BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3."

Transkripsi

1 BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga bulat. Metode pembuktia ii sagat petig dalam matematika. Beberapa Prisip Iduksi Matematik (PIM) yag perlu diketahui:. Sederhaa. Yag dirampatka (geeralized) 3. Kuat. Prisip Iduksi Sederhaa Prisip Iduksi Sederhaa Misal P ( ) adalah suatu proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat positif. Aka dibuktika bahwa P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P() bear, (ii) Jika Pbear, ( ) maka P ( ) juga bear utuk setiap, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Tahap (i) dalam pembuktia disebut basis iduksi, semetara tahap (ii) disebut lagkah iduksi. Asumsi yag dikemukaka dalam tahap (ii) disebut sebagai hipotesis iduksi. Latiha.: Dega iduksi matematik, buktika bahwa: ( )( ) 3, utuk semua. 3

2 Bukti : Misalka Basis Iduksi: Utuk : Ruas kiri: ( )( ) P( ) : 3, utuk semua. 3 (), da Ruas kaa: ()(3) 3 Karea ruas kiri = ruas kaa =, maka P () bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika Aka dibuktika P ( ) bear, yaitu: bear, yaitu ( )( )( 3) 3 ( )( ). 3 Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Jadi P ( ) bear utuk setiap. ( )( ) 3 3 P ( ) ( )( ) () (3)... ( ) ( )( ) ( )( ) 3 ( )( ) 3( )( ) 3 ( ){ ( ) 3( )} 3 ( )( 5 6) ( )( )( 3) 3 3 Kesimpula: Karea P() da P(+) bear utuk setiap, maka P ( ) juga bear utuk semua bilaga bulat positif.

3 3 Latiha.: Dega megguaka iduksi matematik buktika bahwa: ( )( ) (), utuk semua. 3 Bukti: ( )( ) Misalka P( ) : ( ), utuk semua. 3 Basis iduksi: Utuk : Ruas kiri: () () 3 () da ruas kaa:. 3 3 Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Karea ruas kiri = ruas kaa =, maka P() bear. Lagkah iduksi Hipotesis iduksi: Adaika P() bear yaitu ( )( ) ( ). 3 Aka dibuktika P( + ) juga bear, yaitu

4 Jadi P ( ) bear utuk setiap Kesimpula: Karea P () da P ( ) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Latiha.3: Dega iduksi matematik, buktika bahwa. habis dibagi 3, utuk semua Bukti: Misalka P ( ) : habis dibagi 3, utuk semua. Basis Iduksi: () Utuk : 4 3 adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3. Jadi P() bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P ( ) bear, yaitu habis dibagi 3, utuk semua, maka terdapat k, sehigga 3 k. Aka dibuktika P ( ) bear, yaitu habis dibagi 3, utuk semua. ( ) Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut:

5 5 ( ) 4. Berdasarka hipotesis iduksi, habis dibagi 3 da 3. adalah (3 ) 3. kelipata 3 yag habis dibagi 3, sehigga jumlah 3. da dibagi 3. Jadi P ( ) bear utuk setiap. juga habis Kesimpula: Karea P () da P ( ) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea 3 k, k, maka 3k 3k, sehigga Karea 3 4k adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3, maka P ( ) bear utuk setiap. ( ) k. k 3 3 4k Kesimpula: Karea P () da P ( ) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Latiha.4: Dega iduksi matematik, buktika bahwa. 3 habis dibagi 8, utuk semua

6 6 Bukti: Misalka P ( ) : 3 habis dibagi 8, utuk semua. Basis Iduksi:. Utuk : habis dibagi 8. Jadi P() bear. Lagkah Iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu 3 habis dibagi 8, utuk semua (hipotesis iduksi). Maka terdapat bilaga bulat k, sehigga 3 8k. Aka dibuktika P ( ) bear utuk semua, yaitu 3 habis dibagi 8. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: ( ) Berdasarka hipotesis iduksi, 3 habis dibagi 8 da 3. 3 adalah (8 ) kelipata 8 yag habis dibagi 8, sehigga jumlah 3. 3 da 3 dibagi 8. Jadi P ( ) bear utuk setiap. juga habis Kesimpula: Karea P () da P ( ) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea 3 8 k, k, maka 3 8k 3 8k, sehigga

7 7 ( ) 3 3 Karea 8 9k adalah kelipata 8 yag habis dibagi 8, maka P ( ) bear utuk setiap bilaga bulat positif k. 7k 8 8 9k Kesimpula: Karea P () da P ( ) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Soal-soal Latiha. Buktika peryataa berikut ii dega megguaka iduksi matematik 3...,. 6. a a a... a, a ( ), (3 ), utuk semua 0 da a. 3,. ( ) 6. (a) 3..., utuk setiap bilaga asli ( ) (b) 3..., utuk setiap bilaga asli. 4 (c) Guaka hasil pada soal (a) da (b) utuk meyataka bahwa , utuk semua.

8 habis dibagi, utuk. habis dibagi 3, utuk habis dibagi 5, utuk habis dibagi 4, utuk habis dibagi 6, utuk semua.. 7 habis dibagi 5, utuk setiap habis dibagi 9, utuk habis dibagi 3, utuk.. Prisip Iduksi yag Dirampatka Prisip Iduksi yag Dirampatka (geeralized) Misal P ( ) adalah proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat. Aka dibuktika P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P ( 0) bear, (ii) Jika P ( ) bear, maka P ( ) juga bear utuk setiap 0, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Latiha.5: Dega iduksi matematik buktika bahwa! positif 4., utuk semua bilaga bulat Bukti: Misal P():!, utuk semua bilaga bulat positif 4. Basis iduksi: Utuk = 4: 4! 4 da 4 6, sehigga 4 4!. Jadi P(4) bear.

9 9 Lagkah iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu! utuk semua bilaga bulat positif 4. Aka dibuktika P( + ) juga bear yaitu!. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut:!! berdasarka hipotesis iduksi. karea 4 maka 5 Jadi!. Dega kata lai P ( ) bear utuk setiap 4. Kesimpula: Karea P(4) da P ( ) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Latiha.6: Buktika bahwa, utuk 5. Bukti: Misalka P(): Basis iduksi:, utuk 5. Utuk = 5: Jadi P(5) bear. Lagkah iduksi: Adaika P(): Aka dibuktika ( ), utuk 5 bear (hipotesis iduksi) P bear, yaitu. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut:

10 0. berdasarka hipotesis iduksi 5 3 (karea 5 5 ) (karea ) Jadi. Dega kata lai P ( ) bear utuk setiap 5. Kesimpula: Karea P(5) da P ( ) terbukti bear utuk setiap 5, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 5. Latiha.7: Sebuah toko buku mejual amplop dalam paket yag berisi 5 amplop da 7 amplop. Fatimah aka membeli amplop. Buktika dega iduksi matematik bahwa utuk setiap 4, toko buku ii dapat memeuhi pesaa tepat amplop. Asumsika bahwa persediaa utuk setiap paket amplop tidak terbatas. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk membeli (memesa) amplop sebayak ( 4 ), diperluka paket amplop berisi 5 amplop da 7 amplop. Basis iduksi: Utuk 4 (5) (7) 4. Artiya utuk membeli amplop sebayak 4, diperluka paket amplop berisi 5 amplop da paket amplop berisi 7 amplop. Jadi P (4) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Misalka Pbear. ( ) Aka dibuktika P( + ) bear. Ada dua kemugkia solusi:

11 ) Misalka Fatimah aka memesa amplop sebayak amplop, maka ia sedikitya aka meerima paket amplop berisi 7 amplop. Dega meggati paket berisi 7 amplop dega 3 paket berisi 5 amplop aka diperoleh amplop sebayak amplop. ) Misalka utuk memesa amplop sebayak amplop ( 4 ), tidak ada paket amplop berisi 5 amplop, haya paket amplop berisi 7 amplop yag tersedia. Maka dega meggati 4 paket amplop berisi 5 amplop dega 3 paket amplop berisi 7 amplop, aka diperoleh amplop sebayak amplop. Jadi P ( ) bear utuk setiap 4. Kesimpula: Karea P(4) da P ( ) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Jadi utuk memesa amplop sebayak amplop, cukup dilakuka dega memesa paket yag berisi 5 amplop da amplop saja. Latiha.8: Utuk membayar biaya pos sebesar se ( 8) selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se saja. Buktika peryataa tersebut dega iduksi matematik. Bukti: Misal: P() : utuk membayar biaya pos sebesar se ( 8) selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk 8: 8 (3) (5). Artiya utuk membayar peragko seilai 8 se dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se. Jadi P (8) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Adaika P() bear.

12 Aka dibuktika P( + ) bear. Ada dua kemugkia solusi: ) Misalka kita bayar biaya pos seilai se dega sedikitya peragko 5 se. Dega meggati peragko 5 se dega peragko 3 se aka diperoleh biaya pos seilai +. ) Misalka utuk biaya pos seilai se ( ) dega sedikitya 3 peragko 3 se. Dega meggati 3 peragko 3 se dega peragko 5 se aka diperoleh biaya pos sebesar + se. Jadi P ( ) bear utuk setiap. Kesimpula: Karea P(8) da P ( ) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 8. Jadi utuk semua 8 selalu dapat diguaka peragko 3 se da 5 se utuk membayar biaya pos. Soal-soal Latiha. Sebuah kios peukara uag haya mempuyai pecaha uag seilai Rp. 000,00 da Rp ,00. Utuk uag seilai berapa saja yag dapat ditukar dega kedua pecaha uag tersebut? Buktika kebeara jawaba ada dega megguaka iduksi matematik.. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se ( 0) selalu dapat diguaka peragko 5 se da peragko 6 se saja. 3. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se ( 4) selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 8 se saja..3 Prisip Iduksi Kuat Prisip Iduksi Kuat Misalka P() adalah peryataa tetag bilaga bulat. Aka dibuktika P() bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika ii cukup ditujukka: (i) P( 0 ) bear,

13 3 (ii) Jika P( 0 ), P( 0 + ),..., P() bear maka P( + ) juga bear, utuk setiap bilaga bulat 0, sehigga P() bear utuk semua bilaga bulat 0. Catata: Iduksi kuat mirip iduksi yag dirampatka. Perbedaaya terdapat pada lagkah (ii). Iduksi kuat megambil hipotesis yag lebih kuat, yaitu: P(), P(),..., P() bear. Prisip ii memugkika kita mecapai kesimpula yag sama meskipu memberlakuka pegadaia yag lebih bayak. Latiha.9: Guaka iduksi kuat utuk membuktika bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Basis Iduksi: Utuk 0 =, maka peryataa di atas bear karea adalah bilaga prima. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya bahwa setiap bilaga asli tersebut (, 3,, ) merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Aka ditujukka: + juga merupaka bilaga prima atau hasil kali bilaga prima. Ada dua kasus yag perlu dibuktika, yaitu jika + prima atau + buka prima: Jika + prima, maka jelas peryataa bear;

14 4 Jika buka prima, maka dapat difaktorka, yaitu dega ab, yag memeuhi a, b. Berdasarka hipotesis iduksi, a da b merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima, sehigga + juga merupaka hasil kali prima. Jadi, setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali prima. ab Latiha.0: Guaka prisip iduksi kuat utuk membuktika bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Basis Iduksi: Utuk puzzle dega potoga tidak diperluka cara meyelesaikaya. Jadi P () bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P(), P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya utuk meyelesaika puzzle dega 0 =,, 3,..., potoga diperluka lagkah. Aka ditujukka bahwa puzzle dega + potoga memerluka lagkah utuk meyelesaikaya. Bagi + potoga mejadi dua bagia yaitu da bagia, sehigga + = +. Meurut hipotesis iduksi: - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah, - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah. Apabila kedua lagkah tersebut digabugka dega satu lagkah terakhir utuk meyatukaya, maka diperoleh: ( ) ( ).

15 5 Jadi P ( ) bear utuk setiap. Kesimpula: Karea P() da P ( ) bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk setiap bilaga positif. Dega kata lai, utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah. Latiha.: Buktika dega iduksi kuat bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se ( ) selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se saja. Bukti: Misal: () : utuk membayar biaya pos sebesar se ( ) selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk = = 3(4). Artiya utuk membayar peragko seilai se dapat diguaka 3 peragko 4 se. Jadi P () bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: Adaika P(), P(3), P(4),..., P() bear P() = 3(4) = P(3) 3 = (4) + 5 = P(4) 4 = (4) + (5) = P(5) 5 = 3(5) = P(6) 6 = 4(4) = P(7) 7 = 3(4) + 5 = P( ) k(4) l(5) dega kl,. Aka dibuktika bahwa P ( ) bear. Berdasarka hipotesis iduksi, diperoleh pola peggatia peragko, yaitu peragko 4 se dapat digati dega peragko 5 se atau 3 peragko 5 se digati dega 4 peragko 4 se, sehigga diperoleh biaya pos seilai + se.

16 6 Jadi P( + ) bear utuk setiap 8. Kesimpula: Karea P () da P( + ) bear utuk setiap 8, maka P() bear utuk semua 8..4 Betuk Iduksi Secara Umum Agar iduksi matematik dapat diguaka utuk pembuktia yag berkaita dega bilaga atau obyek secara umum, tidak haya berkaita dega bilaga bulat positif saja, maka dibuat betuk iduksi secar umum. Syaratya, himpua bilaga atau obyek tersebut harus mempuyai keteruruta da eleme terkecil. Berikut ii adalah defiisi terurut dega baik. Defiisi.: Terurut dega baik (Well OrderigPriciple ) Relasi bier < pada himpua R dikataka terurut dega baik, jika:. Diberika x, y, z R, x < y da y < z x < z (sifat trasitif). Diberika x, y R: x < y atau y < x atau x = y, 3. Jika A himpua bagia tidak kosog dari R, terdapat eleme x A sedemikia sehigga x y utuk semua y A. Dega kata lai, setiap himpua bagia tidak kosog R memuat eleme terkecil. Dari defiisi terurut dega baik tersebut, didefiisika iduksi secara umum. Defiisi.: Iduksi secara umum Misal: X terurut dega baik oleh <. P(x) adalah peryataa perihal eleme x dari X. Utuk membuktika P(x) bear utuk semua x X, cukup ditujukka:. P(x 0 ) bear, dega x 0 adalah eleme terkecil dalam X,. jika P(y) bear utuk y < x, maka P(x) juga bear utuk setiap x > x 0 dalam X, sehigga Px ( ) bear utuk semua x X.

17 7 Latiha.: Perhatika barisa bilaga bulat yag didefiisika sebagai berikut: Cotoh barisa bilaga S 0,0 = 0 S,0 = S 0,0 + = 0 + = S,0 = S,0 + = + = S 3,0 = S,0 + = + = 3 S 0, = S 0,0 + = 0 + = 0 jika m = 0 da = 0 S m, = { S m, + jika = 0 S m, + jika 0 S 0, = S 0, + = + = S 0,3 = S 0, + = + = 3 S, = S,0 + = + = S, = S,0 + = + = 3 Buktika dega iduksi matematik, bahwa utuk pasaga tak egatif m da, berlaku S m, = m +. Bukti: Misalka Px ( ) adalah peryataa yag berkaita dega S m, yag didefiisika pada soal di atas. Basis Iduksi: x0 0,0 adalah eleme terkecil di dalam X, sehigga P( x0 ) S0,0. S0, , sedagka berdasarka defiisi S0,0 0. Jadi Px ( 0) bear. Lagkah Iduksi: Misalka P( y) m S ', ' da P x S, ( ) m. Adaika S m, = m + bear utuk semua (m, ) < (m, ) (Hipotesis Iduksi). Aka dibuktika bahwa S m, = m + juga bear utuk semua ( m, ) (0,0) di X. Dega kata lai, berdasarka defiisi di atas aka ditujukka bahwa S m, = m +, baik utuk = 0 atau 0.

18 8 Kasus I: Jika = 0, maka dari defiisi S m, = S m, +. Sm, m, Karea (m, ) < (m, ) maka dari hipotesis iduksi Sm, Sm, m m. Jadi S, P( x) bear. sehigga m Kasus II: Jika 0, maka dari defiisi S m, = S m, +. Karea (m, ) < (m, ) maka dari hipotesis iduksi S m sehigga m,, Sm, Sm, m m. Jadi S, P( x) bear. Dari kasus I da II disimpulka bahwa S m, = m + bear utuk (m,) di X. Kesimpula: Karea P( x0 ) S0,0 da P( x) Sm, bear maka terbukti bahwa S m, = m + bear utuk semua pasaga tak egatif m da. m Latiha.4: Perhatika barisa bilaga yag didefiisika sebagai berikut: S, = 5 S m, = { S m, + jika = S m, + jika Buktika dega iduksi matematika bahwa utuk semua pasaga bilaga bulat positif (m, ) berlaku S, ( m ). m

19 9 BAB REKURSI. Barisa yag Terdefiisi secara Rekursif Misalka adalah bilaga asli. dapat ditulis sebagai.... Dega kata lai, k k da utuk k,... (i) Peryataa (i) tersebut merupaka salah satu cotoh dari defiisi rekursif. Peryataa tersebut dega jelas meyataka defiisi, jika. Kemudia dega megasumsika terdefiisi utuk k, maka aka didefiisika utuk k. Berdasarka Prisip Iduksi Matematik (PIM), telah terdefiisi utuk semua bilaga bulat... Cotoh lai dari defisi rekursif adalah: da utuk 0! k 0, k! k. k! yag berdasarka PIM,! telah terdefiisi utuk setiap 0. Barisa bilaga-bilaga serig didefiisika secara rekursif. Barisa adalah fugsi-fugsi yag domaiya merupaka himpua bulat tak berhigga (serig diyataka dega ) da yag daerah hasilya (rage) merupaka himpua bilaga real. Karea domaiya dapat dihitug, maka biasaya suatu barisa diyataka dega meyebutka daerah hasilya. Sebagai cotoh, barisa di maa fugsi f : didefiisika oleh f ( ), biasaya secara umum diyataka oleh,4,9,6,... Bilaga-bilaga dalam barisa tersebut diyataka sebagai suku-suku barisa (the terms of the sequece). Barisa,4,8,6,... dapat didefiisika secara rekursif sebagai: a da utuk k, a a... (ii) k k

20 0 Bila dijabarka, a a 4, a a 4 8, a a 3 8 6, 4 3 da seterusya. a k a disebut relasi rekuresi da k a disebut kodisi awal. Defiisi rekursif lai yag mugki utuk barisa (ii) adalah Atau a da utuk k 0, a a 0 k k a da utuk k, ak ak. Setelah meyebutka beberapa suku barisa, dapat diduga rumus umum utuk a. Utuk cotoh di atas, rumus umumya adalah a, da ii disebut. sebagai solusi relasi rekuresi. Cotoh:. Tuliska eam suku pertama dari barisa yag didefiisika oleh a, a 3a, utuk k. k Perkiraka rumus utuk a da buktika dega PIM bahwa rumusmu bear. k Jawab: a, a a a a a 3a 3() 4, a 3 4 3, 3a 3(3) 40, 3a 3(40), 3a 3() 364. a 3. Meurut dugaa, rumus utuk barisa di atas adalah Bukti dega PIM:, 3 a (bear). Utuk

21 diasumsika bear. k Utuk k, a k 3 3 bear. k Aka dibuktika a k Berdasarka defiisi relasi rekuresi, a k 3 3 3ak Suatu barisa didefiisika oleh k k k.. terbukti. a, a 4 da a 4a 4 a, 0 Tuliska eam suku pertama dari barisaya. Perkiraka rumus utuk a da periksa keabsaha dugaamu. Jawab: Perhatika bahwa a, a 4, a 4a 4a 4 4 4, a 4a 4a , a 4a 4a , a 4a 4a Dugaaya adalah a a a a (8) 8 4(8) (6) 6 5(6) (3) 3 6(3) Bukti: Utuk Utuk 0 0, (0 ) () a0 bear, ( ) 4 a bear Asumsika bahwa utuk k >, da a ( ), utuk semua dalam selag 0 k. Aka dibuktika rumus bear utuk = k, yaitu a ( k ) k. Karea k

22 k da dari defiisi ak 4ak 4ak, maka dega meerapka hipotesis iduksi utuk k - da k ( 0 k ak k, sehigga k a k k k k 4. 4 k ), diperoleh k ak k da k k k k k k k. k. k. k terbukti. Jadi berdasarka PIM, rumusya berlaku utuk semua 0. Perhatika bahwa dari defiisi diperoleh rumus a Da dari defiisi diperoleh rumus a, a 4,da utuk, a 4a 4a. 0. a, a 4, da utuk, a 4a 4 a,. Barisa Aritmetika Defiisi: Barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d, adalah barisa yag didefiisika oleh a a, da utuk k, ak ak d Barisa aritmetika umum mempuyai betuk: Sehigga utuk, suku ke- barisa adalah a, a d, a d, a 3 d,... a a ( ) d Jumlah suku barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d adalah S a d

23 3 Cotoh: 00 suku pertama dari barisa -7, -, -7, -, 3, mempuyai jumlah 00 S Da suku ke-00 adalah a (5) 478. Jika diketahui bilaga 038 termasuk salah satu suku barisa tersebut, maka dapat ditetuka suku ke berapa bilaga 038 tersebut: a 7 ( ) Jadi bilaga 038 merupaka suku ke-4 dari barisa tersebut. Defiisi:. Barisa Geometri Barisa geometri dega suku pertama a da rasio r adalah barisa yag didefiisika oleh a a da utuk k, a r. a. k k Barisa geometri secara umum mempuyai betuk 3 a, ar, ar, ar,..., ar,... da suku ke- adalah ar.. Jumlah suku barisa geometri, dega r adalah Cotoh: a( r ) S r. Jumlah 9 suku barisa geometri dega a 8 da r adalah

24 S Suku ke-30 dari barisa geometri tersebut adalah a Barisa Fiboacci Sekilas tetag asal usul barisa Fiboacci. Leoardo Fiboacci/Leoardo of Pisa (80-8) adalah salah seorag matematikawa terkemuka yag mecetuska barisa Fiboacci, yag berkaita dega pertumbuha kelici. Misalka kelici yag baru lahir mempuyai keturua pada akhir bula ke-dua kehidupaya. Setelah masa itu, mereka meghasilka sepasag kelici setiap bula (satu jata, satu betia). Dega asumsi bahwa pada awalya ada satu pasag kelici, maka berapa kelici yag hidup setelah tahu? Barisa yag meyataka bayakya pasaga kelici pada akhir bula, disebut Barisa Fiboacci. Setelah bula, haya ada pasag kelici, tetapi pada bula-bula berikutya, pasaga ii bertambah dega kelahira keturua-keturuaya, sehigga setelah bula, ada pasag kelici. Pada akhir bula tertetu, bayakya pasaga kelici adalah bayakya kelici yag hidup pada akhir bula sebelumya ditambah bayakya pasaga yag hidup bula yag lalu, karea setiap pasaga yag hidup dua bula yag lalu, meghasilka sepasag keturua. Barisaya diyataka sebagai berikut:,,, 3, 5, 8, 3,,, yag didefiisika secara rekursif sebagai berikut: f, f, da utuk k, f f f. k k k

25 5 Suku ke- dari barisa Fiboacci adalah bilaga bulat yag terdekat dega bilaga 5. 5 Beberapa ilaiya adalah 0,736;,708;,89443; 3,0655; 4,95967; 8,049;,98460 da,0095. Bilaga bulat yag terdekat dega bilaga-bilaga tersebut adalah 8 suku pertama dari barisa Fiboacci, yag sudah disebutka sebelumya. Perlu diperhatika bahwa barisa yag kelihataya terdefiisi secara rekursif, teryata tidak medefiisika barisa yag sebearya, sebagaimaa terlihat dalam cotoh berikut ii. Cotoh: Perhatika defiisi rekursif berikut ii: ak /, jika kgeap a, da utuk k, ak. a3k, jika k gajil Bila diuraika relasi rekuresiya, maka diperoleh suku-suku barisa sebagai berikut: a, a a. a a ( a ) a ( a ) 3 a 5. a a 3. 4 a a ( a ) a ( a ) a 3 ( a ) 4 a 4 ( a ) a (tidak mugki 0 5) Jadi tidak ada barisa yag telah didefiisika. Latiha:. Tuliska 6 suku pertama dari barisa yag didefiisika sebagai berikut:

26 6 ak /, jika k geap a da utuk k, ak a3k, jika k gajil.. Berika defiisi rekursif utuk barisa-barisa berikut ii: a. 3 4,5,5,5,5,... b. 5,3,,, 3,... c. 4,,3,,5, 7,, 9,3,... d.,,0,3,,4,,.... Solusi Rekuresi yag Berkaita dega Poliom Karakteristik Dalam sub bab ii aka dibahas prosedur utuk peyelesaia relasi rekuresi yag berbetuk: a ra sa f ( ),... (i) Dega r da s kostata, f( ) adalah fugsi dari. Relasi rekuresi tersebut dikeal sebagai relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata. Jika f( ) 0, maka relasiya disebut homoge. Orde ke-dua merujuk pada defiisi relasi rekuresi yag meyataka bahwa a sebagai fugsi dari dua suku yag medahuluiya. Cotoh : Berikut ii adalah beberapa cotoh relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata.. a a, a yaitu relasi rekuresi yag mucul dalam defiisi barisa Fiboacci. Relasi ii homoge dega r s. Perhatika bahwa relasi rekuresi tersebut merupaka modifikasi dari betuk a, a a seperti pada defiisi barisa Fiboacci a a a r 5, da s 6 da f., dega 3. a 3a. Ii relasi homoge dega r 3, da s 0.

27 7 Cotoh : Perhatika dua relasi rekuresi berikut:. a 5a 3a 3. Ii buka relasi rekuresi orde ke-dua.. a a a.. Ii relasi rekuresi yag tidak liier. Relasi rekuresi homoge a ra sa dapat ditulis dalam betuk a r. a s. a 0, yag berkaita dega poliom kuadrat: disebut poliom karakteristik dari relasi rekuresi. x rx s, yag Cotoh: Relasi rekuresi a 5a 6a mempuyai poliom karakteristik da akar-akar karakteristik da 3. x 5x 6 Teorema: Misalka xda x adalah akar-akar poliom x rx s. Maka solusi dari relasi rekuresi a r. a s. a, adalah a cx cx, jika x x. a cx c x, jika x x x Pada masig-masig kasus, cda c adalah kostata yag ditetuka oleh kodisi awal. Latiha : Selesaika relasi rekuresi a 5a 6 a,, bila diketahui a0, a 4. Latiha : Selesaika relasi rekuresi a 4a 4 a,, dega kodisi awal a, a 4. 0

28 8 Latiha 3: Tetuka rumus suku ke- dari barisa Fiboacci, bila diketahui kodisi awalya a 0 a buka a a. Perhatika betuk umum relasi rekuresi orde ke-dua: a ra sa f ( ). (i). Misalka diperoleh satu solusi khusus p dari relasi rekuresi di atas, maka p rp sp f ( ). (ii) Misalka t adalah solusi lai dari relasi rekuresi (i) di atas, maka t r t st f ( ).. (iii) Dega meguragka persamaa (iii) dega (ii), diperoleh t p r t p s t p. (iv). Persamaa (iv) ii meujukka bahwa t p memeuhi relasi rekuresi homoge a ra sa. Tulis t p q, maka t p q, dega p adalah solusi khusus dari persamaa (i) da homoge yag berkaita. Teorema: Misalka q memeuhi relasi rekuresi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi a ra sa f ( ), dega kodisi awalya diabaika. Misalka q adalah solusi utuk relasi rekuresi homoge a ra sa, dega kodisi awal diabaika. Maka p q adalah solusi utuk relasi rekuresi a ra sa f ( ). Kodisi awal meetuka kostata-kostata di q. Cotoh: Selesaika relasi rekuresi a 3 a,, dega a0.

29 9 Jawab: I. Mecari solusi khusus p Karea f liier, maka pilih p fugsi liier, yaitu p a b, dega a da b aka ditetuka. Substitusika a + b ke dalam relasi rekuresi yag diketahui sehigga diperoleh: a b 3a b 3a 3b 3b. Dega demikia, a 3a 3b da b 3b, sehigga diperoleh 4a 3b 0 4a 3b 3 3 4a 3 a. 4b b Jadi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi tersebut, dega 6 4 megabaika kodisi awal. II. Mecari solusi homoge q Relasi rekuresi homoge yag berkaita dega kasus ii adalah a 3a, yag poliom karakteristikya adalah x adalah -3 da 0. Jadi solusi relasi rekuresi homogeya adalah 3x, dega akar-akar karakteristikya q c c c III. Meerapka kodisi awal utuk memperoleh solusi ohomoge a p q Dari solusi khusus p da homoge q yag diperoleh, dapat ditetuka solusi relasi ohomogeya, yaitu a p q c 3 Karea a0, maka a c c c

30 30 Jadi solusiya adalah a 3 Latiha: Selesaika a a 3a 5,, dega a0, a. Jawab: I. Mecari solusi khusus p f, maka pilih p 5. Substitusika p tersebut ke dalam Karea 5 persamaa rekuresi yag ada, sehigga diperoleh. Karea 5 0, maka 5 p 5. Jadi solusi khusus p p 3p 5 a5 3a5 a 5 a 5 3a a3a a 0a 3a a 5 a p 5. II. Mecari solusi relasi rekuresi homoge: q Dari relasi rekuresi homoge a a 3a, maka dapat ditetuka poliom karakteristik yaitu x x 3, yag mempuyai akar-akar karakteristik: - da 3. Jadi solusi homogeya adalah q c c 3. III. Meerapka kodisi awal utuk meetuka solusi relasi rekuresi ohomoge a p q

31 3 Berdasarka teorema, relasi rekuresi yag diketahui mempuyai solusi Dari kodisi awal a0 diperoleh Dari kodisi awal a0 diperoleh 5 5 a q p c c a0 5 c c c c c c 5 a 5 c c c 3c c 3c 7 7 Dega megguaka metode elimiasi, diperoleh hasil c da c, 4 8 sehigga solusi relasi rekuresi liier orde ke-dua adalah Latiha: a I. Carilah solusi relasi rekuresi homoge berikut:. a a a a0 a 6,, jika diketahui, 3.. a a a a0 a 6 7,, jika diketahui 3, a a a a0 a 6 9,, jika diketahui 5, a a a a0 a 9 6,, jika diketahui 3,. II. Carilah solusi relasi rekuresi ohomoge berikut:. a 4a 4 a,, diketahui a0 5, a 9. a 4a 8,, diketahui a0. 3. a 5a 6a 3,, diketahui a0, a 4

32 a 6a 9a 3,, diketahui a0, a 8 8 a a a, diketahui a0 0, a 3 5 3,.3 Solusi Relasi Rekuresi: Fugsi Pembagkit Fugsi Pembagkit adalah suatu poliom yag berlagsug selamaya (goes o forever), yaitu sebuah ekspresi dalam betuk f ( x) a a x a x a x... a x Tidak seperti poliom pada umumya, di maa koefisie a i semuaya ol setelah titik tertetu, fugsi pembagkit biasaya mempuya tak higga bayakya suku tak ol. Ada kaita yag jelas atara fugsi pembagkit dega barisa a, a, a,..., sebut saja 3 a a x a x a x... a, a, a, a, Defiisi: Fugsi pembagkit dari suatu barisa a, a, a 3,... adalah ekspresi f x a a x a x ( ) 0... Cotoh: Fugsi pembagkit dari barisa,,3, bilaga asli adalah f ( x) x 3 x..., semetara fugsi pembagkit dari barisa aritmetik,4,7,0, adalah f x x x x 3 ( ) Fugsi pembagkit dapat dijumlahka da dikalika suku demi suku seperti pada poliom. Jika f x a a x a x da g x b b x b x maka ( ) 0... ( ) 0... f ( x) g( x) a b a b x a b x f ( x) g( x) a b a b a b x a b a b a b x

33 33 Catata: Meski fugsi pembagkit mempuyai takberhigga bayakya suku, amu defiisi pejumlaha da perkalia tidak melibatka jumlah takberhigga; sebagai cotoh, koefisie Latiha: Jika tetuka f x x x x x dalam perkalia f ( x) g( x ) adalah jumlah berhigga ( ) a b a b a b... a b da f ( x) g( x) da f ( x) g( x ). Jawab: g( x) x x x... x..., 3 f ( x) g( x) x x... x... x x x... x x x x 4 x x... 3 f ( x) g( x) x x... x.... x x x... x... x x x x x... Bagi mahasiswa yag perah belajar kalkulus lebih dari satu tahu, dapat melihat kemiripa yag jelas di atara fugsi pembagkit da deret kuasa da aka merasa yama dega keyataa bahwa fugsi pembagkit serig diyataka sebagai kuosie dari poliom. Sebuah cotoh yag petig adalah x 3 x x x... yag meujukka bahwa /(-x) adalah fugsi pembagkit dari barisa,,, x x x... x... x x... x... 0x 0 x... 0 x....,

34 34 Rumus lai yag sagat bermafaat adalah yag meujukka bahwa bilaga asli. x x 3 x 3x 4 x... x... adalah fugsi pembagkit dari barisa Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa 0,,,3,, yaitu Maka f x x x x x x 3 4 ( ) f x x x x x x 3 4 ( ) x x x x x x x x x Latiha: Selesaika relasi rekuresi a 3 a, diketahui a0. Jawab: Perhatika fugsi pembagkit f ( x) a a x a x a x... a x... dari barisa a0, a, a, a3,..., a,... Kalika dega 3x da tuliska hasil kali 3 xf ( x ) di bawah f( x ) sehigga suku-suku yag melibatka Hasil peguragaya adalah x sesuai tempatya: f ( x) a a x a x a x... a x... 3 xf ( x) 3a x 3a x 3 a x... 3 a x f ( x) 3 xf ( x) a a 3a x a 3 a x... a 3 a x

35 35 Karea a0, a 3a0 da secara umum, a 3a, hal ii meujukka bahwa 3x f x. Jadi f x sebelumya diperoleh 3x da dega megguaka rumus 3 3x 3x 3 x... 3 x... 3x 3 3x 9x 7 x... 3 x... Dapat disimpulka bahwa a yag merupaka koefisie dega 3. Jadi Latiha: a 3 adalah solusi dari relasi rekuresi di atas. x di f( x ), harus sama Selesaika relasi rekuresi a a a, diketahui a0 3, a -. Jawab: Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa dalam pertayaa di atas, maka f x a0 ax ax ax xf x a x a x... a x... 0 x f x a x... a x f x xf x x f x a a a x a a a x a a a x x karea a0 3, a da a a a 0 utuk 0 sehigga x x f x 38x x f x 3 8x. f x 38x x 3 x 3x 4 x... x x 3 3 x 7x x x x 7x x x... da a 3 5 adalah solusi relasi rekuresi yag diharapka.

36 36 Latiha: Dega megguaka fugsi pembagkit, carilah solusi relasi rekuresi berikut ii. Guaka metode poliom karakteristik utuk memeriksa kebeara jawabamu.. a 3a 0a,, bila diketahui a0, a 4.. a 4a 3a,, bila diketahui a0, a 5.,, bila diketahui a0, a a 0a 5a 4. a a 3,, bila diketahui a0. 5. a 5a 3,, bila diketahui a0.

37 37 BAB 3 PRINSIP PENGHITUNGAN Prisip peghituga merupaka bagia dari Kombiatorika, yag mempelajari struktur diskret yag terhitug atau berhigga, yag berkaita dega pegatura obyek-obyek. Solusi yag diigika adalah jumlah atau bayakya cara/pegatura obyek-obyek tertetu dalam himpuaya. Dalam prisip peghituga ii aka dipelajari prisip/kaidah pejumlaha da perkalia, prisip iklusi-eksklusi, da prisip sarag burug merpati. 3. Kaidah Pejumlaha da Perkalia Cotoh:. Ada 5 karakter yag terdiri dari dua huruf yag diikuti dega 3 agka, yag mucul di belakag satu series mikrokomputer buata salah satu pabrik elektroik. Bayakya kemugkia pegatura karakter dalam series tersebut adalah: a) 6x6x0x0x0= , jika karakterya dapat diulag; b) 6x5x0x0x0= , jika hurufya tidak dapat diulag; c) 6x5x0x9x8= , jika tidak ada karakter yag dapat diulag.. Seorag dose mempuyai 5 mahasiswa di kelas Kalkulus da 3 mahasiswa di kelas Statistik. 3 mahasiswa dari dose tersebut megikuti kuliah. Ada 3 kejadia yag mucul dari peristiwa ii: a) Kejadia pertama adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Kalkulus, tapi buka Statistik. Hal ii terjadi dalam cara, yaitu 5-3=. b) Kejadia ke dua adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik, tapi buka Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 8 cara, yaitu 3-3=8.

38 38 c) Kejadia ke tiga adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik da Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 3 cara. Jadi bayakya mahasiswa yag megikuti kedua kuliah tersebut adalah +8+3=43 orag. Dega memperhatika kedua cotoh tersebut dapat dilihat bahwa cotoh pertama diselesaika dega megguaka perkalia da cotoh yag kedua dega megguaka pejumlaha. Atura atau kaidah yag diguaka dalam meyelesaika masalah seperti pada cotoh tersebut dikeal dega ama Pricipal of Coutig (Kaidah Meghitug). Kaidah ii terdiri dari kaidah perkalia (multiplicatio rule) da kaidah pejumlaha (additio rule). a. Kaidah Perkalia Misalka ada barisa dari r kejadia E, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i cara di maa E i mucul (i =,,,r), da ii. Bayakya cara suatu kejadia dalam barisa dapat terjadi tidak bergatug pada bagaimaa kejadia dalam barisa sebelumya terjadi. Dega kata lai, dua kejadia itu bebas satu sama lai. Maka ada ( ).( ) ( r ) cara di maa semua kejadia dalam barisa tersebut terjadi. b. Kaidah Pejumlaha Misalka ada r kejadia E, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i hasil utuk E i (i =,,,r), da ii. Dua kejadia tidak dapat terjadi secara bersamaa. Maka ada ( ) + ( ) + + ( r ) cara di maa salah satu kejadia dapat mucul (terjadi). Latiha.: Tetuka bayakya bilaga bulat gajil dari 0 sampai 99.

39 39 Jawab: Bayakya bilaga gajil dari 0 sampai 99 adalah 50. Dega megguaka kaidah perkalia, dapat diperoleh hasil sebagai berikut: i. Bilaga bulat di atara 0 da 99 mempuyai digit satua da digit puluha, jika agka 0 sampai 9 ditulis sebagai 00, 0,, 09. ii. Misalka E adalah kejadia memilih digit dari digit satua. Hal ii dapat dilakuka dega 5 cara (karea bilaga gajil, maka digit yag dipilih adalah,3,5,7,9). iii. Misalka F adalah kejadia memilih digit dari digit puluha, maka hal ii dapat dilakuka dega 0 cara (yaitu agka 0,,,9). Perhatika bahwa bayakya cara dalam E dapat terjadi tapa tergatug pada bagaimaa F dapat terjadi, demikia pula sebalikya. Maka barisa F, E dapat mucul dalam 50 cara. Latiha.: Misalka soalya sama seperti pada Latiha., amu dega digit yag berbeda. Jawab: Kasus I: i. E dapat dipilih dega 5 cara. ii. F dapat dipilih dega 9 cara. Perhatika bahwa bayakya cara F terjadi tidak bergatug pada bagaimaa E terjadi. Maka dega atura perkalia, barisa E, F dapat terjadi dalam 45 cara. Jadi ada 45 bilaga bulat gajil yag berbeda. Kasus II: i. Jika F adalah kejadia pertama, maka F dapat dipilih dega 0 cara. ii. E sebagai kejadia ke dua dapat dipilih dega 5 cara, jika F ya geap da 4 cara jika F ya gajil. Dega kata lai bayakya cara di maa E terjadi bergatug kepada kejadia F mucul, sehigga atura perkalia tidak dapat diberlakuka utuk barisa F, E.

40 40 Latiha.3: Tetuka bayakya bilaga geap dari yag tidak mempuyai pegulaga digit. Jawab: Kasus I: bilagaya berakhir dega agka 0 Karea bilagaya terdiri dari tiga digit da digit ke-tiga sudah diambil oleh agka 0, maka tiggal dua digit yag harus ditetuka bayakya piliha. Utuk digit pertama, ada 9 piliha (yaitu -9) da utuk digit ke-dua, ada 8 piliha (agka 0 da digit pertama tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada 98 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0 Digit terakhir ada 4 piliha (yaitu,4,6,8), digit pertama ada 8 piliha (agka 0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit ke-dua ada 8 piliha (digit pertama da terakhir tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada bilaga geap yag tidak berakhir dega agka 0. Berdasarka kaidah pejumlaha, ada bilaga geap dari dega tidak ada pegulaga digit. Latiha.4: Soalya sama dega Latiha.3. Perhatika kasus II di atas. Utuk soal ii, pemiliha bilaga dimulai dari digit terakhir, digit pertegaha da digit pertama, dega memisahka kasus mejadi digit pertegaha adalah 0 da digit pertegaha adalah buka 0. Jawab: Kasus I: jawabaya sama dega soal Latiha.3 kasus pertama, ada 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0

41 4 a. Jika digit pertegaha adalah 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8) da digit pertama ada 8 piliha (digit terakhir da 0 tidak termasuk), sehigga ada 48 3 bilaga geap dega tipe ii. b. Jika digit pertegaha buka agka 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8), digit pertegaha ada 8 piliha (0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit pertama ada 7 piliha, sehigga ada bilaga dega tipe ii. Utuk kasus II ada = 56 bilaga geap dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, ada = 38 bilaga geap dari yag tidak mempuyai pegulaga digit. Latiha.5: Soalya sama dega Latiha.3, tetapi peyelesaiaya dibagi dalam 4 kasus, yaitu: i) Dua digit pertama geap, ii) Dua digit pertama gajil, iii) Digit pertama geap, digit ke-dua gajil, iv) Digit pertama gajil, digit ke-dua geap. Jawab: Pemiliha digit pertama da ke-dua dibagi dalam empat kasus: Kasus : Jika dua digit pertama geap, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 3 piliha (agka 0, digit pertama da digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus : Jika dua digit pertama adalah gajil, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (,3,5,7,9), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 5 piliha (0,,4,6,8), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus 3: Jika digit pertama geap da digit ke-dua gajil, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 5 piliha (,3,5,7,9) da digit

42 4 terakhir ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus 4: Jika digit pertama gajil da digit ke-dua geap, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (,3,5,7,9), digit ke-dua ada 5 piliha (0,,4,6,8) da digit terakhir ada 4 piliha (digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, bayakya bilaga geap yag tidak mempuyai digit yag berulag ada Prisip Iklusi-Ekslusi Proposisi: Misalka himpua A da B adalah subset dari himpua berhigga U. Maka (a) A B A B A B (b) AB mi A, B, miimum dari A da B (c) A \ B A A B A B c (d) A U A, dega U adalah himpua semesta (e) A B A B A B A B A B A \ B B \ A (f ) A B A B Prisip Iklusi-Eksklusi: Diketahui sejumlah berhigga himpua berhigga A, A,..., A. Bayakya eleme dalam gabuga himpua berhigga tersebut adalah A A... A A A A A A A i i j i j k i i j i jk... A A... A

43 43 Latiha.6: Tetuka bayakya bilaga bulat dari sampai 300 yag: a) Habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, atau 7. b) Habis dibagi 3 da 5, tetapi tidak habis dibagi 7. c) Habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 maupu 7. Jawab: Misalka himpua A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat dari sampai 300 yag habis dibagi 3, 5 da 7: 300,3, B 300,5 A C 300,7., da a). Bayakya bilaga bulat dari sampai 300 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3,5 atau 7, berarti mecari: A B C A B C A B AC B C A B C. A 300 / 3 00, B 300 / 5 60, C 300 / 7 4. A B 0, 35 5 B C 8, A C 4, 37 A B C Jadi A B C Dega demikia, bayakya bilaga bulat dari sampai 00 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, 7 adalah 6 bilaga.

44 44 Catata: Fugsi Bawah (The Floor Fuctio) Utuk suatu bilaga real x, batas bawah dari x, ditulis x, adalah bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega x, yaitu bilaga bulat tuggal x yag memeuhi x x x. Cotoh: 3,05 3,,95, 4 4, 5,7 6,,87. b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3 da 5 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah bayakya bilaga bulat dalam himpua A B \ C, sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: A B \ C A B A B C 0 8. c). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 atau 7 adalah bilaga bulat dalam himpua B \ ( A C) sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, Sehigga B \ A C B B A C B B A B C B A B C B A B C B A B C B A B C B AC 0 8 6, B \ AC B B AC Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 3 da 7 adalah sebayak 34 bilaga. Latiha.7: Tetuka bayakya bilaga bulat dari sampai 500 yag a). habis dibagi 3 atau 5.

45 45 b). habis dibagi 3 tetapi tidak oleh 5 atau 6. Jawab: Misalka A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat yag habis dibagi 3, 5 da 6: 500,3, B 500,5, C A 500,6. a). Bayakya bilaga bulat dari sampai 500 yag habis dibagi 3 atau 5 adalah A B A B A B Keteraga: A , 3 B , 5 A 500 B b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi oleh 5 atau 6 adalah bayakya bilaga dalam himpua A \ B C : A\ B C A A B C A A B A C. () Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, A B AC A B AC A B AC A B AC A B C Dega perhituga diperoleh hasil: () A B 33, 35 5 A B C 6, lcm(3,5, 6) 30 A C 83, lcm(3, 6) 6 sehigga persamaa () mejadi: A B AC , da persamaa () mejadi A\ B C Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 atau 6 ada 66 bilaga. Catata: lcm = least commo multiple (kelipata persekutua terkecil)

46 46 Latiha.8: Tetuka bayakya bilaga bulat dari sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga bulat berikut: 4, 6 da 5? Jawab: Misalka P, Q da R adalah himpua-himpua bilaga bulat dari sampai 50 yag habis dibagi 4, 6 da 5. 50, 4, Q 50,6, R P 50,5. Maka bayakya bilaga bulat yag habis dibagi salah satu tiga bilaga bulat 4, 6 atau 5 adalah: P Q R P Q R P Q P R Q R P Q R.. (3) Dega perhituga diperoleh: P 6, Q 4, R 6, P Q 0, P R 4, lcm 4,5 60 lcm 4, Q R 8, lcm 6, P Q R 4 lcm 4, 6,5 60, sehigga hasil perhituga dari persamaa (3) adalah P Q R Jadi bayakya bilaga bulat dari sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga 4, 6, atau 5 ada 9 bilaga. Latiha.9: a). Tetuka bayakya bilaga bulat dari sampai 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7.

47 47 b). Tetuka bayakya bilaga bulat di atara da 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7. Jawab: a). Misalka K, L, M da N adalah himpua-himpua bilaga bulat dari sampai 000 yag habis dibagi, 3, 5 da ,, L K 000,5, N M 000,7. 000,3, Maka bayakya bilaga bulat dari sampai 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 000 K L M N K L M N K L M N K L K M K N L M L N M N K L M K L N L M N K L M N Jadi bayakya bilaga bulat dari sampai 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 000 K L M N bilaga. Keteraga: K , L 333, 3 00, M 5 N , 7 K L 66, 3 00, K M 5

48 48 K N , 7 66, L M , L N 37 M N , 57 33, K L M 35 K L N , 37 9, L M N 357 K 000 L M N b). Dega cara yag sama seperti pada peyelesaia soal a), diperoleh hasil jawaba sebagai berikut: Misalka R, S, T da U adalah himpua-himpua bilaga bulat di atara da 000 yag habis dibagi, 3, 5 da ,, S 000,3, T R U 000,7. 000,5, Maka bayakya bilaga bulat di atara da 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U R S T U R S T U R S R T R U S T S U T U R S T R S U S T U R S T U Jadi bayakya bilaga bulat di atara da 000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U bilaga.

49 49 Keteraga: R , S 33, 3 T 99, 5 4, U R S 66, 3 RT 99, 5 7, R U ST 66, 35 47, S U , T U R L T 33, 35 3, R S U 37 S T U , R S T U 357 Latiha.0: Tetuka bayakya bilaga prima yag tidak lebih dari 00. Jelaska jawabamu. Jawab: Bayakya bilaga bulat positif yag tidak lebih dari 00 adalah 00 bilaga. Berdasarka The Sieve of Eratosthees (sariga Eratosthees), bilaga prima yag tidak lebih dari 00 dapat dicari dega acua bahwa bilaga prima p tidak boleh lebih dari akar 00 ( p 00 ). Karea p 0 maka bilaga prima p adalah, 3, 5, da 7. Tuliska bilaga bulat positif secara terurut dari sampai 00, lalu elimiasi bilaga-bilaga yag merupaka kelipata p, 3p, 4p, 5p,... Perhatika bahwa bilaga-bilaga yag tidak terelimiasi adalah bilagabilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5, atau 7. Utuk meghitug bayakya bilaga prima adalah dega jala meghitug bayakya bilaga bulat positif yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7, dikuragi (bilaga buka prima), ditambah dega 4 bilaga prima pertama, yaitu, 3, 5 da 7. Misalka himpua A, B, C da D adalah himpua-himpua yag elemeya habis dibagi, 3, 5 atau 7.

50 50 00,, B 00,3, C 00,5 A D 00,7., Maka dega megguaka prisip iklusi-eksklusi, diperoleh rumus utuk meghitug bayakya bilaga bulat yag habis dibagi, 3, 5 atau 7. A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D dega: A , 33, B , C 5 D 00 4, 7 A 00 B 6, 3 A 00 C 0, 5 A 00 D 7, 7 B 00 C 6, 35 B 00 D 4, 37 C 00 D, 57 A 00 B C 3, 35 A 00 B D, 37 A 00 C D, 57 B 00 C D 0, 357 A 00 B C D Maka bilaga bulat dari sampai 00 yag habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah: A B C D ( ) ( ) (3 0) Bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah = (termasuk bilaga ). Jadi bayakya bilaga prima yag kurag dari 00 adalah bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 dikurag (bilaga ) ditambah 4 bilaga prima pertama (, 3, 5 da 7), yaitu = 5 bilaga prima.

51 5 Latiha.: Hituglah bayakya bilaga prima yag kurag dari 00. Jelaska jawabamu dega megguaka prisip iklusi-eksklusi. Latiha.: Tetuka bayakya bilaga dari sampai 00 yag merupaka kuadrat sempura, pagkat tiga sempura atau pagkat lebih tiggi. Jawab: Perhatika himpua obyek-obyek {,3,,00}. Misalka eleme dari himpua ii mempuyai sifat i jika eleme tersebut sama dega pagkat ke i dari suatu bilaga bulat. Karea 7 >00, maka tidak ada pagkat 7 dalam himpua da sifat-sifat yag ada haya sifat,3,4,5,da 6. Maka bayakya eleme yag mempuyai sifat,3,4,5 da 6 adalah A A3 A4 A5 A6 A A3 A4 A5 A6 A,3 A,4 A,5 A,6 A3,4 A3,5 A3,6 A4,5 A4,6 A5,6 A,3,4 A,3,5 A,3,6 A,4,5 A,4,6 A,5,6 A3,4,5 A3,4,6 A4,5,6 A,3,4,5 A,3,4,6 A3,4,5,6 A,3,4,5,6. Keteraga: Misalka: A = bayakya obyek yag mempuyai sifat = Obyek-obyekya adalah ,3 9, 4 6,5 5,6 36,7 49,8 64,9 8,0 00. A 3 := bayakya obyek yag mempuyai sifat 3 = Obyek-obyekya adalah ,3 7, A4 bayakya obyek yag mempuyai sifat 4 = Obyek-obyekya adalah 4 4 6,

52 5 A5 bayakya obyek yag mempuyai sifat 5 = Obyek adalah 5 3. A6 bayakya obyek yag mempuyai sifat 6 = Obyekya adalah A,3 bayakya obyek yag mempuyai sifat da 3 = A6. A,4 bayakya obyek yag mempuyai sifat da 4 = A4. A,5 A0 0, A,6 A6, A3, 4 A 0, A3,5 A5 0, A3,6 A6, A4,5 A0 0, A4,6 A 0, A5,6 A30 0. A,3, 4 A 0, A,3,5 A30 0, A,3,6 A6, A3, 4,5 A60 0, A3, 4,6 A 0, A4,5,6 A60 0, A,3, 4,5 A60 0, A,3, 4,6 A 0, A,3,5,6 A30 0, A3, 4,5,6 A60 0, A,3, 4,5,6 A60 0. Kesimpula: Jadi bayakya bilaga dari sampai 00 yag merupaka kuadrat sempura, pagkat tiga sempura, atau pagkat yag lebih tiggi ada bilaga. Catata: x meyataka bagia bilaga bulat dari x. Latiha.3: Adaika himpua A da B adalah himpua berhigga. Buktika bahwa A B A B. Jawab: da B y, y, y3,..., ym y j Misalka A x, x, x3,..., x xi.

53 53 AB x, y, x, y,..., x, y, x, y, x, y,..., x, y,..., x, y, x, y,..., x, y m m m m A B... m A B. m 3.3 Prisip Sarag Burug Merpati (Pigeo-hole Priciple) Misalka ada bayakya sarag/kadag burug merpati yag berupa lubaglubag. Setiap sarag biasaya ditempati oleh satu burug merpati. Bila ada + atau lebih burug merpati ditempatka ke dalam sarag tersebut, maka aka ada sarag yag isiya dua merpati atau lebih. Peryataa ii dikeal dega ama Prisip Sarag Burug Merpati (Pigeohole Priciple). Prisip ii pertama kali dikemukaka oleh G. Lejeue Dirichlet, seorag matematikawa Jerma, sehigga Pigeohole Priciple ii serig juga disebut sebagai Dirichlet Pigeohole Priciple. Prisip ii haya memberitahuka tetag obyek-obyek yag ada, buka memberitahu bagaimaa mecari obyek-obyek tersebut. Teorema 3.: Jika + atau lebih burug merpati meempati sarag burug, maka palig sedikit ada lebih dari burug merpati di dalam sarag burug tersebut. Teorema 3.*: (versi lai I) Jika + atau lebih obyek ditempatka di dalam buah kotak, maka palig sedikit terdapat satu kotak yag berisi dua atau lebih obyek. Teorema 3.**: (versi lai II) Jika obyek ditempatka di dalam m buah kotak da > m, maka palig sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek.

54 54 Cotoh:. Dari 3 mahasiswa dalam kelas, palig sedikit ada mahasiswa yag berulag tahu pada bula yag sama. Jawab: misalka 3 mahasiswa sebagai merpati da bula sebagai saragya, maka palig sedikit dalam satu sarag ada dua merpati atau lebih. Dega kata lai, palig sedikit ada dua mahasiswa yag mempuyai bula kelahira yag sama.. Dari 3 mahasiswa dalam kelas, palig sedikit ada mahasiswa yag berulag tahu pada taggal yag sama. Jawab: misalka 3 mahasiswa sebagai merpati da 3 hari sebagai saragya, maka palig sedikit dalam satu sarag ada dua merpati atau lebih. Dega kata lai, palig sedikit ada dua mahasiswa yag mempuyai taggal kelahira yag sama. 3. Dalam sebuah turame sepakbola (turame roud-robi), setiap tim bermai melawa tim laiya tepat satu kali. Misalka setiap tim meag miimal sekali. Maka ada palig sedikit tim yag meag sekali. Jika ada tim, maka bayakya kemeaga utuk setiap tim adalah atau atau 3 atau (-). Bilaga - kemeaga ii berhubuga dega - sarag burug, semetara tim berhubuga dega burug merpati. Jadi palig sedikit ada dua tim yag ada di sarag burug yag sama. Dega kata lai, tim-tim tersebut mempuyai jumlah kemeaga yag sama. 4. Diketahui sepuluh bilaga bulat positif yag kurag dari 07. Dari sepuluh bilaga tersebut dibuat subset-subset, baik yag salig lepas maupu tidak. Tujukka bahwa ada dua subset yag salig lepas dari subset-subset tersebut yag jumlah eleme di dalam subsetya sama.

55 55 Jawab: Dari 0 bilaga tersebut dapat dibetuk subset sebayak 0 = 04. Jumlah teredah dari subset tersebut adalah 0, yag dipuyai oleh {}=. 0 bilaga tertiggi yag kurag dari 07 tersebut adalah 97, 98, 99, 00, 0, 0, 03, 04, 05, 06, yag jumlah tertiggiya adalah 05. Dega memisalka sarag burug dega jumlah eleme subset, maka aka ada sarag burug beromor 0 sampai 05. Misalka setiap jumlah eleme dalam subset dituliska di atas secarik kertas da kertas-kertas tersebut ditempatka ke sarag burug, maka aka ada 04 carik kertas yag ditempatka dalam 05 sarag burug. Berdasarka Teorema Sarag Merpati, aka ada dua atau lebih carik kertas yag meempati sarag burug yag sama. Artiya, ada subset atau lebih yag mempuyai jumlah eleme yag sama. 5. Buktika bahwa dari 5 titik yag dipilih dari sebuah persegi yag pajag sisi-sisiya, ada titik yag jarakya satu sama lai palig bayak. Bukti: Bagilah persegi tersebut ke dalam persegi kecil dega pajag sisi-sisi. Berdasarka prisip sarag merpati, palig sedikit dua dari 5 titik yag dipilih pasti terletak pada sudut-sudut persegi kecil atau pada batas persegi kecil tersebut. Jarak dua titik pada persegi kecil tersebut palig bayak adalah. Teorema 3.: Prisip Sarag burug secara Umum Jika k + atau lebih burug merpati meempati sarag burug, maka aka ada lebih dari k burug merpati dalam palig sedikit satu sarag burug, dega k bilaga bulat positif. Teorema 3.3*: Prisip Sarag burug yag dirampatka Jika M obyek ditempatka ke dalam buah kotak, maka palig sedikit terdapat satu kotak yag berisi miimal M / obyek.

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika

Solusi Pengayaan Matematika Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus

1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs

Matematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa

Lebih terperinci

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B. TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Kombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com

Kombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat?

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci

Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id,

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL DATA KELOMPOK. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL UKURAN PENYEBARAN JANGKAUAN HAMPARAN RAGAM / VARIANS SIMPANGAN BAKU

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013 http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Induksi Matematik dan Teorema Binomial

Induksi Matematik dan Teorema Binomial Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Waktu : 0 Meit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

Prinsip Rumah Merpati dalam Penyelesaian Permasalahan Matematika

Prinsip Rumah Merpati dalam Penyelesaian Permasalahan Matematika Prisip Rumah Merpati dalam Peyelesaia Permasalaha Matematika Aditya Agug Putra 5000) Program Studi Tekik Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 402, Idoesia

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar 1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan Bab Sumber: www.medeciepharmacie.uiv-fcomte.fr Pola Bilaga, Barisa, da Deret Pola bilaga, barisa, da deret merupaka materi baru yag aka kamu pelajari pada bab ii. Terdapat beberapa masalah yag peyelesaiaya

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Kompetisi Statistika Tingkat SMA . Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci