ; r R d d( f ( ) + g( ) ) d( f ( ) ) dg ( ( )). + d d d d( f ( ) g( ) ) ( ) ( ). g d f ( ) f dg ( ) ( ) + ( ) d d d f d( ( ) g ( )) gdf ( ) ( ( ) ) f( dg ) ( ( )) 4. d g ( ) Contoh. Cari turunan dari fungsi beriut :. f ( ). f ( ) ( ) +. f ( ) +

8 4. f ( ). Digunaan rumus pertama, didapatan : f ' ( ). f ( ) ( ). Digunaan rumus edua, didapatan : f ' ( ) Dapat juga diterapan rumus etiga dengan memandang f() U() V(), U ( ) dan V ( ). Misal U() + dan V() +. Dengan menerapan rumus eempat ( ) didapatan, ' + + f ( ) + + ( ) ( ) Soal latihan. ( Nomor sd ) Tentuan d d dari :. 6.. ( + ) ( )( ) 4 5. ( + )( + )

9 5 ( Nomor sd ) Tentuan nilai a dan b agar fungsi beriut diferensiabel di nilai ang diberian. a + ; <. f ( ) ; b ; a b ; <. f ( ) ; ; ; <. f ( ) ; a + b ;. Turunan Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupaan fungsi ontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titi sama dengan nilai fungsina, aitu : lim sin sin a dan lim cos cos a a a Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, aitu : h h a d( sin a) ( a h) a lim sin sin sin cos + lim + d h h h h h sin d( sin a) lim Karena cos a h a h maa d Sedangan untu turunan fungsi cosinus diperoleh beriut: d ( cos a) ( ) d a h a lim cos + cos lim h h h h h sin sin a + h sin a Untu turunan fungsi trigonometri ang lain dapat diperoleh dengan menerapan rumus perhitungan turunan : sin d( tan ) d( cos ). sec d d cos d( cot ) d( sin ). csc d d

10 d. d 4. ( ) d sec ( cos ) d sec tan d ( ) d csc ( sin ) d csc d 6 cot Untu menentuan / menghitung limit fungsi trigonometri di ta hingga dan limit ta hingga, digunaan sifat atau teorema ang diberian tanpa buti beriut. Teorema Misal f() g() h() berlau untu setiap di dalam domainna. Bila lim f ( ) lim h( ) L maa lim g ( ) L Contoh.4 Hitung limit beriut ( bila ada ). lim sin + cos a. lim + sin sin a. Misal f ( ). Dari - sin maa sin. Karena lim lim maa lim sin. b. Bila mendeati nol dari arah anan maa + cos mendeati, sedangan nilai sin aan mengecil atau mendeati nol. Oleh arena itu, bila dibagi dengan bilangan positif ecil seali ( mendeati nol ) maa aan menghasilan bilangan + cos ang sangat besar ( mendeati ta hingga ). Jadi lim + sin Soal latihan. ( Nomor sd 7 ) Hitung limit fungsi beriut ( bila ada ) + cos. lim sin. lim cos

11 7. lim sin 4. lim sin π 5. lim sin lim sin + sin 7. lim cos ( Nomor 8 sd ) Tentuan turunan pertama dari: 8. sin cos 9. cos tan. sin cos. Persamaan garis singgung urva f() di titi ( a,b ) dengan gradien m dinataan dengan : - b m ( - a ). Sedangan persamaan garis normal dari f () ( garis ang tega lurus terhadap garis singgung ) ang melalui titi ( a,b ) mempunai persamaaan : - b -/m ( - a ). Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva beriut di titi ang dietahui dengan menghitung gradienna terlebih dahulu. a. - di (, ) b. tan di ¼ π. Tentuan nilai a agar fungsi beriut ontinu di sin, a. f ( ) a tan a, < b. f ( ) + a,. Teorema Rantai Untu mendapatan turunan dari fungsi omposisi dapat dilauan dengan cara mencari bentu eplisit dari hasil omposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunaan metode atau aturan rantai. f u( ). Maa turunan pertama terhadap aitu : Misal diberian fungsi : ( )

12 8 d d d( f ( u) ) du ( ( )) f '( u) u' ( ) du d Bila f(u ) dengan u v() maa turunan pertama dari terhadap dicari : d d( f ( u) ) duv ( ( )) dv ( ( )) f '( u) u' ( v) v' ( ) d du dv d Metode penurunan di atas dienal dengan teorema rantai. Contoh.5 Cari turunan dari fungsi f ( ) sin( ) Jawab: Misal u(). Maa fungsi f() dapat dinataan dengan f ( ) sin() u. Turunan df terhadap aitu f '() u u' () cos( ) d Contoh.6 Cari nilai turunan pertama di dari fungsi f ( ) tan π Misal v() π dan u ( v) v,. Maa fungsi dapat ditulisan dengan f ( ) tan u. df π. Nilai turunan di, d π Turunan terhadap, f '() u u' () v v' () sec π aitu π f '() Soal latihan. ( Nomor sd 7 ) Tentuan turunan pertama dari. ( ). sin cos 4. ( ) cos sin tan [ + ]

13 9 7. sin [ cos ( sin ) ] + 8. Hitung f ( ) bila f ( ) + 9. Hitung g ( ½ ) bila gt () cosπt sin πt. Tentuan ( ) (). Tentuan ( ) ( ) fog ' bila f() cos π dan g ( ) fog ' bila f ( ) dan g ( ) 4 4 di titi. Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva ( + ) ( + ) dengan absis..4 Turunan Tingat Tinggi Turunan edua dari fungsi f( ) didapatan dengan menurunan seali lagi bentu turunan pertama. Demiian seterusna untu turunan e-n didapatan dari penurunan bentu turunan e-(n-). df ( ) Turunan pertama f '( ) d d f ( ) Turunan edua f "( ) d d f ( ) Turunan etiga f "'( ) d ( ) d n f ( ) Turunan e-n f n ( ) d n Contoh.7 Tentuan turunan edua dan etiga dari fungsi f ( ) + Turunan pertama, f '( ) + Turunan edua digunaan rumus turunan dari fungsi hasilbagi, f "( ) ( + )

14 Turunan etiga, f "'( ) 5 ( + ) Gera Partiel Misal Lintasan gera partiel P dinataan dengan fungsi parameter s(. Maa Kecepatan, v( dan percepatan, a( gera P diberian oleh Kecepatan, v ( s'( Percepatan, a ( s"( Contoh.8 Lintasan gera partiel P ditentuan oleh persamaan : s ( t t + t Tentuan : a. Kapan partiel P berhenti? b. Besar percepatan P pada saat t a. Kecepatan, v ( s'( t 4t +. Partiel P berhenti berarti ecepatan sama dengan nol, sehingga t / dan t. b. Percetapan, a ( s"( 6t 4. Untu t, maa a( ) 8 Soal Latihan.4 ( Nomor sd 4 ) Tentuan turunan edua dari. sin( ). ( ) cos ( π ) 5. Tentuan nilai c dari f "( c) bila f ( ) Tentuan nilai a, b dan c dari fungsi g( ) a + b + c bila g () 5, g ( ) dan g () Tentuan besar ecepatan sebuah obe ang bergera pada saat percepatanna nol bila lintasan obe dinataan dengan persamaan : a. s ½ t 4-5 t + t. b. s ( t 4 4t + 6t )

15 8. Dua buah partiel bergera sepanjang garis oordinat. Pada saat watu t jara berarah dari titi pusat diberian dengan s dan s. Bilamana edua partiel mempunai ecepatan sama bila : a. s 4 t - t dan s t - t b. s t - t + 8 t + 5 dan s -t + 9 t - t.5 Fungsi Implisit Fungsi dengan notasi f() disebut fungsi esplisit, aitu antara peubah bebas dan ta bebasna ditulisan dalam ruas ang berbeda. Bila tida demiian maa diataan fungsi implisit. Dalam menentuan turunan fungsi implisit bila mungin dan mudah untu dierjaan dapat dinataan secara esplisit terlebih dahulu emudian ditentuan turunanna. Namun tida semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentu esplisit, oleh arena itu aan dibahas cara menurunan fungsi dalam bentu implisit beriut. Contoh.9 Tentuan d bila d Bentu fungsi dapat diubah menjadi bentu esplisit, penurunan didapatan, d 6 d + ( ) Digunaan aturan + Contoh. Tentuan nilai d di (, ) bila 4 + d Bentu fungsi dapat diubah menjadi fungsi esplisit dalam, Menggunaan aturan penurunan didapatan, d d 4 ( ) +. 4

16 Karena d d d ( 4 ) maa d d d d d. Nilai turunan di (, ) atau, Contoh. Tentuan nilai d di bila 4 + d Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunaan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari dan berturut-turut dinataan dengan d dan d. Bila dalam satu suu terdapat dua peubah ( dan ) maa ita lauan penurunan secara d bergantian, bisa terhadap dahulu baru terhadap atau sebalina. Hasil turunan d aan nampa bila masing-masing ruas dibagi oleh d. 4 + d 4d + 4 d + 4 d d d ( ruas iri dan ruas anan dibagi dengan d ) d d d d Substitusi e fungsi didapatan + atau ½ dan -. d Untu (, - ), d d Untu (, ½ ), d Soal latihan.5 ( Nomor sd 5 ) Tentuan turunan pertama dari sin( ) tan ( ) - 6. Dietahui urva ang dinataan secara implisit : Tentuan a. Turunan pertama di b. Persamaan garis singgung dan normal di

17 7. Tentuan persamaan garis singgung dan normal dari urva beriut di titi ang diberian. a. + ; (, ) b. + ; (, ) c. + ; (, ) d. sin ( ) ; ( ½ π, ) e. + cos ( ) + 4 ; (, ) + +. Tentuan : a. d d b. Persamaan garis singgung urva di titi potongna dengan garis Sebuah urva dinataan dalam persamaan implisit : ( ).6 Kemonotonan dan Keceungan Kurva Pada bagian ini penggunaan turunan aan di titi beratan untu mengetahui sifat-sifat ang dimilii suatu urva antara lain emonotonan, eceungan, nilai estrim, titi belo dan asmtot. Hal ini diteanan agar ita mudah dalam menganalisa dan menggambaran grafi fungsi. Pada bagian ahir dari sub bab penggunaan turunan ini, aan dijelasan tentang dalil Delhospital untu menghitung limit fungsi bai limit di suatu titi, limit di ta hingga maupun limit ta hingga. Definisi : Fungsi Monoton Grafi fungsi f() diataan nai pada selang I bila f( ) f( ) > untu > ;, I. Sedangan f() diataan turun pada selang I bila f( ) < f( ) untu > ;, I. Fungsi nai atau turun disebut fungsi monoton. Dalam menentuan selang fungsi monoton nai atau turun digunaan pengertian beriut. Gradien dari suatu garis didefinisian sebagai tangen sudut ( α ) ang dibentu oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m tan α. Bila sudut lancip (α < ½ π ) maa m > dan m < untu α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu urva f() di titi (, ) diberian dengan m f ( ) dan selang fungsi nai atau fungsi turun berturut-turut ditentuan dari nilai gradienna, maa emonotonan fungsi diberian beriut :. Fungsi f() nai bila f '( )>. Fungsi f() turun bila f '( )<

18 4 Contoh. Tentuan selang fungsi nai dan fungsi turun dari fungsi f ( ) Turunan pertama, f '( ) Untu f '( ) >, maa fungsi nai pada < < - ½ atau > dan fungsi turun pada < - atau ½ < <. Secara geometris, grafi fungsi f() ceung e bawah di suatu titi bila urva terleta di bawah garis singgung urva di titi tersebut. Sedangan garfi fungsi f ( ) ceung e atas di suatu titi bila urva terleta di atas garis singgung ang melalui titi tersebut. 4 Definisi : Keceungan Fungsi Fungsi f() diataan ceung e atas pada selang I bila f '( ) nai pada selang I, sedang f() diataan ceung e bawah bila f '( ) turun pada selang I. Oleh arena itu dapat disimpulan :. Bila f "( ) >, I maa f() ceung e atas pada I dan. Bila f "( ) <, I maa f() ceung e bawah pada I. Contoh. + Tentuan selang eceungan dari fungsi : f ( ) + Turunan pertama, f '( ) Turunan edua, f "( ) + ( + ) 4 ( + ) Fungsi ceung e atas, f "( ) > pada selang > - dan fungsi ceung e bawah pada selang < -. Soal Latihan.6 Tentuan selang emonotonan dan eceungan dari urva beriut. f ( ) ( )

19 5. f ( ) + 9. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 7. f ( ) +.7 Nilai Estrim dan Asmtot Misal diberian urva f( ) dan titi ( a,b ) merupaan titi punca ( titi masimum atau minimum ). Maa garis singgung urva di titi ( a,b ) aan sejajar sumbu X atau mempunai gradien m [ f '( a) ]. Titi ( a, b ) disebut titi estrim, nilai a disebut nilai stasioner, sedangan nilai b disebut nilai estrim. Definisi : Nilai Masimum dan Nilai Minimum Nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) masimum pada selang I bila f(a) > f() untu setiap I. Sedangan nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f() untu setiap I. Untu menentuan jenis nilai estrim ( masimum atau minimum ) dari fungsi f() dapat dilauan dengan Uji turunan edua sebagai beriut :. Tentuan turunan pertama dan edua, f '( )dan f "( ). Tentuan titi stasioner aitu pembuat nol dari turunan pertama ( f '( ) ), misalan nilai stasioner adalah a. Nilai f(a) merupaan nilai masimum bila f "( a) <, sedangan nilai f (a) merupaan nilai minimum bila f "( a) >. Contoh.4 Tentuan nilai estrim dan jenisna dari fungsi f ( ) Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumna didapatan nilai stasioner fungsi adalah -, - ½ dan. Turunan edua, f "( ) + +. Untu -, f "( ) dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( - ) -5. 4

20 6 Untu - ½, f "( ) dan fungsi mencapai masimum dengan nilai masimum 5 f ( ) 4 6 Untu, f "() dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum adalah f ( ) -5 Definisi : Titi Belo Misal f() ontinu di b. Maa ( b, f(b) ) disebut titi belo dari urva f() bila terjadi perubahan eceungan di b, aitu di satu sisi dari b ceung e atas dan disisi lain ceung e bawah atau sebalina. Sarat perlu b merupaan absis dari titi belo bila berlau f "( b) atau f() tida diferensiabel dua ali di b. Kata sarat perlu mirip artina dengan ata calon, masudna bahwa untu nilai b ang dipenuhi oleh salah satu dari edua sarat itu memunginan untu menjadi absis titi belo bergantung apaah dipenuhi sarat seperti halna ang tertulis pada definisi. Contoh.5 Carilah titi belo ( bila ada ) dari fungsi beriut : a. f ( ) b. f ( ) 4 c. f ( ) + a. Dari f ( ) maa f "( ). Bila f "( ) maa merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < maa f "( ) <, sedangan untu > maa f "( ) >. Oleh arena itu, di terjadi perubahan eceungan. Jadi (,- ) merupaan titi belo. b. Dari f ( ) 4 maa f "( ). Bila f "( ) maa merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < dan > maa f "( ) >. Oleh arena itu, di tida terjadi perubahan eceungan. Jadi (, ) buan merupaan titi belo. c. Dari f ( ) + maa f "( ) 9 5. Terlihat bahwa f() tida dapat diturunan dua ali di. Untu < maa f "( ) >, sedangan untu > maa f "( ) <. Oleh arena itu, di terjadi perubahan eceungan. Jadi (, ) merupaan titi belo

21 7 Asmtot Asmtot suatu grafi fungsi didefinisian sebagai garis ang dideati oleh suatu urva. Asmtot dibedaan menjadi tiga aitu :. Asmtot mendatar. Asmtot tega. Asmtot miring Misal diberian urva f ( ). Maa garis b disebut asmtot mendatar dari f ( ) bila : lim f ( ) b atau lim f ( ) b. Sedangan garis a disebut asmtot tega bila berlau salah satu dari :. lim f ( ) a. lim f ( ) a. lim f ( ) a 4. lim f ( ) a Contoh.6 Carilah asmtot datar dan asmtot tega dari fungsi f ( ) Asmtot datar, - sebab lim f ( ) lim atau lim f ( ) Asmtot tega, - dan sebab lim f ( ) lim + + lim f ( ) lim + + dan Garis a + b diataan sebagai asmtot miring dari f ( ) bila berlau lim [ f ( ) ( a+ b) ] atau lim [ f ( ) ( a+ b) ]. Untu mendapatan P ( ) asmtot miring dari fungsi rasional f ( ) [ pangat P() + pangat Q() ] Q ( ) dilauan dengan cara membagi P() dengan Q() sehingga hasilbagi ang didapatan merupaan asmtot miring dari f().

22 8 Contoh.7 Carilah asmtot dari fungsi Asmtot datar tida ada sebab Asmtot tega, sebab f ( ) lim lim f ( ) atau f ( ) lim f ( ). lim. 4 Asmtot miring, sebab lim ( ) lim Grafi Fungsi Dalam mengambaran grafi suatu urva dapat dilauan dengan menentuan terlebih dahulu : selang emonotongan, selang eceungan, titi estrim dan jenisna, titi potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titi belo ( bila ada ), semua asmtot ( bila ada ) dan titi lain ( sembarang ) ang dapat membantu memudahan menggambaran grafi. Soal latihan.7 ( Nomor sd 6 ) Tentuan nilai estrim dan jenisna dari urva dengan persamaan beriut :. f ( ) +. f ( ) + 4. f ( ) sin, ( < < π ) 4. f ( ) cos π π, < < 4 5. f ( ) f ( ) 4 4 ( Nomor 7 sd ) Tentuan titi belo dari urva beriut ( bila ada ) 7. f ( ) 6 8. f ( ) + 9. f ( ) 4 + 4

23 9. f ( ) ( Nomor sd ) Cari semua asmtot dari fungsi beriut :. f ( ). f ( ). f ( ) ( ) 4. f ( ) 5. f ( ) 6. f ( ) 4 7. f ( ) + 8. f ( ) 9. f ( ) + ( ). f ( ) 4. f ( ) ( Nomor sd 8 ) Gambaran grafi urva beriut :. f ( ). f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + 8. f ( ) ( + 8)

24 4.8 Dalil Delhospital Dalam perhitungan limit fungsi seringali dijumpai bentu ta tentu dari limit aitu :,,. dan. Untu menelesaianna digunaan cara ang dienalan oleh Delhospital. Bentu dan Misal lim f() lim g() atau lim f() lim g(). Maa f lim ( ) lim '( ) g ( ) f g'( ). Bila masih dijumpai ruas anan merupaan bentu atau maa dilauan penurunan lagi sehingga didapatan nilai ang buan merupaan bentu ta tentu tersebut. Penulisan lim di atas mengandung masud lim, lim, lim, lim atau lim. a a + a Contoh.8 Hitung limit beriut cos a. lim + b. lim 4 + cos a. lim lim sin 4 lim cos b. lim lim lim lim Bentu. Misal lim f() dan lim g(). Maa lim f() g() merupaan bentu.. Untu menelesaianna ita ubah menjadi bentu atau aitu : f lim ( ) ( ) lim ( ) g lim ( f g ). Selanjutna solusi dari limit tersebut g ( ) f( ) diselesaian dengan cara seperti bentu sebelumna.

25 4 Contoh.9 Hitung limit beriut π a. lim sec π / b. lim csc π π a. lim sec lim lim π/ π/ cos π/ sin b. lim csc lim lim sin cos Bentu - Misal lim f() lim g(). Maa untu menelesaian lim [ f() - g() ] dilauan dengan menederhanaan bentu [ f() - g() ] sehingga dapat dierjaan menggunaan cara ang telah dienal sebelumna. Contoh. Hitung lim ( csc cot ) cos cos lim ( csc cot ) lim lim lim sin sin sin sin cos Sebagai catatan bahwa tida semua bentu limit ta tentu dapat diselesaian menggunaan dalil Delhospital. Hal ini seringali terjadi di dalam menelesaian limit fungsi f() dengan f() buan merupaan fungsi rasional. Untu lebih jelasna diberian contoh beriut. Contoh. Hitung limit beriut : a. lim b. lim + +

26 4 Jawab: ( ) a. lim lim b. lim + + lim Soal latihan.8 Hitung limit beriut ( bila ada ) +. lim lim 5. lim lim lim lim + 7. lim csc 8. lim cot ( cos ) 9. lim + +. lim + +. lim + +. lim. l i m lim sin( a ) a

27 4 5. lim tan 5 sin 6. lim sin ( 5 ) 7. lim sin cos sin 8. lim cos 9. lim cos cos 5. lim cos

28 BAB 4 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Invers 4. Fungsi Logaritma dan Fungsi Esponen 4. Fungsi Invers Trigonometri 4.4 Fungsi Hiperboli 4.5 Fungsi Invers Hiperboli 4.6 Limit Bentu Ta Tentu 4. Fungsi Invers Definisi : Fungsi Invers Misal dua fungsi f dan g berlau omposisi beriut : (i) f ( g() ), untu setiap D g. (ii) g ( f() ), untu setiap D f. Maa f disebut invers dari g ( notasi f g - - ) atau g disebut invers dari f ( g f ). Dari definisi di atas diperoleh hubungan, f o f f o f I I merupaan fungsi identitas, aitu fungsi ang memetaan e dirina sendiri. Beriut merupaan contoh fungsi dan inversna. Fungsi f() + mempunai invers f ( ), sebab ( f o f )( ) f ( f ( ) ) f ( ) + ( ) I( ). Satu hal ang menari bagi ita, apaah setiap fungsi puna invers? Bagaimana cara mendapatan invers dari suatu fungsi? Beberapa sifat beriut dapat digunaan untu menjawab pertanaan ini. Sifat-sifat : antara fungsi dan inversna.. Grafi fungsi f dan f - simetri terhadap garis.. Domain f sama dengan range f - - atau range f sama dengan domain f.. Fungsi f() puna invers bila dan hana bila tida ada garis mendatar ang memotong grafi f() lebih dari satu titi. 4. Fungsi f() puna invers bila dan hana bila f() berorespondensi satu-satu [ aitu bila f( ) f( ) maa ]. 5. Misal interval I merupaan domain f() dan f() nai atau f() turun pada I. Maa f() puna invers pada I. Misal f - ( ). Maa didapatan f ( ). Hal ini memot4asi epada ita suatu cara untu menentuan invers dari fungsi f ( ). Untu menentuan invers dari suatu fungsi f ( ) dilauan dengan cara mensubstitusian peubah e dalam, sehingga fungsi dinataan secara esplisit dalam peubah. Tulisan f ( ) dan

29 65 nataan fungsi ang diperoleh tersebut menjadi fungsi esplisit dalam peubah. Hasil terahir merupaan invers dari f ( ). Contoh 4. Tentuan invers dari fungsi f ( ) + f ( ) f ( ) + + Soal Latihan 4. ( Nomor sd 5 ) Tentuan fungsi invers ( bila ada ) dari. f ( ) +, >. f ( ). f ( ) f ( ) +, 5. f ( ) + 6. Tentuan range ( daerah hasil ) dari invers fungsi di atas ( nomor sd 5 ) 4. Fungsi Logaritma dan Esponen Fungsi logaritma dan fungsi esponen merupaan dua fungsi ang saling invers dan dinataan sebagai : b log b ;, b > Sifat-sifat logaritma :. b log. b log b. b log ac b log a + b log c 4. b log a/c b log a - b log c 5. b log a r r b log a c b loga 6. log a c logb

30 66 Bilangan Natural Bilangan natural dinotasian dengan e dan didefinisian sebagai : e lim + lim +, ( ) ( ) Fungsi logaritma natural didefinisian sebagai : ln, t dt > ln e log Turunan fungsi logaritma natural : D [ ] Jadi secara umum : D [ u] ln ln du u d u du ln u + C. Contoh 4. sin Hitung integral d + cos sin + cos Misal u + cos. Maa du - sin. Sehingga d ln( + cos ) + C Esponen Natural Fungsi esponen natural didefinisian sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasian : e ln Sifat ang dapat diturunan langsung dari definisi adalah : ln. e, >. ln e, R Turunan dan integral dari esponen natural: ( ) u u D e e du u u e du e + C d ln a Misal a > dan R. Didefinisian : a e. Maa :

31 67 u (i) [ ] u D a (ln a) a du d u (ii) a du a a u + ln C ln. Maa D ( ) ln a a log Jadi secara umum D ( a log u) a Misal log u ln a du d. ln a Contoh 4. Cari trunan pertama dari fungsi :. f ( ) e. f ( ) 5. Misal u. Maa f ( ) e u. Turunan pertama, df d. 5 ( + ln5) df d df du du d 4e. Contoh 4.4 Selesaian integral beriut : d. ( ). ( ) e d. Misal u ln. Maa du ( ) d dan ( ) d + C. Misal u. Maa du ( - ) d. Sehingga : ( ) ( e d e e )

32 68 Soal Latihan 4. ( Nomor sd 7 ) Tentuan turunan pertama dari :. ln( 5+ 6 ). ln. ln + 4. ( 4) + / ( + ) ( + ) ln( sin ) 7. + ln ( ) ( Nomor 8 sd ) Selesaian integral beriut : 4 8. d d d ( ln ). d + 4. d 4. ( + ) d ( Nomor 4 sd 6 ) Carilah dari : log ( ) 6. log ( Nomor 7 sd ) Selesaian integral ta tentu beriut : 7. d

33 d ( + ) e d. sec ( ) e e d. (cos ) e sin d ln. e d 4. Fungsi Invers Trigonometri Fungsi Trigonometri merupaan fungsi periodi sehingga pada daerah R ( domainna ) buan merupaan fungsi satu-satu. Ini berarti fungsi trigonometri tida mempunai invers, Oleh arena itu untu mendapatan fungsi inversna maa domain dari fungsi trigonometri harus dibatasi. Misal f() sin. Maa agar f() sin merupaan fungsi satu-satu maa domainna diambil : π π ; f ( ) Pada daerah di atas f( ) sin merupaan fungsi satu-satu dan oleh arena itu mempunai invers. Notasi invers : sin f ( ) arc sin f ( ) Turunan fungsi invers Trigonometri Misal sin π π u u ; dengan u merupaan fungsi dalam. d Maa turunan ' didapatan sebagai beriut : d d sin u u sin du cos Bila sin u maa cos u d. Oleh arena itu, du u. u' Jadi : ' u. Dengan menggunaan anti turunan dari invers sinus didapatan rumus integral : du sin u+ C u

34 7 Untu fungsi invers trigonometri ang lain dapat diperoleh dengan cara sama :. cos u [ u ; π ] u' du ' cos u+ C u u u. tan π π u < u < < < ; ' ' + u u. cot π π u u < < < ; ' ' + u du tan u+ C u + cot u+ C u 4. sec π π u u < < ; ' ' π u u u 5. u u < < csc π π ' ; ' u u du sec u+ C 6. u u csc u+ C Contoh 4.5 Cari turunan pertama dari : f ( ) sin ( + ) Misal + df du f '( ) du d u. Maa du d dan ( ) + Contoh 4.6 e Hitung integral beriut : d + e Misal u e. Maa du e d. Sehingga : e ( ) tan tan tan tan π d d e e e e 4 + e + e ( )

35 7 Soal Latihan 4. ( Nomor sd ) Carilah turunan dari :. cos ( + ). cot ( ) cos cos. ( ) 4. tan sin 5. ( ) 6. ( + sec ) 7. sin ( e ) 8. csc + tan e 9. ( ). sin ( ln ) ( Nomor sd 7 ) Hitung integral beriut : d. 4 d. 9 tdt. t 4 + sec d 4. tan d 5. ( ln ) ln e d 6. e ln d 7. ( + )

36 7 4.4 Fungsi Hiperboli Fungsi sinus hiperboli dan cosinus hiperboli didefinisian sebagai beriut : e e e + e sinh dan cosh Untu fungsi hiperboli ang lain : sinh e e. tanh cosh e + e cosh e + e. coth sinh e e. sech cosh e e 4. csch sinh e + e Beriut beberapa identitas ang berlau pada fungsi hiperboli :. cosh - sinh. - tanh sech. coth - csch 4. sinh ( + ) sinh cosh + cosh sinh 5. cosh ( + ) cosh cosh + sinh sinh 6. cosh + sinh e. 7. cosh - sinh e sinh sinh cosh 9. cosh cosh + sinh sinh + cosh -. cosh ( - ) cosh. sinh ( - ) - sinh. sinh ( - ) sinh cosh - cosh sinh. cosh ( - ) cosh cosh - sinh sinh tanh + tanh 4. tanh( + ) + tanh tanh tanh tanh 5. tanh( ) tanh tanh tanh 6. tanh + tanh 7. cosh ( cosh + ) 8. sinh ± ( cosh )

37 sinh + sinh sinh cosh +. cosh + cosh cosh cosh Turunan dan Integral Fungsi Hiperboli Misal sinh u. Maa D e u e u e u e u ' u' cosh u u' +. Jadi : cosh udu sinh u+ C Untu fungsi hiperboli ang lain:. cosh u ' sinh u u' sinh u du cosh u+ C. tanh u ' sec h u u' sech u du tanh u+ C. coth u ' csc h u u' csch u du coth u+ C 4. sec hu ' sechu tanh u u' sechutanh udu sec hu+ C 5. csc hu ' cschucoth u u' cschucoth udu csc hu+ C Contoh 4.7 Cari turunan pertama dari f ( ) tanh( ln [ ] ) Misal u ( ) df dv du dan v ln u. Maa f '( ) sech ln [ ] dv du d Contoh 4.8 d Selesaian integral : tanh ( ) + C coshu Misal u. Maa tanh ( ) d d( coshu) ln( cosh[ ] )

38 74 Soal Latihan 4.4 ( Nomor sd 5 )Tentuan turunan pertama ( ) dari :. cosh 4.. ln ( tanh ). cosh ( / ) 4. sinh ( ) cosh ( 5) ( Nomor 6 sd ) Hitung integral beriut : 6. cosh( ) d 7. csch ( ) d 8. coth csch d 9. coth d. sinh 6 cosh d 4.5 Fungsi Invers Hiperboli Tida semua fungsi hiperboli pada domainna merupaan fungsi satu-satu sehingga tida mempunai invers. Oleh arena itu, agar didapatan fungsi invers hiperboli maa ita batasi domain fungsina. Sedangan untu mencari turunan dari fungsi invers hiperboli dilauan terlebih dahulu cara sebagai beriut. Misal sinh - u. Maa u sinh [ u, ]. e e Jadi : u e u e e ue e u ± u + u + u + sebab: e >, ln u+ u + ( ) Turunan Fungsi invers Hiperboli. Misal sinh u ln u+ u +. Maa : u u' ' + u' u+ u + u + u + Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperboli, didapatan :

39 75 du sinh u+ C u + Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperboli, sebagai beriut :. u cosh ln u+ u, { u } u' du ' cosh u+ C u u + u tanh u ln, u < u u' du ' tanh u C, bila u + < u u. { } u + coth u ln, { u > } u u' du ' coth u + C, bila u > u u + u sech u ln, { < u } u u' du ' u u u u + u h u csc ln + u u ' u u' du + u u + u sec h u + C, { u } csc h u + C Contoh 4.9 Cari turunan pertama dari : f ( ) sech ( e ) Misal u e. Maa f '( ) e

40 76 Contoh 4. d Hitung integral : + 4 d d sinh + C Soal Latihan 4.5 ( Nomor sd ) Tentuan d/d dari :. cosh ( + ). coth ( ) csch e. ( ) 4. tanh 5. sinh 6. cosh ( cosh ) 7. ln( cosh ) 8. coth 9. sinh ( tanh ). e sech. tanh +. ( + csc h ) ( Nomor sd ) Hitung integral beriut :. d d

41 / 4 / d 9 5 d e sin d + cos d + dt t 6 + dt t t 4.6 Limit Bentu Ta Tentu Dalam menentuan turunan dari fungsi berpangat fungsi dapat digunaan sifat logaritma natural. Misal f ( ) g ( ). Maa didapatan : ln g( ) ln f ( ). Oleh arena itu, turunan dari, aitu : g ( ) ' g'( )ln f ( ) + f '( ) f ( ) g ( ) f ( ) Contoh 4. Tentuan turunan pertama dari fungsi ( +) cos Misal f() + dan g() cos. Maa f () dan g () - sin. Sehingga turunan pertama, cos ' sin ln( ) ( + ) cos Sedangan limit dari fungsi berpangat fungsi, lim lim f ( ) g ( ) aan a a memunculan bentu ta tentu beriut :, dan. Untu menelesaianna dihitung: lim ln lim [ g( ) ln f ( ) ] a a

42 78 Misal nilai dari lim ln a A. Maa lim e A. a Contoh 4. Hitung limit beriut a. lim ( ) cos b. lim ( tan ) π c. lim + a. Limit mempunai bentu ta tentu. Misal ( + ). Maa lim ln lim ln ( + ) dan mempunai bentu ta tentu. Menggunaan lhospital didapatan : lim ln lim. Jadi lim ( + ) e + b. Limit mempunai bentu ta tentu. Misal cos ( tan ). Maa ln tan lim ln lim cos ln( tan ) lim lim sec sec tan π π π π cos Jadi lim ( tan ) π c. Limit mempunai bentu ta tentu. Misal. Maa lim ln lim ln lim ln lim Jadi lim + + Soal Latihan 4.6 Hitung limit beriut ( bila ada ) :. lim ( ) +. lim ( sin )

43 79. lim cos 4. lim ( e ) + 5. lim ( ) ln + ln 6. lim ( ln ) 7. lim ( + 5 ) + 8. lim +

44 BAB 6 BARISAN DAN DERET 6. Barisan Bilangan 6. Deret Ta Hingga 6. Deret Berganti Tanda 6.4 Konvergen Mutla dan Bersarat 6.5 Deret Kuasa 6.6 Deret Talor dan Mac Laurin 6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa 6. Barisan Bilangan Barisan bilangan ta hingga didefinisian sebagai fungsi dengan domain merupaan bilangan bulat positif. Notasi ang biasa digunaan adalah: a : n { an} a a n,,..., n B +. a n R merupaan suu barisan e-n dan tiga buah titi setelah suu edua menunjuan bahwa suu-suu barisan tersebut sampai ta hingga. Contoh 6..,,,...,,... n n n. n n,,...,,... n + n n +. {( ) n ( n+ ) }, 45,,...,( ) n+ ( n+ ),... n a n disebut barisan onvergen e L R bila n L, sedangan bila limit tida ada atau nilaina ta hingga maa barisan Barisan bilangan ta hingga { } lim n an bilangan ta hingga { } Sifat limit barisan : a n disebut barisan divergen. n. lim C C n. lim ( Can + Dbn) C lim an + D lim b n n n n

45 4. lim anbn lim an lim bn n n n a 4. lim n b n lim a n lim b n ; lim b n n n n n Contoh 6. Selidii eonvergenan barisan bilangan beriut n +. n n 9 7.,,, n + n +. Suu e-n, a n. lim an lim. Jadi barisan onvergen e n n n n 9 7 n n.,,,...,,,...,,... Suu e-n, an. Digunaan dalil n n n n ln Delhopital, lim a n lim lim. Jadi barisan divergen. n n n n Definisi : Barisan Monoton a n n (i) Monoton Nai bila an an+ (ii) Monoton Turun bila an an+ Barisan bilangan ta hingga { } disebut barisan : Soal Latihan 6. ( Nomor sd ) Tentuan onvergensi barisan beriut! n. n + n ( ) + n. n n π n. 4 n n

46 5 n n + 4. n + n n 5. n n n 6. n n ,,,, ,,,, ,,, ( )( 4)( 4 5),,, Deret Ta Hingga Bentu deret ta hingga dinataan dengan notasi sigma sebagai beriut : a a+ a a+... a disebut suu-suu deret. Jumlah Deret Misal S n menataan jumlah parsial n suu pertama deret a S a S a+ a n Sn a+ a an a Barisan { S n } n disebut barisan jumlah parsial deret a.. Maa

47 6 Misal { S n } n merupaan barisan jumlah parsial deret a dan barisan { S n } n onvergen e S. Maa deret a diataan deret onvergen e S dan S disebut jumlah dari deret a, dinotasian dengan : S a. Sedangan bila barisan { S n } n divergen maa deret a diataan deret divergen dan tida ada jumlah. Deret Geometri Bentu deret geometri aitu : ar a ar ar dengan a dan r merupaan rasio. Pandang jumlah parsial n suu deret geometri beriut : Sn a+ ar ar n r S n a r a r n + a r n... a ( r n) Sn r Bila r maa S n tida terdefinisi. Sedang untu r > maa lim r n, sehingga n lim S n atau barisan { S n } divergen. Oleh arena itu, deret ar n n divergen.. Untu r < maa lim n a r sehingga lim S n atau barisan n n r a { S n } onvergen e ( a ). Jadi deret ar n onvergen e r a ( a ) atau ar a ( a ). r r

48 7 Deret Harmonis Bentu deret harmonis aitu : Pandang jumlah parsial n suu pertama deret : Sn n > n n Untu n maa ( + ½ + ½ + + /n ), sehingga lim itu, deret harmonis divergen. S n n. Oleh arena Tes Konvergensi Misal a merupaan deret positif ( a ). Maa lim a bila deret a onvergen. Hal ini menunjuan bahwa bila lim a maa deret a divergen. Menggunaan impliasi di atas dapat diselidii eonvergenan suatu deret ang diberian pada contoh beriut Contoh 6. Selidii eonvergenan deret beriut :. +. +

49 8. Suu e-, a dan lim a lim. Sebab nilai limit tida + + sama dengan nol maa deret divergen.. Suu e-, a dan lim a lim. Sebab nilai limit sama + + dengan nol maa impliasi di atas tida dapat digunaan untu menentuan eonvergenan deret. Untu mengetahui onvergenan suatu deret dilauan tes onvergensi sebagai beriut :. Tes Integral Misal a merupaan deret positif. Maa : (i) Deret onvergen bila a d onvergen (ii) Deret divergen bila a d divergen Contoh 6.4 Selidii eonvergenan deret e b b a d d e lim lim lim b e e a b b e b Karena integral ta wajar di atas onvergen e maa deret e e onvergen e e dan e e.. Tes Deret-p Bentu deret-p atau deret hiperharmonis : Menggunaan tes integral didapatan : p dengan p >.

50 9 d lim p p b b p Bila p > maa lim b b p, sehingga d ( onvergen ). Oleh p p arena itu, deret p untu p > onvergen e. Untu < p < maa p lim b b p sehingga d divergen. Sedang untu p didapatan deret p harmonis. Oleh arena itu, deret p untu < p divergen.. Tes Perbandingan Misal a dan b merupaan deret positif dan berlau a b,. Maa: (i) Bila deret b onvergen maa deret a onvergen (ii) Bila deret b divergen maa deret a divergen Contoh 6.5 Tentuan onvergensi deret beriut.. +. Pandang : < dan arena deret harmonis juga divergen. divergen maa deret

51 . Pandang : + < dan arena deret-p onvergen maa deret juga onvergen Tes Ratio a + Misal a deret positif dan lim r. Maa : a (i) Bila r < maa deret a onvergen (ii) Bila r > maa deret a divergen (iii) Bila r maa tes gagal melauan esimpulan ( dilauan dengan tes lain ). Contoh 6.6 Selidii eonvergenan deret Misal a. Maa lim! lim! a + a +. Jadi deret onvergen! 5. Tes Aar Misal a deret positif dan lim a a. Maa : (i) Bila a < maa deret a onvergen (ii) Bila a > atau a maa deret a divergen (iii) Bila a maa tes gagal melauan esimpulan ( dilauan dengan tes lain ).

52 Contoh Tentuan eonvergenan deret + + Misal a. Maa lim a lim + onvergen.. Jadi deret 6. Tes Limit Perbandingan a Misal a dan b merupaan deret positif dan lim l. Maa edua deret b onvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < dan l. Contoh 6.8 Tentuan onvergensi deret Pandang deret-p, onvergen. Misal a dan b. Maa a lim lim. Jadi deret b onvergen. Soal Latihan 6. Tentuan onvergensi deret beriut

53 5 sin 4.! sin ( + ) ( + ) ( )( )( )

54 ( ) + ln 5 / 4 + ( + ) 5 +! + 6. Deret Berganti Tanda Bentu deret berganti tanda : ( ) a atau ( ) + a dengan a. Pengujian onvergensi deret berganti tanda dilauan dengan cara beriut : Deret berganti tanda ( ) a atau ( ) + a onvergen bila dipenuhi dua sarat : (i) a a+ (ii) lim a Bila paling sediit salah satu sarat tida dipenuhi maa deret diataan divergen. Contoh 6.9 Tentuan onvergensi deret :. a. ( ) +. ( ) + +

55 4. Misal a. Maa a a >. Oleh arena itu, a a +. onvergen. Sedangan lim a lim. Jadi deret ( ) +. Misal a. Maa + a + ( + ) + ( + ) a >. Oleh arena itu, a a+. Sedangan + lim a lim. + Jadi deret + ( ) + + onvergen. Soal Latihan 6. Tentuan onvergensi deret beriut. ( ) + +. ( ) ( ) ln 5. ( ) + e

56 5 6.4 Konvergen Mutla dan Bersarat Deret u disebut onvergen mutla bila deret u onvergen. Bila deret onvergen mutla maa onvergen. Sedang deret u disebut onvergen bersarat bila deret u onvergen tetapi deret u divergen. Pengujian eonvergenan ( mutla ) deret u dilauan dengan tes ratio. Misal u + u dengan u dan lim u r. Maa (i) Bila r < maa deret u onvergen absolut (ii) Bila r > maa deret u divergen (iii) Bila r maa tes gagal melauan esimpulan Contoh 6. Selidii deret beriut onvergen mutla / bersarat / divergen :. ( ) 5 ( ). 4 ( ).. Misal u ( ) u +. Maa lim lim 5 u ( ) onvergen mutla Jadi deret 5

57 6. Misal u ( ) 4 u +. Maa lim u lim + ( 4) ( + ) ( 4) 4. Jadi deret ( ) 4 divergen.. Bila dilauan pengujian di atas maa didapatan r ( gagal ). Dari contoh ( ) sebelumna, deret ( ) onvergen tetapi deret divergen ( ) ( deret harmonis ). Jadi deret onvergen bersarat. Soal Latihan 6.4 Selidii eonvergenan ( mutla, bersarat dan divergen ) deret beriut. ( ) ln. ( ) +!. ( ) +! ( ) ( ) 5 cos π 6.! 6.5 Deret Kuasa Bentu umum deret uasa dalam ( - b ) aitu : a ( b) a + a ( b) + a ( b) +... (*) Sedang untu b maa bentu deret sebagai beriut :

58 7 a a + a+ a +... (**) Deret uasa bentu (*) onvergen untu b dan bentu (**) onvergen untu ( aitu onvergen e a ). Pengujian apaah ada nilai ang lain ang menebaban deret onvergen dilauan sebagai beriut : Misal diberian deret a ( b) a ( ) + b + dan lim L a ( b) Maa : () L <, deret a ( b) onvergen ( mutla ) () L >, deret a ( b) divergen. Untu L tida dapat disimpulan, pengujian onvergensi deret dilauan dengan mensubstitusian nilai ang bersesuaian dengan L sehingga didapatan bentu deret bilangan. Pengujian onvergensi deret bilangan dilauan dengan berbagai uji ( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) bai deret positif maupun deret berganti tanda. Nilai ang didapatan dari pengujian di atas disebut radius onvergensi atau selang onvergensi deret. Contoh 6. Tentuan selang onvergensi deret uasa : ( + ) + + ( + ) + L lim lim ( + ) + Deret onvergen bila L <. Oleh arena itu, < atau < <. ( ) Bila - / maa didapatan deret berganti tanda onvergen. ( + ) (Tunjuan : menggunaan tes deret berganti tanda ). Sedang untu / didapatan deret ( + ) divergen ( Tunjuan : menggunaan tes perbandingan ). Jadi radius onvergensi deret uasa adalah <.

59 8 Soal Latihan 6.5 ( Nomor sd 9 ) Tentuan semua nilai ang menebaban deret onvergen.. ( + ).!.! ( ) 4. ( + ) 5 5. ( ) ( ) 7. ( )! + 8. ( ) ( + )! 9. ( ) + ( Ln ) ( Nomor sd 8 ) Tentuan selang eonvergenan dari deret: ( ). ( ) + n ( ). ( ). +! ( ). 5 ( + ) 4. ( ) + ( ) 5. ( ) 4 ( + ) ( + )! 6. ( )

60 ( Ln )( ) ( ) Deret Talor dan Mac Laurin Misal f() dapat diturunan sampai ali pada b. Maa f() dapat diperderetan menjadi menjadi deret uasa dalam bentu : ( ) f ( b) f ( b) f"( a) ( ) f ( b) + f '( b)( b) + ( b ) +...!! Deret di atas disebut Deret Talor dengan pusat b atau disebut dengan polinomial Talor pada b. Bila b maa disebut Deret Mac Laurin, aitu berbentu : f ( ) ( ) f f ( ) "( ) f ( ) + f '( ) !! Contoh 6. Perderetan fungsi beriut e dalam deret Mac Laurin. f ( ) e. f ( ). Bila f ( ) e ( ) maa f n ( ) e ( ) dan f n ( ). Oleh arena itu, deret Mac Laurin dari f ( ) e, aitu : e. Dari perderetan tersebut terlihat! bahwa deret onvergen untu setiap nilai riil atau selang / radius onvergensi deret adalah R.. Bila f ( ) maa f ( n ) n! ( ) dan f ( n ) n ( ) n ( )!. Oleh arena itu, deret Mac Laurin :. Selang onvergensi deret aitu < atau ( -, ). Kedua bentu deret di atas dapat digunaan untu membantu memperderetan fungsi e dalam deret Mac Laurin atau Talor tanpa harus menghitung turunanna terlebih dahulu, dengan sarat bahwa radius atau selang onvergensina sebanding.

61 Contoh 6. Perderetan fungsi beriut e dalam deret talor dengan pusat diberian beriut. f ( ) e ;. f ( ) ;. Karena f ( ) e mempunai turunan e-n untu setiap nilai riil maa selang onvergensina adalah R. Oleh arena itu, dengan membandingan pola perderetan e maa didapatan perderetan dari f ( ) e aitu! ( ) e.!. Karena f ( ) tida diferensiabel di dan fungsi aan diperderetan e dalam deret talor dengan pusat di maa tempat eduduan titi-titi - < merupaan selang onvergensina. Oleh arena itu, perderetan fungsi f ( ) dalam deret talor dengan pusat di : f ( ) ( ) ( ) + (. ) Soal Latihan 6.6 ( Nomor sd ) Perderetan fungsi beriut dalam deret Mac Laurin. f ( ) e. f ( ) +. f ( ) + 4. f ( ) + 5. f ( ) + 6. f ( ) + 7. f() sinh 8. f() sin 9. f() cos. f() sec

62 ( Nomor sd 6 ) Carilah polinomial Talor pada b, bila :. f() Ln ; b. f ( ) ; b. f ( ) ; b + 4. f() cos ; b ½ π 5. f() sinh ; b Ln 4 6. f() sin π ; b ½ 6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa. Maa : f t dt a t b () dt C C Misal deret a ( b) f ( ) a ( b) (i) f '( ) a ( b) (ii) ( ) mempunai radius onvergensi R dan Contoh 6.4 Perderetan dalam Mac Laurin fungsi. f() tan -.. f() ln ( - ). f ( ) ( ). Pandang : tan dt + dan ( ) t + ( ) Maa tan +. + dt +. Pandang : ln( ). Maa ln( ) t +

63 . Karena f ( ) f ( ) ( ) merupaan hasil penurunan terhadap dari, maa ( ) Soal Latihan 6.7 Tentuan perderetan mac Laurin dari :. f() ln ( + ). f ( ) ln +. f() ln ( + ) 4. f ( ) ( ) 5. f ( ) ( + ) 6. f ( ) ln( + dt 7. f ( ) tan t dt

64 BAB 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA 7. Order Persamaan Diferensial 7. Persamaan Diferensial Linear Order Satu 7. Peubah Terpisah 7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen 7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Ta Homogen 7. Order Persamaan Diferensial Bana permasalahan dalam bidang reaasa ang beraitan dengan persamaaan diferensial. Satu contoh ang ditampilan disini, misal dalam rangaian listri, RL, besar uat arus I ( Ampere ) dalam satuan watu ( t ) ang melalui rangaian tersebut dihitung menggunaan rumus beriut : L di + RI E() t atau L I' + RI E() t dt Bentu rumus di atas merupaan persamaan diferensial dengan t merupaan satusatuna peubah bebas. Sedangan besaran Tahanan R ( Ohm ) dan Indusi L (Henr) diberian. Fungsi E ( t ) merupaan besaran gaa eletromagneti / voltase ( Volt ). Dalam notasi implisit, bentu persamaan diferensial di atas dapat ditulisan : f I', I, t ( ) Persamaan diferensial merupaan persamaan ang beraitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suu-suu dari fungsi tersebut dan atau turunanna. Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas real maa disebut Persamaan Diferensial Biasa ( PDB ). Sedangan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maa disebut Persamaan Diferensial Parsial ( PDP ). Untu lebih memperjelas pengertian PDB dan PDP diberian beberapa contoh persamaan diferensial beriut.. d [ Persamaan Air ] d. d + [ Persamaan Bernoulli ] d. d + d + ( 4) [ Persamaan Bessel ] d d d d 4. ( ) + [ Persamaan Van Der Pol ] d d 5. u u + [ Persamaan Flu ]

65 4 6. u t 7. u t u [ Persamaan Panas ] u [ Persamaan Gelombang ] 8. u u + [ Persamaan Laplace ] Persamaan sd 4 merupaan PDB dengan peubah bebas, dan peubah ta bebas,, sedangan persamaan 5 sd 8 merupaan PDP. Mengawali pembahasan tentang PDB dienalan suatu istilah dalam persamaan diferensial aitu order. Order dari PD adalah besar turunan tertinggi ang terjadi pada PD tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunai order sedangan persamaan Air, Bessel dan Van Der Pol berorder. Berdasaran sifat elinearan ( pangat satu ) dari peubah ta bebasna, persamaan diferensial dapat dibedaan menjadi PD Linear dan PD tida linear. Bentu umum PD linear order n diberian : ( ) ( ) a n n a ( ) ' + a ( ) f ( ) dengan an( ) an( ),..., a ( ) disebut oefisien PD. Bila f() maa disebut PD Linear Homogen sedang bila f() maa disebut PD Linear ta Homogen. Bila tida dapat dinataan seperti bentu di atas diataan PD tida Linear. Dari contoh terdahulu, persamaan Air dan Bessel merupaan PD Linear ( Homogen ) sedangan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupaan PD tida linear. Misal diberian fungsi : sin - cos +. Bila dilauan penurunan sampai duaali: ' cos + sin dan " sin + cos, didapatan hubungan : "+ Bentu di atas merupaan PD Linear ta Homogen order dengan oefisien onstan. Sedangan fungsi sin - cos + disebut solusi PD. Yang menjadi permasalahan disini, Bila diberian suatu PD bagaimana cara mendapatan solusina? Beberapa cara mendapatan solusi PD aan dibahas pada sub bab beriut. Untu mempermudah dalam mempelajari cara mendapatan solusi PD aan dimulai dengan pembahasan dari bentu PD order satu. Soal Latihan 7. Klasifiasian PD beriut menurut : order, linear atau tida linear, homogen atau tida homogen.

66 5. d + d. d d d d d d. d u + t du + u t dt dt 4. d v t v dt 5. d d + sin d 6. ( ) d + sin + sin 7. d + d 7. Persamaan Diferensial Linear Order Satu Bentu umum PD linear order satu : ' + p( ) f ( ). Untu menentuan solusi PD dilauan sebagai beriut : ' + p( ) f ( ) u( ) ( ' + p( ) ) u( ) f ( ) u ( ) ' + u ( ) p ( ) u ( ) p ( ) Pandang [ ] [ u ' ] [ ] [ ] u( ) ' + u'( ) u'( ) u( ) p( ) u( ) f ( ) u ( ) ' u ( ) ' + u'( ). Misal u '( ) u ( ) p ( ). Maa didapatan: ( ) u ( ) f( ). Dengan mengintegralan edua ruas terhadap didapatan solusi PD Linear order satu, aitu : u ( ) f( ) d u ( ) Karena bentu di atas merupaan integral ta tentu maa solusi masih mengandung onstanta C dan disebut Solusi Umum PD. Fungsi u() disebut fator integrasi dan dicari dari : u'( ) u ( ) p ( ) atau u ( ) e p ( ) d Solusi husus PD dapat ditentuan mensubstitusian nilai awal - (a) b ang diberian - e dalam solusi umum untu menghitung besar nilai C.

67 6 Contoh 7. Dietahui PD : ' e. Tentuan :. Solusi umum PD. Solusi husus PD bila nilai awal, ( ) -. Dari PD didapatan p() - dan f() e. Fator integrasi, u ( ) e p( ) d e d e Solusi umum, u f d e ( ) ( ) ( + C) u ( ). Dari solusi umum, didapatan dengan mensubstitusian dan - e dalam solusi umum sehingga didapatan C -. Jadi solusi husus PD, e ( ) Soal latihan 7. ( Nomor sd 5 ) Tentuan solusi umum PD beriut:. '+ e. ' e. d + sin d 4. d d + 5. d + d ( Nomor 6 sd ) Tentuan solusi husus PD beriut : 6. ' ; ( ) 7. ' + 4 ; ( ) 8. d + ; ( ) d 9. d ; ( ) d. d d ; ( ) 4. ( + e d ) + e ; () d. Dari rangaian listri, RL dietahui indusi L Henr, tahanan R 6 Ohm dan gaa eletromagneti / voltase E Volt. Tentuan besar uat arus ( I dalam

68 7 ampere) ang melalui rangaian tersebut dalam fungsi t, bila pada saat t, maa uat arus I. Hitung pula besar uat arus, I setelah watu t. Rangaian listri, RC, dinataan oleh rumus : R dq Q + dt C Et ( ) dengan muatan Q (Coulomb ), Kapasitor C ( Farads ) dan gaa eletromagneti / Voltase E( ( Volt ). ( Nomor dan 4 ) Menggunaan rumusan di atas hitunglah besarna muatan ( Q ) pada watu t bila pada watu t besar muatan Q.. R 5, C, dan E( 4. R, C dan E( e. 7. Peubah Terpisah Seringali dijumpai pada PD order satu, peubah dan dapat dipisahan sehingga peubah dapat dielompoan dengan d dan peubah dapat dielompoan dengan d pada ruas ang berbeda. Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dicari tanpa harus menentuan fator integrasi, dengan mengintegralan edua ruas. Bentu umum PD peubah terpisah diberian beriut : d M( ) ' atau N ( ) d M ( ) d. Solusi umum PD didapatan dari d N( ) penelesaian integral beriut : N ( ) d M ( ) d. Contoh 7. Dietahui PD : '. Tentuan : +. Solusi umum PD.. Solusi husus PD bila diberian ( ).. PD dapat ditulisan dalam bentu : d d + d d Sehingga ln ln( + ) + ln C ln C( + ). + Solusi umum, C ( + ). Dari solusi umum didapatan C. Solusi husus, +.

69 8 Soal Latihan 7. ( Nomor sd 6 ) Tentuan solusi umum PD beriut.. '. d cos d +. d + d 4. d d 5. d e + d 6. d sin d cos ( Nomor 7 sd ) Tentuan solusi husus PD beriut. 7. d ; ( ) d 8. d d 9. d d ; ( ) + 4 ; ( ) 6. d + ; ( ) d 4. d ; ( ) e d. sin d + cos d ; ( π/ ) π/ ' + + ; ( ). ( )( ) 7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen Fungsi F(,) disebut fungsi homogen bila terdapat n R sehingga berlau F, n F (, ). n disebut order dari fungsi homogen F(,). ( ) Contoh 7. Selidii apaah fungsi beriut merupaan fungsi homogen. Bila a, tentuan orderna.. F(, )