Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) J ( u ) sebagai:

Transkripsi

1 LAMPIRAN

2 Lampiran 1. Bukti Teorema 4 Diketahui masalah memaksimumkan: T J ( x) = S( x( T), T) + f ( x( t), u( t), t) dt (1) dengan kendala : x() t = f( x(), t u(),) t t dt () Misalkan x() = x, t =, sedangkan x( T ) dan T keduanya tidak ditentukan. Fungsi scrap SxT (, T ) dapat dituliskan sebagai: T d S( x( T), T) = S( x,) + S( x( t), t) dt dt () sehingga persamaan (1) menjadi: T d J = S( x,) + f( x, u, t) + S( x( t), t) dt dt (,) Sx f (.) x S = dt x t (4) dengan x() t, ut (), f (,, ) xut dan Sxt (, t ) secara sederhana dapat dituliskan sebagai x, u, f (.) dan S. Dapat dilihat bahwa upaya untuk mengoptimalkan persamaan (4) tidak dipengaruhi S pada saat t = tetapi ditentukan oleh integral persamaan tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) J ( u ) sebagai: T J ( u) = F( x, x, p, u, t) dt (5) a S S dengan F( x, x, p, u, t) = f (.) + p( f(.) x ) + x + x t S S = H( x, u, p, t) px + x + (6) x t dengan H( xu,, pt, ) = f( xu,, pt, ) + pf( xut,, ) adalah Hamiltonian. Syarat perlu dengan fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah δ J ( u) =. Untuk T dan x( T ) tidak ditentukan, nilai δ J ( u) = diperoleh seperti pada kalkulus variasi yaitu : a T d δja( u) = [ ] Fx Fx δx+ Fuδu + Fpδ p dt+ Fxδx+ F Fxx δ t = t= T dt (7) d Agar persamaan (7) dipenuhi maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu Fx Fx =. dt d d Sedangkan Fx Fx = Hx + ( Sxx + St) ( Sx p) dt x dt = H + S x + S S x S + p x xx xt xx xt = Hx + p (8) Sehingga persamaan euler ini memberikan p = H (9) Variasi δ u dan δ p mempunyai sifat saling bebas sehingga koefisiennya bernilai nol, yaitu F u = dan F p =. Persamaan (.6) memberikan Fu = Hu dan Fp = f(.) x = Hp x, sehingga H = (1) u x = f( x, u, t) = H p (11) Selanjutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7), yaitu [ Fx δx+ ( F Fx x ) δ t] = (1) t= T karena Fx = Sx p F xf = H px + S x + S xs + xp = H + S t maka persamaan (1) menjadi x x t x x a a

3 1 ( S p ) δ x + ( H + S ) δ t = (1) x t= T t t= T persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila x( t ) dan t belum ditentukan, maka syarat batas menjadi ( S p ) x t = T t T x ( H S ) t = δ + + t t δ = (14) = t= yang menghasilkan teorema Pontryagin. Lampiran. Mencari solusi analitik dari Kasus Jika mensubtitusi persamaan (4.7) ke (4.8) didapat hasil akhir 4 ρx ρx + x( ρ δ + r) r = Dengan menggunakan Softwre Mathematica 6. didapat + ((1 i )( rρ δρ ρ )) * x () t = 1/ / ρ 9rρ + 18δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 18δρ ρ ) ( rρ δρ ρ rρ δρ ρ rρ δρ ρ ) (1 + i ) ( ) + ( ) 1/ 6 ρ kemudian bila diturunkan terhadap t menjadi x = sehingga ρux(1 x) δ x =, yang δ menghasilkan u =, bila nilai x dimasukkan maka akan didapat solusi analitik: ρ(1 x) + ((1 i )( rρ δρ ρ )) * x () t = 1/ / ρ 9rρ + 18δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 18δρ ρ ) ( rρ δρ ρ rρ δρ ρ rρ δρ ρ ) (1 + i ) ( ) + ( ) 1/ 6 ρ / / / / r i r / / δ i δ rρ i rρ δρ i δρ ρ i ρ + rδ i rδ / 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ * r + δ 9 u () t = + + / ρ 9rρ + 18δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 18δρ ρ ) r / 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ r i / / / / / 9 1/ + r i r δ δ i δ i δ ρ ρ i ρ i ρ + ( 9rρ + 18δρ ρ + 4(rρ δρ ρ ) + (9rρ + 18δρ ρ ) ) / / 1 i i / / ( rρ + ) 1/ 8δρ ρ 4(rρ δρ ρ ) (9rρ 18δρ ρ ) 6 ρ 9ρ ρ ρ ( 9rρ 18δρ ρ 4(rρ δρ ρ ) (9rρ 18δρ ρ ) ) 1 i / / ρ 6 ρ Lampiran. Bukti fungsi f(u) berbentuk S Untuk membuktikan f(u) berbentuk-s dengan mencari titik kritis dengan turunan pertama terhadap u: 4u fu ( u) = (1 + 1 u ) 48 u(1 u ) fuu ( u) = (1 + 1 u ) Mencari titik ekstrem dan fungsi naik dan turun dengan: 1/ 1/ / (15)

4 4u fu ( u) = = (1+ 1 u ) u = f ( u ) + + u Untuk mencari kecekungan dan titik belok maka diuji turunan kedua 48 u(1 u ) fuu ( u) = = (1 + 1 u ) didapat u =.68 titik belok + _ fuu ( u) dengan f() =, f () =, f( u) u = 8, f '( u) u = Sehingga didapat kurva f(u) berbentuk-s pada Gambar 9. Lampiran 4. Mencari nilai titik tetap T( u, x) pada Kasus dengan menggunakan software Maple 1 Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini: (4 ut ) (1 xt ())(4 ut ()) δ xt ()(1) (1 + 1 ut ) sys : = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = (1 x( t)) δ xt 1+ 1 ut (4 u ) (1 x) (4 u ) x ( 1) (1 1 u ) 8 u solve δ + r δ +, (1 x) δ x, { x, u} (1 + 1 u ) (1 x) 48 u (1 u ) 1+ 1 u (1 1 u ) + diperoleh beberapa titik tetap maka titik tetap yang memenuhi T 1 (,), T (.1,.6) dant (.16,.9).

5 Lampiran 5. Mencari nilai titik tetap T( u, x) pada Kasus 4 dengan menggunakan software Maple 1 Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini: (4 ut ) xt () (1 xt ()) (4 ut ()) δ (1 xt ()) (1 + 1 ut ) sys1: = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = xt () (1 xt ()) δ xt () ut (4 u ) x (1 x) (4 u ) (1 x) (1 1 u ) 8 u solve δ + r δ +, x (1 x) δ x, { x, u} (1 + 1 u ) (1 x) 48 u (1 u ) 1+ 1 u (1 1 u ) + diperoleh beberapa titik tetap maka titik tetap yang memenuhi T 1 (,), T (.7,.67) dant (.174,.95). Lampiran 6. Matriks Jacobi untuk Kasus dan Kasus 4 Kasus Dari persamaan (4.8) dan (4.9) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu : f δ fu (1 x) Jux (, ) = δ f u fu f uuu δx fu f uuu fu (1 x) f 1 u + rδ (1 x) fuu ( fuu ) (1 x) ( fuu ) digunakan f( u) = + u (1 1 ) sehingga matriks Jacobi menjadi : 4 u ( x1) δ 1+ 1 u (1+ 1 u ) J = 4 4u δ ( u + 1u ) 6 6 (1 1 ) ( 1) 6 ( 1 )( 1) ( + u x u + u x 1 + u )( r( x1) δ ) + 4u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1) Kasus 4 Dari persamaan (4.) dan (4.1) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu :

6 4 f(1 x) δ fu x(1 x) Jux (, ) = δ f u fu f uuu δ(1 x) fu f uuu ( 1 x) fu x(1 x) f 1 u + rδ (1 x) fuu ( fuu ) (1 x) ( fuu ) digunakan f( u) = + u (1 1 ) sehingga matriks Jacobi menjadi : 8 u (1 x) 4 u ( x1) x δ 1+ 1 u (1+ 1 u ) J = 4 4 u (1 x) δ ( u + 1u ) 6 6 (1 1 ) ( 1) 6 ( 1 )( 1) ( + u x u + u x x 1 + u )( r( x1) δ x) + 4u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1) Lampiran 7. Penentuan nilai eigen pada Kasus dengan Mathematica 6. Untuk menentukan nilai eigen dapat menggunakan program di bawah ini : 6 6 6u ( 1+ u )( x1) ( 1 + u )( r( x1) δ ) δ λ λ u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1 ) Solve 4 4u δ ( u+ 1u ) 4 u ( x1) (1 + 1 u ) ( x1) ==,λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan 1 λ1 = m m 4ns n 1 λ = m+ m 4ns n dimana m = r 7u + 16u + 1ru 48u 15ru 144u + 4ru + 64u ru rx u x u x ru x u x ru x u x ru x 64u x + ru x 7u x 144u x + δ + 6u δ + 9u δ u δ + 6u δ xδ + 4x xδ + 6u xδ 8u xδ 8u xδ n = 4u 6u + 8u + 8u x+ 4u x+ 6u x8u x 8u x s = 8ru + 7ru 115u + 48ru 16ru 8ru x 7ru x + 4u x ru x + 16ru x 115u x + rδ 7u δ + u δ + 1ru δ + 48u δ ru δ 144u δ + 4ru δ 16u δ ru δ rxδ + 144u xδ 1ru xδ ru xδ + 88u xδ 4u δ u δ Lampiran 8. Penentuan nilai eigen pada Kasus 4 dengan Mathematica 6. Untuk menentukan nilai eigen dapat menggunakan program di bawah ini : 6 6 (1 x) 6u ( 1 + u )( x1) x ( 1 + u )( r( x1) δ x) δ λ + λ u ( 1 + 1u + u ) ( 1u ) ( x1) Solve 4 4u (1 x) δ ( u + 1u ) 4 u ( x1) x (1 + 1 u ) ( x1) ==, λ (1 + 1 u ) 4u

7 5 menghasilkan 1 λ1 = d d 4ce c 1 λ = d + d 4ce c dimana d = r 16u + 1ru + 48u + 15ru + 4ru 64u ru rx 7u x ux rux ux rux ux rux u x ru x ux ux + 96ux + 88ux 18u x 7u x 144u x + δ u δ 6u δ + 8u δ + 8u δ xδ + 14u xδ + 1u xδ 4u xδ 1u xδ = c u u u u x u x u x u x u x e=8ru 7ru 48ru + 16ru + 4ru x+ 16ru x + 115u x + 144ru x ru x 16ru x 144ru x 468u x 96ru x + ru x + 576u x ux + rδ + 1ruδ + 15ru δ + 4ru δ ru δ rxδ 7u xδ + 16u xδ ru xδ 96u xδ 15ru xδ 144u xδ 96u xδ 4ru xδ + 16u xδ ru xδ + 144u x δ + 16u x δ + 144u x δ + 88u x δ ++ 96u x δ u x δ uxδ 144u x δ + xδ + 1u xδ + 15u xδ + 4u xδ u xδ Lampiran 9. Menentukan nilai eigen pada titik tetap T( u, x ) pada Kasus dengan menggunakan software Mathematica 6. Parameter yang diberikan r : =.8; δ : =.; Untuk titik tetap T 1 (,) 6 6 6u ( 1 u )( x 1) ( 1 u )( r( x 1) δ ) + + δ λ λ u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1 ) Solve 4 4u δ ( u+ 1u ) 4 u ( x1) (1 + 1 u ) ( x1) ==,λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan nilai eigen 11 { λ },{ λ } 1 Titik tetapnya merupakan simpul stabil. Untuk titik tetap T (.1,.6) 6 6 6u ( 1 u )( x 1) ( 1 u )( r( x 1) δ ) + + δ λ λ u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1 ) Solve 4 4u δ ( u+ 1u ) 4 u ( x1) (1 + 1 u ) ( x1) ==,λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan nilai eigen { λ.19},{ λ.9} { }

8 6 Titik tetapnya merupakan titik sadel. Untuk titik tetap T (.16,.9) 6 6 6u ( 1 u )( x 1) ( 1 u )( r( x 1) δ ) + + δ λ λ u ( 1+ 1u + u 6 ) ( 1u ) ( x1 ) Solve 4 4u δ ( u+ 1u ) 4 u ( x1) (1 + 1 u ) ( x1) ==,λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan nilai eigen { λ i},{ λ.9.57 i} { } Titik tetapnya merupakan spiral tak stabil. Lampiran 1. Menentukan nilai eigen pada titik tetap T( u, x ) pada Kasus 4 dengan menggunakan software Mathematica 6. Parameter yang diberikan r : =.8; δ : =.; Untuk titik tetap T 1 (,) 6 6 (1 x) 6u ( 1 + u )( x1) x ( 1 + u )( r( x1) δ x) δ λ + λ u ( 1 + 1u + u ) ( 1u ) ( x1) Solve 4 4u (1 x) δ ( u + 1u ) 4 u ( x1) x (1 + 1 u ) ( x1) ==, λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan nilai eigen 1 λ1, λ 5 1 Titik tetapnya merupakan simpul stabil. Untuk titik tetap T (.7,.67) 6 6 (1 x) 6u ( 1 + u )( x1) x ( 1 + u )( r( x1) δ x) δ λ + λ u ( 1 + 1u + u ) ( 1u ) ( x1) Solve 4 4u (1 x) δ ( u + 1u ) 4 u ( x1) x (1 + 1 u ) ( x1) ==, λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan λ.11, λ.1 {{ 1 } { }} Titik tetapnya merupakan titik sadel. Untuk titik tetap T (.174,.95)

9 7 ( δ ) 6 6 (1 x) 6u 1 + u x1 x 1 + u r( x1) x δ λ + λ u ( 1 + 1u + u ) ( 1u ) ( x1) Solve 4 4u (1 x) δ ( u + 1u ) 4 u ( x1) x (1 + 1 u ) ( x1) ==, λ (1 + 1 u ) 4u menghasilkan nilai eigen λ i, λ.4.58i Titik tetap merupakan spiral tak stabil. {{ } { }} Lampiran 11. Gambar bidang fase Kasus dan Kasus 4 dengan menggunakan Software Maple 1 Kasus (4 ut ) (1 xt ())(4 ut ()) δ xt ()(1) (1 + 1 ut ) sys : = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = (1 x( t)) δ xt 1+ 1 ut Kasus 4 (4 ut ) xt () (1 xt ()) (4 ut ()) δ (1 xt ()) (1 + 1 ut ) sys1: = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = xt () (1 xt ()) δ xt () ut

10 8 Lampiran 1. Gambar bidang solusi Kasus 1 dan Kasus dengan menggunakan Software Mathematica 6. Kasus 1 Kasus Lampiran 1. Gambar bidang solusi Kasus dan Kasus 4 dengan menggunakan Software Maple 1 Kasus (4 ut ) (1 xt ())(4 ut ()) δ xt ()(1) (1 + 1 ut ) sys : = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = (1 x( t)) δ xt 1+ 1 ut Gambar 11

11 9 Gambar 1 Gambar 1 Kasus 4 (4 ut ) xt () (1 xt ()) (4 ut ()) δ (1 xt ()) (1 + 1 ut ) sys1: = diff ( u( t), t) = r δ +, (1 + 1 ut ) (1 xt ) 48 ut (1 ut ) (1 1 ut ) + 8 ut diff ( x( t), t) = xt () (1 xt ()) δ xt () ut Gambar 15 Gambar 16

12 Gambar 17