BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK 56 BAB IV ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Salah satu apliasi dari eori erron-frobenius yang paling terenal adalah penurunan secara alabar untu beberapa sifat yang dimilii oleh matris stoasti. enurunan sifat matris stoasti ini lebih dihusuan untu matris stoasti berdasaran teori rantai Marov disrit. ada bab ini aan difousan apliasi eori erron-frobenius dalam mencari distribusi limit dari rantai Marov tersebut. 4. Matris Stoasti dan Rantai Marov Matris persegi nonnegatif disebut stoasti baris, yaitu ia umlah pada setiap barisnya adalah satu. Secara umum, stoasti baris ini cuup disebut dengan stoasti. Matris stoasti olom sendiri didefinisian serupa, yaitu ia umlah pada setiap olomnya adalah satu.. Namun, pada pembahasan tugas ahir ini dibatasi hanya untu asus matris stoasti (baris). Matris stoasti berperan penting dalam teori rantai Marov yang merupaan bagian dari proses stoasti. roses stoasti itu sendiri didefinisian sebagai barisan peubah aca { X, t } t, yaitu untu setiap t ita mempunyai eori erron-frobenius untu Matris Stoasti
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK peubah aca X t. Seringali ita menginterpretasian indes t sebagai watu, arena banya seali proses stoati yang teradi pada suatu selang watu. Nilai peubah aca X t disebut dengan eadaan pada saat t. Himpunan disebut ruang parameter atau ruang indes dari proses stoasti dan himpunan semua nilai X t yang mungin disebut dengan ruang eadaan (state). roses stoasti dengan ruang parameter disrit dan ruang eadaan disrit ini dienal dengan rantai Marov. Rantai Marov ini memilii sifat husus, yaitu ( t+ / t i, t i,..., 0 i ) ( t+ S / t i ) X S X S X S X S X X S t t 0 t untu setiap t 0,,2..., dengan ruang eadaannya adalah { S, S2,..., S n}. Sifat husus tersebut menyataan bahwa prosesnya bersifat memoryless, yaitu peluang eadian pada periode beriutnya hanya dipengaruhi periode saat ini sedangan periode sebelumnya tida memilii pengaruh apapun. Rantai Marov dapat dinyataan dengan menggunaan matris stoasti. Untu membutian hal tersebut, perhatian bahwa nilai ( / ) p X S X S i t t i adalah peluang berada di state S pada periode e-t diberian bahwa pada periode e- ( t ) berada di states Si. Nilai p i disebut dengan peluang transisi dari state Si e state () n n t pi() t setiap barisnya pasti bernilai satu, sehingga ( ) S pada periode e-t. Matris peluang transisi merupaan matris nonnegatif dan umlah dari elemen pada peluang transisi tida bergantung pada watu (yaitu ( ) t adalah matris stoasti. Jia, p t p untu setiap t ), maa rantai tersebut diataan stasioner atau homogen dan matris transisinya adalah matris stoasti onstan p i. i i eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 57
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Selanutnya, aan disaian beberapa teorema yang menunuan sifat matris stoasti. ada teorema beriut ini diberian nilai spectral radius untu matris stoasti. ( ) eorema 4. Misalan n nadalah matris stoasti, maa ρ. Buti. Matris adalah satu atau n n adalah matris dengan umlah elemen pada setiap barisnya atau secara eivalen, e e, dimana e adalah vetor dengan elemennya bernilai satu. Karena (, e ) adalah pasangan arateristi untu setiap matris stoasti dan arena ρ ( ) untu setiap norm matris, maa ρ( ) ρ( ). Lebih auh lagi, e adalah vetor arateristi positif yang berorespondensi ( ) dengan ρ. Namun, hal ini buan berarti bahwa e adalah vetor erron untu arena bisa tida ta teredusi. Sebagai contoh, perhatian matris 0.5 0.5. Matris 0 tida ta teredusi dan e buan vetor erron untu. 4.2 Vetor Distribusi eluang Vetor distribusi peluang didefinisian sebagai vetor nonnegatif ( ) p p, p,..., p n dimana 2 n p. Untu Rantai Marov dengan n buah state, vetor distribusi peluang langah e- didefinisian sebagai ( 2 n ),, dimana ( ) ( ) ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p,,..., 0,, 2,... p X S. Dengan ata lain, p ( ) adalah peluang berada di state S setelah langah tetapi sebelum langah e-( + ). Vetor distribusi awal adalah buah eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 58
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK ( p p2 p n ), dimana p ( 0) ( X0 S ) ( ) ( ) ( ) ( ) p 0 0, 0,..., 0 yaitu peluang bahwa rantai dimulai dari state S., Langah e- dari distribusi dapat diuraian dengan menggunaan teori peluang. Kita tahu bahwa yang saling bebas. eluang bersyarat ( \ ) ( ) ( ) ( F) ( ) + ( F) ia dan ia diberian eadian F eadian F adalah F F / F. Untu menentuan omponen e-, yaitu p () pada ( ) p diberian p ( 0), tulis () ( ) ( 0 0 2... 0 ) ( ) ( )... ( p X S X S X S X S X Sn X S X0 S X S X0 S2 X S X0 S n i n i n i ( 0 i) X S X S ( ) 0 i ( / 0 i) X S X S X S ( ) p 0 p, untu setiap,2,..., n i Aibatnya, ( ) ( 0) i p p. Hal ini menunuan bahwa distribusi yang teradi satu langah selanutnya setelah ita mulai dengan. Namun, sifat husus memoryless pada rantai Marov menyataan bahwa eadian pada langah e- hanya bergantung eadian pada langah e-( ). Aibatnya p ( 2) p ( ), ( 3) ( 2) p ( 0) p p, dan seterusnya. Dengan melauan subtitusi, ita bisa memperoleh 2 2 p p p... p 0). ( ) ( ) ( ) ( Jadi, distribusi pada langah e- tersebut ditentuan dari distribusi awal dan matris transisi dari hasil ali vetor-matris adalah p p 0. (4.) ( ) ( ) n ) eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 59
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Misalan ( ) dan ia ita tulisan p ( 0) ei untu (4.), maa ita p i peroleh ( ) ( ) p p i untu setiap i, 2,..., n. Dengan demiian, ita peroleh esimpulan bahwa elemen e-( i, ) dari matris adalah peluang transisi dari state Si e state S dengan tepat langah. Oleh arena itu, biasa disebut dengan matris transisi langah e-. 4.3 Distribusi Limit dari Rantai Marov Dalam menganalisis limit dari rantai Marov, ita dapat membagi matris stoasti menadi dua bagian berdasaran sifat teredusinya, yaitu matris stoasti ta teredusi dan matris stoasti teredusi. Untu matris stoasti ta teredusi, ita bisa melihat asus dimana lim ada (yaitu primitif) dan lim tida ada (yaitu imprimitif). Begitu pula untu matris stoasti teredusi, ita bisa melihat asus dimana li m ada dan lim tida ada. 4.3. Distribusi Limit dari Matris Stoasti a eredusi Untu asus matris stoasti ta teredusi, ita bisa membaginya menadi dua bagian, yaitu matris primitif dan matris imprimitif. Jia adalah matris primitif, maa ita tahu bahwa nilai dari lim ada. Vetor erron untu adalah e/ n, yaitu vetor distribusi seragam. ( 2 Misalan π π, π,..., π n ) adalah vetor erron untu, maa π π2 πn ( / ) π π π π π e n e π ( e/ n) π e > (4.2) π π2 πn 2 lim π n e 0 berdasaran eorema 3.9. Oleh arena itu, ia primitif maa distribusi limit peluangnya ada dan diberian oleh eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 60
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK ( ) ( ) ( ) lim p lim p 0 p 0 eπ π. (4.3) Selanutnya, ia adalah matris imprimitif, ita tahu bahwa terdapat h > buah nilai arateristi pada lingaran spetral dan lim tida ada (Definisi 3.8 dan eorema 3.9). Aibatnya, lim p ( ) uga tida ada. Dalam statistia, li m ini tida ada disebaban oleh setiap state pada rantai Marov bersifat periodi, yaitu untu periode lebih besar dari satu, suatu state aan embali pada state yang sama. Aibatnya, nilai lim aan onvergen e suatu bentu tertentu untu ganil dan aan onvergen e suatu bentu yang berbeda untu genap. Namun, pada tugas ahir ini pembahasan mengenai bentu lim tersebut tida aan dibahas. Kita aan melihat bentu limit yang lain dari matris transisi ini. Kita tahu bahwa setiap nilai arateristi pada lingaran satuan adalah simple berdasaran eorema 3.22, artinya adalah Cesaro Summable dari eorema 3.23. Aibatnya ia maa terdapat vetor erron iri, sebut ( e/ n) π π ( / ) e/ n adalah vetor erron untu ( 2 π π, π,..., π n, sehingga 2 n π π π2 π + + + e π n e I lim > 0 e n π e π π2 πn ) π π π yang mempunyai nilai limit yang sama pada (4.2) untu asus primitif. Jadi, distribusi peluang langah e- mempunyai limit Cesaro yang diberian oleh eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 6
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK ( 0) + ( ) + + ( ) p p p lim + + + lim p ( 0) p ( 0) eπ π I yang memilii bentu yang sama dengan asus primitif pada (4.3). Limit Cesaro ini tida bergantung pada distribusi awal sama halnya untu asus etia limitnya ada. Selanutnya, ita aan menginterpretasian masud dari limit Cesaro ini. Caranya adalah dengan memfousan pada salah satu state, sebut Kemudian, ita definisian sebuah barisan peubah aca { } yang menyataan umlah unungan e state Z dan untu i >, 0 S. Misal,, ia rantai dimulai dari state S 0, lainnya Z 0 S. Z i, ia rantai berada di state S setelah langah e - i 0, lainnya erhatian bahwa Z0 + Z +... + Z adalah umlah unungan e state S sebelum langah e-, maa ( Z + Z +... + Z ) / menyataan frasi 0 dari watu untu sampai di S sebelum langah e-. Nilai espetasi dari Z i adalah [ ]. ( ) 0. ( 0) ( ) ( Z Z + Z Z p i. i i i i ) Karena espetasi bersifat linear, maa espetasi dari watu berada di S sebelum langah e- adalah eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 62
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK [ ] [ ] [ ] Z... 0 + Z+... + Z + + + Z Z Z 0 ( 0) + ( ) +... + ( ) p ( 0) + p ( ) +... + p ( ) p p p π Dengan ata lain, frasi watu untu urun watu yang cuup lama yang dihabisan di state S adalah π, yaitu omponen e- dari limit Cesaro atau omponen e- dari vetor erron iri. Ketia lim p ( ) lim p ada, maa ( ) ( 0) + ( ) + + ( ) p p p lim. Jadi, interpretasi dari distribusi limit, lim p ( ), untu asus matris primitif aan sama halnya dengan interpretasi dari limit Cesaro untu asus matris imprimitif. Beriut ini adalah ringasan mengenai sifat-sifat yang dimilii oleh rantai Marov ta teredusi. eorema 4.2 Misal Marov ta teredusi dengan state adalah matris peluang transisi untu rantai { } S, S2,..., S n, yaitu adalah matris stoasti ta teredusi beruuran n n. Misalan pula π adalah vetor erron iri untu distribusi awal. ernyataan beriut benar untu setiap vetor ( 0) p. (a). Matris transisi langah e- adalah arena elemen e- ( i, ) dari langah. adalah peluang transisi dari state S e state S i dalam eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 63
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK ( ) ( ) (b). Vetor distribusi langah e- diberian oleh p p 0. (c). Jia primitif dan ia e adalah vetor dengan elemennya bernilai satu maa lim eπ (d). Jia imprimitif, maa I+ + + lim dan ( ) lim p π. eπ dan ( 0) + ( ) + + ( ) p p p lim π. (e). anpa memperhatian primitif ataupun imprimitif, elemen e-, yaitu π, pada π menyataan frasi watu untu urun watu yang cuup lama bahwa rantai berada di state S. (f). Vetor π biasa disebut dengan vetor distribusi stasioner untu rantai arena vetor distribusi ini tunggal yang memenuhi π π. 4.3.2 Distribusi Limit dari Matris Stoasti eredusi Karena eorema erron-frobenius tida secara langsung dapat dipaai untu rantai Marov teredusi (rantai untu matris teredusi), strateginya adalah dengan melauan manipulasi untu matris teredusi tersebut. Jia teredusi maa terdapat matris permutasi Q dan matris persegi X dan Z sehingga X Y QQ. Untu mempermudah penulisan, 0 Z ita notasian dengan ~ X Y. Jia X atau Z teredusi, maa 0 Z permutasi simetri lainnya bisa diperoleh untu menghasilan eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 64
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK R S X Y ~ 0 U V 0 Z, dimana R, 0 0 W U, dan W adalah matris persegi. Dengan mengulang proses yang sama sehingga dihasilan X X X ~ X X X 0 0 X 2 2 22 2, dimana setiap X ii ta teredusi atau X ii [ 0 ]. Jia terdapat baris dengan elemen ta nol hanya terdapat pada blo diagonal, maa permutasian secara simetris semua baris e bagian bawah sehingga diperoleh ~ 2 r, r+, r+ 2 m 0 22 2 r 2, r+ 2, r+ 2 2 m 0 0 rr r, r+ r, r+ 2 rm (4.4) 0 0 0 r+, r+ 0 0 0 0 0 0 r+ 2, r+ 2 0 0 0 0 0 0 mm dimana setiap,..., rr ta teredusi atau [ 0 ], dan,..., r+, r+ mm ta teredusi (setiap blonya tida mungin nol arena setiap barisnya harus berumlah ). Seperti yang telah disebutan dalam bab sebelumnya pada Definisi 3.9, efe dari permutasi simetri adalah mengubah posisi titi pada atau pada rantai Marov. Ketia state dalam rantai diubah posisinya sehingga memilii bentu seperti (4.4), ita sebut untu matris teredusi. Ketia G ( ) dalam bentu cannonical dalam bentu cannonical, subset dari eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 65
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK state yang berorespondensi dengan untu r disebut dengan elas transien e- (arena etia ita eluar dari state tersebut, maa elas transien ini tida dapat dimasui embali) sedangan subset dari state yang berorespondensi dengan untu disebut dengan r+, r+ elas ergodi e-. Setiap elas ergodi adalah rantai Marov ta teredusi yang embali e state dirinya sendiri yang berada pada rantai teredusi beruuran besar. Untu selanutnya, ita aan mengasumsian bahwa state dalam rantai teredusi telah diurutan atau diubah sehingga dalam bentu cannonical. Matris stoasti yang berada dalam bentu cannonical tersebut aan dinotasian dengan. ada bab sebelumnya dinyataan bahwa ia matris stoasti ta teredusi mempunya h buah nilai arateristi pada lingaran satuannya maa h buah nilai arateristi ini adalah aar e- h dan setiap aarnya adalah nilai arateristi simple untu. Hal yang sama tida bisa diataan untu matris stoasti teredusi, tetapi dengan bentu cannonical (4.4) bisa berlau seperti pada teorema beriut ini. eorema 4.3 Nilai arateristi satuan untu matris stoasti didefinisian sebagai nilai arateristi pada lingaran satuan. Untu setiap matris stoasti n n, pernyataan beriut benar. Setiap nilai arateristi satuan dari adalah semisimple. 2 / Setiap nilai arateristi satuan mempunyai bentu λ e πi h untu suatu < h n. Buti. Jia ta teredusi maa hal ini telah dibutian pada eorema 3.22. Jia teredusi, misalan terdapat permutasi simetri sehingga berada dalam bentu cannonical seperti pada (4.4) maa ( ) ρ < eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 66
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK untu setiap,2,..., r untu ( ) 0. Hal ini berlau ia [ ]. erhatian r ta teredusi. Karena pasti terdapat blo, yang mempunyai elemen ta nol, maa e dan e dimana e e e adalah vetor dengan elemennya bernilai. Jia ( ) ρ, maa hal ini aan membuat e berdasaran eorema 3.20 (ontradisi). Jadi haruslah e ( ) ρ < untu setiap, 2,..., r. (4.5) Aibatnya, nilai arateristi satuan untu adalah olesi atau umpulan dari nilai arateristi satuan dari matris ta teredusi,..., +, +. Namun, setiap nilai arateristi dari +, + adalah simple r r mm r i r i dan merupaan aar semesta (eorema 3.22). Aibanya, ia λ adalah nilai arateristi satuan untu maa λ pasti merupaan suatu aar semesta. Walaupun nilai λ bisa muncul lebih dari satu ali arena λ muncul lebih dari satu, ma ( λ ) mg ( λ ) r+ i r+ i, hal ini pasti merupaan asus dimana. Jadi, λ adalah nilai arateristi semisimple untu. Untu mencari bentu distribusi limit dari rantai Marov teredusi maa ita asumsian bahwa berada dalam bentu cannonical (4.4). Namun sebelumnya, ita aan membutian terlebih dahulu bahwa setiap matris stoasti bersifat Cesaro Summable (eorema 2.28). eorema 4.4 Setiap matris stoasti adalah Cesaro Summable, yaitu I+ +... + lim ada. eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 67
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Nilai dari limitnya adalah proyetor G pada N ( I ) ( ) R I. sepanang Buti. Bentu dan interpretasi dari Cesaro Summable untu matris ta teredusi telah dibutian sebelumnya. Jadi, ita hanya perlu membutian untu asus adalah matris teredusi. Misalan 2 0 22 bentu cannonical (4.4), dimana r, r+ m,, 2 rr r, r+ rm 2 r+, r+ mm dan (4.6) Kita tahu dari (4.5) bahwa ρ ( ) < ( ) ρ <. Aibatnya, untu setiap,2,..., r, sehingga I+ +... + Selanutnya, masing-masing dari lim lim 0,...,, r+ r+ mm. adalah matris stoasti ta teredusi, maa ia π adalah vetor erron iri untu, r+ m, maa berdasaran hasil sebelumnya pada (4.2) ita peroleh + r+ 22 +... + 22 I lim eπ. π e m Lebih auh lagi, elas berdasaran eorema 3.9 bahwa lim 22 ada ia dan hanya ia masing-masing dari hal ini, lim. 22,...,, r+ r+ mm adalah primitif. Dalam eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 68
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Oleh arena itu, semua limitnya (bai untu limit Cesaro ataupun limit biasa) aan berbentu I+ +... + lim 0 Z lim G 0 ) (arena G adalah proyetor pada N ( I ) (ia ada). Untu menentuan bentu dari Z, ita aan menggunaan fata bahwa R ( ) N menulisan ( G I ) untu I 2 0 Z I G 0 0 I Z 2. 0 I 22 0 ( ) ( ) Karena I adalah matris nonsingular ( arena ρ ( ) < ( ) Z I. 2 ), aibatnya Beriut ini adalah ringasan mengenai sifat-sifat yang dimilii oleh rantai Marov teredusi. eorema 4.5 Misalan state pada rantai Marov teredusi telah diurutan sedemiian rupa sehingga matris transisi berada dalam bentu cannonical 2 0 22 seperti pada (4.4) dan (4.6). Misalan pula π adalah vetor erron iri untu ( r+ m), maa I nonsingular dan... ( ) 2 I+ + + 0 I lim, dimana 0 eπ r+. π e m eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 69
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Lebih auh lagi, lim ada ia dan hanya ia masing-masing dari,..., r +, r + mm adalah primitif. Dalam hal ini, lim 0 I. 0 ( ) 2 Berdasaran eorema 4.5, ita bisa menyimpulan bahwa setiap rantai Marov teredusi pada ahirnya aan terabsorpsi (terperangap) pada salah satu dari elas-elas ergodi, yaitu pada salah satu bagian rantai yang didefinisian di +, +, untu suatu. Jia +, + imprimitif, r r r r maa prosesnya aan terus berosilasi elas ergodi e- selamanya sedangan ia primitif maa prosesnya aan berahir pada r+, r+ r +, r + steady-state yang didefinisian oleh vetor erron dari. ida banya yang bisa diataan mengenai limit dari matris stoasti teredusi ini. Namun, masih terdapat beberapa pertanyaan mengenai elas ergodi manaah suatu rantai aan berahir dan berapa lama watu yang diperluan untu mencapainya tersebut. Sampai seauh ini, awaban atas pertanyaan tersebut masih bergantung pada state mana rantai dimulai atau ita perlu mengetahui distribusi awalnya. 4.4 Contoh Kasus erhitungan Distribusi Limit dari Rantai Marov Untu mendapatan gambaran atau desripsi yang elas mengenai perhitungan mengenai limit distribusi dari matris transisi rantai Marov, beriut ini aan diberian dua contoh asus, yaitu asus dimana matris stoastinya bersifat ta teredusi dan asus 2 dimana matris stoastinya bersifat teredusi. Contoh asus ini diperoleh dari buu An Introduction to Stochastic Modeling (aylor and Karlin). eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 70
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK 4.4. Kasus : Matris Stoasti a eredusi Dalam ilmu sosiologi, elas sosial untu generasi beriutnya secara berturut-turut dalam suatu eluarga dapat dipandang sebagai rantai Marov. Dalam hal ini, peeraan seorang ana diasumsian hanya bergantung pada peeraan ayahnya dan tida bergantung pada peeraan aenya. eeraan tersebut membagi elas sosial masyaraat menadi tiga elas, yaitu elas bawah, elas menengah, dan elas atas. Dengan ata lain, peeraan ini menentuan sesorang untu masu elas sosial tertentu. Misalan peluang transisi tersebut diberian sebagai beriut. eeraan Ayah Kelas Bawah Kelas Menengah Kelas Atas eeraan Ana Kelas Bawah Kelas Menengah Kelas Atas 0.40 0.50 0.0 0.05 0.70 0.25 0.05 0.50 0.45 (4.7) Sebut matris transisi pada (4.7) adalah diatas bisa ita peroleh ( ) {, / 5, 7 / 20} σ. Berdasaran matris transisi adalah matris nonnegatif dengan spectral radius ρ ( ).. Hal ini elas bahwa Dengan memisalan dalam populasi tertentu, ondisi sosial pada asus ini memilii distribusi awal seragam, yaitu p ( 0) ( /3,/3,/3). Jia matris transisi seperti yang diberian pada (4.7), maa peluang seorang ana memilii peeraan dengan elas bawah setelah 3 turunan adalah ( ) ( ) 3 p 3 p 0 0.0879. Secara eseluruhan, distribusi pada langah e-3 adalah ( ) ( ) p 3 0.0879; 0.6227; 0.2894. eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 7
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK Karena primitif, maa lim dan lim p ( ) ada. Nilai limit tersebut ditentuan oleh vetor erron iri dari matris yang bisa diperoleh dengan menghitung vetor ta nol v N( I ) dan menormalisasiannya sehingga diperoleh ( ) 0 π v / v. Dari persamaan I v diperoleh bahwa v ( 0.04; 0.897; 0.4278) maa π ( 0.0769; 0.6250; 0.298) dan 0.0769 0.6250 0.298 lim 0.0769 0.6250 0.298 dan 0.0769 0.6250 0.298 ( ) ( ) lim p 0.0769; 0.6250; 0.298. Limit dari distribusi ini bisa diinterpretasian bahwa setelah urun watu yang lama, sebesar 7.69% dari populasi aan berada pada elas bawah, sebesar 62.50% dari populasi aan berada elas menengah, dan sisanya sebesar 29.8% dari populasi aan berada pada elas atas. 4.4.2 Kasus 2 : Matris Stoasti eredusi Salah satu hal yang mempengaruhi elauan suatu populasi adalah usia produtif dari wanita. erubahan strutur dalam masyaraat seperti peningatan usia niah dini, banyanya anda yang meniah lagi, dan perceraian mempunyai dampa yang cuup signifian dalam pertumbuhan rata-rata populasi. Untu melihat ecenderungan pertambahan populasi beberapa tahun edepan berdasaran usia produtif wanita berdasaran statusnya, salah satu model yang dapat diembangan adalah dengan membaginya menadi 7 state. Kita bisa memandang model ini sebagai rantai Marov. Ketuuh state tersebut adalah : Migrasi 2 : Masa ertumbuhan eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 72
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK 3 : Belum Meniah 4 : Meniah 5 : Bercerai 6 : Janda 7 : Meninggal 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0.02 0 0.90 0 0 0 0.08 0.02 0 0.50 0.40 0 0 0.08 0.03 0 0 0.60 0.20 0.0 0.07 0.02 0 0 0.40 0.50 0 0.08 0.0 0 0 0.40 0 0.50 0.09 0 0 0 0 0 0 (4.8) Berdasaran matris transisi (4.8), ita bisa perhatian bahwa state untu migrasi dan meninggal merupaan state terabsorpsi. Dengan menggunaan rogrma Matlab, ita permutasian matris sehingga berada dalam bentu canonical seperti beriut ini. 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 0 0.90 0 0 0 0.02 0.08 0 0.50 0.40 0 0 0.02 0.08 0 0 0.60 0.20 0.0 0.03 0.07 0 0 0.40 0.50 0 0.02 0.08 0 0 0.40 0 0.50 0.0 0.09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selanutnya, matris dalam bentu cannoncial tersebut ita cari nilai limitnya berdasaran eorema 4.5 dengan menggunaan program Matlab, yaitu eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 73
BAB IV : ALIKASI ADA MARIKS SOKASIK 0 0 0 0 0 0.236 0.764 0 0 0 0 0 0.240 0.760 0 0 0 0 0 0.250 0.750 0 I I 0 0 I 0 0 0 0 0 0.220 0.780 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) lim 2 0 0 0 0 0 0.240 0.76 Berdasaran hasil tersebut, bisa ita perhatian bahwa untu periode yang cuup lama, setiap wanita aan terperangap dalam state terabsorpsi. Dalam hal ini, state terabsorpsi tersebut adalah migrasi dan meninggal. Sebelum memasui state terabsorpsi, setiap wanita aan berada pada status masa pertumbuhan, belum meniah, meniah, bercerai, atau anda yang disebut dengan state transien. eluang transisi setiap wanita untu terperangap di suatu state terabsorpsi masih bergantung pada state awalnya seperti yang terlihat pada (4.8). Namun, peluang seseorang meninggal lebih besar dibandingan peluang seseorang melauan migrasi setelah anga watu yang cuup lama. eori erron-frobenius untu Matris Stoasti 74