BAB 2 LANDASAN TEORI Operasi Riset (Operation Research)

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Operasi Riset (Operatio Research) Meurut Operatio Research Society of Great Britai, operatio research adalah peerapa metode-metode ilmiah dalam masalah yag kompleks da suatu pegelolaa system maajeme yag besar, baik yag meyagkut mausia, mesi, baha da uag dalam idustry, bisis, pemeritaha da pertahaa. Pedekata ii meggabugka da meerapka metode ilmiah yag sagat kompleks dalam suatu pegelolaa maajeme dega megguaka faktor-faktor produksi yag ada da diguaka secara efektif da efesie utuk membatu pegambila keputusa dalam kebijaka suatu perusahaa. Defiisi lai meurut Operatio Research Society of America (ORSA), operatio research berkaita dega pegambila keputusa secara ilmiah da bagaimaa membuat suatu model yag baik dalam meracag da mejalaka sistem yag melalui alokasi sumber daya yag terbatas. Iti dari beberapa kesimpula di atas adalah bagaimaa proses pegambila keputusa yag optimal dega megguaka alat aalisis yag ada da adaya keterbatasa sumber daya. 2.2.Pegertia Program Diamik Program Diamik adalah suatu tekik matematika yag diguaka utuk megoptimalka proses pegambila keputusa secara bertahap-gada. Dalam tekik ii, keputusa yag meyagkut suatu persoala dioptimalka secara bertahap da buka secara sekaligus. Jadi iti dari tekik ii adalah membagi satu persoala atas beberapa bagia persoala yag dalam program diamik disebut tahap. Kemudia memecahka tiap tahap dega megoptimalka keputusa atas tiap tahap sampai seluruh persoala telah terpecahka. Keputusa yag optimal atas seluruh persoala ialah kumpula dari sejumlah keputusa optimal atas seluruh tahap yag kemudia disebut sebagai kebijaka optimal. (P.Siagia, 1987)

2 Programasi diamik memberika prosedur yag sistematis utuk peetua kombiasi pegambila keputusa yag memaksimumka keseluruha efektivitas. Berbeda dega Liier Programmig, dalam program diamik tidak ada rumusa (formulasi) matematis stadard. Program diamik lebih merupaka suatu tipe pedekata umum utuk pemecaha masalah da persamaa-persamaa khusus yag aka diguaka harus dikembagka sesuai dega setiap situasi idividual (Aidawayati R. 2013) Pedekata program diamik didasarka pada prisip optimasi Bellma (1950) yag megataka : Suatu kebijaka optimal mempuyai sifat bahwa apa pu keadaa da keputusa awal, keputusa berikutya harus membetuk suatu kebijaka optimal dega memperhatika keadaa dari hasil keputusa pertama. Prisip ii megadug arti bahwa : 1. Diperkeaka utuk megambil keputusa yag layak bagi tahap persoala yag masih tersisa tapa melihat kembali keputusakeputusa masa lalu atau tahap-tahap terdahulu 2. Dalam ragkaia keputusa yag telah diambil, hasil dari masig tergatug pada hasil keputusa sebelumya dalam ragkaia. Program Diamik merupaka ragkaia prosedur yag megoptimalka dimaa diberi fugsi objektif yag disebut hasil da fugai biaya yag tergatug apakah fugsi aka dimaksimumka atau dimiimumka. Berkeaa dega variabel yag maa aka dioptimalka disebut keputusa. Masalah dibuat adalah dugaa dalam program diamik atau tahap. Dega cara ii masalah dipecah mejadi beberapa tahap atau poit waktu da tujua setiap tahap memilih keputusa optimal sehigga fugsi objektif medapat ilai optimal dari tahap-tahap tersebut. Dega memilih keputusa khusus yag diberika suatu tahap dapat mempegaruhi jalaya proses yag disusu utuk iterval selajutya. Proses ii dilakuka sepajag iterval yag berhubuga.

3 Sehigga dasar program diamik adalah tekik yag memilih cara yag palig optimal dari atara semua cara yag mugki sehigga fugsi objektif yag diberika ( dimaa umumya tergatug pada cara yag diikuti atau dipakai da keputusa yag diambil) adalah optimal. Dalam ragkaia aka selalu berfikir optimis yag aka mejadi prosedur memiimumka jika diketahui memiimumka adalah fugsi yag dituliska fugsi egative dari memaksimumka. P.Siagia (1987) megemukaka bahwa prosedur pemecaha persoala dalam program diamik dilakuka secara rekursif. Ii berarti bahwa setiap kali megambil keputusa, harus memperhatika keadaa yag dihasilka oleh keputusa sebelumya. Karea itu, keadaa yag diakibatka oleh suatu keputusa sebelumya da merupaka ladasa bagi keputusa berikutya, sehigga kosep tetag keadaa adalah sagat petig. Tahap 1 Tahap 2 Tahap 3 Tahap 4 b 31 1 P 31 b 11 1 P 11 b 21 P 21 b P 32 b P 41 0 b 12 2 P 12 b 32 P 31 b 33 P 33 b 42 b 13 P P 42 3 b 34 P 34 4 Gambar 2.1. Diagram Jariga Keputusa

4 Secara umum dapat diyataka bahwa : 1. b 11 = b ij yag meyataka b di maa i = 1 da j = 1, hal yag sama berlaku utuk P 11 yaki P 11 = P ij. 2. Tahap i diperluas dega alteratif recaa perluasa j. 3. Besara-besara b ij meyataka jumlah biaya yag diperluka utuk perluasa da P ij meyataka jumlah peroleha dari tahap i utuk recaa perluasa j. 4. b ij = P ij = 0 utuk alteratif awal yaitu tapa perluasa sama sekali. Keistimewaa dasar yag mecirika masalah program diamik adalah : 1. Permasalaha dapat dibagi-bagi dalam tahap-tahap, dega suatu keputusa kebijaka (policy decisio) diperluka di setiap tahap, masalah program diamik memerluka pembuata suatu uruta keputusa yag salig berhubuga, di maa setiap keputusa berhubuga dega suatu tahap permasalaha. 2. Setiap tahap memiliki sejumlah keada (state) yag bersesuaia. Secara umum, keadaa adalah berbagai kodisi yag mugki, dimaa system berada pada tahap tertetu dari keseluruha permasalaha. 3. Pegaruh keputusa kebijaka pada setiap tahap adalah utuk merubah keadaa sekarag mejadi keada yag salig berkaita dega tahap berikutya. 4. Prosedur peyelesaia diracag utuk meemuka suatu kebijaka optimal utuk keseluruha masalah, yaitu pemberia keputusa kebijaka optimal pada setiap tahap utuk setiap kemugkia keada. 5. Bila diketahui keadaa sekarag, kebijaka optimal utuk tahap-tahap yag tersisa adalah bebas terhadap kebijaka yag dipakai pada tahaptahap sebelumya. Ii adalah prisip keoptimala program diamik 6. Prosedur peyelesaia dimulai dega meemuka kebijaka optimal utuk tahap terakhir. Kebijaka optimal utuk tahap terakhir memberika keputusa kebijaka optimal utuk setiap kemugkia keadaa pada tahap tersebut.

5 7. Tersedia hubuga rekursif yag megidetifikasi kebijaka optimal pada tahap, bila diketahui kebijaka optimal utuk tahap (+1). Dega demikia utuk meemuka keputusa kebijaka optimal, bila dimulai pada keadaa s pada tahap, memerluka peemua ilai yag megoptimalka. Dega megguaka ilai x da megikuti kebijaka optimal bila dimulai dari keadaa pada tahap (+1). Betuk pasti dari hubuga rekursif berbeda-beda diatara masalahmasalah program diamik. Aka tetapi otasi yag serupa ii dapat terus diguaka seperti yag di rigkas sebagai berikut : N = bayakya tahap = label utuk tahap sekarag ( = 1, 2, 3,..., N) s x * x f (s, x ) = keadaa sekarag utuk tahap = peubah keputusa utuk tahap = ilai optimal x (diketahui S ) = kotribusi tahap, +1,..., N kepada fugsi tujua bila sistem dimulai dari keadaa s pada tahap, keputusa sekarag adalah x da keputusa optimal dibuat sesudahya. f * (s ) = f (s, x * ) Hubuga rekursif aka selalu memiliki betuk : f * (s ) = max {f (s, x )} atau f * (s ) = mi {f (s, x )} dimaa f (s, x ) aka diyataka dalam s, x, f * +1(s +1 ) da mugki beberapa ukura tetag keefektifa (atau ketidakefektifa) tahap pertama dari x. Hubuga rekursif diamaka demikia karea hubuga tersebut selalu berulag setiap bergerak ke belakag tahap demi tahap. Bila tahap sekarag beromor dituruka satu tahap, maka fugsi f * (s ) baru aka dituruka megguaka f * +1(s +1 ) yag baru saja dituruka dalam iterasi sebelumya, proses ii berulag terus.

6 8. Bila megguaka hubuga rekursif ii, prosedur peyelesaia bergerak mudur tahap demi tahap setiap kali meemuka kebijaka optimal utuk tahap tersebut sampai ditemuka kebijaka optimal yag dimulai dari tahap awal Program Diamik Determiistik Pedekata program diamik ke masalah determiistik, dimaa keadaa pada tahap berikut ditetuka sepeuhya oleh keadaa da keputusa kebijaka pada tahap sekarag. Pada tahap proses aka berada pada suatu keadaa s. Pembuata keputusa kebijaka x selajutya meggerakka proses ke keadaa s +1 pada tahap (+1). Kotribusi sesudahya terhadap fugsi tujua di bawah kebijaka yag optimal telah dihitug sebelumya sebagai f* +1 (s +1 ). Keputusa kebijaka x juga meberika kotribusi kepada fugsi tujua. Kombiasi kedua ilai ii dega bear aka memberika f (S, x ) yaitu kotribusi tahap ke depa kepada fugsi tujua. Pegoptimala terhadap x f *(s ) = f (s, x *). Setelah ditemuka x * da f *(s ) utuk setiap ilai s, prosedur peyelesaia sekarag bergerak mudur satu tahap. Program diamik determiistik dapat diuraika dega diagram yag ditujukka dibawah ii : Stage Stage + 1 State s S +1 f (s, x ) Kotribusi dari x f* +1 (s +1 ) Gambar 2.2. Program Diamik Determiistik. Keteraga Satu cara dari kategori masalah program diamik determiistik adalah dega fugsi objektif. Misalya, memperkecil jumlah kotribusi dari masig-masig tahap (seperti masalah perhetia), atau utuk memaksimalka. Kategori lai dalam himpua asli

7 dari tahap utuk respective tahap. Secara khusus, status s mugki dapat digatika dega variabel status yag diskrit (seperti masalah perhetia) atau dega variabel tahap yag kotiu, atau mugki tahap vektor (lebih dari satu variabel) diperluka Program Diamik Probabilistik Program Diamik Probabilistik berbeda dega Program Diamik Determiistik. Di maa pemrograma diamik Determiistik, pada tahap berikutya sepeuhya ditetuka oleh keadaa da keputusa kebijaka pada tahap sebelumya, sedagka pemrograma diamik probabilistik terdapat suatu probabilitas keadaa medatag yag distribusi peluag ii tetap ditetuka oleh keadaa da keputusa kebijaka pada keadaa sebelumya (Aidawayati R. 2013) Terdapat dua hal dalam pemrograma diamik probabilistik yaitu : 1. Stage berikutya tidak seluruhya ditetuka oleh stage da keputusa pada stage saat ii, tetapi ada suatu distribusi kemugkia megeai apa yag aka terjadi. 2. Distribusi kemugkia ii masih seluruhya ditetuka oleh state da keputusa pada stage saat ii. Struktur dasar dalam pemrograma diamik probabilistik diuraika pada gambar berikut :

8 1 f* (+1) (1) Probabilitas c 1 keadaa keputusa p 1 S x p 1 c 2 2 f* (+1) (2) f (s, x ) p s c s s f* (+1) (s) Gambar 2.3. Diamik Probabilistik Dimaa : a. s melambagka bayakya keadaa yag mugki pada tahap (stage) + 1 da keadaa ii didambarka pada sisisebelah kaa sebagai 1, 2,,s (p 1, p 1,, p s ) adalah distribusi kemugkia dari terjadiya suatu state berdasarka state s da keputusa x pada stage b. c i adalah kotribusi dari stage terhadap fugsi tujua jika state berubah mejadi state i c. f (s,x ) meujukka jumlah ekspektasi miimal dari tahap ke depa, dega diberika status da keputusa pada tahap masig-masig s da x Karea adaya struktur probabilistik, hubuga atara f (s,x ) da f +1 (s,x ) agak lebih rumit dari pada utuk pemrograma diamik determiistik. Betuk yag tepat dari hubuga tersebut tergatug pada betuk fugsi tujua secara umum. Dalam pemrograma diamik probabilistik juga terdapat hubuga

9 rekursif yag megidetifikasi kebijaka optimal. Ada dua prosedur rekursif dalam pemrograma probabilistik yaitu : a. Forward Rescursive equatio (perhituga dari depa ke belakag). Program diamik bergerak dari tahap 1 sampai tahap. Peubah keputusa adalah x 1, x 2, x, b. Backward Recursive equatio (perhituga dari belakag ke depa). Program diamik bergerak mulai dari, terus mudur ke tahap -1, -2, da seterusya sampai tahap 1. Peubah keputusa adalah x, x -1,,x 1 Sebagai ilustrasi, misalka tujuaya adalah miimalka jumlah yag diharapka da kotribusi tahap-tahap secara terpisah. Pada kasus ii f (s,x ) meggambarka jumlah miimal yag diharapka dari tahap da seterusya, bila diketahui bahwa keadaa da keputusa kebijaka pada tahap adalah s da x akibatya, f (s, x ) = p i [c i + f +1 (i)] i=1 Dega f* +1 (i) = miimal f +1 = miimal { f +1 (i, x +1 )} Dimaa miimal ii di buat di atas ilai kelayaka bagi x +1 Pegguaa program diamik probabilistik selalu di pakai dalam game (permaia), peambaha peolaka (reject allowece) atau jumlah tambaha produk yag diproduksi, da lai-lai Perumusa Masalah dalam program Diamik Perlu diteragka bahwa yag dimaksud dega perawat dalam peulisa skripsi ii adalah perawat-perawat yag bekerja disetiap ruaga di rumah sakit. Perawatperawat dialokasika utuk meigkatka pelayaa kesehata dirumah sakit tersebut. Oleh sebab itu maajeme harus mempuyai peempata yag baik dalam meempatka teaga kerja di setiap shift. Pegalokasia teaga kerja tersebut harus dapat meigkatka pelayaa medis yag diberika kepada pasie yag datag.

10 Bila teaga perawat tersebut dibagi mejadi beberapa kelompok maka maajeme rumah sakit perlu meetuka berapa bayak teaga perawat utuk dialokasika disetiap shift dimaa shift tersebut ada tiga bagia yaitu pagi, siag da malam, gua memaksimumka keefektifa total dari teaga kerja. Bayakya teaga kerja yag aka dialokasika adalah bilaga bulat. Perumusa masalah ii memerluka pembuata tiga keputusa yag salig berkaita, yaitu berapa bayak teaga kerja utuk dialokasika ke setiap shift. Dega demikia walaupu tidak ada uruta tetap, ketiga shift ii dapat di aggap sebagai tahap dalam rumusa program diamik. Peubah keputusa x ( = 1, 2, 3) adalah bayakya kelompok yag dialokasika ke tahap (shift). 2.4.Program Diamik dalam Perhituga Mudur da Perhituga Maju. Dalam program diamik perhituga dalam tahap-tahap dega merici masalah mejadi beberapa bagia masalah. Setiap bagia masalah kemudia dipertimbagka secara terpisah dega tujua utuk meguragi jumlah da kerumita perhituga. Tetapi, karea semua bagia masalah salig bergatug maka harus dipikirka sebuah prosedur utuk meghubugka perhituga dega cara yag mejami bahwa pemecaha yag layak utuk tiap-tiap tahap juga layak utuk keseluruha masalah. Gagasa program diamik secara praktis meghilagka pegaruh salig ketergatuga atara tahap-tahap dega meghubugka defiisi suatu keadaa dega setiap tahap. Suatu keadaa bisa didefiisika utuk meujukka status batasa yag megikat semua tahap secara bersama-sama. 1. Utuk program diamik yag aka diselesaika dega perhituga mudur (backward recursive), maka perhituga tahap utuk medapatka keputusa optimal dimulai dari keadaa dari masalah yag akhir ke masalah pertama. f 0 (x 0 ) = 0 f *(s ) = opt { p (x ) f* +1 (s x )}, = N,, 1 dimaa :

11 f *(s ) s s x x N : fugsi optimum : state (status) : fugsi trasisi : tahap ke : variabel keputusa. : bayakya tahap Aidawayati Ragkuti (2013) meujukka kosep keadaa pada Rekursif mudur (backward recursive) pada gambar dibawah ii: x 1 x 2 x 3 S 1 s 1 S s S N N s N g 1 g g N Gambar 2.4. kosep keadaa rekursif mudur 2. Utuk program diamik yag aka diselesaika dega perhituga maju (fordward recursive), maka perhituga tahap utuk medapatka keputusa optimal di mulai dari keadaa masalah yag pertama ke masalah yag terakhir. f 0 (x 0 ) = 0 f *(s ) = opt { p (x ) f* -1 (s x )} = 1,, N dimaa : f *(s ) s s x : fugsi optimum : state (status) : fugsi trasisi : tahap ke

12 x N : variabel keputusa. : bayakya tahap Aidawayati Ragkuti (2013) meujukka kosep keadaa pada Rekursif mudur (backward recursive) pada gambar dibawah ii : x 1 x x N S 1 s 1 S s S N N s N g 1 g g N Gambar 2.5. kosep keadaa rekursif maju perbedaa pokok atara metode forward da backward terletak dalam cara medefiisika state. Simbol meyataka hubuga matematik atara s dega x, misalya tambah, kurag, kali, akar da lai-lai. Dega megguaka hubuga rekursif ii, prosedur peyelesaia bergerak dari tahap ke tahap sampai kebijaksaaa optimum tahap terakhir ditemuka. Sekali kebijaksaaa optimum tahap telah ditemuka, kompoe keputusa dapat ditemuka kembali dega melacak balik melalui fugsi trasisi tahap Formulasi Problema Program Diamik Sesuai dega permasalaha yag telah dirumuska maka yag aka mejadi tujua utama adalah meetapka tigkat pegadaa teaga kerja berdasarka peambaha/peguraga teaga kerja yag optimal utuk setiap shift sesuai dega kebutuha. Selajutya otasi yag diguaka : N = Bayakya tahap = omor tahap, = 1, 2, 3,,

13 x = bayakya teaga kerja yag dialokasika ke tahap s = bayakya teaga kerja yag masih tersedia utuk dialokasika pada shift (tahap) yag tersisa ke tahap (1,,) p i (x i ) = jumlah teaga kerja utuk pegalokasia x i orag ke shift i. Dibawah ii perlu diteragka beberapa termiologi atara lai : Tahap (stage ) adalah masa pegadaa teaga kerja ( dalam hal ii disebut shift). Maka dega demikia masalah ii memiliki tiga tahap sehigga omor tahap tersebut adalah = 1, 2, 3 Keadaa (state) adalah alteratif-alteratif dalam setiap tahap. Dalam hal ii tigkat pegadaa teaga kerja adalah variabel keadaa (s i ) 2.6. Pegambila Keputusa Prosedur pemecaha dalam program diamik dilakuka secara rekursif. Ii berarti bahwa setiap kali megambil keputusa harus memperhatika keadaa yag dihasilka oleh keputusa sebelumya. Karea itu, keadaa yag diakibatka oleh keputusa didasarka pada keadaa dari keputusa sebelumya da merupaka ladasa bagi keputusa berikutya. Sehigga kosep tetag keadaa adalah sagat petig sekali. Karea keadaa adalah berubah dari tahap ke tahap berikutya maka ilai setiap tahap aka meggambarka kodisi dari satu proses keputusa megubah keadaa lama (awal) mejadi keadaa baru ( akhir ). Keadaa baru mejadi ladasa bagi keputusa baru, da keputusa baru megubah keadaa baru (awal) mejadi lebih baru lagi (akhir), demikia seterusya proses ii berlagsug. Kareaya hasil yag diharapka dari satu keputusa tergatug dari awal da akhir dari keadaa utuk keputusa tersebut da kemudia mejumlahka seluruhya sebagai satu ragkaia keputusa yag maksimumka hasil atau peroleha. optimal. Pegambila keputusa tidak lai dari peetua x i da s i sehigga f i

14 Tujua dari peulisa ii meemuka x 1, x 2, x 3,, x sehigga : megoptimalka jumlah teaga perawat = opt i=1 p i x i dimaa: p i (x i ) adalah jumlah teaga kerja utuk pegalokasia x i orag ke shift i. Dega kedala : x i = s x i adalah bilaga bulat tidak egatif Dega megguaka otasi, maka f (s, x ) adalah 1 f (s, x ) = p (x ) + opt p i (x i ) i=+1 Dimaa : f (s, x ) p (x ) : meujukka kotribusi tahap : jumlah teaga kerja utuk pegalokasia tahap da f *(s ) = opt x =0,1,,s f (s, x ) jadi f (s, x ) = p (x ) + f +1 *(s -x ) dimaa : f +1 *(s -x ) meujukka kotribusi yag optimal. Akibatya, hubuga rekursif yag berhubuga dega fugsi f 1 *, f 2 *,, f * utuk masalah ii adalah : f *(s ) = opt x =0,1,,s { p (x ) + f +1 *(s -x )} utuk = 1, 2,,