BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BB LNDSN TEORI..Graf Teori Graf mulai dikeal pada saat seorag matematikawa bagsa Swiss, berama Leohard Euler, berhasil megugkapka Misteri Jembata Koigsberg pada tahu 736. Sebuah Graf G megadug himpua yaitu himpua V, yag elemeya disebut simpul atau erteks da himpua E yag merupaka pasaga tak terurut dari erteks-erteks yag disebut garis atau edge. Sehigga sebuah graf diotasika sebagai G ( V, E ). Dalam meggambarka sutu graf tidak ada ketetua khusus dalam peyaia graf secara geometri, seperti dimaa da bagaimaa meyaika simpul da ruas. Berikut cotoh peyaia Graf yag sama, tetapi disaika berbeda. Jika diketahui G ( V, E ) dimaa V = {, B, C, D } da E = {(,B),( B, C ), ( C, D), ( D, ), ( B, D ) }. D B D B D B C C C Gambar..graf Uiersitas Sumatera Utara

2 6.. Termiologi Dasar Defiisi. Graf berarah (directed graph) G terdiri dari suatu himpua V dari erteks-erteks da himpua E dari edge sedemikia rupa sehigga setiap rusuk e E meghubugka pasaga erteks terurut.jika terdapat sebuah edge tuggal yag meghubugka pasaga terurut (,w) dari erteks-erteks, dituliska e = (,w) yag meyataka sebuah edge dari ke w. Graf tak berarah (udirected graph) G terdiri dari dari suatu himpua V dari erteks-erteks da himpua E dari edge sedemikia rupa sehigga setiap edge e E dikaitka dega pasaga erteks tak berurut..jika terdapat sebuah edge tuggal yag meghubugka erteks da w, dituliska e = (,w) atau e = (w,) yag meyataka sebuah edge atara da da buka sebuah pasaga terurut. Gambar. merupaka cotoh graf berarah. Gambar..Graf berarah Edge yag haya berhubuga dega erteks yag sama (sebuah erteks) disebut dega Loop. Edge paralel yaitu ika terdapat edge-edge yag meghubugka simpul yag sama. Dua erteks dikataka berhubuga (adacet) Uiersitas Sumatera Utara

3 7 ika ada edge yag meghubugka keduaya. Verteks yag tidak memiliki edge yag berhubuga degaya disebut erteks terasig (isolated erteks). Sebuah graf dikataka multigraf bila graf tersebut megadug edge paralel atau loop. Sedagka graf yag tidak megadug edge paralel atau loop dikeal sebagai graf sederhaa, atau yag disebut graf. Dari gambar tersebut dapat dielaska bahwa Loop adalah e. Edge paralel adalah e5 da e6.verteks yag adacet adalah da B, da C, B da C,dll.Verteks terasig adalah E e e3 B D e e5 e6 e4 C E Gambar.3 Multigraf Uiersitas Sumatera Utara

4 8...Graf Bipartite Defiisi. Graf legkap dega erteks adalah graf sederhaa dega erteks (simbol k ),di maa setiap erteks berbeda dihubugka dega suatu edge. Teorema. Bayakya edge dalam suatu graf legkap dega erteks adalah ( ) buah. Bukti: Misalka G adalah sebuah graf legkap dega erteks,,,.mbil sembarag titik (sebut saa ).Oleh karea G merupaka graf legkap, maka dihubugka dega (-) erteks laiya (, 3,, ).Jadi, ada (-) buah edge. Selautya ambil sembarag erteks kedua (sebut saa ).Oleh karea G adalah graf legkap,maka uga dihubugka dega semua erteks sisaya (, 3,, ) sehigga ada (-) buah edge yag berhubuga dega.salah satu edge tersebut meghubugka dega.edge tersebut telah diperhitugka pada waktu meghitug bayakya edge yag berhubuga dega.jadi, ada (-) edge yag belum diperhitugka. Proses dilautka dega meghitug bayakya edge yag berhubuga dega 3, 4, da yag belum diperhitugka sebelumya.bayak edge yag Uiersitas Sumatera Utara

5 9 didapatka berturut-turut adalah (-3), (-4),, 3,,.Jadi secara keseluruha terdapat ( ) (-) + (-) = buah. Defiisi.3 Suatu graf G disebut bipartite (dwi pihak) apabila V (G) merupaka gabuga dari himpua tak kosog da da setiap garis dalam G meghubugka suatu titik dalam dega titik dalam. pabila dalam graf bipartite setiap erteks dalam berhubuga dega setiap erteks dalam, maka grafya disebut graf bipartite legkap(simbol k m, ). Gambar.4 Graf bipartite..3 Kompleme Graf Kompleme suatu graf G (simbol G ) dega erteks adalah suatu graf sederhaa dega a. Verteks-erteks (G ) sama dega erteks-erteks G. Jadi V( G ) = V(G) b. Edge G adalah kompleme erteks-erteks G terhadp graf legkapya ( K ). E( G) = E( K ) E( G) Uiersitas Sumatera Utara

6 0 Verteks-erteks yag dihubugka dega edge dalam G tidak terhubug dalam G.Sebalikya, erteks- erteks yag terhubug dalam G meadi tidak terhubug dalam G. Cotoh : Gambarlah G dari graf berikut ii. a b c d e Gambar.5.Graf G Pada gambar diatas erteks-erteks yag tidak dihubugka dega edge dalam G adalah edge dega titik uug {a,d},{a,e},{b,c},da {b,e}.sehigga G sbb: Uiersitas Sumatera Utara

7 a b c d e Gambar.6 Graf G..4.Graf Berlabel/Berbobot Graf berlabel/ berbobot adalah graf yag setiap ruasya mempuyai ilai/bobot berupa bilaga o egatif.dalam graf berbobot bisa dipakai graf berarah maupu graf tidak berarah. Cotoh : B 3 D F H 4 9 C 3 E 3 G Gambar.7.Graf Berbobot..5 Subgraf Defiisi.4 Misalka G (V,E) adalah suatu graf.graf G (V, E ) adalah Subgraf bila da haya bila: Uiersitas Sumatera Utara

8 a. ' V V b. ' E E c. Setiap edge dalam H memiliki erteks uug yag sama dega edge tersebut dalam G. pabila E megadug semua ruas di E yag kedua uugya di V, maka G adalah Subgraf yag dibetuk oleh V (Spaig Subgraph) Cotoh G e B e e e D e C G : G : B e B e e e e D G subgraf dari G D G spaig subgrapf dari Gambar.8 Subgraf Uiersitas Sumatera Utara

9 3..6 Litasa da Sirkuit Defiisi.5 Misalka 0 da adalah erteks-erteks dalam sebuah graf. Sebuah litasa dari 0 ke dega paag adalah sebuah barisa berselag selig dari + erteks da edge yag berawal dega erteks 0 da berakhir dega erteks, ( e,, e,,...,, e, ) 0, dega edge e iside pada erteks i dai utuk I =,,,. Teorema. Di dalam suatu graf (baik berarah maupu tidak berarah) dega erteks, ika ada suatu litasa dari erteks ke erteks, maka ada suatu litasa dega tidak lebih dari - rusuk dari erteks ke erteks. Bukti: Misalka ada suatu litasa dari ke. Misalka pula (,, i,, ) adalah barisa erteks yag ditemui litasa itu ketika ditelusuri dari da. Jika ada l buah edge dalam litasa itu, maka ada l + erteks di dalam barisa erteks tersebut. gar l lebih besar daripada -, harus ada erteks k yag mucul lebih dari sekali di dalam barisa itu. Dega kata lai, barisa erteks itu mempuyai betuk umum (,, k,..., k,..., ). Jika edge di dalam litasa yag membawa k kembali ke k itu dibuag, maka aka diperoleh suatu litasa dari ke yag memiliki lebih sedikit rusuk daripada umlah rusuk semula.rgumetasi dapat diulag sampai ada litasa dega - edge atau lebih sedikit lagi. Uiersitas Sumatera Utara

10 4 Defiisi.6 Sebuah graf dikataka tersambug (coected) ika diketahui sembarag erteks da w di G, maka terdapat sebuah litasa dari ke w. (a) (b) Gambar.9 Graf terhubug da Graf tidak terhubug Defiisi.7 Misalka 0 da adalah erteks-erteks dalam sebuah graf. Sebuah sirkuit dari 0 ke dega paag adalah sebuah barisa berselag selig dari + erteks da edge yag berawal dega erteks 0 da berakhir dega erteks,lalu kembali lagi ke 0 ( e,, e,,...,, e,, e, ) 0, 0 0 dega edge e iside pada erteks i da utuk I =,,,. i Litasa da Sirkuit Hamilto Litasa Hamilto (Sirkuit Hamilto) didefiisika sebagai suatu litasa (ragkaia) yag melalui setiap erteks tepat satu kali. Sir Wiliam Hamilto meciptaka permaia all aroud the world. Di dalam permaia ii pemai diharuska Uiersitas Sumatera Utara

11 5 mecari rute pada dodecahedro yag melalui setiap titik sudut sekali da haya sekali. Gambar.0 Dodecahedro Teorema.3 Misalka G sebuah graf liear dega erteks.jika umlah deraat semua pasaga erteks di dalam G lebih kecil atau sama dega -, maka ada litasa Hamilto di dalam G. Bukti: Pertama tama aka dituukka bahwa G sebuah graf terhubug.misalka G mempuyai dua atau lebih kompoe yag tidak terhubugka.misalka sebuah ertks di dalam satu kompoe yag mempuyai erteks da adalah sebuah erteks di dalam kompoe lai yag mempuyai erteks. Karea deraat tidak lebih besar dari - da deraat tidak lebih dari -, maka umlah deraatya Uiersitas Sumatera Utara

12 6 tidak lebih dari + -, yag masih lebih kecil dari -, da ii berarti sebuah kotradiksi. Sekarag aka dituukka bagaimaa litasa Hamilto dapat dibuat setahap demi setahap, mulai dega litasa yag terdiri dari satu rusuk.misalka ada litasa dega p- edge, p<, di dalam G yag bertemu dega barisa ertekserteks (,,..., p ).Jika atau p berdekata dega sebuah erteks yag tidak berada pada litasa ii, dega mudah litasa ii dapat diperluas agar mecakup erteks tadi sehigga memperoleh litasa dega p edge. Jika tidak demikia, berarti da p keduaya haya berdekata dega erteks erteks pada litasa. Dalam hal demikia, aka dituukka bahwa ada suatu ragkaia yag haya megadug erteks erteks,,..., p. Jika berdekata dega p, maka sirkuit (,..., p, ) sudah mecukupi., Lalu misalka haya berdekata dega,..., i, i i k, dega p. Jika p berdekata dega salah satu dari i, i, i, katakalah i k dega maka sebagaimaa dituukka dalam gambar, sirkuit (,, 3,...,, p, p,...,, ) megadug tepat erteks erteks,,..., p. Jika p tidak berdekata dega salah satu dari,, maka i i i p berdekata, k dega tidak lebih dari p k buah erteks.kibatya, umlah deraat da p tidak lebih dari -, suatu kotradiksi. Uiersitas Sumatera Utara

13 7 3 V- p Gambar. Litasa Kemudia ambil sebuah erteks x yag tidak berada dalam ragkaia ii.karea graf G terhubugka, berarti ada erteks k yag tidak berada pada ragkaia ii dega sebuah edge atara x da (,,..., p k utuk suatu erteks tertetu di dalam ), sebagaimaa dituukka dalam gambar. Sekarag telah diperoleh litasa (,,...,,,,...,,,,..., k ), yag megadug p edge, x, k k + p p sebagaimaa dituukka dalam gambar. x Vk- k V- p x Vk- k V- p Gambar. Litasa ( x, k, k +,...,, p, p,...,,,,..., k ) Uiersitas Sumatera Utara

14 8 Lagkah lagkah pembuata ii dapat diulagi sampai diperoleh sebuah litasa dega - edge...8 Matriks da Graf Utuk meyelesaika suatu permasalaha model graf dega batua komputer, maka graf tersebut disaika dalam betuk matriks. Jika adalah matriks m x, maka otasi matriksya dapat ditulis sbb: a a = am a a a m a a a m Defiisi.8 Suatu matriks berorde x disebut simetris ika Berikut adalah cotoh matriks simetris: T = ; 0 3 Defiisi.9 Traspos dari suatu matriks berorde m x adalah matriks B berorde m x yag didefiisika oleh: b i = a i Utuk =,,, da I =,,,m.traspos dari suatu matriks diyataka oleh T. Uiersitas Sumatera Utara

15 9 Cotoh: Jika = maka T = Matriks-matriks yag dapat meyaika model graf tersebut atara lai : Matriks Sekawa (Icidece) Matriks Kedampiga (dacecy) e5 V e4 V4 e8 V5 e e e6 e7 V e3 V3 Gambar.3.Graf Sebagai cotoh, utuk graf seperti di bawah ii Matriks dacecy V V V3 V4 V5 V 0 V V3 0 V4 0 0 V5 0 0 Uiersitas Sumatera Utara

16 30 Matriks Icidece : e e e3 e4 e5 e6 e7 e8 V V V V V Teorema.4 Jika adalah matriks kedampiga dari sebuah graf sederhaa, etri ke-i dari sama dega bayakya litasa dega paag utuk erteks, =,, Bukti Dega megguaka iduksi, pada kasus =, adalah. Etri ke-i adalah ika terdapat sebuah edge dari I ke, yag merupaka sebuah litasa dega paag, da 0 ika tidak terdapat edge. Sehigga teorema tersebut bear utuk kasus =.Lagkah dasar telah terbukti. sumsika bahwa teorema tersebut bear utuk, maka + = Sehigga etri ke-i dalam baris ke-i dari + diperoleh dega salig megalika usur usur pada dega usur usur pada kolom ke-k dari da meumlahkaya. Uiersitas Sumatera Utara

17 3 Kolom ke-k dari Baris ke-i dari ( s, s,..., s,..., s m t t t tm = s t + st s t smtm =etri ke-ik dalam + Meurut iduksi, s meyataka bayakya litasa dega paag dari I ke dalam graf G. Maka t dapat 0 atau. Jika t adalah 0, maka tidak terdapat edge dari ke k, sehigga terdapat s t = 0 litasa dega paag + dari i ke k, dimaa edge terakhirya adalah (,k). Jika t adalah, maka terdapat sebuah edge dari erteks ke erteks k (lihat gambar). Karea terdapat s litasa dega paag dari erteks i ke erteks, maka terdapat s t = s litasa dega paag + dari i ke k, yag edge terakhirya adalah (,k) (lihat gambar). i k Gambar.4 Litasa i ke k Uiersitas Sumatera Utara

18 3 Dega meumlahka semua, maka aka dihitug semua litasa dega paag + + dari I ke k.ehigga etri ke-i dalam meyataka bayakya litasa dega paag + dari i ke k sehigga lagkah iduktif terbukti. Meurut Prisip iduksi matematika, teorema tersebut berlaku...9 Graf Plaar Defiisi.0 Sebuah Graf adalah plaar ika graf tersebut dapat digambar dalam bidag datar dega rusuk-rusukya tidak bersilaga. Jika sebuah graf plaar tersambug digambar pada bidag datar, bidag tersebut dibagi meadi daerah-daerah berbatasa yag disebut muka (face). Sebuah muka ditadai dega siklus yag membetuk batasya.sebagai cotoh, dalam graf pada gambar, muka dibatasi oleh siklus (5,,3,4,5) da muka C dibatasi oleh siklus (,,5,).Muka luar D diaggap dibatasi oleh siklus (,,3,4,6,). D C 6 B Gambar.5.Graf Plaar Uiersitas Sumatera Utara

19 33 Graf pada gambar mempuyai f = 4 muka, e = 8 rusuk, da = 6 erteks.perhatika bahwa f, e, da memeuhi persamaa f = e + Persamaa Pada tahu 75, Euler telah membuktika bahwa persamaa berlaku utuk sembarag graf plaar tersambug.. Program Diamik Program diamik adalah salah satu metode yag diguaka utuk megoptimalka proses pegambila keputusa secara bertahap gada.pedekata program diamik didasarka pada prisip optimisasi Richard Bellma yag diyataka sebagai berikut (Siagia, P.,987): Suatu kebiaka optimal mempuyai sifat bahwa apapu keadaa da keputusa awal, keputusa berikutya harus membetuk suatu kebiaka optimal dega memperhatika keadaa dari hasil keputusa pertama. Hal ii berarti: ) Pegambil keputusa diperkeaka utuk megambil keputusa yag layak bagi tahap persoala yag tersisa, tapa melihat kembali keputusa pada tahap-tahap terdahulu. Uiersitas Sumatera Utara

20 34 ) Dalam ragkaia keputusa yag telah diambil, hasil dari masig-masig tahap tergatug pada hasil keputusa pada tahap sebelumya... Karakteristik Program Diamik ) Permasalahaya dapat dibagi meadi tahapa dega keputusa kebiaka pada tiap tahap ) Tiap tahap mempuyai seumlah kodisi terkait 3) Pegaruh keputusa kebiaka pada setiap tahapa adalah trasformasi kodisi saat ii kepada sebuah kodisi yag terkait dega awal dari tahapa berikutya 4) Prosedur peyelesaia diracag utuk medapatka kebiaka optimum utuk seluruh tahapa yaitu dega membuat kebiaka optimum utuk setiap tahap pada setiap kemugkia kodisi 5) Pada suatu kodisi, sebuah kebiaka optimum utuk tahapa selautya tidak terkait oleh kebiaka optimum dari tahapa sebelumya.jadi keputusa optimum yag diambil haya tergatug pada kodisi sekarag buka dari bagaimaa kita sampai pada kodisi sekarag. Iilah yag diamai prisip optimum dari Program Diamik. 6) Prosedur peyelesaia mulai dega medapatka solusi optimum utuk tahap terakhir. 7) daya hubuga rekursif yag megidetifikasika keputusa terbaik utuk setiap status pada tahap k memberika keputusa terbaik utuk setiap status pada tahap k +... Pedekata Program Diamik da pedekata yag diguaka pada program diamik yaitu Uiersitas Sumatera Utara

21 35 ) Program diamik mau (forward atau up dow). Misalka x, x,..., x meyataka peubah (ariable) keputusa yag harus dibuat masig masig utuk tahap,,,. Program diamis bergerak mulai dari tahap terus mau ke tahap, 3, da seterusya sampai tahap.rututa peubah keputusa adalah x,, x,... x. Tahap Tahap Tahap f s, ) f s, )... f s, x ) ( x ( x ( Gambar.6 Program Diamik Mau ) Program diamik mudur (backward atau bottom up).proram diamis ii merupaka kebalika dari program diamis mau.program diamis ii bergerak mulai dari tahap terus mudur ke tahap -, -, da seterusya sampai tahap.rututa peubah keputusa adalah x, x,..., x Tahap Tahap Tahap f s, x ) f s, ) f s, ) ( ( x Gambar.7 Program Diamik Mudur ( x Uiersitas Sumatera Utara

22 36..3 Peryataa Matematis Program Diamik Masalah pogram diamik dapat diyataka dalam betuk umum: Opt : f ( X ) = = r ( X ) dega batasa X = X = da X 0 ( =,,..., ) dimaa: f (X ) = arak total dari seluruh kegiata (tahap) X = kota yag dialokasika ke kegiata ke- r X ) = arak dari kegiata ke- ( X = kota yag tersedia. Dalam masalah umum diatas, arak optimum dari seluruh kegiata ditetuka oleh kota X yag tersedia da arak dari kegiata kegiata idiidual r X ). Oleh ( sebab itu, arak keseluruha dari µ dari kegiata dapat diyataka oleh suatu uruta, fugsi fugsi sebagai berikut : f =, X ) ( X ) opt F( X, X,..., X Kota total yag tersedia X harus dialokasika secara beruruta ke semua kegiatakegiata pada tahap-tahap yag berbeda, utuk mecapai hasil yag maksimum. Bila dialokasika seumlah X dari kota ke kegiata ke di maa 0 X X, aka didapatka arak f X ) dari kegiata tersebut. Masih dipuyai seumlah ( Uiersitas Sumatera Utara

23 37 ( X X ) kota yag tersedia utuk (-) kegiata. Bila arak total dari (-) kegiata ( dituukka oleh : f ( X X ) = r ( X ) X 0 = Jarak total dari µ kegiata dapat diyataka sebagai f ( X ) r ( X ) + f ( X X ) = Kuatitas kota optimal yag dialokasika ke kegiata, X, meetuka ilai ( X X ), da hal ii sebalikya aka meetuka ilai maksimum persamaa arak total.oleh sebab itu, masalah program diamik dapat diyataka dalam betuk fugsi umum sebagai f ( X ) = opt{ r ( X ) + f ( X X )} =,3,... Persamaa ii disebut sebagai recursie equatio atau recurrece relatios..4 Formulasi Program Diamik Utuk Persoala TSP Misalka G = (V, E) adalah graf legkap berarah dega sisi-sisi yag diberi harga c i > 0 utuk setiap i da adalah simpul-simpul di dalam V. Misalka V = Uiersitas Sumatera Utara

24 38 da >. Setiap simpul diberi omor,,,.sumsika peralaa (tur) dimulai da berakhir pada simpul. Setiap tur pasti terdiri dari sisi (, k) utuk beberapa k V {} da sebuah litasa dari simpul k ke simpul. Litasa dari simpul k ke simpul tersebut melalui setiap simpul di dalam V {, k} tepat haya sekali. Prisip Optimalitas: ika tur tersebut optimal maka litasa dari simpul k ke simpul uga meadi litasa k ke terpedek yag melalui simpulsimpul di dalam V {, k}. Misalka f(i, S) adalah bobot litasa terpedek yag berawal pada simpul i, yag melalui semua simpul di dalam S da berakhir pada simpul. Nilai f(, V {}) adalah bobot tur terpedek. Berdasarka prisip optimalitas tersebut, diperoleh hubuga rekursif sebagai berikut: f (, V {}) = mi{ c k k + f ( k, V {, k})} () Dega merampatka persamaa (), diperoleh f i = c, i (basis) (, ) i, f ( i, S) = mi{ c + f (, S { })} S i (rekures) () Persamaa () dapat dipecahka utuk memperoleh {}) ika kita megetahui f(k, V {, k}) utuk semua piliha ilai k. Nilai f tersebut dapat diperoleh dega megguaka persamaa (). Uiersitas Sumatera Utara

25 39 Kemudia guaka persamaa () utuk memperoleh f(i, S) utuk S =, kemudia dapat diperoleh f(i, S) utuk S =, da seterusya. Bila S =, ilai i da S ii diperluka sedemikia sehigga i, S da i S. Pada masalah TSP dega megguaka program diamik perlu diperhatika beberapa hal yaitu:.tahap (stage) adalah alur (ala) yag harus dilalui dari satu kota agar sampai ke kota berikutya.dalam suatu tahap aka terdapat beberapa alteratif piliha ala yag dapat dilalui..status (state) adalah kota awal pada setiap tahap. 3.Variabel keputusa adalah alur atau ala yag harus diambil Uiersitas Sumatera Utara