APLIKASI PENDEKATAN DYNAMIC PROGRAMMING PADA TRAVELING SALESMAN PROBLEM SKRIPSI WIDYA MAULINA

Transkripsi

1 APLIKASI PENDEKATAN DYNAMIC PROGRAMMING PADA TRAVELING SALESMAN PROBLEM SKRIPSI WIDYA MAULINA PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

2 APLIKASI PENDEKATAN DYNAMIC PROGRAMMING PADA TRAVELING SALEMAN PROBLEM SKRIPSI Diajuka utuk melegkapi tugas da memeuhi syarat mecapai gelar Sarjaa Sais WIDYA MAULINA PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

3 PERSETUJUAN Judul : APLIKASI PENDEKATAN DYNAMIC PROGRAMMING PADA TRAVELING SALESMAN PROBLEM Kategori : SKRIPSI Nama : WIDYA MAULINA Nomor Iduk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departeme Fakultas Komisi Pembimbig : : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluska di Meda, Maret 2009 Pembimbig 2 Pembimbig 1 Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT Dra. Mardiigsih, M.Si NIP NIP Diketahui oleh : Departeme Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo,M.Sc NIP

4 PERNYATAAN APLIKASI PENDEKATAN DYNAMIC PROGRAMMING PADA TRAVELING SALESMAN PROBLEM SKRIPSI Saya megakui bahwa skripsi ii adalah hasil kerja saya sediri, kecuali beberapa kutipa da rigkasa yag masig-masig disebutka sumberya. Meda, Maret 2009 WIDYA MAULINA

5 PENGHARGAAN Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT, dega limpaha da karuia- Nya kertas kajia ii berhasil diselesaika dalam waktu yag telah ditetapka. Ucapa terima kasih saya sampaika kepada Dra. Mardiigsih, M.Si da Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT selaku pembimbig pada peyelesaia skripsi ii yag telah memberika padua da peuh kepercayaa kepada saya utuk meyempuraka kajia ii. Padua rigkas, padat da professioal telah diberika kepada saya agar peulis dapat meyelesaika tugas ii. Ucapa terima kasih juga ditujuka kepada Ketua da Sekretaris Departeme Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. da Drs. Hery Rai Sitepu, M.Si, Deka da Pembatu Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Sumatera Utara, semua dose pada Departeme Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, da reka-reka kuliah. Akhirya, tidak terlupaka kepada kedua orag tua da semua ahli keluarga da reka terdekat saya yag selama ii memberika batua da doroga yag diperluka. Semoga Allah SWT memberika balasa yag layak.

6 ABSTRAK Dyamic programmig adalah metode pemecaha masalah dega cara meguraika solusi mejadi sekumpula lagkah (step) atau tahapa (stage) sedemikia higga solusi dari persoala dapat dipadag dari seragkaia keputusa yag salig berkaita. Dalam tulisa ii membahas tetag pegguaa graph dalam dyamic programmig utuk mecari solusi optimal pada Travelig Salesma Problem (TSP). Dega memberika sejumlah kota, TSP dapat didefeisika perjalaa seorag salesma dalam meemuka jalur terpedek dega megujugi setiap kota yag ada haya sekali da kembali ke asalya da kemudia diimplemetasika ke dalam suatu program dega megguaka Visual Basic 6.0 beserta waktu komputasiya. Hasil dari aalisi kota terhadap waktu adalah berbetuk o liier.

7 ABSTRACT Dyamic programmig is problem solvig methode by elaboratig solutio to become a group of step or stage i such a way fiite solutio from problem ca be looked ito from with refer to decisio that is each other itercoected. I this articles studies about used of graph i dyamic programmig to look for optimal solutio at Travelig Salesma Problem (TSP). By givig a umber of city, TSP ca be defiitio walk of a salesma i fidig shorthestpath by visitig every cities oce ad back to source ad tha implemetatio ito a program by usig Visual Basic 6.0 ad the time computatio. The result of aalyze about the city of the time as o liier.

8 DAFTAR ISI Halama Persetujua Peryataa Peghargaa Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar ii iii iv v vi vii viii ix Bab 1 Pedahulua Latar Belakag Perumusa Masalah Tijaua Pustaka Tujua Peelitia Kotribusi Peelitia Metode Peelitia 5 Bab 2 Ladasa Teori Teori Graph Graph Hamilto Represetasi Graph pada Komputer Permasalaha Optimasi Travelig Salesma Problem Sejarah Sigkat Travelig Salesma Problem Dyamic Programmig Model Dyamic Programmig Kosep Dasar Dalam Dyamic Programmig Ciri-ciri Dasar dari Suatu masalah Dyamic Programmig 16 Bab 3 Pembahasa Aalisa dyamic Programmig Peracaga Flowchart Peracaga Atar Muka Aalisa Kebutuha Peragkat Keras Peracaga Peragkat Luak 26 Bab 4 Kesimpula da Sara Kesimpula Sara 33 Daftar Pustaka Lampira

9 DAFTAR TABEL Halama Tabel 2.1 Daftar History dari TSP 11 Tabel 3.1 Perhituga Waktu Atar Kota 31 Tabel 3.2 Hasil Pegujia dega Black Box 32

10 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar 2.1 Graph dega Empat vertex 6 Gambar 2.2 Graph Tak-Berarah 7 Gambar 2.3 Graph Berarah 7 Gambar 2.4 Peggambara Graph Hamilto 8 Gambar 3.1 Graph dega Empat Vertex 20 Gambar 3.2 Graph dega Empat Vertex 23 Gambar 3.3 Flowchart dyamic programmig pada TSP 24 Gambar 3.4 Form Utama Aplikasi Dyamic Programmig 25 Gambar 3.5 Form Utama 26 Gambar 3.6 Form Meu 27 Gambar 3.7 Form Etri Data Graph 27 Gambar 3.8 Form Komputasi jalur Terpedek 28 Gambar 3.9 Form Hasil Komputasi Jalur Terpedek 29 Gambar 3.10 Form Hasil Graph Jalur Terpedek 29 Gambar 3.11 Grafik Waktu Proses Komputasi 31

11 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Travelig Salesma Problem (TSP) merupaka salah satu permasalaha petig dalam duia matematika da iformatika. TSP dapat diilustrasika sebagai perjalaa seorag salesma yag harus melalui semua kota yag dituju dega jarak terpedek, dimaa setiap kota haya boleh dilalui satu kali. Solusi dari TSP ialah jalur yag dilalui oleh salesma tersebut. Tetuya solusi terbaik atau optimal dari permasalaha ii ialah jalur dega jarak terpedek atau dapat disebut juga dega rute perjalaa miimum. Peggambara yag sagat sederhaa dari istilah TSP adalah seorag salesma yag harus megujugi buah kota dega atura: ia harus megujugi setiap kota haya sebayak satu kali. Ia harus memiimalisasi total jarak perjalaa da pada akhirya ia harus kembali ke kota asalya. Dega demikia, apa yag telah ia lakuka disebut sebagai sebuah tour. Gua memudahka permasalaha, pemetaa kota tersebut aka digambarka dega sebuah graph, dimaa jumlah vertex da edge-ya terbatas (sebuah vertex aka mewakili sebuah kota da sebuah edge aka mewakili jarak atar dua kota yag dihubugka). Peagaa problem TSP ii ekuivale dega mecari sirkuit Hamilto terpedek. Dyamic Programmig merupaka sebuah metode pemecaha masalah dega cara meguraika solusi mejadi sekumpula lagkah (step) atau tahapa (stage) sedemikia sehigga solusi dari persoala dapat dipadag dari seragkaia keputusa yag salig berkaita. Peemu da orag yag bertaggug jawab atas kepopulera dyamic programmig adalah Richard Bellma. Pada dyamic programmig, ragkaia keputusa optimal yag dibuat dega megguaka prisip optimalitas. Prisip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka bagia solusi sampai tahap ke-k juga optimal. Dega prisip

12 Optimalitas ii dijami bahwa pegambila keputusa pada suatu tahap adalah keputusa yag bear utuk tahap-tahap selajutya. Iti dari pemrograma diamik adalah membuag satu bagia kecil dari sebuah persoala dalam setiap lagkahya, kemudia meyelesaika persoala yag lebih kecil tersebut da megguaka solusi hasil peyelesaia ii utk ditambahka kembali ke bagia persoala dalam lagkah berikutya. Dyamic programmig mecoba utuk memberika solusi yag memiliki pemikira terhadap kosekuesi yag ditimbulka dari pegambila keputusa pada suatu tahap. Dyamic programmig mampu meguragi pegeumerasia keputusa yag tidak megarah ke solusi. Peerapa pedekata dyamic programmig telah bayak diperlihatka mampu utuk meyelesaika aeka masalah seperti: alokasi, muata (kapsack), capital budgetig, pegawasa persediaa, da lai-lai. 1.2 Perumusa Masalah Bagaimaa peraa atau pedekata program diamik dalam peyelesaia TSP dalam meetuka jalur yag palig optimal dega jarak total yag palig miimum dega pedekata maju (forward atau up-dow). 1.3 Tijaua Pustaka Muhammad Ghifary (2007 : 2) dalam juralya mejelaska bahwa ada dua pedekata yag berbeda dalam dyamic programmig yaitu: 1. Maju (forward atau up-dow) : bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2,3,,. uruta variabel keputusa adalah. 2. Mudur (backward atau bottom-up) : bergerak mulai dari tahap, terus mudur ke tahap -1, -2, 2,1. Uruta variabel keputusa adalah. Dyamic programmig memiliki karakteristik sebagai berikut:

13 1. Persoala dapat dibagi mejadi beberapa tahap (stage), yag pada setiap tahap haya diambil satu keputusa yag optimal. 2. Masig-masig tahap terdiri dari sejumlah status (state) yag berhubuga dega tahap tersebut. 3. Hasil keputusa yag diambil pada tahap ditrasformasika dari status yag bersagkuta ke status berikutya pada tahap berikutya. 4. Jarak pada suatu tahap bergatug pada jarak tahap-tahap sebelumya da meigkat secara teratur dega bertambahya jumlah tahapa. 5. Keputusa terbaik pada suatu tahap bersifat idepede terhadap keputusa yag dilakuka tahap sebelumya. 6. Adaya hubuga rekursif yag megidetifikasika keputusa terbaik utuk setiap status pada tahap k memberika keputusa terbaik utuk tahap sebelumya. 7. Prisip optimalitas berlaku pada persoala ii. Mohamad Irva Faradia (2007 : 6) berdasarka prisip optimalitas, diperoleh hubuga sebagai berikut: Misalka G = (V, E) adalah graph legkap berarah dega edge-ya yag diberi harga c ij > 0 utuk setiap i da j, dimaa i da j adalah vertex-vertex yag berada di dalam V. Misalka V = da > 1. Setiap simpul diberi omor 1, 2,,. f ( 1, V {1}) = mi{ c1 2 k k + f ( k, V {1, k})} (1) dimaa: f(1, V {1}) = pajag optimal dari tour V = himpua berhigga tidak kosog dari vertex-vertex dari sebuah graph V {1} = himpua vertex dari suatu graph yag dikurag vertex 1 (awal) k = vertex yag terhubug ke vertex 1 (awal) = bobot dari vertex 1 (awal) ke k dari persamaa (1), diperoleh ricia:

14 (2) (rekures) dimaa: f(i, S) = bobot jalur terpedek S {j} = ragkaia jalur S dikurag vertex j. i da j = vertex-vertex di dalam V = bobot dari vertex i ke j Asumsika perjalaa (tour) dimulai da berakhir pada vertex 1. Setiap tur pasti terdiri dari sisi utuk beberapa k V {1} da sebuah jalur dari vertex k ke vertex 1. jalur dari vertex k ke vertex 1 tersebut melalui setiap vertex di dalam V {1,k} tepat haya sekali. Misalka f(i, S) adalah bobot jalur terpedek yag berawal dari vertex i, yag melalui semua vertex di dalam S da berakhir pada vertex 1. Nilai f(1, V {1}) adalah bobot tour terpedek. Dari persamaa (1) dapat diperoleh persamaa (2) jika kita megetahui f (k, V {1, k}) utuk seluruh piliha ilai k. Nilai f tersebut dapat diperoleh dega megguaka persamaa (2). Kita megguaka persamaa (2) utuk memperoleh f(i, S) utuk, kemudia kita dapat memperoleh f(i, S) utuk, higga S = Tujua Peelitia Megkaji TSP sebagai graph Hamiltoia dega megguaka dyamic programmig utuk medapatka jumlah bobot yag palig miimum da megaplikasikaya ke dalam sebuah program.

15 1.5 Kotribusi Peelitia Dega megaplikasika dyamic programmig pada TSP dapat bermafaat dalam pegembaga program diamik lebih lajut da diharapka hasil dari tulisa ii dapat dikembagka da direpresetasika pada lembaga atau perusahaa yag bergerak di bidag Trasportasi, Alokasi, Capital Budgetig, da lai-lai. 1.6 Metode Peelitia Metode peelitia yag diguaka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut: 1. Meggambarka cotoh TSP dalam betuk graph. 2. Meerapka dyamic programmig utuk peyelesaia TSP. 3. Megaplikasika dyamic programmig pada TSP ke dalam bahasa pemrograma.

16 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graph Graph didefiisika dega G = (V, E), di maa V adalah himpua berhigga tidak kosog dari vertex-vertex = da E himpua sisi (edges atau arcs) yag meghubugka sepasag vertex. Vertex dalam graph pada tulisa ii merupaka kota da edge atau sisi merupaka rute atau jala yag meghubugka atar kota. a b c d Gambar 2.1. Graph dega Empat Vertex Keteraga Gambar: G adalah graph dega: V = { a, b, c, d } E = { (a, b), (a, c), (a,d), (c, a), (c, d), (b,b), (b, d), (d, b) } = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8 } Secara umum graph dapat dibedaka atas dua jeis: 1. Graph tak-berarah (udirected graph) adalah graph yag edge-ya tidak memiliki arah tertetu.

17 Gambar 2.2. Graph Tak-Berarah 2. Graph berarah (directed graph atau digraph) adalah graf yag semua edge-ya memiliki arah tertetu. Gambar 2.3. Graph Berarah 2.2 Graph Hamilto Litasa Hamilto ialah litasa yag melalui tiap vertex di dalam graph tepat satu kali. Bila litasa itu kembali ke vertex asal membetuk litasa tertutup (sirkuit), maka litasa tertutup itu diamaka sirkuit Hamilto. Jadi, sirkuit Hamilto ialah sirkuit yag melalui tiap vertex di dalam graph tepat satu kali. Graph yag memiliki sirkuit Hamilto diamaka graph Hamilto, sedagka yag memiliki litasa Hamilto disebut graph semi-hamilto. Teorema 2.1. Setiap graph legkap adalah graph Hamilto. a b a a b b d c d c d c a b c Gambar 2.4. Peggambara Graph Hamilto

18 Keteraga gambar: (a) graph yag memiliki litasa Hamilto (misal:c, b, a, d) (b) graph yag memiliki sirkuit Hamilto (a, b, c, d, a) (c) graph yag tidak memiliki litasa maupu sirkuit Hamilto 2.3 Represetasi Graph Pada Komputer Utuk megimplemetasika suatu graph dalam bahasa pemrograma komputer, dibutuhka suatu cara utuk meterjemahka betuk graph ke dalam betuk lai yag dikeal oleh komputer, sebab komputer tidak dapat megeal graph dalam betuk gambar graph biasa. Matriks dapat diguaka utuk meyataka suatu graph, jika graph diyataka sebagai matriks maka perhituga-perhituga yag diperluka dapat dilakuka dega mudah. Represetasi graph pada komputer dapat dilakuka dega beberapa cara, yaitu: 1. Matriks Adjacecy Matriks adjacecy didefiisika sebagai berikut, misalka A matriks berordo x ( baris da kolom). Jika atara dua vertex terhubug (adjacet) maka eleme matriks berilai 1, da sebalikya jika tidak terhubug berilai 0. Cotoh dari matriks adjacecy: A = Jika graph yag diberika adalah graph berbobot maka eleme matriks yag terhubug atara vertex adalah bobot graph. 2. Matriks Icidecy Matriks icidecy atau matriks bersisia adalah matriks yag merepresetasika hubuga atara vertex da edge. Misalka B adalah matriks dega m baris utuk setiap vertex da kolom utuk setiap edge. Jika vertex terhubug dega

19 edge, maka eleme matriks berilai 1. Sebalikya, jika vertex tidak terhubug dega edge maka eleme matriks berilai 0. Cotoh matriks bersisia adalah: B = Seperti halya matriks kedekata utuk matriks berbobot, utuk matriks bersisia eleme dari matriks juga merupaka bobot dari setiap edge dari graph. 2.4 Permasalaha Optimasi Secara umum, peyelesaia masalah pecaria jalur terpedek dapat dilakuka dega megguaka dua metode, yaitu metode kovesioal da metode heuristik. 1. Metode Kovesioal Metode kovesioal adalah metode yag megguaka perhituga matematis biasa. Ada beberapa metode kovesioal yag biasa diguaka utuk melakuka pecaria jalur terpedek, diataraya: algoritma Djikstra, algoritma Floyd-Warshall, da algoritma Bellma-Ford. 2. Metode Heuristik Metode Heuristik adalah sub bidag dari kecerdasa buata yag diguaka utuk melakuka pecaria da optimasi. Ada beberapa algoritma pada metode heuristik yag biasa diguaka dalam permasalaha optimasi, diataraya algoritma geetika, algoritma semut, logika fuzzy, jariga syaraf tirua, pecaria tabu, simulated aealig, da lai-lai. 2.5 Travelig Salesma Problem

20 TSP merupaka salah satu permasalaha petig dalam duia matematika da iformatika. TSP dapat diilustrasika sebagai perjalaa seorag salesma yag harus memulai perjalaaya dari satu kota, melalui setiap kota laiya haya sekali da kembali lagi ke kota asal keberagkata. Solusi dari TSP ialah litasa yag dilalui oleh salesma tersebut. Tetuya solusi terbaik atau optimal dari permasalaha ii ialah litasa dega jarak terpedek atau dapat disebut juga dega tour perjalaa miimum. Model TSP diyataka dalam betuk graph, dega kata lai TSP termasuk ke dalam problem meemuka litasa atau siklus Hamilto. Dalam tulisa ii TSP yag dibahas adalah TSP asimetris, dimaa TSP asimetris adalah jarak dari kota A ke kota B adalah tidak sama dega jarak dari kota B ke kota A (asimetris terjadi karea jala satu arah)(adhi,2008). Graph yag direpresetasika sebagai permasalahaya merupaka graph yag terhubug secara peuh artiya pada setiap vertex yag ada pasti terhubug dega vertex yag lai Sejarah Sigkat Travelig Salesma Problem Permasalaha TSP dalam ilmu matematika dilakuka pada tahu 1800 oleh ahli matematika Irladia William Rowa Hamilto da ahli matematika Iggris Thomas Peygto Kirkma, dega membuat permaia utuk meyelesaika perjalaa melalui 20 titik dega megguaka koeksi yag sudah ditetapka. Permaia yag disebut game Icosia tersebut tak lai adalah meemuka siklus Hamilto di atas suatu bidag dega megujugi tiap-tiap edge-ya sekali da akhirya kembali ke edge awal, suatu permaia yag jelas seperti rumus TSP. TSP kemudia dipelajari oleh ahli matematika Karl Meger di Viea, Harvard serta Hassler Whitey ad Merrill Flood di Priceto pada tahu 1930 da meuliska betuk umumya. Karea pertumbuha algoritma yag semaki meigkat dari tahu ke tahu, mulai tahu 1950 peyelesaia TSP dipecahka dega komputer. Tahu 1954 pertumbuha petig dari TSP diteliti oleh para peeliti yaitu: Datzig, Fulkerso da Jhoso yag terus megembagka metode baru utuk meyelesaika permasalaha TSP. Berikut tabel daftar history dari TSP (TSPLIB95, 1995)

21 Tabel 2.1 Daftar History dari TSP Tahu Tim Periset Ukura 1954 G. Datzig, R. Fulkerso, da S. Johso 49 kota 1971 M. Held da R.M. Karp 64 kota 1975 P.M. Camerii, L. Fratta, da F. Maffioli 67 kota 1977 M. Grötschel 120 kota 1980 H. Crowder da M.W. Padberg 318 kota 1987 M. Padberg da G. Rialdi 532 kota 1987 M. Grötschel da O. Hollda 666 kota 1987 M. Padberg da G. Rialdi kota 1994 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, da kota W. Cook 1998 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, da kota W. Cook 2001 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, da kota W. Cook 2004 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W kota Cook, da K. Helsgau 2.6 Dyamic Programmig Dyamic programmig adalah tekik maajeme sais yag diaplikasika kepada persoala yag melibatka keputusa yag salig berkaita. Program ii dikembagka oleh Richard Bellma da G. B Datzig pada tahu Sebagai sebuah kosep, dyamic programmig lebih luwes dibadig programprogram optimasi laiya. Aplikasi dyamic programmig telah terbukti baik pada pegelolaam persediaa, jariga, pejadwala kerja utuk karyawa, pegedalia produksi, perecaaa pejuala da bidag laiya. Dyamic programmig adalah metode pemecaha masalah dega cara meguraika solusi mejadi sekumpula lagkah (step) atau tahapa (stage) sedemikia sehigga solusi dari persoala dapat dipadag dari seragkaia keputusa yag salig berkaita.

22 Pada peyelesaia persoala dega metode dyamic programmig ii terdapat sejumlah berhigga piliha yag mugki, solusi pada setiap tahap dibagu dari hasil solusi tahap sebelumya, kita megguaka persyarata optimasi kedala utuk membatasi sejumlah piliha yag harus dipertimbagka pada suatu tahap. Pada dyamic programmig, ragkaia keputusa yag optimal dibuat dega megguaka Prisip Optimalitas. Prisip Optimalitas: jika solusi optimal, maka bagia solusi pada tahap ke-k juga optimal. Prisip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k+1, kita dapat megguaka hasil optimal dari tahap k tapa harus kembali ke tahap awal. Ogkos pada tahap k+1 = (ogkos yag dihasilkam pada tahap k) + (ogkos dari tahap k ke tahap k+1). Dega prisip optimalitas ii dijami bahwa pegambila keputusa yag bear utuk tahap-tahap selajutya Model Dyamic Programmig Secara umum, model dari dyamic programmig dapat dituliska sebagai berikut: f ( S, D ) = R + f 1 *( S 1, D 1) dega: f S, D ) = retur pada tahap- dari ilai status iput S da keputusa ( D S = kodisi awal S 1 = kodisi akhir D = keputusa yag dibuat pada setiap tahap D 1 = keputusa pada tahap akhir R = retur fuctio f ( S, D ) = retur optimal pada tahap- 1 dari ilai status iput da 1 * 1 1 S 1 keputusa D 1

23 Adapu model dari Dyamic Programmig utuk TSP adalah: f ( 1, V {1}) = mi{ c1 2 k k + f ( k, V {1, k})} dega: f(1, V {1}) = pajag optimal dari tour V = himpua berhigga tidak kosog dari vertex-vertex dari sebuah graph V {1} = himpua vertex dari suatu graph yag dikurag vertex 1 (awal) K = vertex yag terhubug ke vertex 1 (awal) C 1 k = bobot dari vertex 1 (awal) ke k Kosep Dasar Dalam Dyamic Programmig Adapu kosep dasar dalam sebuah dyamic programmig adalah: a. Dekomposisi Persoala dyamic programmig dapat dipecah-pecah mejadi sub-persoala atau tahapa yag lebih kecil da beruruta. Setiap tahap disebut juga sebagai titik keputusa. Setiap keputusa yag dibuat pada suatu tahap aka mempegaruhi keputusa-keputusa pada tahap berikutya. b. Status Status adalah kodisi awal ( ) da kodisi akhir ( ) pada setiap tahap, S S 1 dimaa pada tahap tersebut keputusa dibuat ( ). Status akhir pada sebuah tahap tergatug kepada status awal da keputusa yag dibuat pada tahap yag bersagkuta. Status akhir pada suatu tahap merupaka iput bagi tahap berikutya. D

24 c. Variabel Keputusa da Hasil Keputusa yag dibuat pada setiap tahap ( berorietasi kepada retur yag diakibatkaya ( R atau miimal. D ) merupaka keputusa yag D ), tigkat maksimal d. Fugsi Trasisi Fugsi trasisi mejelaska secara pasti bagaimaa tahap-tahap salig berhubuga. Fugsi ii berbetuk fugsi hubuga atar status pada setiap tahap yag beruruta. Fugsi trasisi secara umum berbetuk : S 1 = S D Di maa S 1 = status pada tahap -1, atau status akhir pada tahap-. S adalah status awal pada tahap-. e. Optimasi Tahap Optimasi tahap dalam dyamic programmig adalah meetuka keputusa optimal pada setiap tahap dari berbagai kemugkia ilai status iputya. Fugsi umum dari keputusa optimal adalah : f ( S, D ) = retur pada tahap- dari ilai status iput S, da keputusa, D. f ( S ) = retur optimal pada tahap- dari ilai iput status. * S f. Fugsi Rekursif Fugsi rekursif biasaya diguaka pada berbagai program komputer, di maa ilai sebuah variabel pada fugsi itu merupaka ilai kumulatif dari ilai variabel tersebut pada tahap sebelumya. Pada DP, fugsi umum dituliska sebagai : f ( S, D ) = R + f 1 *( S 1, D 1) Prosedur optimasi diawali dari tahap akhir meuju tahap awal (backward).

25 Karakteristik dyamic programmig adalah : 1. Persoala dapat dipisahka mejadi beberapa tahap (stages), di maa setiap tahap membutuhka keputusa kebijaka yag stadard da salig berhubuga. 2. Setiap tahap memiliki sejumlah status (state). Secara umum, sekumpula status ii merupaka berbagai kemugkia kodisi yag timbul dari sistem persoalaya. Status ii memberika iformasi yag dibutuhka setiap keputusa da dampakya pada tahap berikutya. Jumlah status pada setiap tahap bisa defiit atau ifiit. 3. Setiap keputusa kebijaka yag dibuat pada suatu tahap, status pada tahap tersebut ditrasformasi ke dalam status yag berkaita pada tahap berikutya. Hubuga atar status pada tahap yag beruruta bisa bersifat determiistik atau probabilistik. Pada sebuah persoala dega -tahap, ada dua iput, yaitu : (1) state pada S X tahap- ( ) da decisio variable ( ). Sedag outputya adalah : (1) retur atau akibat dari setiap X yag dipilih, f S, X ) ; da (2) status baru yag ( mejadi iput pada tahap berikutya ( S ). Hubuga atara X da 1 f ( S, X ) ditetuka oleh retur fuctio. Sedag hubuga atar status pada tahap tertetu ditetuka oleh trasitio fuctio. 4. Solusi pada dyamic programmig berprisip kepada optimalitas yag dikembagka oleh Bellma. 5. Keputusa pada tahap berikutya bersifat idepede terhadap keputusa sebelumya. Utuk meyelesaika persoala dyamic programmig, dimulai dari solusi awal pada suatu tahap, da secara beruruta meuju tahap berikutya dega proses yag terbalik (backward iductio process). 6. Solusi optimal yag dihasilka pada setiap tahap berprisip kepada hubuga dalam betuk fugsi rekursif (recursio relatioship). Secara umum betuk fugsi rekursif adalah :

26 f *( S ) = max/ mi{ f ( S, X )} Di maa f *( S ) = adalah hasil optimal dari keputusa pada tahap Ciri ciri dasar dari suatu masalah dyamic programmig Adapu ciri-ciri dasar dari suatu masalah dyamic programmig adalah: 1. Dalam masalah dyamic programmig, keputusa tetag suatu masalah ditadai dega optimisasi pada tahap berikutya, buka keseretaka. Ii berarti, jika suatu masalah aka diselesaika dega dyamic programmig, ia harus dipisahka mejadi sub problem. 2. Dyamic programmig berkaita dega masalah-masalah dimaa piliha atau keputusa dibuat pada masig-masig tahap. Seluruh kemugkia piliha dicermika, di-atur, oleh sistem status atau state pada setiap tahap. 3. Berkaita dega setiap keputusa pada setiap tahap adalah retur fuctio yag megevaluasi piliha yag dibuat dalam arti sumbaga yag diberika kepada tujua keseluruha (maksimisasi atau miimisasi). 4. Pada setiap tahap proses keputusa dihubugka dega tahap yag berdekata melalui fugsi trasisi. 5. Suatu hubuga rekursif diguaka utuk meghubugka kebijaksaaa optimum pada tahap dega -1. Ada dua macam prosedur rekursif yaitu: a. Foreward recursive equatio (perhituga dari depa ke belakag) b. Backward recursive equatio (perhituga dari belakag ke depa) Lagkah- lagkah pegembaga dyamic programmig adalah sebagai berikut: 1. Karakteristikka struktur solusi optimal. 2. Defeisika secara rekursif ilai solusi optimal. 3. Hitug ilai solusi optimal secara maju atau mudur. 4. Kotruksi solusi optimal.

27 BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Aalisa Dyamic programmig Dyamic programmig merupaka metode pemecaha masalah dega cara meguraika solusi mejadi sekumpula lagkah (step) atau tahapa (stage) sedemikia sehigga solusi dari persoala dapat dipadag dari seragkaia keputusa yag salig berkaita. Diberika sejumlah kota da jarak atar kota. Tetuka sirkuit terpedek yag harus dilalui oleh seorag salesma, bila salesma itu beragkat dari sebuah kota asal da meyiggahi setiap kota tepat satu kali da kembali lagi ke kota asal keberagkata. Permasalaha melewati setiap kota tepat satu kali da kembali ke kota asal adalah meliputi pecaria litasa terpedek pada sebuah graph Hamilto. Apabila cotoh kasus tersebut diubah mejadi persoala pada graph, maka dapat dilihat bahwa kasus tersebut adalah bagaimaa meetuka sirkuit Hamilto yag memiliki bobot miimum pada graph tersebut. Dalam dyamic programmig, diperluka beberapa variabel da lagkahlagkah utuk meetuka jalur terpedek dega bobot miimum megguaka metode forward, yaitu: Misalka G = (V, E) adalah graf legkap dega edge-edge yag diberi harga c ij > 0 utuk setiap i da j adalah vertex-vertex di dalam V. Misalka V = da > 1. Setiap vertex diberi omor 1, 2,,. Asumsika perjalaa (tour) dimulai da berakhir pada vertex 1 da setiap titik salig terhubug. Setiap tur pasti terdiri dari edge (1, k) utuk beberapa k V {1} da sebuah jalur dari vertex k ke vertex 1. Jalur dari vertex k ke vertex 1 tersebut melalui setiap vertex di dalam V {1, k} tepat haya sekali. Iisialisasi a. Graph legkap berarah (G)

28 b. Himpua berhigga tidak kosog dari vertex-vertex pada sebuah graph (V), V = {1, 2, 3, } c. Himpua edge pada sebuah graph (E) d. Jarak dari i ke j (jarak atar kota), dimaa e. Ragkaia jalur (S), S {2, 3,, } f. Bobot jalur terpedek yag berawal pada vertex i yag melalui semua vertex di dalam S da berakhir pada vertex 1 ( f(i,s) ), i S da S Adapu lagkah-lagkah dalam peyelesaia TSP dega dyamic programmig adalah sebagai berikut: Lagkah 1: Meetuka basis dari graph Hamilto yag telah direpresetasika mejadi sebuah matriks adjacecy dega persamaa: f = ( i, ) ci,1, 2 i Lagkah 2: Hitug f(i, S) utuk S = 1, kemudia kita dapat memperoleh f(i, S) utuk S = 2, higga S = - 1. Dega persamaa: f ( i, S) mi{ c + f ( j, S { j})} = j S ij dega: f(i, S) = bobot jalur terpedek S {j} = ragkaia jalur S dikurag vertex j. i da j = vertex-vertex di dalam V = bobot dari vertex i ke j Lagkah 3: Setelah diperoleh hasil dari lagkah 3, kemudia hitug persamaa hubuga rekursif: f ( 1, V {1}) = mi{ c1 2 k k + f ( k, V {1, k})}

29 dega: f(1, V {1}) = pajag optimal dari tour V = himpua berhigga tidak kosog dari vertex-vertex dari sebuah graph V {1} = himpua vertex dari suatu graph yag dikurag vertex 1 (awal) k = vertex yag terhubug ke vertex 1 (awal) = bobot dari vertex 1 (awal) ke k Lagkah 4: Setelah meghitug persamaa rekursif pada lagkah 3,aka diperoleh bobot jalur terpedek, maka utuk memperoleh solusi optimal / pajag jalur terpedek utuk sebuah graph adalah dega meghitug f(1, {2, 3, 4,, }) yag artiya adalah pajag jalur dari vertex awal (1) meuju vertex 1 setelah melewati vertex 2, 3, 4,.., dega uruta apapu (dicari yag miimum) kemudia cari pembetuk dari solusi optimal miimum yag telah diperoleh. Berikut cotoh peyelesaia TSP dega megguaka dyamic programmig. Diketahui sebuah graph legkap berarah, dega persoala TSP utuk = 4. Ragkaia jalur {2, 3, 4}. Dapat dilihat pada gambar 3.1. berikut Gambar 3.1. Graf dega Empat Vertex Berikut Jarak dari i ke j (jarak atar kota), dimaa yag dirubah dalam betuk matriks:

30 Berikut lagkah-lagkah peyelesaiaya: Lagkah 1: Hitug f ( i, ) = c, 2 i i, 1 Diperoleh: f ( 2, ) = c = f ( 3, ) = c = 31 8 f ( 4, ) = c = 41 9 Lagkah 2: Utuk S = 1, Hitug f ( i, S) mi{ c + f ( j, S { j})} Diperoleh: = j S ij

31 Utuk S = 2, hitug f ( i, S) mi{ c + f ( j, S { j})} Diperoleh: = j S ij = mi{ , } = mi{42, 35} = 35 = mi{14 +19, } = mi{33, 38} = 33 = mi{ , } = mi{33, 46} = 33 Lagkah 3: Dega megguaka persamaa, f ( 1, V {1}) = mi{ c1 2 k k + f ( k, V {1, k})} diperoleh: = mi { , , } = mi {47, 44, 49} = 44 Jadi, bobot jalur terpedek yag berawal da berakhir di vertex 1 adalah 44. Lagkah 4: Utuk megetahui jalur yag dilalui, mula-mula diketahui bahwa ilai 44 yag merupaka ilai miimum didapatka dari Berarti jalur terpedek adalah, diperoleh bahwa bagia awal dari jalur adalah 1-3. Kemudia cari tahu kompoe pembetuk yag meghasilka ilai miimum teryata adalah. Maka diketahui bahwa edge 3-2 adalah bagia dari jalur

32 terpedek. Dega cara yag sama, ditelusuri pembetuk yag teryata adalah. Edge 2-4 teryata juga bagia dari solusi jalur terpedek. Lagkah terakhir adalah meelusuri pembetuk yag teryata adalah (berarti edge 4-1 juga bagia dari jalur terpedek). Haya dega meragkai edgeedge yag ditemuka (edge 1-3, 3-2, 2-4, 4-1)dari depa ke belakag. Berarti jalur terpedek adalah dega jumlah bobot miimum 44. Dapat dilihat pada gambar berikut (edge yag bercetak tebal merupaka jalur terpedek): Gambar 3.2 Graf dega Empat Vertex 2

33 3.2 Peracaga Flowchart Gambara secara umum proses yag terjadi dalam meyelesaika permasalaha TSP dalam meetuka jalur terpedek dega bobot miimum yaitu : Mulai Gambar dari ode i ke j Iput ilai Validasi matriks jarak tidak ya Hitug f = ( i, ) ci,1, 2 i Hitug persamaa rekursif utuk S =1-1 Hitug hubuga rekursif Idetifikasi pembetuk jalur dega bobot terpedek Tampilka Hasil Selesai Gambar 3.3 Flowchart dyamic programmig pada TSP

34 3.3 Peracaga Atar Muka Racaga atar muka dari dyamic programmig megguaka visual basic. Gambar 3.4 adalah tampila dari aplikasi dyamic programmig. Aplikasi terdiri dari beberapa bagia yaitu meu, form graph da form hasil. Dyamic Programmig Graph Matriks Jarak Editor Graph Hasil Gambar 3.4 Form Utama Aplikasi Dyamic Programmig 3.4 Aalisa Kebutuha Peragkat Keras Peragkat keras yag diguaka utuk meguji implemetasi dari dyamic programmig ii pada TSP adalah sebagai berikut : 1. Procesor Petium IV 1,8D GHz 2. Memory 512 MB 3. Hard Disk 40 GB 4. O/S Widows XP 5. Mouse 6. Keyboard

35 3.5 Peracaga Peragkat Luak Implemetasi dari dyamic programmig utuk peyelesaia TSP pada tulisa ii diaplikasika dalam bahasa pemrograma Visual Basic 6.0. Aplikasi dari dyamic programmig ii dibatasi haya pada pecaria jalur terpedek dari data graph yag diiput oleh user. Tampilaya terdiri dari beberapa form yag memiliki fugsi masig-masig yag tampil sesuai dega uruta yag telah diprogram. 1. Halama Utama Pada halama utama terdapat dua meu yaitu keluar da graph. Tampila halama utama dapat dilihat pada Gambar 3.4. Gambar 3.5. Form Utama

36 Gambar 3.6. Form Meu 2. Form Graph Form graph merupaka form yag diguaka utuk meggambar graph. Data graph diiput oleh user dega cara meetuka vertex da edge. Data graph juga bisa disimpa da dibuka dalam betuk file dega ekstesio *.tzr, sehigga mempermudah ketika data graph dibutuhka kembali. Jumlah vertex yag dapat diru utuk = 100. Berikut tampila dari form graph dega iput =10. Gambar 3.7. Form Etri Data Graph

37 3. Form Matriks Jarak Form matriks jarak merupaka form yag diguaka utuk memasukka jarak ke dalam matriks. Data matriks diiput oleh user. Berikut tampila dari form matriks jarak dega iput =10. Gambar 3.8. Form Komputasi Jalur terpedek

38 4. Form Hasil Form hasil merupaka form utuk melakuka proses komputasi mecari jalur optimal miimum sekaligus meampilka waktu komputasi. Berikut tampila dari form hasil. Gambar 3.9. Form Hasil Komputasi Jalur Terpedek Gambar Form Hasil Graph Jalur Terpedek

39 5. Codig utuk Dyamic Programmig Berikut adalah codig utuk peyelesaia TSP dega dyamic programmig yag ditulis dega Microsoft Visual Basic Iput Matriks Jarak For i = 1 To Me.flxMap.Rows - 1 For j = 1 To Me.flxMap.Cols - 1 jarak(i, j) = flxmap.textmatrix(i, j) If jarak(i, j) = 0 The Next Next visib(i, j) = 0 ' Else visib(i, j) = Roud(1 / jarak(i, j), 2) Ed If 2. Peetua Jalur Terpedek fuctio TSP(G(),) for k = 2 to C(i,k),k)=d(1,k) ext for s=3 to for a= uboud(s) to lboud(s0 for b= uboud(k()) to lboud(k()) if k(b)=s(b) the C(a,b)=mi(m(c(s-{k(b)),a)+d(a,b) for c = uboud(k) to lboud(k) optimal=mi(c,k + d(b,a) ext ed if ext ext ed fuctio

40 6. Hasil Aalisis Setelah dyamic programmig diimplemetasika dalam bahasa pemrograma, kemudia diuji dega masuka beberapa jumlah kota utuk medapatka jalur terpedek dega bobot miimum. Dari pegujia yag dilakuka dapat dilihat perbadiga waktu pada proses komputasi dega masuka kota yag berbeda. Pegujia dilakuka pada spesifikasi komputer yag peulis guaka, hasil waktu proses algoritma tidak selalu sama pada jeis komputer yag berbeda. Tabel 3.1. Perhituga Waktu atar Kota Jumlah Kota Waktu Proses (Detik) Hasil pegukura terhadap waktu proses dari metode dyamic programmig ii ditujukka pada grafik berikut: Gambar 3.11 Grafik Waktu Proses Komputasi

41 7. Aalisis Berdasarka Regresi Regresi adalah bagia ilmu statistik yag mempelajari data berpasaga yag terdiri atas satu variabel takbebas da miimal satu variabel bebas. Ada dua jeis persamaa regresi, yaitu regresi liier da regresi o liier. Persamaa regresi liier adalah persamaa matematik yag memugkika peramala ilai suatu peubah takbebas (depedet variable) dari ilai peubah bebas (idepedet variable). Berdasarka data grafik waktu proses, dilakuka pegujia utuk meghitug persamaa regresi dega megguaka aplikasi SPSS diperoleh model o liier ekspoesial. (Data tabel SPSS terdapat pada halama lampira). 8. Pegujia Peragkat Luak dega Black Box Pada bagia ii aka dibahas megeai pegujia terhadap Peragkat Luak.Pegujia peragkat luak dilakuka dega pegujia secara black box. Pegujia ii megguaka beberapa kasus, seperti pada tabel di bawah ii : No Pegujia Hasil Pegujia 1 Graph tidak ada Masukka graph 2 Jika (i,j) ={ } Kalkulasi jarak gagal 3 (i,j) = text Kalkulasi jarak gagal 4 Nilai jarak (i,j) = jarak (j,i) Iput jarak gagal 5 Titik awal = {} (kosog) Pecaria rute gagal

42 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpula Berdasarka hasil peelitia megeai dyamic programmig dalam peyelesaia kasus TSP dapat disimpulka bahwa: 1. Pada peyelesaia TSP dega dyamic programmig mampu meghasilka rute optimal yaki jalur terpedek beserta pajag rute optimal da dyamic programmig mampu meguragi pegeumerasia keputusa yag tidak megarah ke solusi. 2. Dari hasil aalisis teryata utuk 5, 10, kota, diperoleh fugsi waktu terhadap bayakya kota berbetuk o liier. 4.2 Sara Sebagai sara yag ditujuka kepada pembaca yag igi meyelesaika persoala TSP dega megguaka dyamic programmig, agar dapat megembagka metode ii lebih luas lagi. Disii peulis haya meyelesaika dalam cakupa kecil yag dapat dikerjaka secara maual. Utuk itu peulis berahap agar pembaca dapat meyelesaika persoala TSP yag lebih kompleks dalam cakupa besar.

43 DAFTAR PUSTAKA Adhi, Wahyu A Studi da Implemetasi Graf Badug: Iformatika ITB. dalam Peetuaa Rute. Evas. J. R. da Miieka. E Optimizatio Algorithms for Network ad Graph. Marcel Dekker, Ic Irfa, Mohamad Faradi Peerapa Pegguaa Algoritma Geetika dega Algoritma Kovesioal pada Travelig Salesma Problem. Badug: Iformatika ITB Kusuma, Dia Nigtyas, Via Evaia da Erastusi Evaluasi Kierja Algoritma Travelig Salesma Problem dega Tekik Pemrograma Diamik. Depok: Uiversitas Guadarma. Mioux, M Mathematical Programmig Theory ad Algorithms. Joh Wiley & Sos Ltd. Muir, Rialdi Matematika Diskrit. Badug: Iformatika ITB. Setiadi, Robert Algoritma itu Mudah. Jakarta: PT Prima Ifosaraa. Simoetti, N Applicatios of a Dyamic Programmig Approach to the Travelig Salesma Problem. USA. diakses taggal 12 Desember 2008